Волновой пакет (солитон) крутильных колебаний струны как модель элементарной частицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ (СОЛИТОН) КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ КАК МОДЕЛЬ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЧАСТИЦЫ

Л.Г. Каплан

WAVE PACKET (SOLITON) OF STRING TWIST OSCILLATIONS AS ULTIMATE PARTICLE MODEL

L.G. Kaplan

The following mechanism has been revealed: a non-stretched string moves lengthwise through two slidable holes and between them a wave packet of twist oscillations is formed. This wave packet is interpreted as the soliton model of ultimate particle. It is shown, that for the wave packet - the model of ultimate particle - the principal quotations of quantum mechanics and special theory of relativity are true.

Рассмотрен механизм, когда нерастяжимая струна движется продольно через два тонкие скользкие отверстия, а в промежутке между ними формируется волновой пакет крутильных колебаний. Этот волновой пакет интерпретируется как солитонная модель элементарной частицыi. Показано, что для волнового пакета - модели элементарной частицыi выполняются основные соотношения квантовой механики и специальной теории относительности.

1. Введение

Физическая модель элементарной частицы интерпретирована как волновой пакет (солитон [3]) крутильных механических колебаний, локализованный на отрезке натянутой струны. Принято, что глобальные характеристики пространства определяют следующие фиксированные параметры струны: максимальное отклонение 2a, натяжение F и линейную плотность р . Классические результаты, относящиеся к плоским колебаниям колеблющейся струны - простейшего гармонического вибратора, взяты за основу. Далее рассматриваются интегральные характеристики волнового пакета крутильных колебаний и взаимозависимости между этими характеристиками.

2. Плоские колебания нерастяжимой струны

Полагаем, что нерастяжимая струна ориентирована по x, закреплена с одного конца жестко, а с другого - через скользкое тонкое отверстие (рис. 1). Скорость распространения поперечных колебаний зависит от натяжения F и линейной плотности струны р [4, 5]

с = 4ЁГР. (1)

Стоячая волна с круговой частотой w в плоскости xoy определяется суммой бегущих в противоположных направлениях волн одинаковой амплитуды [4, 5] y(x, t) = a sin w(t + x / с) - a sin w(t - x / с) =

= 2a cos at sin(ax /с).

Точку закрепления струны считаем начальным значением координаты x— = 0 . Возможные значения координаты отверстия соответствуют значения отклонения струны, равные нулю

x2 = npc / w , где n - целое число, определяющее порядок обертона. В дальнейшем считаем, что n фиксировано. Волновой пакет формируется между точками x— и x2, за пределами этих точек струна неподвижна. Следовательно, длина волнового пакета равна

l = npc / w . (3)

Скорость движения некоторой произвольной точки струны по y определяется дифференцированием (2) по времени:

vy (x, t) = 8y / 8t = -2aw sin wt sin(wx / c). (4)

Удельная (на единицу длины) кинетическая энергия струны равна [4, 5]

ek(x,t) = — pv2 = 2a2ю2psin2 cotsin2(—). (5) 2c

Суммарная кинетическая энергия струны

равна

Ek = |ekdx = 2a2w2psin2 otjsin2(wx/c)dx -

. 2 y-.-rf I 2 / wx / c )dx =

o ' (6)

2 2 2 2 2 = a w l p sin wt = np a cap sin wt.

Максимальное значение этой энергии достигается в моменты времени, при которых sin wt = 1:

Ектах = ппа2соР • (7)

Среднее по времени значение суммарной кинетической энергии равно половине максимальной величины [4, 5]

< Ек >= ппа2сор /2. (8)

Как следует из (7, 8), среднее и максимальное значения кинетической энергии пропорциональны частоте. Это обусловлено тем, что удельная энергия (5) пропорциональна квадрату скорости участка струны и, соответственно, квадрату частоты, а длина вибратора (3) обратно пропорциональна частоте.

