CC BY
64
УДК 519.63+539.313 Рогалев Алексей Николаевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН,
тел. (8391)249-83-29, 8-962-074-5281, [email protected]
Доронин Сергей Владимирович,
к. т. н., доцент, заведующий лабораторией «Механика деформирования и разрушения»,
СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН, тел. 8923-315-2723, e-mail: [email protected]
ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ ОЦЕНОК НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ
A. N. Rogalyov, S. V. Doronin
ISSUES OF CONVERGENCE OF THE FINITE ELEMENT ESTIMATIONS OF STRESS STATE OF LOAD-BEARING STRUCTURES WITH STRESS CONCENTRATORS
Аннотация. Практическая деятельность по решению задач анализа напряженного состояния силовых конструкций с концентраторами напряжений требует развития численных методов моделирования элементов конструкций в области зон высоких градиентов напряжений, обусловленных, в частности, конструктивными концентраторами. Показано, что для геометрически сложных элементов конструкций широко применяемые подходы к реализации метода конечных элементов не гарантируют сходимости численного решения.
В статье рассматриваются задачи, связанные с вопросами надежности вычислений с помощью метода конечных элементов. Они зависят как от надежности математической постановки задачи, так и от точности численного решения поставленной задачи. Рассматриваются практические приемы оценки погрешности вычислений. В качестве перспективных путей обеспечения сходимости и достоверности результатов моделирования предлагаются подходы теории технической устойчивости дифференциальных уравнений, специальные вычислительные процедуры, применяемые на стадиях пре- и постпроцессинга.
Ключевые слова: численные решения, концентрация напряжений, силовые конструкции, численная сходимость, техническая устойчивость.
Abstract. Practical activity for solving problems of analysis of stress state of load-bearing structures with stress concentrators demands developing numerical methods for simulating high gradient stress zones of structural elements due to structural concentrators. It is shown that widely used approaches to finite element method realization do not make sure convergence for numerical solution for geometrically complex structural elements.
The paper is dedicated to problems associated with reliability of calculations by means of finite element method. They depend on validity of mathematical problem definition and adequacy of numerical solution of given problem. Practical techniques for calculating errors assessment are discussed. In the capacity of perspective path to guaranteeing convergence and validity of simulation results approaches of theory for differential equations technical stability and special computational procedures on pre and post processing stages are proposed.
Keywords: numerical solutions, stress concentration, load-bearing structures, numerical convergence, technical stability.
Введение
Метод конечных элементов (МКЭ) представляет обобщение проекционного метода Галер-кина и вариационного метода Ритца. Поэтому он применим к широкому классу прикладных задач, ставящихся в вариационной форме, а также к задачам, описываемым уравнениями в частных производных. Суть метода хорошо известна [1-5], и заключается в том, что область (одно- , двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей. Эти подобласти называются конечными элементами (КЭ), а сам процесс разбивки - дискретизацией. Исходная задача преобразуется к эквивалентной вариационной формулировке, а затем ищется приближенное решение
вариационной задачи в виде комбинации ^ ф ^
]
выбранных базисных функций ф^. Коэффициенты весов д. вычисляются из вариационного принципа, соответствующего задаче и сводящегося к чис-
ленному решению системы дискретных уравнений относительно этих коэффициентов. В МКЭ базисные функции кусочно-полиномиальные, равные нулю на большей части области и отличные от нуля только в окрестности одного из узлов.
Актуальность вопросов сходимости МКЭ в задачах анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) силовых конструкций обусловлена систематически возникающими затруднениями вычислительного характера, предположительно связанными с проблемами устойчивости и сходимости численных решений. Эти затруднения наблюдаются для конструкций различного типа, при различных видах их деформирования, что, на наш взгляд, свидетельствует об универсальном характере этих проблем.
Дальнейшие рассуждения основаны на наличии двух принципиально отличных подходов к решению МКЭ задачи о НДС силовых конструкций.
Механика
1. Подход, основанный на описании конструкции уравнениями равновесия эллиптического типа
Первый (классический) подход к задаче предполагает анализ бесконечно малого элемента заданной области О . Соотношения, связывающие основные искомые функции и достаточные для их определения разрешающие уравнения будут дифференциальными уравнениями в частных производных, если рассматривается дву- или трехмерная область. При анализе сложных силовых конструкций рассматриваются случаи, когда эти конструкции описываются в перемещениях уравнениями равновесия эллиптического типа. Область определения в(л) оператора задачи в энергетической норме (и,у)л ={Лы, V), ||у|| у)л пополняется до гильбертова пространства Нл (энергетического пространства оператора Л ), т. е. до пространства классов эквивалентных, фундаментальных по Коши в норме последовательностей.
