CC BY
56
Механика
Вестник Нижегор одского ун иверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 1, с. 1151-15 5
УДК 534.1: 532.59
ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В СЛОЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
© 2007 г. Н.В. Дерендяев 1, И.Н. Солдатов 2
1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
2 Нижегородский филиал Института машиноведения РАН
уе81шк [email protected]
П5ступила о реОакцию 25.12.2006
Показана эффективность использования в динамике жидкого заполнения ротора решений в виде винтовых потоков. Исследованы дисперсионные характеристики инерционных волн в слое вязкой несжимаемой жидкости в полости быстровращающегося цилиндра. Волна представлена как суперпозиция шести разномасштабных винтовых гармоник. Проанализировано влияние вязкости жидкости, степени заполнения жидкостью полости ротора и отношения частоты волны к угловой скорости вращения цилиндра на действительную и мнимую часть волнового числа.
Введение
Роторные системы доставляют яркие примеры сильного влияния вращения на динамику жидкости. В настоящее время находят применение роторы с полостью, содержащей жидкость, где центробежная сила может превышать силу тяжести в сотни тысяч или даже миллионы раз. Во вращающейся жидкости вследствие нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса могут возникать волновые движения, называемые инерционными или
гироскопическими волнами. Эти волны играют большую роль в задачах динамики роторов, турбин, сепараторов, центрифуг [1-4], вращающихся летательных аппаратов, содержащих жидкость, и некоторых геофизических задачах (течения в жидком ядре Земли, см. напр., [5] ). Волновые явления во вращающемся слое жидкости могут оказывать существенное воздействие на ряд технологических процессов, в частности, на процессы седиментации, фазовые равновесия в многокомпонентных жидкостях; влиять на траекторию полета летательного аппарата. Динамическая нестабильность гироскопически стабилизированного полого тела с жидкостью может приводить к возникновению нутационных движений ракеты около оси первоначальной ориентации с
экспоненциальным ростом угла нутации с течением времени и непредсказуемой траектории полета [6-9]. Динамика инерционных волн в жидкости, полностью заполняющей вращающийся цилиндр, экспериментально исследовалась в ряде работ (ссылки в [10-13]). Резонансное возбуждение
волн в жидкости, находящейся в полости ротора, является основной причиной потери устойчивости стационарного вращения роторной системы.
Винтовые гармоники
Рассмотрим слой несжимаемой вязкой жидкости, находящейся в бесконечном цилиндре кругового сечения, быстро вращающемся вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью А. Влиянием силы тяжести пренебрежем. Введем связанную с цилиндром неинерциальную цилиндрическую систему координат Огце , с осью 2, направленной по оси симметрии. Движение жидкости во введенной вращающейся системе координат описывается уравнениями Навье -Стокса и несжимаемости
-[у,го1 у]= -V
т
2
р У
[Аг]
2
2
+
(1)
р 2
+ 2[у, А] + пАу, &уу = 0, где у - вектор скорости; р - плотность; V -коэффициент кинематической вязкости; р -давление.
Уравнения (1) допускают частные решения в виде винтовых потоков
, , .л2'
2 2
где К - вещественное число. В случае идеальной жидкости V = 0 представляет интерес винтопотоковое решение следующего вида:
у = У( г,ф) / (К2 + 20?). (3)
ку = го1у,
р = р\Ч -2у2 + 4[А,г]2),
(2)
Если функция / (к + 20?) представляет собой гармоническую волну / (к + 20?) = = ехр[/(К2 + 20?)], то вектор-функция У(г,ф) должна удовлетворять уравнению
го1 У - КУ + /к[е2, У] = 0,
где е 2 - единичный орт вдоль оси 2.
В невозмущенном движении жидкость движется вместе с заключающей ее вращающейся твердой цилиндрической оболочкой как единое целое:
У0 = 0,Р0 = Ра + 2р02(г2 -Ъ2), (4)
где ра - давление в полости цилиндра, свободной от жидкости; Ъ - радиус свободной невозмущенной поверхности.