При колебаниях нерастяжимой струны ее длина между точкой закрепления и отверстием изменяется, что приводит к ее проскальзыванию в прямом или обратном направлении через это тонкое отверстие. Вычислим длину струны между точками х1, х2 в зависимости от времени. Длина малого отрезка струны ds равна (рис. 1) йи =

X2 + йу2. (9)

Считаем, что отклонение струны мало по сравнению с ее длиной |утах| << I. На рис. 1,

2 масштаб отклонений струны увеличен для улучшения разборчивости. Приводим (9) к следующей форме

йи @ йх(1 + 2(су / ах)2). (10)

Рис. 1. Плоские колебания нерастяжимой струны; порядок обертона п=4,2а - предельное отклонение.

Возьмем производную отклонения струны (2) по расстоянию

cy / Cx = 2a W cos wt cos(wx / c). (11)

c

Полученное значение производной подставим в (10) и, используя (3), вычислим длину струны в зависимости от времени

l w 2

S = J(1 + 2a2 — cos2 wtcos2(wx(c))dx = 0 c

w 2 l

= l + 2a2 —— cos2 wt J cos2(wx / c) dx =

0

= l + a2 — lcos2 wt = l + nn —a2 cos2 wt .(12) c c

Отсюда максимальное и усредненное по времени увеличение длины струны AS = S -1 по сравнению с исходным неподвижным состоянием соответственно равно

w 2 1 w 2 ASm= nn—a ; <AS >=— nn—a . (13)

max j v '

c 2 c

Полагаем, что параметры струны в ее неподвижном состоянии не наблюдаемы и являются фоновыми, а наблюдаемой массе вибратора соответствует произведение среднего увеличения длины струны на ее плотность

mb = р <AS >=1 nnwa2р . (14)

2c

Произведение приложенной к струне силы на среднее (максимальное) увеличение длины струны соответствует средней (максимальной) потенциальной энергии этой внешней (по отношению к вибратору) силы I- 1 w 2 Г w 2 т-

< EP >= Тnn~a ; EPmax = nn~aF . (15)

2 c c

Подставляя значение силы из (1) в (15), получаем

< Ep >= 2nnwca2р ; Epmax = nnwca2р . (16)

Таким образом, несмотря на некоторое изменение механизма колебаний по сравнению с классическим, сохраняется равенство средних, а также максимальных значений кинетической и потенциальной энергии

< Ep >=< Ek >; Epmax = Ekmax . (17)

3. Крутильные колебания нерастяжимой струны

Рассматриваем двумерные крутильные колебания струны и проекции отклонения струны в плоскостях xoy (2) и xoz (рис. 2). Полагаем, что амплитуды и частоты отклонений одинаковы, а их фазы в разных плоскостях смещены по времени на угол ж /2 [4, 5]

y (x, t) = 2a cos wt sin( wx / с); z (x, t) = 2a sin wt sin( wx / с). (19) Тогда струна вращается как целое и ее каждая точка описывает круговую траекторию около оси x с радиусом равным

r(x, t) = 2a sin( wx / с) . (20)

Длина струны остается постоянной, а увеличение ее длины по сравнению с неподвижным состоянием равно максимальному значению при плоском колебании (13)

AS = npw a2. (21)

с

Наблюдаемая масса вибратора определяется удлинением струны

mb = pAS = npwa2р . (22) с

Кинетическая энергия гармонического вибратора равна сумме составляющих по координатам, т.е. двойной величине (8)

Ek = npa2сpw .

(23)

Сопоставляя (14, 16), получаем равенство

< Ek >=< Ep >= тьс .

(18)

Сделаем важное допущение. Полагаем, что при формировании стоячей волны увеличение длины струны происходит не вытяжением через отверстия, а посредством свободного прихода массы из окружающего пространства (от соседних нитей). Тогда потенциальная энергия должна быть принятой равной нулю

ЕР = о.

(Смотри также [6] для локального процесса в жидкой сплошной среде). Полная энергия тогда равна кинетической энергии

Е = Ек = ппа2cpw . (24) Сопоставляя полученные результаты (22, 24), приходим к выводу, что для вращающегося вибратора справедливо соотношение

2

масса-энергия Эйнштейна (при c - скорости звука в струне)

E = mbc2. (25)

Используя обозначение модифицированной постоянной Планка (постоянной Дирака) [2], для произведения постоянных коэффициентов в (24)

• = ппа 2 cрю (26)

и записываем

E = •о . (27)

Из (3) и (27) следует обратно пропорциональная зависимость между длиной волнового пакета I и его суммарной энергией

E = •птк/1 . (28)

Определим момент импульса вращающейся струны

л2

M = | рvrrdx.