Как правило, рассмотрение МКЭ в этом подходе, а также анализ сходимости проводится для однородных краевых задач дифференциального уравнения Ьи = / с эллиптическим симметрическим и положительноопределенным в ь2 (о) оператором
(
m д t ^cu(x)
\
Lu - а ,(x)
¿.и cx v '
г,]=\ дХ, У
• = (xi,--,xm
+
а0 (x)- u(x),
J У
(1)
X = (*!
Эти задачи имеют в соответствующем энергетическом пространстве НА эквивалентные проекционную
и е Н л : (u,v)л = f (v) У v е Нл (2) и вариационную
u е HA : F(u) = min F(v),
vgha
F(v)-(v,v)a -2f(v)
(3)
формулировки, где (и, V - скалярное произведение в Нл.
Начиная с ранних работ [1-3] в теории МКЭ получены результаты по сходимости, т. е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Рассматривались первая краевая задача (Дирихле), вторая и третья краевые задачи. Предполагалось, что выполнены следующие неравенства:
для у - постоянной положительной определенности в пространстве Лебега Ь2 (о) оператора Ь
(у, v)л > у ■ (у, V) = у| IV2 dx V V е Нл ,
О
для энергетической нормы, эквивалентной норме
2 I |2
+ V
v v е н
3 0 <Уо <уг: Уо|Н|2 ^v)л <
Для этого полностью разработанного подхода МКЭ решение задачи (2) методом Галеркина (или эквивалентной задачи (3) методом Ритца) состоит из 4 этапов:
1) разбиения области О на конечное число элементов хк малого объема;
2) выбора базисных функций на элементе тк области О , определяемых конечным числом параметров (элемент в совокупности с формой функции составляют базисный конечный элемент);
3) определения конечномерного подпространства V е НА, функции из которого имеют заданную форму на каждом элементе тк;
4) решения эквивалентных конечномерных
задач:
и(п)е¥п : (и«,= f (V) V Vе¥п , (4)
или
u(n) ev
(5)
\V : F(uW)= minF(v),
n v ' veV
n
F(v)-(v,v)a -2f (v). Оценка приближения решения u e Нл с помощью леммы Вишика - Сеа [3] строится как функция u
(n)
eVn:
u - u
(n)
<
u - v
(n)
V Vn'eV .
(6)
На основе оценки (6) доказаны теоремы сходимости МКЭ в норме соболевского пространства Н 1 , в Ь2 -норме, а также в норме пространства С (о) [5], означающие равномерную сходимость численного решения.
Рассмотренный классический подход применим к задачам, допускающим описание в виде операторного уравнения. Таковыми являются те задачи, уравнения равновесия которых являются эллиптическими в силу возможности векторного описания и суммирования всех действующих на элемент тела сил. В тех же случаях, когда рассматриваемое тело имеет настолько сложные границы, что проекции действующих на него сил затруднительно описать и просуммировать в век-
V
Q
торной форме, уравнения равновесия принимают интегро-дифференциальную форму и для них доказательств сходимости нет. Последнее обстоятельство ограничивает область математически обоснованного применения классического подхода.
2. Подход, основанный на описании конструкции совокупностью конечных элементов с независимым описанием их свойств жесткости
Второй подход к применению МКЭ в том случае, когда задачи не допускают записи в виде операторного уравнения, заключается в следующем: непрерывное тело описывается как совокупность конечных элементов, свойства жесткости каждого из них рассматриваются независимо от свойств иных элементов (например [6, 7], а также многие другие работы). На границах между конечными элементами выбираются некоторые точки - узлы, перемещения узлов в направлениях координатных осей принимаются в качестве основных неизвестных конечного элемента. Перемещения (деформации, напряжения) внутри каждого конечного элемента устанавливаются, исходя из перемещения узлов этого конечного элемента. Для сплошного тела эту задачу можно решить численно, приняв некоторые предположения о типе поля перемещений в элементе. Это означает подбор некоторого множества функций, которые позволяют аппроксимировать поле перемещений в элементе. Такой выбор функций выполняет самую важную задачу в реализации МКЭ. Если этот выбор сделан, то напряженное и деформированное состояние однозначно определяется узловыми перемещениями. Поэтому конечный элемент не просто малый элемент области, но также множество заданных в нем аппроксимирующих функций.
