Восстановление взаимно неоднозначных функций по наблюдениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 52-601

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЗАИМНО НЕОДНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ

А. А. Корнеева, С. С. Чернова*, А. В. Шишкина

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected]

Рассматривается задача восстановления взаимно неоднозначной функции многих аргументов по наблюдениям со случайными ошибками в условиях непараметрической неопределенности.

Ключевые слова: априорная информация, непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики, непараметрические оценки.

RECOVERING MUTUALLY UNBEATTED FUNCTIONS ON OBSERVATIONS

A. A. Korneeva, S. S. Chernova*, A. V. Shishkina

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]

The article studies the task of rebuilding a mutually ambiguous functions of several arguments according to the observations with random errors in the conditions of nonparametric uncertainty.

Keywords: a priori information, nonparametric model, mutually ambiguous characteristics, nonparametric estimates.

Введение. Рассматривается задача восстановления рессии Надарая-Ватсона для одномерного случая

функции по наблюдениям, когда исследуемый про- [1; 3]:

цесс описывается взаимно неоднозначными характе- * _ / * _

ристиками. Эта задача сводится к задаче аппроксима- У* (х) = £ уФ(-'-) £ Ф(-'-), (4)

ции, главной особенностью которой является отсутст- '=1 с* ' '=1 с*

вие априорной информации о параметрической струк- а для случая, если х к-мерный вектор равна:

туре модели исследуемого процесса. ,

* .К х _х' / * .К х _х' ...

Непараметрический подход. В основе этого под- (х) = £уП Ф(^_-) Ф(~_~), (5

хода лежат непараметрические оценки плотности ве- '=1 -=1 с* / '=1 -=1 с*

роятности р(х) по наблюдениям х',' =1, * . Непарамет- где х,,уь' = Г* выборка наблюдений; Ф(у) - колоко-

рич^с;кая оценка многомерной плотности вероятности лообразная функция; V - произвольная переменная;

имеет вид: с* - параметр размытости.

Р(х) =ПФ( х' _х' I, (1) При восстановлении взаимно неоднозначной

* * '_1 с* -=1 ^ с* ) функции регрессии оценка Надарая-Ватсона должна

быть изменена следующим образом [4; 5]:

xt - xi Irtsl Xt-1-xi-l IrfJ yt-1 - yi-1

g ,ф ([ ? ) ф ( ^ | ф ^

где Р*(х) - оценка плотности распределения элементов; * - объем выборки; к -размерность вектора х.

Здесь Ф^) - ядро - финитная колоколообразная ин- . с . . с . . с . (6) тегрируемая с квадратом функция, удовлетворяющая

Г* (х,) = '=' / * / /-' у /-^^, (6)

условиям [1-3]: £Ф| |Ф| х'_'с х'~1 |Ф| у,_1 у'_1

0 < Ф(v) Vv епС), 11 ф [х^у = 1,

где х,_ь у,_1 значения координат функции регрессии на предыдущем шаге ее оценивания. Нт 1 ф[ х_х' | = 8(х_х.), (2) Как показали многочисленные вычислительные

- 1 ^ 1 ' эксперименты целесообразно несколько подкорректи-

ровать следующим образом (4):

c. c

cs — параметр размытости, удовлетворяет следую-

Xt - Xi IrtS0 [ Xt-1 ~Xi-1 l/f.0 [ yt-1 - yi-

c. > 0 , lim.^ sc)k = «, lim.^ c. = 0, (3) (x) = --V Cs V Cs V c , (7)

щим условиям: g уф |——|Ф0———J Ф

gф| XlZXl Iф0 IXt-1-Xi-11 ф0|у,-^yi

Непараметрическая оценка функции регрессии по наблюдениям. Рассмотрим оценку функции рег-

i=1

Решетневские чтения. 2017

где Ф0(У) - с точностью до коэффициента повторяет Ф(У), а Ф°(у) = 1, если V < 1 и 0 в остальных случаях. В этом случае Ф°М не будет влиять на ошибку восстановления, но позволит «зафиксировать» алгоритм в предыдущей точке движения при оценивании каждой последующий точки.

В случае если х вектор размерности к. (х1 ...хк)е Як, обучающая выборка в этом случае имеет вид. хи...хкьу, I = 1,7 • При восстановлении взаимно неоднозначной функции регрессии непараметрическая оценка должна быть изменена следующим образом.

7 (X) =

О' 11Ф(^)ПФ[I8(^) (8)

-^ЛФIх',-х'ЛЛФ(х',-гх',.1 1фIу,■1) ■

где х ,-1,У значения координат функции регрессии на предыдущем шаге ее оценивания.

непараметрическую оценку (4) можно модифицировать следующим образом.

7 (х) =

П Ф0"! Ф°(-1~ ) (9)

= ¡=1 '=1_с, '=1_с,_с,

Опф°(х' х')ПФ°(х'-1 х'-1 )Ф°( 1 -1)

¡=1 '=1 с, '=1 с, с,

где Ф0(v) тоже, что и выше.

