CC BY
168
УДК 51 (072.8)
Возбуждение и развитие у учащихся интереса
к математике
Е.С. КАНИН,
профессор (г. Киров)
E-mail: mr.kanin@yandex.ru
Статья посвящена деятельности учителя математики в процессе обучения, которая постоянно должна быть направлена на развитие и поддержание интереса учащихся к изучению математики, к математическому творчеству. Возбуждение интереса к изучению математики заключается в привлечении внимания учащихся к изучению математики, возбуждении некоторого любопытства к содержанию математики, в преобразовании его в любознательность, в увлечении содержанием математики — школьного предмета, направлении мышления учащихся на точность и тонкость математических рассуждений. Автором рассмотрены пути возбуждения и развития интереса к познанию математики. Предложен список книг и статей по истории развития математики и о её творцах.
Ключевые слова: математика, обучение, развитие интереса, история математики.
Введение единого государственного экзамена (ЕГЭ) существенно ограничило интерес многих учащихся потребностями самого ЕГЭ, возможностью поступления абитуриента в ВУЗ без сдачи вступительных экзаменов. Не стала обязательной специальная подготовка к вступительным экзаменам по математике, в связи с чем исчезла необходимость в умении решать сложные математические задачи элементарной математики. Снижение интереса к математике сыграло существенную роль в понижении общего уровня математической подготовки учащихся.
Вновь возникла уже во многом решённая ранее проблема возбуждения и развития интереса учащихся к изучению математики, к математическому творчеству. Придётся эту проблему решать вновь. Частичному решению проблемы интереса учащихся к изучению математики и посвящена настоящая статья.
Для решения этой проблемы следует разобраться в том, что же такое «интерес», в частности, «интерес к математике».
Что такое « интерес»? Interest в переводе с латинского означает «имеет значение», «важно». В «Толковом словаре» [1] интерес определяется следующим образом: Интерес — внимание, любопытство, проявляемое к кому-либо, к чему-либо, преимущественная направленность мышления на какой-либо объект.
Этим определением и будем пользоваться далее. Но при этом надо иметь в виду, что «интересно» означает «увлекательно», но отнюдь не «развлекательно». И будем рассматривать интерес как преимущественную направленность мышления на изучение математики.
Итак, возбуждение интереса к изучению математики заключается в привлечении внимания учащихся к изучению математики, возбуждении некоторого любопытства к содержанию математики, в преобразовании его в любознательность, в увлечении содержанием математики — школьного предмета, направлении мышления учащихся на точность и тонкость математических рассуждений.
Что способствует возникновению интереса? При возбуждении интереса к изучению математики следует учитывать некоторые казалось бы не столь существенные психологические качества человека. Во-первых, это возможность ученика познать новое в математике, получить новые знания, умения, сформировать новые навыки в оперировании математическими объектами. Иными словами, удовлетворить свою любознательность. Во-вторых, при изучении математики следует развивать у учащихся чувство личного участия (в частности, при решении математических задач), чувство личной ответственности за достижение нужного результата, понимание возможности достичь чего-то нового. В-третьих, надо учитывать чувство удовлетворения, появляющееся у ученика в результате решения новой задачи, изучения новых математических сведений. Всё это формирует у ученика ощущение собственной нужности, полезности. И, наконец, проявление
учеником собственной умственной активности, необходимой энергии, без которых не осуществляется ни познание нового, ни решение новых задач, ни даже выполнение обычных учебных упражнений.
Пути возбуждения и развития интереса к познанию математики
1. При изложении математических предложений и доказательств необходимо добиваться чёткости математических формулировок, ясности, чёткости, даже «изящества» рассуждений, понятности, доступности для аудитории (класса) предлагаемых понятий, суждений, выводов и умозаключений. Ясно, что осуществить такое «изящное» изложение может учитель математики, знающий не только вариант, предложенный в школьном учебнике математики, но и различные другие подходы, имеющиеся в другой математической и математи-ко-методической литературе, или приобретённые учителем математики в результате его собственного опыта. Задача учителя — выбрать наиболее «изящный» с его точки зрения вариант. Этот выбор можно осуществить при рассмотрении в классе разных вариантов доказательства одной и той же теоремы (например, теоремы о средней линии трапеции). Это уже выбор учащихся и, следовательно, обучение «видению» изящного. При этом не надо забывать об эмоциональной окраске рассказа, доказательства, рассуждения. Всё это относится и к подбору задач.