Шаги решения задачи по МКЭ:
1) построение функционала полной потенциальной энергии. Функционал энергии для всей рассматриваемой области здесь представляется в виде суммы функционалов отдельных ее частей -конечных элементов;
2) выбор формы КЭ и выбор базисных функций;
3) построение матрицы жесткости и приведение местной нагрузки к узловой для каждого КЭ;
4) построение канонических уравнений;
5) решение канонических уравнений (определение степеней свободы системы);
6) определение компонентов НДС (перемещений, напряжений) по области КЭ, т. е. в произвольных заранее выбранных местах.
Чтобы построить функционал полной потенциальной энергии, нужно знать дифференциальные операторы, связывающие перемещения с напряжениями и деформациями. Наиболее общее выражение имеют операторы трехмерного напряженного состояния. Принцип потенциальной энергии формулируется так: из множества кинематически допустимых систем перемещений, отвечающих заданным граничным условиям, те, которые удовлетворяют условиям равновесия, придают потенциальной энергии системы стационарное значение. В состоянии устойчивого равновесия
величина
П = и - Ж
минимальна.
Здесь
и =
1 С
= —J оеЛО - работа внутренних сил (потенци-
альная энергия деформации) в области О, Ж — | рийО - работа внешних сил (потенциал
О
внешних сил); о, е - функции напряжений и деформаций. В общем случае это векторные функции, и - векторная функция перемещений по области О.
В общем, для конкретной задачи функционал полной энергии запишется по-своему, но строится на общих принципах. Выражения для функционалов полной потенциальной энергии элементов различных типов известны и широко представлены в специальной литературе.
Решить задачу - значит найти такую систему перемещений, которая доставляет минимум функционалу полной потенциальной энергии системы. Исходные данные для решения задачи: 1) физические и геометрические характеристики рассчитываемой системы на области О ; 2) граничные условия; 3) внешние нагрузки р; 4) дифференциальные операторы, связывающие напряжения о с перемещениями и . Искомые функции перемещений приближенно представляют в виде набора
1=и
компонентов: и = ^ дг фг , где фг - заранее вы-
1=\
бранные аппроксимирующие функции, базисные функции, дг - неизвестные коэффициенты при координатных функциях (степени свободы). Эти коэффициенты определяются из условия минимума функционала, т. е. уравнений вида
^ П = Аи(д)-Аж(д) = 0, г = 1,2,...,п.
Для данного подхода отсутствуют полностью доказанные теоремы сходимости численных решений. Проводится в определенной мере эмпирический анализ устойчивости, сходимости и точ-
Механика
ности МКЭ, определяющийся в основном погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Считается принятым, что на точность решений влияют ошибки округления и погрешность приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, а также ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов, именно от выполняемого пользователем выбора (построения) сетки КЭ.
Рассматриваемый подход позволяет решать задачи в тех случаях, когда рассматриваемое тело имеет настолько сложные границы, что проекции действующих на него сил затруднительно описать и просуммировать в векторной форме. В этом случае уравнения равновесия принимают интегро-дифференциальную форму.
3. Практический прием оценки погрешности
Однако общий метод оценки погрешности МКЭ на сегодня не известен, и точное решение в реальных задачах обычно не известно. Поэтому наиболее часто для оценки погрешности используют следующий прием: выполняют несколько расчетов при различных разбиениях области КЭ, по результатам этих расчетов строится зависимость рассчитанных напряжений (перемещений, деформаций) от размера элемента, затем выполняется экстраполяция на случай размера элемента, стремящегося к нулю.
Считается, что эти ошибки аппроксимации можно уменьшить, если гарантировать:
1) непрерывность искомой функции и ее производных при переходе через границу КЭ до степени т -1 включительно (т - наибольший порядок производных искомой функции, содержащихся в функционале);
2) при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;
3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;
4) удовлетворение условий совместности некоторых неосновных переменных (например, напряжений, если основные неизвестные - перемещения) на границах КЭ, а также граничных условий в рассматриваемой области;
5) исключение деформаций при перемещениях КЭ как жесткого целого.
Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический
смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. Еще одна важная особенность МКЭ в рассмотренной постановке заключается в подборе поля перемещений так, чтобы минимизировать некоторый функционал, имеющий энергетический смысл. Тогда точность определения упругой энергии, накопленной в конструкции при заданных нагрузках, оказывается выше, чем точность определения перемещений. Поскольку напряжения определяются по деформациям, получаемым дифференцированием перемещений, и ошибки численного дифференцирования могут играть заметную роль, то точность определения напряжений оказывается ниже, чем точность определения перемещений.
