Волновые функции в возмущённом параболическом потенциале Текст научной статьи по специальности «Математика»

70 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ КЛД Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22 УДК 519.2+539.1

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ В ВОЗМУЩЁННОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ

А.С. Мазманишвили

Сумской государственный университет, г. Сумы, Украина, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассмотрено эволюционное уравнение Шредингера с параболическим потенциалом, центр которого произвольным образом изменяется во времени.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, параболический потенциал.

1. Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается квантово-механическая задача о временной эволюции частицы в квадратичном потенциале, центр которого смещается произвольным образом во времени, описываемом посредством некоторая квадратично-интегри-руемой функции U(t). Такая постановка задачи возникает в физических задачах, например, в том случае, когда смещение U(t) представляет собой траекторию случайного процесса, моделирующего искажения потенциала в процессе движения частицы. Такое положение реализуется, в частности, при изучении движения электрона достаточно большой энергии через кристалл вдоль одной из его кристаллических осей (см., например, [2, 3]). В этом случае роль времени t в изучаемой нами задачи играет глубина проникновения частицы. Функция же U(t), описывающая смещение центра потенциала описывает естественные случайные искажения кристаллической решётки.

Математическая постановка задачи состоит в следующем. Пусть U(t) - квадратично-интегрируемая функция и

V(x,t) = -mu2 [x — U(t)]2 , т,и = const (1)

- изменяющийся во времени потенциал. Пусть далее Ф = Ф(х, t; x0,t0) - квадратично-интегрируемая на L2(R) функция, которая подчинена уравнению Шредингера [1]

дФ h2 д2Ф 1 2 г Г7/ Ч12

-г/г — =--------- —-—I—mu) \x—U(t)] , (2)

дt 2т дх2 2 1 WJ ’ 1 '

где h - так называемая постоянная Планка, и удовлетворяет начальному условию

Ф(х, t0,x0, t0) = £(х — x0). (3)

Функция Ф является функцией Грина для уравнения (2). С точки зрения квантовой механики эта функция представляет собой так называемую амплитуду перехода из состояния в момент t = t0, характеризуемого координатой х0, в состояние в момент t, характеризуемого координатой х.

2. Решение начально-краевой задачи

Будем искать решение уравнения (2) в виде

Ф(ж,і; Xo,io) = exp (Co(i) + С2(^)ж + C2(t)x2) (4)

с некоторыми зависящими от времени функциями Co(t), Cl(t), C2(i) (см. [3]). Эти функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера и начальному условию (3). В силу единственности решения начально-краевой задачи, построенная таким образом функция (4) будет искомым решением. Так как

дФ , f ^ ^ 2

— Ф ^Co(i) + xCi(t) + X2C2{t

дФ f • \

— = V\C1(t) + 2xC2(t)) ,

д2Ф т

-----= Ф

дх2

C7i(i) + 2xC7n + 2C2(i)

2

где точкой обозначено дифференцирование по времени t, то подстановка функции (4) в уравнение (2) приводит,

/ • • • \ h2 1

-ih (С0 + хС\ + x2C2(t)) = --— [(C\(t.) + 2xC2(t))2 + 2C2(t.)] + - mu2 [x - U(t)}2 .

\ / 2 / m 2

Вследствие требования тождественного совпадения получающихся в правой и левой

частях уравнения квадратных трёхчленов, получаем следующую систему трёх обыкно-

венных дифференциальных уравнений для функций C0(t), C1(t), C2(t)

h2 1 -ihCo = -— [2C2 + C?] + - mu2U2(t),

2m 2

2h2

-гВД = - mu2U(t.), (5)

m

2h2 1

—ihC2 =--------Cf H— ?mj2 .

m 2 2

Начальное условие к этой системе уравнений находится сравнением Фурье-образов функции (3)

СЮ

/Ф(х'0)e-ikxdx =e—

— Ю

и предельного при t ^ +0 выражения функции (4) (необходимо чтобы C2(t) < 0)

ОО

J exp (Co(t) + xC^t) + x2C2(t)) - ;Ь>/.г = ехР (co(t) - ^Cl^\c2(t)^ ) '

