CC BY
36
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 4(12)
УДК 536.24.01
А.Н. Голованов, [А.Я. Кузин
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УГЛЕПЛАСТИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛОВОГО НАГРУЖЕНИЯ ОТ ПЛАЗМЕННОЙ СТРУИ1
На стандартных теплофизических приборах методом динамического калориметра определены коэффициенты теплопроводности и теплоемкости углепластиковых материалов в диапазоне температур 298 К < Т < 373 К. В результате решения коэффициентных обратных задач показано слабое влияние анизотропии на восстанавливаемые эффективные коэффициенты теплопроводности и определены их зависимости от температуры в диапазоне до 1700 К при нагреве образцов плазменной струей.
Ключевые слова: теплофизические характеристики, анизотропия, обратная задача.
Известно, что углепластиковые материалы, используемые в практике тепловой защиты [1], работают в нестационарных условиях в области высоких температур и интенсивных тепловых нагрузок. Необходимым этапом исследования перспективных углепластиковых материалов является определение их теплофизических характеристик (ТФХ). А поскольку восстанавливаемые эффективные ТФХ адекватно отражают условия проведения экспериментов и, в частности, зависят от темпа нагрева [2, 3], то вполне естественно определять их в натурных либо близких к натурным условиях с использованием эффективного аппарата обратных задач (ОЗ) [4-6]. Однако некорректность ОЗ требует применения специальных методов решения [7].
Важным фактором при решении ОЗ является выбор адекватной математической модели теплопереноса, которая зависит от структуры рассматриваемых материалов. В связи с этим возникает задача исследования влияния степени анизотропии материалов на восстанавливаемые ТФХ.
С учетом вышесказанного наиболее целесообразным подходом к определению ТФХ в широком диапазоне температур является следующий: 1) при малых температурах ТФХ находятся с помощью известных и хорошо разработанных экспериментальных методик; 2) с их учетом при высоких температурах и темпах нагрева ТФХ определяются из решения ОЗ.
1. Определение ТФХ углепластиковых материалов в диапазоне температур 298 К < Т < 373 К
При низких температурах коэффициенты удельной теплоемкости с и теплопроводности X углепластиковых материалов УКС и УП-ЦТ [9] определялись экспериментально методом динамического с- и Х-калориметров с помощью измерителей теплоемкости ИТС-с-400 и теплопроводности ИТ-Х-400. Диапазон изменения температур был ограничен интервалом 298 К < Т < 373 К из-за технических условий эксплуатации приборов и начинающегося при Т > 373 К процесса пиро-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ФАО № 2.1.1 / 2269.
лиза связующего материала углепластиков. Убыль массы при нагреве образцов до Т = 373 К составляла (3 - 5) % от начальной массы образцов, что, по всей видимости, связано с испарением влаги из образцов. Суммарные погрешности определения ТФХ не превышали 8с ^ 10 %>, 10 % . Доверительные границы резуль-
татов измерений у рассчитывались по 3 - 5 опытам при доверительной вероятности Р = 0,95. Результаты измерения ТФХ углепластиковых материалов приведены в таблице.
