Волновые функции нейтрино и вероятности переходов при трёхнейтринных переходах (осцилляциях) в вакууме Текст научной статьи по специальности «Физика»

78 Бештоев Х. М. Волновые функции нейтрино и вероятности переходов . . .

УДК 539.123,539.12.01

Волновые функции нейтрино и вероятности переходов при трёхнейтринных переходах (осцилляциях) в вакууме

Х. М. Бештоев

Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, г.Дубна, Московская обл., Россия, 141980

В связи с обнаружением переходов межу нейтрино различных типов весьма актуальной стала задача получения выражений, описывающих смешивания и осцилляции нейтрино (т.е. моделирование таких процессов). Данная работа посвящена рассмотрению трёхнейтринных смешиваний и осцилляций в общем случае. Вычислены выражения для волновых функций в трёх случаях: с CP нарушением (5 = 0), без CP нарушения (5 = 0) и в случае, когда прямые ve ^ vT переходы отсутствуют — ¡3(0i3) = 0. Также получены выражения для вероятностей нейтринных переходов (осцилляций) для случая, когда CP нарушение отсутствует, и в случае, когда прямые ve ^ vT переходы отсутствуют. Показано, что требование положительной определённости вероятности переходов PVe^Ve (t) при ve ^ ve осцилляциях строго выполняется, если Am\3 = Am22 + Am¡23.

Ключевые слова: нейтрино, смешивания, осцилляции, волновые функции, вероятности переходов, вакуумные переходы.

1. Введение

Предположение о том, что, по аналогии с К0, К0 осцилляциями, могут существовать нейтрино-антинейтринные осцилляции (V ^ р), было выдвинуто Б.М. Понтекорво в 1957 г. [1,2]. Впоследствии З. Маки и другими [3], а также Б.М. Понтекорво [4], была выдвинута идея, что могут быть смешивания и осцилляции нейтрино различных ароматов (т.е. ve ^ ^ переходы).

В настоящее время нейтринные переходы уже обнаружены, и поэтому во всех крупнейших лабораториях мира проводятся эксперименты по изучению смешивания и осцилляций нейтрино. Эта проблема стала весьма актуальной и появилась необходимость в получении общих выражений, описывающих такие переходы (т.е. моделирование таких процессов).

В общем случае здесь могут быть две схемы (типа) смешивания (осцилля-ций) нейтрино: схема массовых смешиваний и схема зарядовых смешиваний, как это имеет место в модели векторной доминантности или в стандартной модели электрослабых взаимодействий при смешивании векторных бозонов [5,6].

В стандартной теории нейтринных осцилляций [7-10] предполагается, что физически наблюдаемые нейтринные состояния ve,v|U,vт не имеют определённой массы, и что они сразу рождаются как смеси нейтринных состояний.

являются собственными состояниями гамильтониана слабых взаимодействий с нарушением закона сохранения лептонных чисел. Расчёты, однако, показали, что ve,v|U,vт имеют массы и ширины переходов [5,6]. В этом случае смешивания нейтрино определяются массовой матрицей, и параметры смешивания выражаются через элементы массовой матрицы.

В схеме зарядовых смешиваний параметры осцилляций выражаются через константы связи (заряды) слабых взаимодействий и массы нейтрино [5,6].

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2007 г.

В обоих случаях матрица смешивания нейтрино [5-10]

/ Се Од 0/3 вд в в ехр(—¿5)^

V = I —в7вв ехр(г5)од — с7вд —в7вв ехр(г5)вд + о7од в7ов \—о7 вв ехр(г5)од + в7 вд — с7 вв ехр(г5)вд — в7 сд о7 Ов

может быть записана в удобной форме, предложенной Майаной [11] (в некоторых работах используется другое обозначение для параметров смешивания, а именно — 012,#13,#23, и тогда 0 = 012,в = 013,7 = 02з):

V =

/1 0 0

0 0'

— в-, (

ов 0 вв ехр(—г5) 010 вв ехр(г5) 0 ов

вд Од

0

0 0

(1)

= соя 0, = яш 0, О2 + в2Д =1

Сет = соя в, вет = ЯШ в, О2 + в2т =1

0!1Т = соя 7, = яш 7, О2 + в£т =1

(2)

ехр(г5) = соя 5 + г яш 5.

Эта параметризация удобна тем, что мы можем придать смысл параметрам смешивания: 0 — параметр (угол) смешивания нейтрино, в — параметр (угол) смешивания нейтрино, 7 — параметр (угол) смешивания нейтрино, а параметр 5 — параметр СР нарушения [7-10].