— ОО

Отсюда получаем условие

Иш

І^+0

-1п

2

п

I С2(*)|

+ Со(£) —

(Сі(і) - ік)' 4|С'2(і)|

= — ікж0

Система уравнений (5) элементарно решается виду того, что допускает расцепление искомых функций - сначала решается уравнение для С2(£) разделением переменных, затем решается линейное уравнение для С1(£) с уже найденной функцией С2 и, наконец, интегрированием на основе найденных функций С1 и С2 вычисляется С0. В результате, такой процедуры решения получаем следующее решение уравнения (2)

Ф(ж,і; ж0, 0) =

те

ІШІ

пЯ(е2гшІ — 1)

\ 1/2

\ ( ти. 2 2.\

) ехР ~ хо)) х

где

х ехр

іти / 2/ ч , 1Я

х ехр

іти

Я(е2ІШІ — 1)

Я

0

І

х — ^оегш--------/ Жт) ехр (ги (і — г)) с?г

т

0

іти

_П

2

и(т;) ехр ( —іи(т — т;)) ^т;.

(6)

(7)

Решение ^(ж,і) уравнения (2) с произвольным начальным условием ^(ж0, 0) в момент і = 0, находится на основе найденной функции Грина по формуле

^(ж, і)

^(ж0, 0) Ф(ж, і; ж0, 0) ^ж0

(8)

аналогичным соотношению Смолуховского-Коломогорова-Чепмена [4,5]. В частности, вычисляя интеграл (8) с ядром Ф(ж,£; х0, 0) (6) и начальной волновой функцией

/ти \1/4 ф(х о,0) = ( —) ехр

ти 2 1/2 —Г" *

2Я

получим

^(ж, і)

ти \1/4 І ти ти

ехр І ~г^т 1н

пЯ /

ж — и J и(т) БІП и(і — т)

0

(9)

где </ - набег фазы результирующей волновой функции

J = [ и2(т)сіт-\------—2х [ и(т) сов и>Н — т) с1т +

ти

І

І

2

т

— оо

2

І

І

І

Если при і = 0 частица находилась в состоянии с волновой функцией (9), то к моменту времени і для плотности вероятностей р(х,і) найдем

Для того чтобы понять в чём существенно проявляется действие смещения и(¿) центра потенциала на временную эволюцию частицы, вычислим квантовомеханическое среднее значение координаты и её дисперсии. Первый момент плотности распределения вероятностей р(ж,£) имеет вид

Формула (13) показывает, что смещение центра потенциала не оказывает влияние на расплывание волнового пакета, дисперсия волнового пакета остаётся постоянной и независящей от U(t). С другой стороны, из формулы (12) видно, что, как и в классической механике, возможно явление резонанса. Достаточно выбрать сделать функцию U(t) периодической с частотой, совпадающей с собственной частотой w, связанной с потенциалом и произойдёт линейное по времени нарастание амплитуды колебаний среднего смещения частицы. Например, при U(t) ~ sin wt имеем

t

t

+ / U(ті) sin w(ti — t) dri / U(t2) cos w(t2 — t) .

/

/

0

0

(11)

2

mw\ 1/2

ЄХР

3. Заключение

t

(12)

0

а соответствующая ему дисперсия

(13)

t

0

То же самое происходит в общем случае, наличие гармоники с частотой ш в функции и(¿) приводит к неограниченному нарастанию размаха колебаний.

Литература

1. Соколов А.А., Лоскутов Ю.И., Тернов И.М. Квантовая механика / А.А. Соколов, Ю.И. Лоскутов, И.М. Тернов. - М.: Наука, 1962. - 591 с.

2. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе / А.И. Ахи-езер, Н.Ф. Шульга. - М.: Наука, 1993. - 344 с.

3. Барышевский В.Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях / В.Г. Барышевский. - Минск: Изд-во БГУ, 1982. - 256 с.

4. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / А.С. Мазманишвили. - К.: Наукова думка, 1987. - 224 с.

5. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику / С.М. Рытов. - М.: Наука, 1979. - 404 с.

6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

WAVE FUNCTIONS IN THE PERTURBED PARABOLIC POTENTIAL

Mazmanishvili A.S.

Sumy State University,

Sumy, Ukraine, e-mail: [email protected]

Abstract. The evolution Schrödinger equation with the parabolic potential is studied. The center of the potential is varied in time by an arbitrary way.

Key words: Schrodinger’s equation, parabolic potential.