(29)

Здесь г отклонение некоторой точки струны от оси x (20), уг - скорость вращения, в соответствии с (4), равная,

уг = ±2аа sin(fflx/c), (30)

причем знак скорости зависит от направления вращения струны. Подставляя (20, 30) в (29), получаем

2

M = ±4a2ар Гsin2(fflx/c)dx =

I (31)

= ±2a 2ар l = ±2пncрa2 = ±2^. Таким образом, абсолютная величина момента импульса неизменна и характеризуется спином равным 2, а знак зависит от направления вращения струны. Для известных элементарных частиц значения спина равны У (электрон, протон, нейтрон) или 1 (фотон). Исключительно интересный вопрос -сравнение величины спина модели и реальных элементарных частиц - может явиться предметом дальнейшего рассмотрения.

4. Ускоренное движение волнового пакета

Дополнительно модифицируем структуру механизма колебаний нерастяжимой струны (рис. 2). Струна движется с некоторой скоростью vp справа налево через тонкие скользкие отверстия, находящиеся друг от друга на расстоянии l. Систему отсчета, связанную с отверстиями, считаем переносной, а со струной - абсолютной. Волновой пакет локализован между двумя отверстиями, фиксирующими его начало и конец. В переносной системе координат (относительно отверстий) волновой пакет неподвижен и может рассматриваться как стоячая волна. В абсолютной системе (относительно струны)

Разрез по А-А

порядок обертона п=4, v(D) - скорость движения волнового пакета относительно струны, Vp - скорость струны относительно волнового пакета, Е - сила растяжения, - ускоряющая сила; справа - поперечный разрез.

пакет движется со скоростью, равной v(ф) = Vр , и может рассматриваться как бегущая волна.

Волновой пакет в промежутке между отверстиями является суперпозицией двух волн. Прямая волна, отразившись от отверстия слева, смещается вправо с переносной скоростью v1 = c - vp, а, обратная, отразившись от отверстия справа, смещается влево со скоростью v2 = c + vp . С учетом этих скоростей записываем, исходя из (2), величину отклонения струны по у

y(x, t) = a sin w(t + -

c + v

-) - a sin w(t - -

c - v

)=

f

= 2a cos w

t-

v x

p

2 2 C - VP 0

sin

wxc

2 2 C - V.p

(32)

Отклонение по z сдвинуто по фазе на p /2

í v x \

z (x, t) = 2a sin w

t-

v x

p

2 2 c - v

p 0

sin

wxc

2 2 c - v

p

(33)

В слабом дорелятивистском приближении пренебрегаем величиной второго порядка малости v2/c2 < 1. Тогда (32, 33) приобретают следующий вид

y (x, t) = 2a cos w(t - vpx / c 2)sin( wx / c); (34)

z(x, t) = 2a sin w(t -vpx/c2)sin(wr /c). (35)

Полученные формулы отличаются от исходных (19) только малым слагаемым под знаком cos и sin в первом множителе, характеризующем сдвиг по фазе внутри движущейся стоячей волны. Поступая подобно де Бройлю, рассматриваем характерный множитель в (34) в качестве волновой функции [2]

yy = cos w(t - vpx / c2). (36)

Далее рассматриваем ускоренное абсолютное (по отношению к струне в целом) движение волнового пакета, локализованного в промежутке между тонкими отверстиями. При этом считаем, что отверстия механически связаны с волновым пакетом. За основу принимаем соотношения для отклонений по осям (34, 35). Поскольку эти соотношения отличаются от (19) только фазовым множителем (36), зависимости раздела для

неподвижного волнового пакета (24, 27) остаются справедливыми.