Предполагается [5-10], что унитарная матрица V описывает нарушение леп-тонных чисел, в результате чего первоначальные нейтрино превраща-

ются в суперпозиции ^1,^2,^3, и через эти промежуточные состояния нейтрино переходят друг в друга.

Теперь мы перейдём к рассмотрению общих выражений для волновых функций нейтрино и далее — к конкретному расчёту волновых функций Ф„в, Ф^, Ф^т нейтрино и вероятностей переходов (осцилляций) этих нейтрино.

2. Общие выражения для волновых функций и вероятностей при трёхнейтринных переходах (осцилляциях) в вакууме в зависимости от времени

Используя выше рассмотренную матрицу V, мы можем связать волновые функции физических нейтринных состояний Ф„в, Ф^, Ф„т с волновыми функциями промежуточных нейтринных состоянии Ф^, , и записать это в следующем покомпонентном виде [7-10]:

Ф„

У^ V * ф„

к=1

Фи

Е V

к=1

I = е, т, к = 1, 2, 3,

(3)

где Ф^к — волновая функция нейтрино с импульсом р и массой Шк.

Мы предполагаем, что смешивания (осцилляции) нейтрино являются виртуальными, если массы нейтрино различаются, и реальными, если массы нейтрино равны. Если мы предположим, что эти переходы являются реальными, как это постулируется в стандартной теории. Тогда необходимо принять, что выражение (3) базируется на предположении, что разности масс Рк нейтрино являются такими малыми, что в слабых взаимодействиях формируются когерентные нейтринные

состояния. Необходимо отметить, что, как показывают расчёты, эти когерентные состояния являются нестабильными и распадаются, т. е. физические нейтринные состояния Ф»е, , Ф»т являются нестабильными.

Если нейтрино находятся в вакууме, то волновое уравнение для них имеет следующий вид:

1 ^ Ф = ЕкФ»к Ф,

и мы можем отфакторизовать временную часть

Ф»к(Ь) = е~гЕк1Ф»к(0), к = 1, 2,3, (4)

тогда

Ф^) = Е е~гЕк%:„к(0). (5)

к=1

Используя унитарность матрицы V в выражении (3), мы можем переписать выражение (5) в следующем виде:

Ф*(¿)= Е ЕС»ке~гЕк%%кф,,(6)

1' = е,^,т к=1

и, вводя обозначение , (£)

Ь^г, (*) = ЕС К„V*е'^Чк, (7)

к=1

мы получаем

Ф»г(¿) = Е ь^г,(№„(0), (8)

1' = е,^,т

где (¿) — амплитуда перехода Ф»1 ^ Ф»,. При этом вероятность перехода Фщ ^ Ф»1, равна:

Р^, (¿)=| Е е"гЕк|2 . (9)

к=1

Очевидно, что

Е р»г,(¿) = 1. (10)

1' = е,^,т

Теперь перейдём к расчёту волновых функции при ие,и^,ит ^ иеит переходах в вакууме.

2.1. Выражения для волновых функций при ие, и^, ит ^ ие, и^, ит переходах (осцилляциях) нейтрино в вакууме с СР нарушением

Выражения для волновых функций и вероятностей при ие,и^,ит ^ ие,и^,ит переходах (осцилляциях) нейтрино в вакууме с СР нарушением имеют следующий вид:

1) для случая ре ^ ие, и^, ит переходов:

(¿)= [соя2(в) соя2(0)ехр(-гЕ1^) + ео82(в)81п2(0) х х ехр(-гЕ2^) +я1п2(в) ехр(-гЕз^)]Ф»е (0) +

+ [соз(в) соз(0) ехр(—- 003(7} з1п(0) -

— зш(в) ехр(—я1п(7) соз(0)) +

+ соз(в) зт(0) ехр(—¿Е2£) (соз(7) соз(0) —

— зш(в) ехр(—яш^) зш(0)) +

+ в1п(в) ехр(—ехр(—¿Ез£) яш^) соз(в)] (0) + + [соз(в) соз(0) ехр(—¿Е^^ш^) 8ш(6>) —

— зш(в) ехр(—соз(7) соз(0)) +

+ соз(в) зш(0) ехр(—¿Е2£) ( — яш^) соз(0) —

— зш(в) ехр(—соз(7) зт(0)) +

+ 8ш(в) ехр(—ехр(—¿Ез¿) соя^) соз(в)] (0); (11)

2) для случая ^ переходов:

= [(— йШ(7^т^) ехр(г^) с°в(60 —

— соз(7) зт(0)) ехр(—¿Е^) соз(в) соз(0) +

+ (— зш(7) зш(в) ехр(г^) зт(0) + + соз(7) соя^)) ехр(—¿Е2£) соз(в) 8т(6>) + + зш(7) соз(в) ехр(—¿Ез^) 8ш(в) ехр(г£)]Ф^ (0) + + [(— зш(7) зш(в) ехр(г^) соз(0) — — соз(7) 8т(0)) ехр(—¿Е1^)(— соя^) зш(0) —

— я1п(в) ехр(—зш(7) со8(0)) + + (— зш(7) я1п(в) ехр(г^) зт(0) +

+ соз(7) со8(0)) ехр(—¿Е2^)(со8(7) соз(0) —

— зш(в) ехр(—яш^) 8ш(0)) +

+ 8ш2(7) со82(в) ехр(—(0) + + [(— зш(7) зш(в) ехр(г^) соз(0) —

— соз(7) 8т(0)) ехр(—¿Е1^)(з1п(7) зт(0) —

— зш(в) ехр(—соз(7) со8(0)) + + (— зш(7) я1п(в) ехр(г^) зт(0) +

+ соз(7) соз(0)) ехр(—¿Е2£)(— зш(7) соз(0) —

— я1п(в) ехр(—соз(7) 8т(0)) +

+ 8ш(7) со82(в) ехр(—¿Ез<) со8(7)]^т (0); (12)

3) для случая рт ^ переходов:

(¿) = [(— соз(7) зш(в) ехр(г^) соз(0) + яш^) 8ш(6>)) х х ехр(—¿Е^) соз(в) соз(0) + (— соз(7) я1п(в) ехр(г^) зт(0) —

— зш(7) со8(0)) ехр(—¿Е2^) соз(в) 8ш(0) +

+ соз(7) соз(в) ехр(—¿Ез^) я1п(в) ехр(г£)]^е (0) + + [(— соз(7) я1п(в) ехр(г^) соз(0) + + я1п(7) зт(0)) ехр(—¿Е1^)(— соз(7) зт(0) —

— зш(в) ехр(—зш(7) со8(0)) + + (— соз(7) зш(в) ехр(г^) зт(0) —

— sin(Y) cos(0)) exp(-¿E2t)(cos(Y) cos(0) —

— sin(e) exp(—¿¿) sin(Y) sin(0)) +

+ sin(Y) cos2 (в) exp(—¿Est) cos(y)]^m (0) +

+ [(— cos(y) sin(e) exp(i£) cos(0) + + sin(Y) sin(0)) exp(—¿Eit)(sin(Y) sin(0) —

— sin(e) exp(—cos(y) cos(0)) + + (— cos(y) sin(e) exp(i^) sin(0) —

— sin(Y) cos(0)) exp(—¿E2t)(— sin(Y) cos(0) —

— sin(e) exp(—cos(y) sin(0)) +

+ cos2 (y) cos2 (в) exp(—¿Esi)]^vT (0). (13)

Теперь перейдём к рассмотрению случая, когда CP нарушение отсутствует.

2.2. Выражения для волновых функций и вероятностей при ve, vT ^ ve, vT переходах (осцилляциях) нейтрино в вакууме без CP нарушения

Если мы не будем учитывать CP нарушение, тогда выражения для амплитуд переходов нейтрино в вакууме имеют следующий вид:

1. Если первоначальное нейтрино есть ve нейтрино и имеют место переходы ve ^ ve, ve ^ v^, ve ^ vT, то тогда волновая функция этого нейтрино имеет следующий вид:

(t) = [cos2 (в) cos2 (0)exp(—¿Eit) + + cos2(e) sin2(0) exp(—¿E2t) + sin2(e) exp(—iEst)]^ve (0) + + [cos(e) cos(0) exp(—¿E1t)(— sin(Y) sin(e) cos(0) — — cos(y) sin(0)) + cos(e) sin(0) exp(—¿E2t)(— sin(Y) sin(e) sin(0) +

+ cos(y) cos(0)) + sin(e) exp(—¿Est) sin(Y) cos^)]^(0) + + [cos(e) cos(0) exp(—¿E1t)(— cos(y) sin(e) cos(0) + sin(Y) sin(0)) + + cos(e) sin(0) exp(—¿E2t)(— cos(y) sin(e) sin(0) — sin(Y) cos(0)) +

+ sin(e) exp(—¿Est) cos(Y) cos(e)]Ф*Т (0). (14)

Выражение (14) можно переписать в следующем виде:

(t) = bvBvB (0) + bveV. ^ (0) + b^ ^ (0), (14')

где b... есть коэффициенты перед волновыми функциями WVe (0),$V. (0), WVt (0) нейтрино.