Вычислительный эксперимент. При проведении вычислительного эксперимента взаимно неоднозначные характеристики могут иметь различную форму. окружности, эллипсов и другие. Без нарушения общности, взаимно неоднозначную характеристику зависимости у(х) примем (из соображений простоты) в виде окружности.

х2 + у2 = г2, (10)

где г - радиус окружности.

Обучающая выборка формировалась следующим образом. произвольно задавалась начальная точка х' и вычислялось у'(х) в соответствии с (10). В итоге, фор-

мировалась выборка ху' = 1,, . В процессе компьютерного исследования использовались и другие взаимно неоднозначные характеристики зависимости у(х). Также в процессе наблюдения добавлялось случайное воздействие к на наблюдения у,-.

к = У Ъ (11)

где Ъ6[-1,1], уровень помех I = 0; 5; 10%.

В качестве критерия точности непараметрической оценки использовалось соотношение.

^=01у - у, (х )|/ Ок - У, (12)

¡=1 / ¡=1

где у = IО у, - среднее арифметическое; у,(х,) - непа-

7 ¡=1 ¡

раметрическая оценка; уг - истинная выборка, полученная по формуле (10).

Приведем результаты численного исследования, иллюстрирующие эффективность алгоритма. Обозначим на всех рисунках цифрой 1 - обучающую выборку, 2 - непараметрическую оценку.

Продемонстрирована работа алгоритма (6) рис. 1, 2 в различных условиях. когда объем выборки равен 100 элементам; уровень помех равен 0 и 10 %; эксперимент проводился в режиме скользящего экзамена.

В вычислительных экспериментах использовались и другие взаимно неоднозначные характеристики. На рис. 3, 4 проводился эксперимент в различных условиях. объем выборки равен 200 элементов; уровень помех равен 0 % и 10 %; эксперимент проводился в режиме скользящего экзамена.

На рис. 1-4 хорошо видно, как зависит ошибка восстановления от уровня помех и от объема выборки для окружности и более сложной фигуры.

Продемонстрируем работу модифицированного алгоритма (7) для простой функции. На рис. 5 видим, что ошибка восстановления немного меньше, чем на рис. 2. Значит, и непараметрическая оценка стала точнее. Также и в случае с более сложной функцией на рис. 6 видно, что ошибка восстановления немного меньше, чем на рис. 4.

Рис. 3. S = 200; w = 0,018

Рис. 4. S = 200; l = 10 %; w = 0,0011

Рис. 5. S = 100; l = 10 %; w = 0,0817

Рис. 6. S = 200; l = 10 %; w = 0,0009

Заключение. Основной результат настоящей статьи состоит в введении нового класса непараметрического оценивания взаимно неоднозначных функций по наблюдениям с ошибками. Это отличает задачи непараметрического оценивания от известных непараметрических оценок функции регрессии Надарая-Ватсона.

Библиографические ссылки

1. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : ТГУ, 1983. 194 с.

2. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. 526 с.

3. Васильев В. А., Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М. : Наука, 2004. 508 с.

4. Живоглядов В. П., Медведев А. В., Тишина Е. В. Восстановление неоднозначных статических характеристик по экспериментальным данным: Автоматизация промышленного эксперимента. Фрунзе : Илим, 1973. С. 32-39.

5. Чернова С. С., Шишкина А. В. О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных функций по наблюдениям // Молодой ученый. 2017. № 25. С. 13-20.

References

1. Nadaraia E. A. Neparametricheskoe otsenivanie plotnosti veroiatnostei i krivoi regressii [Nonparametric estimation of probability density and regression curve]. Tbilisi : TGU Publ., 1983. 194 p.

2. Medvedev A. V. Osnovy teorii adaptivnykh system [Fundamentals of the theory of adaptive systems] / Sib. gos. aerokosmich. un-t. Krasnoyarsk, 2015. 526 p.

3. Vasilev V. A., Dobrovidov A. V., Koshkin G. M. Neparametricheskoe otsenivanie funktsionalov ot raspredelenii statsionarnykh posledovatelnostei [Nonparametric estimation of functionals of stationary sequences distributions]. M. : Nauka Publ., 2004. 508 p.

4. Zhivogliadov V. P., Medvedev A. V., Tishina E. V. Vosstanovlenie neodnoznachnykh staticheskikh kharakteristik po eksperimentalnym dannym: Avtomatizatsiia promyshlennogo eksperimenta [Reconstruction of ambiguous static characteristics from experimental data: Automation of the industrial experiment]. Frunze : Ilim Publ., 1973. P. 32-39.

5. Chernova S. S., Shishkina A. V. [On nonparametric estimation of mutually ambiguous functions from observations]. Molodoi uchenyi. 2017. № 25. P. 13-20 (In Russ.).

© Корнеева А. А., Чернова С. С., Шишкина А. В., 2017