Теплофизические характеристики углепластиковых материалов
УКС т, к 298 323 348 373
о Д (1 3 930,72 1141,10 1214,26 1434,77
+ус, Дж/(кг-К) 71,61 30,07 32,09 32,44
т, к 300,7 328,6 355,0 380,7
X, Вт/(м-К) 0,63 0,66 0,68 0,69
+Ул, Вт/(м-К) 0,05 0,03 0,02 0,03
УП-ЦТ т, к 298 323 348 373
с, Дж/(кг-К) 732,28 1243,04 1306,52 1523,75
±Ус, Дж/(кг-К) 29,62 31,06 36,24 49,71
т, к 299,9 327,5 353,5 379,1
X, Вт/(м-К) 0,49 0,51 0,50 0,52
+Ул, Вт/(м-К) 0,04 0,02 0,03 0,02
2. Исследование анизотропии углепластиковых материалов
Для исследования анизотропии углепластиковых материалов были проведены специальные эксперименты на электродуговом подогревателе газа ЭДП-104 А/50 конструкции ИТФ СО РАН. Схема проведения экспериментов представлена на рис. 1. Испытуемые образцы 1, выполненные из углепластиков типа УКС и УП-ЦТ [9] в форме цилиндров высотой к = 11,8-10-3 м и площадью основания
£ = 167-10-6 м2, помещались в асбоцементную рубашку 2. Круговой источник тепла создавался с помощью нагрева круглого отверстия в асбоцементной ткани 3 струей низкотемпературной плазмы. Диаметр отверстия составляет ё = 3-10-3 м, толщина асбоцементной ткани 5 = 2-10-3 м. В процессе проведения экспериментов контролировались в зависимости от времени с помощью хромель-алюмелевых термопар, помещенных в электротермоизоляци чехлы 5: температура в точке г = г = 0 с внутренней стороны на оси симметрии образца - Т!(/); в точке г0 = 0, г0 = 3-10-3 м - Т2(^; в точке г = 6,5-10-3 м, г = 0 - Т3(^. При этом диаметр спая термопары 6 составлял 10-4 м, а температура поверхности в окрестности лобовой критической точки (лкт) Т„ замерялась с помощью быстродействующего фотоэлектрического пирометра 7, выполненного на основе фотодиода ФД-2. Стрелками 8 на рис. 1 показана струя воздушной плазмы, генерируемая электродуговым подогревателем газа ЭДП-104 А/50. Параметры плазменной струи составляли: среднемассовая температура Тм = 3600 К, расход воздуха Ох =0,9-10-3 кг/с, отношение коэффициента теплоотдачи а к коэффициенту удельной теплоемкости ср при постоянном давлении (а/ср) = 0,2 кг/(м2-с).
Значения яркостной температуры поверхности в окрестности лкт пересчитывались в действительную при коэффициенте эффективной степени черноты е = 0,9. Методики определения параметров плазменной струи, а также Т„, Т\-3 изложены в работах [8, 9]. Суммарные погрешности определения температур не превышали 5Т„ < 8,3 %, 8Т1-3 < 4,9 %. Обработка результатов измерений проводилась до момента времени t < 12 с, соответствующему началу прогара асбоцементной ткани. При t > 12 с на осциллограммах записи Т(/) наблюдалось уменьшение величины температуры поверхности, а визуальный осмотр поверхности при t > 12 с подтвердил наличие прогара асбоцементной ткани в окрестности центрального отверстия. Начальная температура образцов составляла 291 - 293 К. Доверительные границы строились по результатам трех опытов с доверительной вероятностью Р = 0,95.
Используя полученные экспериментальные данные, с помощью метода итерационной регуляризации [5, 10] были определены коэффициенты теплопроводности углепластиковых материалов на основе двумерной математической модели (ММ) теплопереноса в цилиндрической системе координат (рис. 1):
дТ 1 д ВТ В Т
=_ д- (гХ г I-)+д~г -д-); ()
дt г дг дг дг дг
t = 0: Т = Т0; (2)
г = к: — = 0, при ё/2 < г < В/2; (3)
дг
Т = Т„, при 0 < г < ё/2;
г = 0: дТ = 0; (4)
г = 0: — = 0; (5)
дг
г = В/2: — = 0, (6)
дг
где Т, г, г - температура и цилиндрические координаты соответственно; Я,„ \ -
главные коэффициенты теплопроводности ортотропного материала, подлежащие определению.
Функционал, характеризующий отклонение расчетных температур от экспериментальных, выбирался в виде
где Т, Т - расчетная и экспериментальная температуры; N - число датчиков температуры.