После линеаризации около невозмущенного состояния (4) течение вязкой жидкости в слое описывается уравнениями
— = -V Р + 2[у, А]+пАу, diуy = 0, (5)
Э? р
с граничными условиями, отражающими физические требования прилипания частиц жидкости к боковой стенке полости г = а:
у = 0, (6)
равенства нулю касательных напряжений, непрерывности нормального напряжения и кинематическое условие на свободной поверхности жидкости г = Ъ:
1 du + dv v о dw + du о Ъ dj dr Ъ dr dz
r^2i 7 du dh
_ p _ pW Ъh + 2m— = 0,----------------------u = 0.
dr dt
(7)
говоря, комплексное число. Как видно из (11), диапазон частот, в котором во вращающейся вязкой жидкости может быть возбуждена распространяющаяся с затуханием инерционная волна, ограничен |а| < 20. В безграничной жидкости направление распространения инерционной волны определяется ее частотой, групповая скорость волны (при V = 0) равна
с „ = 2 |й - МЪА
& k У k Применяя к (8) операцию rot, получим
Dv+k2v=0. (12)
Уравнение (12) имеет наиболее простой вид в проекции на ось z:
2
a
2
2
v 1 a 1 _
dr2 r dr r2 d j2 dz2
V /
w =0. (13)
г Эг г Эф
Подставляя (9) в (13), находим, что амплитуда ^*(г) осевой компоненты вектора скорости должна удовлетворять уравнению Бесселя:
d 2w*
1 dw*
/
dr
2
+ —
r dr
2
\
_ mmr+я2
r
V /
w* = 0.
(14)
где Я2 = К2 - к2. Заметим, что амплитуды радиальной и* и азимутальной V* скоростей связаны с w* следующим образом:
гт К гк dw*
и* =w* +
Я2 r тк
Я2 dr
k dw*
Здесь u, v, w - радиальная, азимутальная и осевая компоненты вектора скорости v, m = pv - коэффициент динамической вязкости; функция h( р) определяет свободную поверхность жидкости r = b + h( р).
Уравнения (5) допускают частные решения вида
kv = rot v , (8)
v = v*(r )e‘(wt+kz+mp), m = 0, ± 1, ± 2,... (9)
p = -2pWk _1w, (10)
если циклическая частота а и k, k связаны между собой соотношением
аж - 2Wk - iVK3 = 0. (11)
В этом нетрудно убедиться, применяя операцию rot к первому уравнению (5) и используя (8). В вязкой жидкости ж, вообще
Я2Т-- Я2 1Т (15)
Ниже индекс «*» у амплитуд будем опускать.
Инерционные моды
Введем безразмерные переменные т = а / 0,
8 = Ъ / а, К' = Ка, к'= ка, г' = г / а, г' = 2 / а,
Г = ^
It2 _ 1.
Штрихи далее опускаем.
Уравнение (11) в безразмерных переменных имеет вид:
тк - 2к + /Ек3 = 0, (16)
2
где Е = V /(0а ) - число Экмана. Один из корней уравнения (16) связан с крупномасштабным движением жидкости
1
К = —
s
.t + г —
3E s
V /
iS
s
t
------i —
3E s
v /
(17)
а два других корня слоями
с вязкими пограничными
+
+
2
2
к3 = —
5 . %
-----+ і —
3Е 5
V /
/Уз/ ~2~
5
зЕ
5 = | - 27/к + 3^3іі3Е_1 - 81к2
1/3
где
многих случаях число Экмана Е очень мало, и если величина % не близка к нулю, то ку
выражаются приближенно через к следующим образом:
к1 = - к + іЩ- к 3 + О( Е2),
ку=
к
- - + О(Е) (у = 2,3). %
т
— 1—Г + г
\т\
V 1 У
Обратим внимание, что К1 имеет малую мнимую часть, стремящуюся к нулю при Е ® 0 . В отличие от К , мнимые части К2, К3 велики.