1.1. Вероятность ve ^ ve нейтринных переходов, полученная из выражения (14), определяется следующей формулой:

Pve^ve (t) = 1 — cos4(в) sin2(20) sin2 (—t(Ei — E2)/2) —

cos2(0)sin2(2e )sin2(—t(Ei — Es)/2) —

— sin^sm2^^^—t(E2 — Es)/2). (15)

1.2. Вероятность ve ^ v^ нейтринных переходов, полученная из выражения (14), определяется следующей формулой:

PVe^V, (t) = 4 cos2 (в) cos(0) sin(0)[— sin(Y) sin(e) sin(0) + cos(y) cos(0)] x x [sin(Y) sin(e) cos(0) + cos(Y) sin(0)] sin2(—t(Ei - E2)/2) -— 4 cos2 (в) sin(e) cos(0) sin(Y)[sin(Y) sin(e) cos(0) + cos(y) sin(0)] x x sin2(—t(Ei — E3)/2) — 4 cos2 (в) sin(e) sin(0) sin(7)[— sin(7) sin(e) sin(0) +

+ cos(Y) cos(0)] sin2 (—t(E2 — Ез)/2). (16)

1.3. Вероятность ve ^ vT нейтринных переходов, полученная из выражения (14), определяется следующей формулой:

(t) = 4 cos2(в) cos(0) sin(0)[— cos(y) sin(e) cos(0) + + sin(Y) sin(0)][cos(Y) sin(в) sin(0) + sin(Y) cos(0)] sin2 (—t(E1 — E2)/2) —

— 4 cos2(в) cos(0) sin(в) cos(y)[— cos(y) sin(в) cos(0) + sin(Y) sin(0)] x x sin2 (—t(Ei — Ез)/2) +4 cos2 (в) sin(0) sin(в) cos(y)[cos(y) sin(в) sin(0) +

+ sin(Y) cos(0)] sin2 (—t(E — Ез)/2). (17)

Проверка подтвердила, что Pve^ve (t) + Pve^v, (t) + Pve^vT (t) = 1. 2. Для случая v^ ^ ve, переходов мы получаем

,v,,vt (t) = [cos(в)cos(0)exp(—iEit) x

x (— sin(Y) sin^) cos(0) — cos(y) sin(0)) + + cos(в) sin(0) exp(—¿E2t)(— sin(Y) sin(в) sin(0) + cos(y) cos(0)) + + sin^) exp(—¿E31) sin(Y) cos^)]^ (0) + + [(— sin(Y) sin(в) cos(0) — cos(y) sin(0))2 exp(—iE1t) + + (— sin(Y) sin^) sin(0) + cos(Y) cos(0))2 exp(—¿E2t) +

+ sin2(y) cos2(в) exp(—¿Est)]^, (0) + + [(— sin(Y) sin(в) cos(0) — cos(y) sin(0)) exp(—¿E1t) x

x (— cos(y) sin^) cos(0) + sin(Y) sin(0)) + + (— sin(Y) sin^) sin(0) + cos(y) cos(0)) exp(—¿E2t) x x (— cos(y) sin(в) sin(0) — sin(Y) cos(0)) + sin(Y) cos2(в) x

x exp(—¿E3t)cos(Y)]^vT(0). (18)

Выражение (18) можно переписать в следующем виде:

Й*„^*е,*„,*т (t) = bv, ve (0) + (0) + ^ ^ (0) , (18')

где b... есть коэффициенты перед волновыми функциями $Ve(0),$V,(0), $¡,T(0) нейтрино.

2.1. Вероятность v^ ^ v^ нейтринных переходов, полученная из выражения (18), определяется следующей формулой:

Pv,(t) = 1 — 4[— sin(Y) sin(в) cos(0) — cos(Y) sin(0)]2 x

x [— sin(Y)sin(в) sin(0) + cos(y) cos(0)]2 x x sin2(—t(Ei — E2)/2) — — 4[— sin(Y) sin^) cos(0) — cos(y) sin(0)]2 sin2(y) cos2(в) x

х sin2(-t(E - Es)/2) -- 4[- sin(Y) sin(e) sin(0) + cos(y) cos(0)]2 sin2(Y) cos2(e) х

х sin2(-t(E - Es)/2). (19)

2.2. Вероятность v^ ^ ve нейтринных переходов, полученная из выражения (18), определяется следующей формулой:

PV^Ve (t) = -4[- sin(Y) sin(e) eos(0) - cos(y) sin(0)] cos2^) cos(0) х

х [- sin(Y) sin(e) sin(0) + cos(y) cos(0)] sin(0) sin2 (-t(Ei - E2)/2) -- 4[- sin(Y) sin(e) eos(0) - cos(y) sin(0)] eos2(в) х х eos(0) sin(Y) sin(e) sin2 (-t(Ei - E3)/2) -- 4[- sin(Y) sin(e) sin(0) + cos(y) eos(0)] eos2(e) sin(0) sin(Y) sin(e) х