Отметим, что указанный подход может быть легко перенесен на изотропный случай, когда Хг = Хг. При решении ОЗ считалось, что восстанавливаемые коэффициенты Хг и Хг являются величинами постоянными, а выход из итерационного цикла осуществлялся по числу итераций, согласованному с погрешностью ЭД в 5 %. Расчеты в предположении Хг Ф Хг выявили малость степени анизотропии материала в указанном диапазоне температур из-за близости полученных коэффициентов теплопроводности к ранее полученным коэффициентам при допущении изотропности материала и постоянства восстанавливаемой характеристики.
Следует отметить, что при увеличении температурного фактора и интенсивности прогрева по глубине материала следует ожидать заметного влияния Т на X. Поэтому из решения ОЗ в рамках одномерной математической модели (ММ) были определены зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры для углепластиковых материалов УКС и УП-ЦТ в предположении их изотропности при известных коэффициентах удельной теплоемкости и плотности. Искомые зависимости аппроксимировались квадратичными параболами Х(Т) = Х0 + /¡(Т-То) + + к2(Т - Т0)2. В качестве Х0 использовалось значение, найденное экспериментально при низких температурах на приборе ИТ-Х-400, что позволило снизить некорректность коэффициентной ОЗ. Параметры к1, к2 определялись из условия минимума функционала методом сопряженных градиентов [4]. Итерационный процесс поиска параметров завершался при достижении функционалом уровня суммарной погрешности, состоящей из погрешности экспериментальных данных и вычислительной погрешности. Теоретические значения температур в функционале определялись из решения прямой задачи (ПЗ) итерационно-интерполяционным методом [11]. При решении ОЗ и ПЗ в качестве граничных условий использовались экспериментальная температура на оси внешней нагреваемой поверхности образца и условие адиабатичности на внутренней поверхности. Экспериментальная температура во внутренней точке г = 0, г = 3-10-3 м использовалась в качестве контрольной при решении ОЗ. Плотность материалов определялась экспериментально.
На рис. 2 для образцов из материала УКС сплошными кривыми представлены экспериментальные температурные зависимости на нагреваемой поверхности г=0, г = 7,5-10-3 м - рис. 2, а и в точках с координатами г = 0, г = 3-10-3 м (кривая 2); г = 0, г = 0 (кривая 1) - рис. 2, Ь. Для этой серии экспериментов нагрев образцов осуществлялся не «локально», а со всего верхнего торца цилиндра. Плазменная струя натекала на образец без асбоцементной ткани 3 (см. рис. 1). На рис. 3, а сплошными кривыми приведены известные зависимости ТФХ материала УКС от
N 1т
1)
і=1 0
3. Определение коэффициентов теплопроводности в зависимости от температуры
температуры. Штриховой кривой на этом рисунке изображена зависимость Х(Т), полученная из решения ОЗ при следующих значениях параметров: Х0 = 0,7 Вт/(м-К); Т0 = 300 К; р = 1147 кг/м3. Величины оптимизируемых параметров, соответствующие минимуму функционала, оказались равными: к1 = 6,688-10-5, к2 = 1,605-10-8. Штриховой кривой на рис. 2, Ь показана температура в точке г = 0, г = 3-10-3 м, полученная из решения ПЗ с найденной из ОЗ зависимостью Я,(Т). Наблюдается хорошее согласование расчетных и экспериментальных значений температур.
Т, К
500
400
300
ь
/
л/
0
8 і, с
Рис. 2. Температура нагреваемой поверхности
1,8
1,4
300 700 1100 Т, К
1,0
300 700 1100 Т, К
Рис. 3. Зависимости теплофизических характеристик материала УКС от температуры
Рис. 4. Зависимость Х(Т) для материала УП-ЦТ
Используя ЭД на рис. 4, из решения ОЗ при значениях параметров Х0 = = 0,55 Вт/(м-К); Т0 = 300 К; р = 1146 кг/м3 была определена зависимость Х(Т) для материала УП-ЦТ (штриховая кривая на рис. 3, Ь). Решение ПЗ с этим коэффициентом теплопроводности показало удовлетворительное согласование расчетных (штриховая) и экспериментальных (сплошная кривая) значений температур во внутренней точке образца г = 0, г = 3-10—3 м.