2. Показ внутренней логической стройности математической науки, взаимосвязи различных её разделов. Наиболее стройно изложен школьный курс геометрии: от аксиом, неопределяемых понятий и определений понятий к их признакам, свойствам и приложениям. Более сложно показать логическую стройность алгебры и начал математического анализа, так как алгебра является конгломератом собственно алгебры (тождественные преобразования, уравнения, неравенства и их системы), элементов теории функций, элементов теории чисел, элементов комбинаторики. Элементы же математического анализа изложить в школьном курсе стройно вообще не удаётся. Тем не менее, изучить школьную математику в более или менее стройной системе можно, и к этому надо стремиться.
Необходимо подчёркивать единство математики. Алгебра проникает в геометрию, многие задачи геометрии решаются алгебраическими методами. Единым для всех школьных математических курсов являются координатный метод и как следствие — графический метод. С помощью векторов можно строить теорию комплексных чисел, доказывать теоремы и решать задачи геометрии. Методы математического анализа проникают как в алгебру (изучение функций, их свойств и графиков), так и в геометрию, особенно, при решении задач. Математический анализ широко использует уравнения и, особенно, неравенства. В геометрии содержится раздел математического анализа «тригонометрические функции». Вместе с касательной в геометрию проникает произ-
водная (тангенс угла её наклона) [2], с помощью интеграла вычисляются площади и объёмы криволинейных фигур и объёмы тел. Производная нередко помогает решать задачи алгебры. Например.
«Сколько действительных корней имеет уравнение х5 + х3 + 1 = 0 ?»
Решение. Общих алгебраических методов решения уравнений пятой степени нет. Но установить число корней можно методами математического анализа. Рассмотрим функцию /(х) = х5 + х3 + 1. Её производная /(х) = 5х4 + 3х2 > 0. Следовательно, функция f возрастает на R, а потому не может иметь более одного корня. Поскольку Д-1) = -1 < 0, а Д0) = 1 > 0, то в интервале (-1;0) существует единственный корень данного уравнения.
Такой показ внутренних математических связей привлекает внимание и вызывает интерес к содержанию математики у хороших учеников, убеждает их в единстве математики.
3. Ознакомление с внутренней красотой математики. Математика — красивая наука. Её красота разнообразна. Геометрия красива тем, что изучает красивейшие формы действительного мира. Это и различные симметрии: симметрия относительно прямой и точки на плоскости, поворотная симметрия, переносная симметрия, различные бордюры; центральная и зеркальная симметрия в трёхмерном пространстве. Симметрия наблюдается и в алгебре. Примеры тому — симметрические многочлены и их применение к решению уравнений, симметрические уравнения и системы уравнений и др. А симметрия в физике!
Изумительно красивы многие плоские и трёхмерные фигуры: правильные многоугольники, правильные и полуправильные многогранники, различные круглые тела и их сочетания.
Конечно, красивы графики многих функций. Прежде всего, симметрия графиков чётных функций относительно оси ординат, а нечётных — относительно начала координат. Красивы и графики периодических функций. Красота графиков функций и в том, что они полностью характеризуют свойства самих функций.
Всё сказанное о красоте математики — её, если можно так выразиться, наглядная красота. Но главное, что особенно красиво в самой математике — чёткая логика определений понятий, методов доказательств, рассуждений, умозаключений. Чёткая и стройная система построения каждого из математических курсов, их взаимосвязь. Именно эта сторона математики недостаточно раскрыта, не подчёркивается во многих школьных учебниках математики.
Говоря о красоте математики, невозможно обойти красоту и изящество многих доказательств, изящество оригинальных решений многих трудных, в том числе и прикладных задач. Всякая теорема может быть доказана разными способами, так же как существуют многие способы решения одной и той же задачи. Так, теорема Пифагора имеет много
Множества Жюлиа
вариантов доказательств, от наглядных древних индийских и китайских доказательств до доказательств с помощью тригонометрических функций (в частности, теоремы косинусов) или векторов. И каждое из них по-своему красиво. Только в книге В. Литцмана [3] приведено более 13 доказательств этой теоремы, осуществляемых путём разложения фигур на составные части.