х sin2(-t(E2 - Ез)/2). (20)

2.3. Вероятность v^ ^ vT нейтринных переходов, полученная из выражения (18), определяется следующей формулой:

(t) = -4[-sin(Y) sin(e) eos(0) - cos(y) sin(0)] х х [- cos(y) sin(e) eos(0) + sin(Y) sin(0)][- sin(Y) sin(e) sin(0) + + cos(y) cos(0)][- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(Y) eos(0)] sin2 (-t(Ei - E)/2) -

- 4[- sin(Y) sin(e) eos(0) - cos(y) sin(0)] х

х [- cos(y) sin(e) eos(0) + sin(Y) sin(0)] sin(Y) eos2 (в) cos(y) х

х sin2(-t(Ei - Ез)/2) -

- 4[- sin(Y) sin(e) sin(0) + cos(y) cos(0)] х

х [- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(Y) eos(0)] sin(Y) eos2 (в) cos(y) х

х sin2(-t(E - Ез)/2). (21)

Проверка подтвердила, что PvM^ve (t) + Pvm(t) + Pvm^vt (t) = 1. 3. Для случая vT ^ ve, v^, vT переходов мы получаем

(t) = [eos(e)eos(0)exp(-i£it) х х (- cos(y) sin(e) eos(0) + sin(Y) sin(0)) + eos(e) sin(0) exp(-iE2t) х х (- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(Y) eos(0)) + + sin(e) exp(-iE3t) cos(y) cos^)]^ (0) + + [(- sin(Y) sin(e) eos(0) - cos(y) sin(0)) exp(-iEit) х х (- cos(y) sin(e) eos(0) + sin(Y) sin(0)) + (- sin(Y) sin(e) sin(0) + + cos(y) cos(0)) exp(-iE2t)(- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(Y) eos(0)) + + sin(Y) eos2 (в) exp(-i£3t) cos(y)]$vm (0) + + [(- cos(y) sin(в) eos(0) + sin(Y) sin(0))2 exp(-iEit) + + (- cos(y) sin(в) sin(0) - sin(Y) eos(0))2 exp(-iE2t) +

+ eos2 (y) eos2 (в) expH^t)]^ (0). (22) Выражение (22) можно переписать в следующем виде:

(t) = bvT Ve (0) + bvT ^ ^ (0) + bvT vt *vt (0) , (22')

где 6... — некоторые коэффициенты перед волновыми функциями

(0),'^(0), (0) нейтрино. 3.1. Вероятность ^ нейтринных переходов, полученная из выражения (22), определяется следующей формулой:

PvT(t) = 1 - 4[- cos(7) sin(e) cos(0) + sin(Y) sin(0)]2 x

x [- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(7)cos(0)]2 sin2(-t(Ei - E2)/2) -

- 4[- cos(y) sin(e) cos(0) + sin(Y) sin(0)]2 cos2(7) cos2(в) x

x sin2 (-t(Ei - Ез)/2) -

- 4[- cos(y) sin(e) sin(0) - sin(Y) cos(0)]2 cos2(7) cos2(в) x

x sin2(-t(E2 - Ез)/2). (23)

3.2. Вероятность vT ^ ve нейтринных переходов, полученная из выражения (22), определяется следующей формулой:

PvT(t) = -4[- cos(Y) sin(e) cos(0) + sin(Y) sin(0)] x

x cos2 (в) cos(0)[— cos(Y) sin(e) sin(0) - sin(Y) cos(0)] sin(0) x x sin2 (-t(Ei - E2)/2) -- 4[- cos(y) sin(e) cos(0) + sin(Y) sin(0)] cos2(в) cos(0) x x cos(Y)sin(в) sin2 (-t(Ei - Ез)/2) -- 4[- cos(y) sin(в) sin(0) - sin(Y) cos(0)] cos2(в) sin(0) cos(y) sin(в) x

x sin2(-t(E2 - Ез)/2). (24)

3.3. Вероятность vT ^ v^ нейтринных переходов, полученная из выражения (22), определяется следующей формулой:

PvT^ (t) = -4[- cos(Y)sin(в) cos(0) + sin(Y) sin(0)] x

x [- sin(Y)sin(в)cos(0) - cos(Y)sin(0)] x x [- cos(Y) sin(в) sin(0) - sin(Y)cos(0)] x x [- sin(Y) sin(в) sin(0) + cos(Y) cos(0)] sin2(-t(Ei - E2)/2) -

- 4[- cos(y) sin(в) cos(0) + sin(Y) sin(0)] x

x [- sin(Y) sin(в) cos(0) - cos(y) sin(0)] cos(y) cos2 (в) sin(Y) x x sin2 (-t(Ei - Ез)/2) -

- 4[- cos(y) sin^) sin(0) - sin(Y) cos(0)] x

x [- sin(Y) sin^) sin(0)+cos(Y) cos(0)] x x cos(y) cos2(в) sin(Y) sin2 (-t(E2 -Ез)/2).