Сплошными кривыми на рис. 3, Ь представлены известные зависимости Х(Т) и с(Т) для материала УП-ЦТ. Значения оптимизируемых параметров в точке минимума функционала оказались равными: к = 4,204-10—3, к2 = —1,243-10“9. Необходимость определения коэффициентов теплопроводности материалов УКС и УП-ЦТ подтверждается результатами решения ПЗ с известными (рис. 3) коэффициентами теплопроводности. Так, максимальное отличие полученных в этом случае расчетных значений температур от экспериментальных во внутренней точке образцов составило 50 градусов для материала УКС и 35 градусов — для материала УП-ЦТ при общем невысоком уровне температур (рис. 2, Ь и 4, Ь).
Авторы благодарят за помощь в проведении вычислений Кима Л.В.
Выводы
1. В ходе проведенных теплофизических испытаний на стандартных теплофизических приборах ИТ-Х-400 и ИТС-с-400 определены их эффективные коэффициенты теплопроводности и теплоемкости углепластиковых материалов УКС и УП-ЦТ в диапазоне температур 298 К < Т < 373 К.
2. По результатам измерений температур углепластиковых материалов, помещенных в струю низкотемпературной плазмы, и решения методом итерационной регуляризации двумерной коэффициентной ОЗ показано слабое влияние анизотропии на восстанавливаемые эффективные коэффициенты теплопроводности.
3. Из решения одномерной коэффициентной ОЗ определены функциональные зависимости эффективных коэффициентов теплопроводности от температуры.
ЛИТЕРАТУРА
1. ПолежаевЮ.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 391 с.
2. Несмелов В.В. Влияние темпа нагрева на характеристики теплопереноса при термической деструкции фенольного углепластика // Физика горения и взрыва. 1993. Т. 29. № 6. С. 53—58.
3. Зинченко В.И., Несмелов В.В., Якимов А.С. Исследование термохимического разрушения углефенольного композиционного материала в потоке высокотемпературного газа // Там же. 1995. Т. 31. № 1. С. 80—88.
4. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.
5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
6. Гришин А.М., Зинченко В.И., Кузин А.Я. и др. Решение некоторых обратных задач механики реагирующих сред. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. 418 с.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.
8. Голованов А.Н. Теплообмен плазменной струи и полусферической стенки при наличии вдува газа-охладителя через круглые отверстия // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 2. С. 18—23.
9. Голованов А.Н. О влиянии периодических возмущений на процессы термохимического разрушения некоторых композиционных материалов // Физика горения и взрыва. 1998. № 3. С. 67—73.
10. Ким Л.В. Метод итерационной регуляризации при решении коэффициентной обратной задачи теплопроводности // Механика реагирующих сред: сб. науч. тр. Новосибирск: Наука, 1989. С. 235-250.
11. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н. и др. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 320 с.
Статья принята в печать 01.11.2010 г.
Golovanov A.N., |Kuzin A.Ya. "RECONSTRUCTION OF EFFECTIVE COEFFICIENTS OF THERMAL CONDUCTIVITY OF CARBON-FILLED PLASTIC MATERIALS UNDER THE CONDITIONS OF A THERMAL LOADING FROM A PLASMA JET. The coefficients of thermal conductivity and heat capacity of carbon-filled plastic materials were determined by the dynamic calorimeter method on standard thermophysical devices over the range of temperatures 298 To < Т < 373 To. As a result of the solution of the coefficient inverse problems, anisotropy is shown to have a weak effect on the restored effective coefficients of thermal conductivity, and the coefficients are determined as functions of temperature over the range to 1700 To are at a heating of samples by a plasma jet.
Keywords: thermophysical characteristics, anisotropy, inverse problem.
GOLOVANOV Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University). E-mail: [email protected] \KUZINAleksandr Yakovlevich] (Tomsk State University)