4. Обучение мышлению, его законам, формам и приёмам. Учитель, конечно же, должен знать законы, формы и приёмы мышления. Учеников же обучать мышлению следует исподволь, не заставляя их «зубрить» законы, формы и приёмы мышления. Следует напомнить их, поскольку в учебниках математики о мышлении практически ничего не говорится.
Различают три формы мышления: понятия, суждения (высказывания), умозаключения.
Мышление подчиняется законам: закон тождества (объект мышления должен быть постоянным), закон непротиворечивости, закон исключения третьего и закон достаточного основания.
Существуют приёмы мышления: сравнение, анализ и синтез, абстрагирование, обобщение, конкретизация, специализация. В статье невозможно детально рассмотреть все эти вопросы. Поэтому отсылаем читателя к [4].
Всегда имеются ученики, интерес которых к математике проявляется при стремлении развить своё мышление. А развивать мышление означает: следуя законам мышления, обучать его формам и приемам. Таким образом, интерес к математике возникает через потребность ученика научиться логически правильно мыслить, рассуждать, делать правильные выводы. Подробно об этом в [5].
5. Иллюстрация широты приложений математики, применения к различным сторонам жизни общества. Интерес к математике следует развивать, убеждая учеников в необходимости математических знаний для деятельности специалистов самых различных профессий и специальностей. Общеизвестно, что без знания математики невозможно изучать химию, физику, решать физические задачи. Следовательно, без знания математики невозможно стать специалистом в любой отрасли ин-
дустрии, архитектуры и строительства: инженер без математики — уже не инженер. Без усвоения математики невозможно изучить астрономию, то есть познать систему мира. Математика — основа практически всех аспектов военной деятельности, начиная с работы штабов всех уровней, деятельности командиров любых подразделений, частей и соединений, системы всех видов наземного, воздушного морского и космического вооружения и так далее. Всё сказанное касается владения различными видами современной техники, включая современные нанотехнологии, что стоит особенно подчеркивать. Применяется математика и в медицине (современными медицинскими технологиями невозможно овладеть без знания математики и современной медицинской аппаратуры, такой, как ультразвуковая, рентгеновская, томографическая и т.п.). Понимание законов Менделя в биологии требует знаний комбинаторики и теории вероятностей. Умения измерять площади земельных участков и объёмы различных тел (стогов, скирд и т.д.), планировать использование земельных площадей необходимы в сельском хозяйстве, не говоря уже о применении математики конструкторами и специалистами сельскохозяйственной техники.
Но одними общими словами о применении математики ограничиваться никак нельзя. Нужны конкретные примеры приложений математики. Полезно показывать хотя бы приложения конкретных функций. Здесь приводятся только отдельные примеры.
Так, квадратичная функция применяется при рассмотрении равноускоренного (равнозамедленно-го) движения (5 = V0t + at2/2), вычислении кинетической энергии (К = тУ2/2), при расчётах поверхностей рефлекторов (например, в прожекторах), поверхностей вращающейся жидкости и так далее. Кубическая функция применяется при прокладке рельсов: сопряжения рельсов, расположенных по прямой и по дуге окружности осуществляются по дуге кубической параболы. Показательная и логарифмическая функции широко применяются
Сечение раковины
при исследовании процессов органического роста и убывания (радиоактивный распад, барометрическая формула, рост народонаселения, вклада в сбербанке и т.д.). Разнообразны приложения тригонометрических функций в геодезии, в астрономии, в механике, при решении задач о простых гармонических колебаниях, в частности, в электротехнике, радиотехнике и так далее. Более подробно эти вопросы рассмотрены в [6].
Математика находит применение во всех областях человеческого знания и в искусстве. Так, простая гамма в музыке описывается логарифмически с помощью двенадцатитоновой музыкальной шкалы (что стало возможным лишь после создания алгебры иррациональных величин и логарифмов) [7]. Перспектива и «золотое сечение» используют художники в живописи.
Многие современные труды математиков находят неожиданные научные приложения. Так, академик
A.Н. Колмогоров опубликовал работу «Уточнение решений систем Гамильтоновых уравнений в окрестности точки разрыва функции», а его ученик
B.И. Арнольд на этой основе решил заново задачу совместного движения трёх небесных тел. После этого стало возможным рассчитывать траекторию приземления искусственных спутников Земли, а это позволило человечеству, Юрию Гагарину и его последователям осваивать Космос. А.Н. Колмогоров и В.И. Арнольд стали лауреатами Ленинской премии (1965).