Учитывая (15), можем искать решение только для осевой компоненты скорости w. Это решение можно представить в форме
w= х х с^т-81 у )(яуг), (18)
I=1 у=1
где Су - константы, причем С12 = С13 = С31 = 0, 81 у - дельта Кронекера, 2^ (Я1г) = Зт (Я1г), 2£)(Я1г) = Ут (Я1г) - функции Бесселя;
2т)(Яуг) = Ят-1)(Яуг) при (I = 2,3; у = 2,3),
Нт-1)(Яуг) - функция Ганкеля порядка т; Яу
(1т Я у > 0) соответствуют Ку . Заметим, что в
(18) наряду с функциями Бесселя 1-го и 2-го рода используются функции Ганкеля, которыми удобнее пользоваться для описания пограничных слоев по сравнению с другими цилиндрическими функциями. Функция
НРЯг) обращается в нуль при бесконечном
значении комплексного аргумента, когда мнимая часть аргумента положительна, а
Н^)(Яг) обращается в нуль, когда мнимая
часть аргумента отрицательна. Подставляя решение (18) в граничные условия (6), (7), преобразованные с использованием (12) так, что они содержат только осевую компоненту скорости, получим:
3 3
XX
/=1у =1
ш(к у - к) (/-х Л
^ 51 у (і,)+
%4
5 ’ +
/
> Е2/3. Во
А 7(/-5і у)(
о 7т-1 (
1у
Су = 0:
3 3
XX
/=1у =1
т(ку -к) 7(/-51 у)(1 )-
7т (Л})
С = °:
3 3
XX
/=1у =1
-ку 7V-51 у)(1 ) з 7т-1 (1у)
ЯУ ^
X X ^-51 у )(1 у )Су = °:
/=1у =1
2т (ку - тк - к) - куіуд2 7(/-5.)
А2
іт~01 у )(і у5) -
2(ку -тк) 7(/-51 у)(1 5) 0 7т-1 (1у5)
3 3
XX
/=1у =1
т(к2 - 2к2 + кук) (/-5 л
у о2—^^51 у (іу5) -
і,
(ку2 - 2к* )5 7(/-5! у )
СГ у; (1у5)
Су = °,
3 3
XX
/=1у =1
2 т(ку - к)
к у
я2%
2ітЕ(т2к у - т2к + тк у - к + к1у52) 4
22
і5
х 7т/-51 у )(1у5) +
/ к5 2іЕ(тк у - к)ч
-----1-----------
у у
Й--!51 у Ч'5 )
Су = °.
Из условия разрешимости последней системы уравнений относительно шести неизвестных постоянных Су получаем
дисперсионное уравнение. В соответствии с приведенными здесь выражениями частное решение в виде волны есть собственная функция краевой задачи (5)-(7), которая не является самосопряженной. Эта функция представляет собой суперпозицию шести разномасштабных винтовых движений, два из которых крупномасшабны, а остальные
1
2
х
+
мелкомасштабны и формируют пограничные слои. Заметим, что матрица Су является плохо
обусловленной, поэтому при вычислениях целесообразно следующим образом переопределить часть коэффициентов Су :
С2 2 = С22Н£}(Я28), С2 3 = С23Нт1}(Я38),
С32 = С32Нт2)(Я2), С33 = С33Нт2)(Я3).
На рис. 1 и 2 представлены действительная и мнимая части волнового числа к для мод
п = 1,4 при Е = 10-6, т = 1 и 8 = 0,7. Ветвям дисперсионной кривой присвоены номера в соответствии с мерой удаления от оси абсцисс.
Рис. 1
1т к (1,05
0,04
0,0 >
0,02
0.1)
I
■ г
/ I
' I
Л {
;
и о.: о,.: г>.1, о,» I 1.2 :.л 1,6 1.Е Рис. 2
Каждой ветви соответствует определенная мода (форма) колебаний. С уменьшением
коэффициента 8 (увеличением толщины слоя жидкости) дисперсионные кривые
располагаются более плотно. Для сравнения на рис. 1 пунктиром приведены дисперсионные кривые в предельном случае нулевой вязкости. Чем ниже номер моды, тем сильнее сказывается влияние вязкости на действительной части к, приводя к увеличению длины волны и росту фазовой скорости вдоль оси 2 по сравнению с невязким случаем. Изменение коэффициента затухания (мнимая часть волнового числа) с изменением номера моды происходит в
противоположную сторону, что понятно:
увеличение номера п влечет усложнение пространственной структуры моды и увеличение потерь. Увеличение номера т заметно сказывается на низших модах, приводя к увеличению волнового числа к. С
уменьшением коэффициента 8 (увеличением
толщины слоя жидкости) дисперсионные
кривые располагаются более плотно.