(25)

Проверка подтвердила, что P^T(t) + Pvt(t) + Pvt(t) = 1.

Выражения (14'), (18'), (22') для трёхнейтринных волновых функций можно переписать в следующем компактном виде:

м

Vu^Ve ,Vu,V.

Vt—» Ve,V„,V.

t (t)^

t(t) I =

t (t)y

'Ь*

bv

bv

^ (0) ^Vt (0).

(26)

b

b

b

г/,, z/

za, z/

za, z/

U«- e

b

b

b

za-Z/

za-Z/

т- u

Мы можем также ввести матрицу для вероятностей переходов (осцил-

ляций), зависящую от времени, и записать её в следующем компактном виде:

ve —

/Pv

\PVT — Ve

(t) Pve —V, (t) Pve—VT (^

(t) Pv, —v, (t) Pv,—VT (t) | . (t) PvT — v, (t) PvT —vt (t),

(27)

Теперь перейдём к рассмотрению волновых функций и вероятностей переходов при отсутствии ve — vT переходов.

2.3. Выражения для волновых функций и вероятностей ve, vu, vt — ve, vu, vt переходов (осцилляций) в вакууме при отсутствии прямых ve — vt переходов (в(#13) = 0)

Если первоначальные нейтрино являются ve нейтрино и отсутствуют прямые переходы между ve и vT нейтрино, т. е. такие переходы запрещены, тогда после ve — v^ переходов возможны только переходы ve — ve, ve — v^ и v^ — vT. Волновая функция для этих переходов имеет следующий вид:

ve,v,,vT (t) = [cos2(0) exp(—iEit) + sin2(0) exp(—iE21)]^ (0) + + [- cos(0) sin(0) cos(Y) exp(-iE1t) + cos(0) sin(0) cos(y) exp(-iE1t)]^v, (0) +

+ cos(0)sin(0)sin(Y)[exp(-iEi) - exp(—iE2)]Ф^Т (0). (28)

Вероятности таких нейтринных переходов (осцилляций) описываются следующими выражениями (в действительности, после ve — v^ переходов должны быть переходы между v^ — vT нейтрино): для ve — ve:

P(ve — ve,t) = 1 - sin2(20)[cos2(27) + sin2(2y)]sin2(L/Li2);

для ve — vM:

для ve — vT:

где

P(ve — vM,t) = sin2(20) cos2(2y) sin2(L/Li2); P (ve —> vT,t) = sin2(20) sin2(2Y)sin2(L/Li2), Eve (MeV)

Lifc (m) = 1, 27

|m2 - т2|(еУ2)

L = ct,

(29)

(30)

(31)

(32)

Eve — энергия первичного нейтрино и Efc = у m| + — pve + ^, i, k = 1 ^ 3.

Если первичное нейтрино является v^ нейтрино и нет перехода между ve и vT нейтрино, тогда

^v,—ve,v,,vT (t) = [- cos(0) exp(-itEi) cos(y) sin(0) +

+ sin(0) exp(-itE2)cos(Y) cos(0)]$ve (0) + [cos2(y) sin2(0) exp(-itEi) +

+ cos2(y) cos2(0) exp(-itE2) + sin2(Y) exp(—itEs)]^, (0) + + [— cos(y) sin2(0) exp(-itEi) sin(Y) — cos(y) cos2(0) exp(-itE2) sin(Y) +

+ sin(Y) exp(—itEs) cos(Y)]Ф*т (0). (33)

Если первичное нейтрино является vT нейтрино, и нет перехода между ve и vT нейтрино, тогда

vt — ve,v,,v.