6. Ознакомление с историей развития математики, с биографиями её творцов. Как и всякая наука, математика развивалась многие тысячелетия и в процессе развития открывались новые математические сведения, а открытия осуществлялись трудами и усилиями разных математиков. При этом история создания и развития математики интересна сама по себе. Конечно, нет необходимости вводить в школьный курс математики специальный раздел её истории, более того, история математики, её изучение — дело специалистов, а не школьников.
Но знакомить учеников с основными этапами развития математики, с корифеями математической науки полезно хотя бы с целью возбудить и поддержать интерес изучающих математику к самой
математике. При этом желательно обращаться к истории математики как на уроках в виде коротких рассказов учителя, небольших сообщений учеников, коротких иллюстраций и так далее, так и на различных внеклассных и факультативных занятиях по истории математики, специальных математических вечерах, при написании учащимися рефератов и т.п. Материал по истории математики можно брать из многочисленной литературы (в конце статьи приведён список некоторых литературных источников «Книги и статьи по истории развития математики и о её творцах»). Если кого-то из учителей не устроят указанные литературные источники, можно обратиться к Интернету, где имеется обширный перечень ссылок на литературные источники по истории математики, в том числе и издания для учителей и учащихся. Кстати, отдельные сведения по истории математики можно найти в издающихся сейчас математических журналах для учащихся, таких как «Математика для школьников», «Математика» — приложение к газете «1 сентября», «Потенциал», издающийся МФТУ, и других.
Можно указать некоторые вехи истории математики, достойные упоминания и доступные для учащихся. В 5-6 классах — различные системы счисления, в том числе двоичная и восьмеричная, используемые в ЭВМ. В 7-9 классах — введение Ф. Виетом алгебраической символики, развитие методов решения алгебраических уравнений (Н. Тарталья, Дж. Кардано, К. Феррари), в 10 классе можно говорить о различных геометриях (Н.И. Лобачевский), в 10-11 классах — зарождение и развитие математического анализа (П. Ферма, Р. Декарт, И. Ньютон, Г.В. Лейбниц и др.), дальнейшее развитие математического анализа (братья Якоб и Иоганн Бернулли, Б. Больцано, Ж.Л. Лагранж, ОЛ. Коши, К.Т.В. Вей-ерштрасс, Л. Эйлер и др.).
Конечно, заслуживают особого внимания и упоминания такие творцы математики, как Фалес, Эвклид, Пифагор и многие другие математики древности и средних веков. Но, желательно, чтобы интерес учащихся привлекли математики XIX-XX веков, в том числе и русские математики, чьи имена известны в мире, и не только в мире математиков: основоположник общей алгебры Э. Галуа, корифей математики Х1Х века К.Ф. Гаусс, А. Пуанкаре, первая русская женщина-математик, профессор Стокгольмского университета С.В. Ковалевская, немецкий математик, создатель оснований геометрии Д. Гильберт, один из основоположников кибернетики, эмигрировавший из Германии в США, Н. Винер. Русские математики: основоположник Петербургской математической школы Л. Чебышев, основатель дескриптивной теории множеств и создатель советской школы метрической теории функций Н.И. Лузин (1883-1950), А.М. Ляпунов (1857-1918), АА. Марков (1856-1922), слепой математик, развивший закон двойственности
Л.С. Понтрягин, создатель советской топологической школы П.С. Александров, построивший аксиоматику теории вероятностей, развивший теорию стационарных процессов, конструктивную логику А.Н. Колмогоров. Он же ввёл в топологию понятие когомологии. И, конечно, многие, многие другие математики [8,9].
Разумеется, выше указаны далеко не все выдающиеся математики мира. В [10] содержится около 900 статей о ведущих математиках, их трудах и заслугах. Но и то, что предложено в этой статье, учитель математики не успеет предложить ученикам. Поэтому отбор материала для сообщений по истории математики — дело интереса, вкусов и увлечённости учителя математики. При этом не надо стремиться «объять необъятное».