Заметим, что при V = 0 дисперсионное уравнение приобретает компактный вид:
к \у1т -1(| к| У) - т \к\8уУт -1(| к 187) -к 8уЗт -1(1 к\8у) -
,(| к IУ)
2т 2
т-------+ 4 - т
т
2т 2
т------+ 4 - т
т
К (| к| 87) (I к 187)
X к У7т-1( к У) - т (\ - ^ 1 ■Т *т (|к У) =0
1 1 V / -
и вычисление корней может быть проведено сравнительно легко.
На рис. 3 вычерчены графики проекций на ось 2 групповых скоростей с£ = С£ /(0а)
нескольких низших мод при т =1 и 8 = 0,3 (при т Ф 0 существует также азимутальная компонента групповой скорости). При частоте волны, равной удвоенной частоте вращения, групповая скорость ненулевых мод обращается в нуль и имеет место неограниченный резонанс. Этим объясняется внимание к нелинейному ограниченному решению (3), существующему при резонансной частоте.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 06-01-00270 и № 06-02-17158).
Список литературы
Рис. 3
X
X
1. Соболев, С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев // ПМТФ. 1960. № 3. С. 20-25.
2. Дерендяев, Н.В. Об устойчивости
стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью / Н.В. Дерендяев, В. М. Сандалов // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. № 4. С. 578-586.
3. Дерендяев, Н.В. Устойчивость стационарного вращения ротора, заполненного стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью / Н.В. Дерендяев, В.М. Сандалов // Машиноведение. 1986. № 1. С. 19-26.
4. Derendyayev, N.V. Stability and Andronov-Hopf bifurcation of steady-state motion of rotor system partly filled with liquid: continuous and discrete models / N.V. Derendyayev, I.N. Soldatov, A.V. Vostrukhov // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 2006. № 4. P. 580-589.
5. Rieutord, M. Inertial modes in the liquid core of the Earth / M. Rieutord // Phys. Earth Plan. Int. 1995. V. 90. P. 41-46.
6. Stewartson, R. On the stability of a spinning top containing liquid / R. Stewartson // J. Fluid. Mech. 1959. V. 5. P. 577-592.
7. Stewartson, K. On the motion of a liquid in a
spheroidal cavity of a processing rigid body / K. Stewartson, P.H. Roberts // J. Fluid Mech. 1963. V. 17. P. 1-20.
8. Rumyantsev, V.V. Stability of motion of solid bodies with liquid-filled cavities by Lyapunov's method / V.V. Rumyantsev //Adv. Appl. Mech. 1964. V. 8. P. 183-232.
9. Saito, S. Self-excited vibration of a rotating hollow shaft partially filled with liquid / S. Saito, T. Someya // Trans. ASME. Journal of Mechanical Design. 1980.
V. 102 (1). P.185-192.
10. Herbert, T. Viscous fluid motion in a spinning and nutating cylinder / T. Herbert // J. Fluid Mech. 1986. V. 167. P. 181-198.
11. Kobine, J. J. Inertial wave dynamics in a rotating and precessing cylinder / J.J. Kobine // J. Fluid Mech. 1995. V. 303. P. 233-252.
12. Manasseh, R. Distortions of inertia waves in a rotating fluid cylinder forced near its fundamental mode resonance / R. Manasseh // J. Fluid Mech. 1994. V. 265. P. 345-370.
13. Manders, A.M.M. On the three-dimensional structure of the inertial wave field in a rectangular basin with one sloping boundary / A.M.M. Manders, L.R.M. Maas // Fluid Dynamics Research. 2004. V. 35.
WAVE MOTION IN A LAYER OF ROTATING VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID
N. V. Derendyayev, I.N. Soldatov
It is well known that rotors and spin-stabilized projectiles carrying liquid payloads can suffer dynamical instability. A rotating body of fluid is capable of supporting a unique type of wave motion through the action of the Coriolis force. Such waves are usually called inertial waves. We conduct a theoretical analysis of wave processes in a rotating layer of fluid. The mathematical problem for the flow in a rotating right circular cylinder admits a solution in the form of superposition of wave modes. The wave mode can be represented as a sum of six screw harmonics: two of them forming the central core of the flow, the other ones forming viscous boundary layers. Dispersion relations of inertial waves in the layer are studied in detail. The obtained solution is used in the problem of stability of a rotor with a fixed point.
P. 1-21.