Т (t) = [cos(0)exp(—itEi)sin(Y)sin(0) —

- sin(0) exp(-itE2) sin(Y) cos(0)]^,e(0) + + [— cos(y) sin2(0) exp(-itE2) sin(Y) — — cos(y) cos2(0) exp(—itE2) sin(Y) + sin(Y) exp(—itE3) cos(y)]$Vm(0) + + [sin2 (y) sin2 (0) exp(—itEi) + + sin2(y) cos2(0) exp(—¿ÍE2) + cos2(y) exp(—^Ез)]^ (0). (34)

3. Проверка положительной определённости вероятности PVe^Ve (t) перехода ve в ve

Проводилась проверка положительной определённости выражения (15), которое определяет вероятность (t) перехода ve в ve в зависимости от времени t. Это выражение зависит от пяти параметров 0, в, ^m22, Лт;|з, ^т2з (в действительности, от четырёх параметров, так как должно выполняться условие Лт23 = Лт12 + Лш23) (значение энергии E будем считать фиксированным). Эту задачу можно было выполнить, находя минимумы функции (15) по этим параметрам и вычисляя её значения в этих минимумах. Было решено упростить эту задачу, так как в экспериментах уже определены значения для некоторых параметров.

Оценка значения угла смешивания 0 и квадрата разности масс была проведена в эксперименте KamLAND [12-14], и было получено

sin2(20vevM) = 1, 0, 0 = П, Лш?2 = 6, 9 ■ 10-5eV2, (35)

или

sin2(20vevM) = 0, 83, 0 = 32°, Лш22 = 8, 3 ■ 10-5eV2.

Значения угла смешивания y для v^ ^ vT переходов и разности квадрата масс Лш2з, полученные на установке Super-Kamiokande [15, 16] из данных по атмосферным нейтрино, имеют вид:

sin2(2YvMvT) = 1, Y = П Лш23 = 2,1 ^ 2, 5 ■ 10-3eV2. (36)

Теперь, если использовать эти полученные параметры и подставить их в (15), то остаётся только один неизвестный параметр в. Задача упрощается, и надо искать экстремум этой функции только по одному этому параметру. Однако нас интересует другая проблема: надо найти значения параметра (угла смешивания) в, начиная с которого значение выражения (15) становится положительно определённой величиной, и тогда можно интерпретировать (15) как вероятность. Для этой цели мы выполнили графическое моделирование выражения (15), подставив в него следующие значения 0 = 32,45°, Лш22 [12-14], Лш23 из выражения (35), (36) [15,16] для случая, когда Лш23 = 10-5eV2, 5, 7-10-5еУ2, 8, 3-10-4eV2 (для проверки, насколько это влияет) для различных значений в = 10° ^ 45° при фиксированной энергии EVe = 7 MeV, которая есть средняя энергия по спектру солнечных нейтрино. Было установлено, что (t) становится положительно

определённым при значениях в меньших 15° ^ 17° (t) ~ 0 при некоторых

значениях t). Если в больше, чем 15°^17°, тогда (t) становится отрицатель-

ной величиной при некоторых значениях t. Такая же проверка была проведена для случая, когда ^m23 = ^m22 + ^т2з для разных значений в. Было получено, что в этом случае вероятность (t) перехода ve ^ ve является положительно

определённой при всех значениях в. В качестве примера рассмотрим рис. 1, 2 и 3, где приведены значения (t) при 0 = 32,45° и в = 25°, 35°, 45°. Из этих

рисунков мы видим, что выражение (t) является положительно определён-

ной величиной при всех значениях в (более полное изучение этого вопроса дано в работе [17]).

И=0:0.5:144ф.;Ир1/180)'Н;

у-1 - 0.5542'(э|пр).2) - 04174*(зт(30.120П).2)

-0.16944(51П(31.120*1).£);

рЫ^,у);ах|з([0 12-1 +1])

Рис. 1.

при в = 32, 450, в = 250

-0.2 -0.4 -0.6

11 =0:0.5:1440.; Ь(рь'180)^1;

у=1 - 0.3698*{зт(^.2) - 0.6281 '(21п(30.120Ч).2)

-0.2549-(51п(31.120П).2);

р1о1(1,у);ахЬ([0 12-1 +1])

Рис. 2. Р„е^е (г) при в = 32,450, в = 350

Рис. 3. Р„е^е (г) при в = 32,450, в = 450

4. Заключение

В настоящее время во всех крупнейших лабораториях мира проводятся эксперименты по изучению смешивания и осцилляций нейтрино [12-16,18]. Поэтому

Ф-

Ф

-Ф

Ф

Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2008. с. 78-90 89

весьма актуальным является получение общих выражений, описывающих такие процессы (т.е. моделирование таких процессов).

