CC BY
35
УДК 533.95
ВОЛНЫ ВАН КАМПЕНА В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЛАЗМЕ
А. М. Игнатов
Получены точные решения нестационарного уравнения Власова в виде волн Ван Кампена.
В теории плазмы часто возникает проблема исследования эволюции малых возмущений на фоне изменяющейся функции распределения частиц. Причины, вызывающие изменение фоновой функции распределения, могут быть самыми разными, например, какие-либо нелинейные процессы или нестационарность внешнего ионизатора. В насто ящей работе рассматриваются возмущения достаточно высокой частоты, когда можно пренебречь движением ионов и диссипативными процессами. В этих условиях уравнение Власова для электронов записывается в виде
~7Г7 + V— + — Е--- = О,
ог ох т оу
Ц=4 «/Л/. (1)
При этом предполагается, что если полное число электронов в процессе эволюции фоновой функции распределения I) изменяется, то соответствующим образом изменяется компенсирующий ионный фон.
Существует два подхода к решению уравнений (1) с постоянной функцией распределения Г0(и) - это метод Ландау, использующий преобразование Лапласа и метод Ван Кампена [1], который использует разложение по собственным функциям линейного оператора (1). Оба этих метода подробно обсуждаются, например, в [2, 3]. В настоящей работе исследуются аналоги функций Ван Кампена для нестационарного уравнения (1).
Полагая, что фоновая функция распределения Ео(у^) однородна в пространстве, можно считать все величины зависящими от координат в виде ехр(г'А;х). Уравнение (1) удобно записать в виде
^^ + ¿Ь/К *) = -е2К *)«(*), (2)
где
п
- возмущение плотности, а
(*) = /А;/(М) (3)
4тг2е2 дРр(М)
В стационарном случае величина бг(«) фактически совпадает с мнимой частью продольной диэлектрической проницаемости: 1тб(а>, к) = е2(ш/к). Наряду с е2(ь, введем также функцию
7Г У V' — V
где интеграл понимается в смысле главного значения. Очевидно, что функции = 61(1;,^) е2(и,£) аналитически продолжаются в верхнюю и, соответственно, нижнюю полуплоскости комплексных скоростей и при этом
б'
7Г У г; — г
где сг = signIm(z). В дальнейшем функции голоморфные в верхней или нижней полуплоскости скоростей снабжаются индексом а = ±. Рассмотрим следующую функцию распределения
к °°
/(М) = / ^^'-'ЧОЫМ') + - (7)
I<*V I) - г 51ёп(т)е2(г;, *)) = ¿(г), (8)
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция распределения (7) удовлетворяет уравнению Власова (2). С другой стороны, из дисперсионного соотношения (5) следует, что
к_ 2%
поэтому подстановка (7) в (3) приводит к тождеству п(^) = п(£). Таким образом, функция (7) дает точное решение нестационарного уравнения Власова (2), причем соответствующая плотность является произвольной функцией времени.
В частности, можно выбрать п(£) в виде гармонической функции п(£) = ехр(—гки£)\ соответствующий набор функций (7) будем обозначать как
, со
В стационарной среде, когда t\y2 не зависят от t, интеграл (9) легко вычисляется: V^\v,u,t) = e~ikut — + - u)) , (10)
[ 7Г V — U
что с точностью до обозначений и множителя e~lkui совпадает с известным решением Ван Кампена. Таким образом, функции V(v,u,t) являются обобщением функций Ван Кампена на нестационарный случай.
Следует отметить, что решения (7, 9) уравнения (2) формально нарушают принцип причинности - функция распределения (7) в момент времени t зависит от 6ji2 не только в предыдущие, но и в последующие моменты времени. То же, впрочем, относится и к методу Ван Кампена в стационарном случае и вообще к использованию интегральных преобразований для решения эволюционных уравнений. Применяя, например, преобра зование Лапласа или Фурье к линейному эволюционному уравнению с постоянными коэффициентами, необходимо быть уверенным, что в дальнейшем с этими коэффициен тами ничего не случится.