В настоящей статье не ставится цель детальной разработки методики ознакомления учащихся с элементами истории математики, эта проблема освещена в многочисленной литературе. Но исторические сведения о математике и её творцах существенно влияют на развитие интереса школьников к математике и её изучению.
7. Ознакомление с литературой о профессии математика. Литературы о профессии математика немного. Да и знакомиться с ней (именно, знакомиться, а не знакомить!) могут лишь избранные ученики. Именно им учитель может порекомендовать поинтересоваться, а если понравится, то и прочитать работы [8,10,11].
8. Занимательная математика. По словам французского математика Блеза Паскаля «Математика — настолько серьёзная наука, что нельзя упускать возможность делать её хоть немного занимательной».
Кстати, занимательная математика увлекает не только детей, но и взрослых. Автор убедился в этом после выхода в свет первого издания «Математической шкатулки» [12] (1984 год издания), получив много писем именно от взрослых читателей. Свидетельством этому служит и перевод названной книги на 5 языков народов мира, в том числе, на китайский (1988).
Можно рекомендовать ученикам (да и учителям математики) многочисленные издания занимательных книг Я. Перельмана («Живая математика», «Занимательная геометрия», «Занимательная алгебра»), выходивших в свет ещё с начала ХХ века и до конца его, Книга БА. Кордемского «Математическая смекалка» (М.: Гос.изд. технико-теоретической литературы, 1957, 576 с., неоднократно издававшаяся и в последствии), Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки» (М.: Наука. 1982, 3-е изд., 208 с.) окажут помощь учителю в возбуждении и развитии у учеников интереса к математике.
9. В каком возрасте возникает интерес к математике? Практически невозможно указать конкретный возраст, начиная с которого человек на-
чинает интересоваться математикой, увлекаться ей. Разные люди в разном возрасте «приходят» в математическую науку. Знаменитый немецкий математик К. Гаусс, корифей математики XIX века, шутя говорил, что он научился считать раньше, чем говорить. Многие математики начали самостоятельные исследования и получили очень серьёзные математические результаты в молодом возрасте. Так, француз Эварист Галуа в ночь перед дуэлью, на которой был убит в двадцатилетнем возрасте, изложил в школьной тетради свои соображения, которые, как было установлено впоследствии (Анри Пуанкаре), явились основой нового большого раздела математики, которая и сейчас довольно быстро развивается — общей алгебры. Норвежский математик Нильс Абель установил, что алгебраические уравнения пятой и более высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, а ведь он не прожил и 27 лет. С другой стороны, известный в мире математик, основоположник Московской школы математиков Н.И. Лузин заинтересовался математикой лишь будучи студентом второго курса МГУ, но так заинтересовался, что стал ведущим математиком России. Можно приводить многие другие примеры, свидетельствующие о том, что у разных людей интерес к математике либо не проявляется совсем, либо проявляется в различном возрасте. В природе не существует зафиксированного возраста, в котором у человека возникает интерес к математике. Поэтому деятельность учителя математики в процессе обучения постоянно должна быть направлена на развитие и поддержание интереса учащихся к изучению математики.
Книги и статьи по истории развития математики и о её творцах
Рыбников КА. История математики. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Ч. 1, — 190 с.; 1963. — Ч. II. — 334 с.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с немецкого. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
Демьянов В.Н. Геометрия и Марсельеза. — М.: Знание, 1979. — 224 с.
Замечательные учёные (Сб.) / Под ред. С.П. Капицы — М.: Наука, 1980. — 192 с.
Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа.— М.: Знание, 1985. — 48 с.
Математика и кибернетика / Подписная научно-популярная серия. № 4, 1981, 7-82, 9-83, 5-84, 1084,11-85.
Глейзер Г.И. История математики в школе. IV-VI классы. — М.: Просвещение, 1981, то же VII-VIII классы. — М.: Просвещение, 1982, то же IX-X. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
Бюлер В.К. Гаусс. Биографическое исследование: Пер.с английского. — М.: Наука. 1989. — 208 с.
Винер Н. Я — математик. — М.: Наука, 1967. — 355 с.
Дорофеева А.В. Чернова МЛ. Карл Вейерштрасс. — М.: Знание, 1985. — 48 с.
М 21
Инфельд Л. Эварист Галуа. Избранник богов. — М.: Молодая гвардия, 1960. — 366 с.