Данная работа посвящена изучению трехнейтринных смешиваний и осцилля-ций. Были получены выражения для волновых функций в трёх случаях: с CP нарушением (5 = 0), без CP нарушения (5 = 0) и в случае, когда прямые ve ^ vT переходы отсутствуют — в($13) = 0 (в некоторых работах указывается на такую возможность). Были получены выражения для вероятностей нейтринных переходов (осцилляций) для случая, когда CP нарушение не имеет места, и в случае, когда прямые ve ^ vT переходы отсутствуют. Все эти выражения должны использоваться для анализа экспериментальных данных, получаемых по изучению смешивания и осцилляций нейтрино. Поэтому они представляют большой интерес.

Показано, что требование положительной определённости вероятности переходов PVe^Ve (t) при ve ^ ve осцилляциях строго выполняется, если ^т2з =

Лт12 + Аш23.

Все аналитические вычисления были выполнены с использованием программы Maple, а графическое моделирование — с использованием программы Matlab.

Литература

1. Понтекорво Б. М. Мезоний и антимезоний // ЖЭТФ. — Т. 33. — 1957. — С. 549.

2. Понтекорво Б. М. Обратные в-процессы и несохранение лептонного заряда // ЖЭТФ. — Т. 34. — 1958. — С. 247.

3. Maki Z. et al. Remarks on the Unified Model of Elementary Particles // Prog.Theor. Phys. — Vol. 28. — 1962. — P. 870.

4. Понтекорво Б. М. Нейтринные опыты и вопрос о сохранении лептонного заряда // ЖЭТФ. — Т. 53. — 1967. — С. 1717.

5. Beshtoev K. M. Schemes of Neutrino Mixings (Oscillations) and Their Mixing Matrices // JINR Communication E2-2004-58. — Dubna: 2004. — hep-ph/0406124.

6. Beshtoev K. M. Neutrino Oscillations in the Scheme of Charge (couple constant) Mixings // JINR Communication E2-2005-163. — Dubna: 2005. — hep-ph/0506248.

7. Bilenky S. M., Pontecorvo B. M. Massive Neutrinos and Neutrino Oscillations // Phys. Rep. C41. — 1978. — P. 225.

8. Boehm F., Vogel P. Physics of Massive Neutrinos. — Cambridge Univ. Press, 1987. — Pp. 27, 121.

9. Bilenky S. M., Petcov S. P. Lepton Mixings and Neutrino Oscillations // Revs. of Mod. Phys. — Vol. 59. — 1977. — P. 631.

10. Gribov V., Pontecorvo B. M. Neutrino Astronomy and Lepton Charge // Phys. Lett. B. — Vol. 28. — 1969. — P. 493.

11. Maiani L. About Quark Mixings // Proc. Intern. Symp. on Lepton-Photon Interaction. — Hamburg: DESY, 1977. — P. 867.

12. Eguchi K. et al. First Results from KamLAND // Phys. Rev. Let. — Vol. 90. — 2003. — P. 21802.

13. Mitsui T. First Results from KamLAND // 28-th Intern. Cosmic Ray Conf., Japan, 1. — 2003. — P. 1221.

14. Gtatta G. New Results from KamLAND // Report on the XXIst Inter. Conf. on Neutrino Physics and Astrophysics. — Paris, France: 2004.

15. Habig A. Atmospheric Neutrino Oscillations in SK-1 // Proceedings of Inter. Cosmic Ray Conf., Japan, 1. — 2003. — P. 1255.

16. Kearns E. Atmospheric Neutrino Results from Super-K // Super-Kamiokande Collaboration, Report on Intern. Conf. Neutrino 2004. — Paris: 2004.

17. Beshtoev K. M. Examination of Unitarity Condition at Three Neutrino Oscillations in Vacuum // JINR Communication E2-2007-112. — Dubna: 2007. — hep-ph/0707.4427v.1.

18. Proceedings of the XXIst Inter. Conf. on Neutrino Physics and Astrophysics. — Paris, France: 2004.

ф

ф

ф

ф

UDC 539.123,539.12.01

Neutrino Wave Functions and Transition Probabilities at Three Neutrino Transitions (Oscillations) in Vacuum

Three neutrino vacuum transitions and oscillations in the general case were considered and expressions for neutrino wave functions in three cases: with CP violation, without CP violation and the case when direct ve ^ vT transitions are absent,i.e., at fi(6i3) = 0 (some works indicate on this possibility) were obtained. There were also computed transition probabilities for the case of CP conservation and for absence of direct ve ^ vT transitions, i.e. fi(9i3) = 0. It was shown that the probability PVe^Ve (t) at ve ^ ve neutrino transitions is definitely positive value if Amf3 = Am^2 + Am|3.

Kh. M. Beshtoev

Joint Institute for Nuclear Research Joliot Curie str., 6, Dubna, Moscow region, Russia, 141980

Ф-

Ф

-Ф

Ф