Общее решение уравнения (2) можно переписать теперь в виде суперпозиции волн Ван Кампена
/КО = / duV(v,u,t)g(u), (11)
где д(и) - произвольная функция. Легко видеть, чтод(и) и n(t) связаны преобразованием Фурье
n(0 = / due~ikutg{u). (12)
Полученные решения означают, что зная весь ход временной эволюции фоновой функции распределения F0(v,t), можно задать возмущение функции распределения в момент времени t = 0 так, чтобы плотность n(t) была заданной функцией времени. Явное выражение для такого начального возмущения задается выражением (7) при t = 0.
Рассмотрим теперь начальную задачу для уравнения (2). Для дальнейшего удобно представить функцию распределения f(v) в виде разности f(v) — — где
функции аналитически продолжаются в верхнюю или нижнюю полуплоскости
комплексных скоростей:
«^/Д (13)
2тгг J v — z
—оо
где а = sign Imz. Разбивая также функцию д{и) на ± части и используя (11), легко убедиться, что
/<+>(г, t) = J du Vl+\z, u, t)g(+\u), (14)
где
V(+\z,u,t) = f- / ¿fe-'^H^+J^^ ^ (15)
Z7T У 0
и определяется выражением (6). Аналогичные выражения можно написать и
для (-) частей, но в дальнейшем они не понадобятся.
Пусть в момент времени t = О начальное условие для уравнения (2) имеет вид / = /оH = fo+\v)—fo~\v)- Зная зависимость n(t) при t > О, простым интегрированием уравнения (2) легко получить функцию f(v,t). В свою очередь, плотность при t > 0 в соответствии с (12) определяется функцией Таким образом, начальная задача
сводится к решению интегрального уравнения (14) при t = 0:
À+\z) = J duV(+\z,u,0)gl+\u). (16)
В частности, в стационарной среде 0) = 1/27Г e^+\z)/{z—u) и уравнение (16)
сводится к алгебраическому /o+'(z) = В общем же виде решить уравне-
ние (16), по-видимому, невозможно. Тем не менее, некоторую информацию о характере решеений получить удается.
Поскольку в силу (12) = Аг/2тг /0°° dtexp(ikut)n(t), совершая одностороннее
образование Фурье, можно переписать уравнение (16) в виде
t
fo(t) = J dt'R(t-t\t')n(t'), (17)
о
где f0(t) = f dzexp(-ikzt)f^+}(z) и
R(t,f) = A / dze~ikzte^\z,t'). (18)
ZTT J
В стационарной среде асимптотика n(t) определяется особенностями e'+)(z) вблизи действительной оси. Можно предположить поэтому, что и в случае медленно изменяющейся функции Fo(v,t) можно ограничиться учетом ближайших к действительной оси полюсов и нулей т.е. аппроксимируем как
Это выражение является точным для рациональной функции распределения = ги/тгп0^)/(у2 + гу2) (при этом г0 = —гад). Предположим далее, что временная зависимость приводит лишь к изменению плотности п0(£)) тогда как положение полюса г0 в (19) от времени не зависит. Двукратным дифференцированием уравнение (17) можно привести теперь к простому виду
где п^) = и /1 (¿) = ехр(гА;го0/о(0-
Решение однородного уравнения (20), отвечающее свободным ленгмюровским колебаниям, легко получить методом ВКБ
п(£) = . ехр |— г / <Ишр{$) — . (21)
\М>№ 1 7 J
Это выражение демонстрирует существенное отличие ленгмюровских колебаний от обычных затухающих осцилляций. В последнем случае можно было бы ожидать в пред-экспоненциальном множителе (21) появления модуля ленгмюровского значения частоты о>(£)- Отмечу, что поскольку никаких предположений о малости |го| не делалось, это отличие может быть существенным.
В заключение следует признать, что вопрос о полноте полученного набора функций Ван Кампена остается открытым. Фактически эта проблема сводится к исследованию условий обратимости интегрального оператора (16) и каких-либо общих критериев, аналогичных критерию Пенроуза [2], мне получить не удалось.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Van К am pen N. G. Physica (Utrecht)., 21, 949 (1955); ibidem, 23, 647 (1957).
[2] Э к к e p Г. Теория полностью ионизованной плазмы. М., Мир, 1974.
[3] Б а л е с к у Р. Статистическая механика заряженных частиц. М., Мир, 1967.
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 18 октября 1999 г.