Карцев В.П. Ньютон. — М.: Молодая гвардия, 1987. — 416 с.
Котек В.В. Леонард Эйлер / Пер. с украинского. — М.: Просвещение, 1961. — 107 с.
Кочина П.Я. Софья Васильевна Ковалевская. — М.: Наука, 1981. — 312 с.
Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение. 1976. — 112 с.
Прудников В.Е. П.Л. Чебышев — учёный и педагог. — М.: Просвещение, 1964. — 272 с.
Рид К. Гильберт. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. — М.: Фазис. 1999. — 256 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Толковый словарь русского языка. Т. 1. — М.: Русский язык, 1985. — 672 с.
2. Канин Е.С. Изучение касательной в курсе средней школы // Математика в школе. — 2002. — № 8. — С. 51-56.
3. Литцман В. Теорема Пифагора. — М.: Физматгиз, 1960. — 115 с.
4. Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 840 с.
5. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. — Киев: Радянська школа, 1989.
6. Канин Е.С. О практической направленности при изучении понятия и свойств функции // Вестник ВГГУ. — 2003. — № 9. — С. 116-121.
7. Шилов Г.Е. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы). — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
8. Смышляев В.К. О математике и математиках. — Йошкар-Ола, 1977.
9. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. — М.: Наука, 1991. — 240 с.
10. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 660-772.
11. Колмогоров А.Н. Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1988.
12. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. — М.: Просвещение, 1984, 1988. — 160 с. — Дрофа, 2006. — 270 с.
EXCITATION AND DEVELOPMENT OF STUDENTS INTEREST IN MATHEMATICS
Kanin E.S., Professor, Kirov, Russian Federation, E-mail: mr.kanin @ yandex.ru
ABSTRACT
Article is devoted to the activities of the mathematics teacher in the learning process, which should always be aimed at developing and maintaining students' interest in mathematics, for mathematical creativity. Excitation of interest in the study of mathematics is to draw attention of students to study mathematics, excited some curiosity about the content of mathematics, to convert it into a curiosity, a passion for mathematics content - a school subject, the direction of students' thinking on the accuracy and subtlety of mathematical reasoning. The author considers the way of excitement and interest in the development of knowledge in mathematics. Presented with a list of books and articles on the history of mathematics and its creators.
Keywords: mathematics, education, development of interest, the history of mathematics.
REFERENCES
1. Tolkovyj slovar' russkogo jazyka [Dictionary of Russian], Vol.1. Moscow: Russkij jazyk Publ., 1985, 672 p.
2. Kanin E.S. Matematika v shkole — Mathematics at school, 2002, no. 8, pp. 51-56.
3. Littsman V. Teorema Pifagora [Pythagorean theorem]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1960, 115 p.
4. Filosofskij jenciklopedicheskij slovar' [Encyclopedic Dictionary of Philosophy]. Moscow: Sovetskaja jenciklopedija Publ., 1983, 840 p.
5. Osinskaya V.N. Formirovanie umstvennoj kul'tury uchashhihsja v processe obuchenija matematike [Formation of mental culture of students in learning mathematics]. Kiev: Radjans'ka shkola Publ., 1989.
6. Kanin E.S. Vestnik VGGU — Vestnik VSHU, 2003, no. 9, pp. 116-121.
7. Shilov G.E. Prostaja gamma (ustrojstvo muzykal'noj shkaly) [Simple gamma device (musical scale)]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1963, 20 p.
8. Smyshlyaev V.K. O matematike i matematikah [On mathematics and mathematicians]. Yoshkar-Ola, 1977.
9. Gnedenko B.V. Vvedenie v special'nost' matematika [Introduction to Mathematics]. Moscow: Nauka Publ., 1991.240 p.
10. Matematicheskij jenciklopedicheskij slovar' [Mathematical Encyclopedic Dictionary]. Moscow: Sovetskaja jenciklopedija Publ., 1988, pp. 660-772.
11. Kolmogorov A.N. Matematika — nauka i professija [Mathematics - science and a profession]. Moscow: Nauka Publ., 1988.
12. Nagibin F.F., Kanin E.S. Matematicheskaja shkatulka [Mathematical box]. Moscow: Prosveshhenie Publ., 1984, 1988, 160 p., Bustard Publ., 2006, 270 p.