С учетом ошибок округления ситуация оказывается более сложной: при большом числе конечных элементов решение может расходиться из-за накапливающихся ошибок округления, даже если условия сходимости выполняются.
4. Перспективные подходы к обеспечению сходимости
В случаях оценки НДС геометрически сложных конструкций особенно важен учет влияния различных факторов на точность численного решения МКЭ. Это связано с тем, что в этих задачах доступно только определение такой системы перемещений, которая доставляет минимум функционалу полной потенциальной энергии системы, то есть реализуется второй подход МКЭ.
В качестве таких факторов необходимо рассматривать физические и геометрические характеристики рассчитываемой системы на области О ; граничные условия; внешние нагрузки р ; дифференциальные операторы, связывающие напряжения а с перемещениями и .
При анализе факторов сходимости учитывается также то, что при сгущении сетки число узловых перемещений (т. е. степеней свободы тела) увеличивается.
Важно установить, при каких условиях это будет сопровождаться сходимостью численного решения к точному в соответствии с величиной полной энергии системы. Если в пределе оно будет стремиться к своему точному значению, то перемещения, деформации и напряжения также будут стремиться к своим точным значениям в каждой точке тела.
Обозначим через и матрицу перемещений, найденных методом конечных элементов, а через и 0 - матрицу перемещений, соответствующих точному решению задачи. Так как действительные
перемещения и 0 минимизируют полную энергию системы V , то V(и)> V(и 0 ).
Рассмотрим далее деформированное состояние тела, составленного из конечных элементов, при которых узловые перемещения совпадают с перемещениями соответствующих точек тела, взятыми из точного решения. Обозначим матрицу получающихся при этом перемещений в пределах каждого элемента через и *. Полная энергия системы, деформированной подобным образом, будет удовлетворять неравенству V(и*)> V(u), так как при конечно-элементной идеализации минимум полной энергии соответствует перемещениям
и . Следовательно, имеем v(u*)> V(u)> v(u0), и если в пределе v(u* v(u0), то подавно будет
V (и V (и 0 ).
Таким образом, для доказательства (проверки) сходимости конечно-элементной модели достаточно положить узловые перемещения равными их значениям в точном решении и показать, что при уменьшении размеров конечных элементов полная энергия такой системы будет стремиться к своему точному значению.
Важно отметить, что необходимость решения сложных задач (характеризующихся сложной геометрической конструкцией, неоднородностью сплошной среды и наличием областей нерегулярности решений) потребовала разработки метода конечных суперэлементов (МКСЭ), примером которых являются конечные суперэлементы, разрабатываемые Р. П. Федоренко, М. П. Галаниным и другими исследователями [8-10]. При этом размеры областей проявления таких особенностей значительно меньше размеров расчетной области. Развиваемые в этих работах методы позволяют моделировать физические процессы, опираясь на теоретические зависимости погрешностей расчета МКСЭ и характерные свойства его аппроксимаций. Для МКСЭ выведены априорные оценки погрешностей приближений производных и получены условия, при которых метод обладает сходимостью. Эти результаты в основном получены для задачи Дирихле для уравнения Лапласа, а также на общий класс линейных эллиптических задач. Они сохраняют свою справедливость и для произвольного непрерывного на границе интерполянта, определяющего возможные варианты метода. Априорные оценки погрешности МКСЭ определяются локальной регулярностью решения МКСЭ в окрестностях угловых точек разбиения. Для достижения поставленных целей использованы теория весовых пространств Соболева и Кондратьева,
теория эллиптических задач в областях с угловыми точками, теория интерполяции пространств функций и задачи определения насыщаемости.
Заключение
На практике развиваются два подхода к численной реализации МКЭ - на основе дифференциальных уравнений равновесия и на основе вариационных формулировок, отличных от функционала в перемещениях для геометрически сложных конструкций. Поэтому иногда понятие численной сходимости не может использоваться для достоверного анализа НДС таких конструкций в силу отсутствия доказательства сходимости.
Классические оценки скорости сходимости основаны на асимптотических свойствах решений. При решении прикладных задач исследования НДС более важными оказываются не столько указанные асимптотические свойства, сколько оценка степени близости к точному приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов с конечной величиной шага сетки.
В качестве идеологической базы исследования точности решения в данных условиях может рассматриваться теория технической устойчивости. Однако существующие методы исследования практической устойчивости могут быть применены только в случае, когда исследуется решение дифференциального уравнения, - в случае подхода, основанного на описании конструкции уравнениями равновесия эллиптического типа. В противоположном случае - использовании интегро-дифференциальных уравнений равновесия - необходима разработка альтернативного подхода к исследованию практической устойчивости.
В качестве инструментальных средств обеспечения практической сходимости целесообразно рассматривать следующие подходы, которые условно можно отнести к стадиям пре- и постпро-цессинга с использованием одного из современных программных комплексов конечно-элементного моделирования.
Исследования на стадии препроцессинга включают в себя использование и развитие вычислительных технологий построения специализированных базисных функций [11], обеспечивающих повышенную точность в условиях высоких градиентов деформаций и напряжений. Первостепенная важность этого подхода подчеркивается тем, что при достаточно высоком порядке аппроксимации системы базисных функций МКЭ имеет сходимость не только в обобщенном энергетическом смысле, но и для отдельных точек, даже при нали-
Механика
чии отдельных сингулярностей в геометрии, граничных условиях, нагрузке [3, 12].
На стадии постпроцессинга предполагается выполнение процедур [13, 14], направленных на проверку технической устойчивости и нахождение верхней границы ошибки с помощью неявного метода невязки ошибки. Это обеспечивает определение истинной нижней и точности верхней границ ошибок.
Таким образом, предлагается развитие комплексного подхода к исследованию и обеспечению практической сходимости, включающего в себя контроль и установление случаев технической неустойчивости, использование вычислительных технологий, направленных на получение оценок и уменьшение величины ошибок численных решений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1977. 351 с.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекцион-но-сеточные методы. М. : Наука, 1981. 416 с. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. : Мир, 1982. 512 с. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Наука, 1970. 512 с. 5. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). Новосибирск : НГУ, 1999. 166 с.
2.
3.
4.
6. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М. : ДМК, 2007. 600 с.
7. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительства летательных аппаратов. М. : Высш. шк., 1985. 392 с.
8. Федоренко Р. П., Страховская Л. Г. Об одном варианте метода конечных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19, № 4. С. 950-960.
9. Климов А. Д., Страховская Л. Г., Федоренко Р. П. Метод конечных суперэлементов и гомогенизация // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43, № 5. С. 697-712.
10. Галанин М. П., Лазарева С. А. Метод конечных суперэлементов и его применение для решения задач науки и техники // Математическое моделирование. 2013. Т. 25, № 6. С. 32-40.
11. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л. : ЛГУ, 1988. 336 с.
12. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. К. : Факт, 2005. 344 с.
13. Zhang Q., Banerjee U., Babuska I. Higher Order Stable Generalized Finite Element Method // Numerische Mathematik. 2014. № 128. P. 1-29.
14. Babuska I., Strouboulis T., Gangaraj S. Guaranteed Computable Bounds for the Exact Error in the Finite Element Solution Part I: One-dimensional Model Problem // Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. V. 17. P. 51-79.
УДК 629.4.015
Цвик Лев Беркович,
д. т. н., профессор кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: [email protected]
Зеньков Евгений Вячеславович, ассистент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: [email protected]
Еремеев Валерий Константинович, к. т. н., доцент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: [email protected]
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ
L. B. Tsvik, E. V. Zenkov, V. K. Eremeev COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL STRENGTH CRITERIA OF MATERIAL IN THE BIAXIAL STRETCHING CONDITIONS
Аннотация: В статье предлагается методика прочностного расчета, включающая учёт вида напряжённо-деформированного состояния (НДС) в возможном очаге разрушения конструкции, основанная на использовании критериального уравнения предельного состояния Писаренко - Лебедева. Уточнение расчёта в предлагаемой методике достигается за счёт применения в ней экспериментальных данных о разрушении лабораторного образца, НДС которого в момент разрушения моделирует в своей рабочей зоне НДС рассматриваемого элемента реальной конструкции. На первом этапе методики осуществляется расчёт НДС для очага возможного разрушения и выбор соответствующих лабораторных образцов для механических испытаний, на втором - испытание до разрушения выбранных образцов на типовой одноприводной машине и определение по результатам этих испытаний прочностных параметров, входящих в рассматриваемое критериальное уравнение. Апробация предложенной методики проводится с помощью специально разработанного лабораторного призматического образца, позволяющего получать в рабочей зоне двухосное растяжение за счет контактных реакций, вызванных взаимодействием с дополнительной опорой.
Ключевые слова: двухосное растяжение, критерии прочности, образцы для прочностных испытаний, контактное взаимодействие, напряженно-деформированное состояние, метод конечных элементов, разрушение образцов.
Abstract. The paper proposes a technique of strength calculation, including accounting kinds of stress-strain state (SSS) in a pos-