Принимаем, что волновой пакет изначально неподвижен в абсолютной системе, его энергия и наблюдаемая масса соответственно равны Е = Е0, ть = тЬ0. К волновому пакету как механическому объекту приложена внешняя сила, направленная по оси x, которая изменяет импульс волнового пакета Р

F (D)=dp =d (mbv( D)) dt dt

(45)

При этом при скорости волнового пакета v(D) происходит приращение энергии

волнового пакета, за время dt равное

йЕ = Е(ф) v(ф) dt = v(ф) йр . (46) Дифференциал импульса волнового пакета равен

йр = ть dv(ф) + v(ф) йть. Умножая на скорость v(ф) обе части этого равенства и используя (46), приходим к равенству

dE = mb v(D) dv(D) + v2 (D) dmb .

(47)

Поскольку энергия и наблюдаемая масса волнового пакета связаны линейно (25), то

dE = dmb c2 .

(48)

Подстановкой (48) в (47) получаем дифференциальное уравнение

dmbc2 = ть v(ф) dv(ф) + v2 (П) йть . (49) После разделения переменных оно приводится к следующей форме

dmb =-1 d (c2 - v2(D)) mb ~ 2 c2 - v2(D)

(50)

После взятия интеграла получаем зависимость, известную по специальной теории относительности (СТО) [1]:

тЬ = тЬо I 1 =. (51)

л/1 - v2(D)/c2 Учитывая (25), записываем также

E = E

1

(52)

л/1 -v2(ф)/c2 ' где тЬо, Ео - параметры волнового пакета при нулевой абсолютной скорости, тЬ, Е -

x

x

параметры при скорости у(П).

Расстояние между отверстиями / фиксировано и, в соответствии с (28), зависит от суммарной энергии колебаний Е

/ = •прс /Е . (53)

Используя (32), получаем зависимость между длиной волнового пакета и его скоростью, известное как сокращение Фитцджеральда-Лоренца

/ = /од/1 -У2(П)/С2 . (54)

Таким образом, при увеличении скорости происходит одновременное увеличение массы и энергии волнового пакета, а также уменьшение его длины по сравнению с первоначальной /о . При этом, как следует из вида формул (4о, 41, 42), предельная физически возможная скорость движения волнового пакета по струне не превышает величины скорости звука с (скорости света в СТО).

5. Заключение

В настоящей работе построена соли-тонная модель элементарной частицы. Физическое пространство упрощено представлено как система натянутых струн. Далее рассмотрен следующий механизм. Нерастяжимая струна движется продольно через два тонкие скользкие отверстия. В промежутке между ними распространяются прямая и обратная волна крутильных колебаний, попеременно отражаясь от указанных тонких отверстий. При равенстве амплитуд и сдвиге по фазе по поперечным координатам, равном р / 2 , в промежутке между отверстиями формируется волновой пакет крутильных колебаний. Относительно отверстий сформировавшийся пакет является пакетом стоячих волн, а относительно струны в целом -бегущих.

Волновой пакет интерпретируется как модель элементарной частицы, параметры которой равны соответствующим интегральным параметрам волнового пакета (наблюдаемая масса, энергия, импульс, момент импульса). Для волнового пакета выполняются основные соотношения квантовой механики и специальной теории относительности:

- зависимость энергии и частоты;

- зависимость импульса и волнового вектора;

- независимость спина (равного для принятой модели частицы двум) от скорости частицы;

- соотношение масса-энергия Эйнштейна;

- зависимость масса-скорость при ускоренном движении;

- сокращение продольного размера Лоренца - Фитцджеральда.

Таким образом, предложенная модель объединяет в себе многие представления СТО, квантовой механики и классической теоретической механики. Оставлен для дальнейшего обсуждения вопрос о возможности интерпретации представленной модели как упрощенного реального описания элементарной частицы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма-новские лекции по физике. Т.1 Современная наука о природе. Законы механики. Т. 2. Пространство, время, движение. - М.: Мир, 1977. - 439 с.

2. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1983. - 664 с.

3. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989. - 323 с.

4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма-новские лекции по физике. Т. 7 Физика сплошных сред. -М.: Мир, 1977. - 288 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

6. Каплан Л.Г. Движение и силовое равновесие локального процесса (солитона) в сплошной жидкой среде. - Минск, ИФЖ, 2000. Т. 73.-№ 2. - С. 358-369.

Об авторе

Каплан Лев Григорьевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий кафедрой теоретической физики Ставропольского государственного университета. Область научных интересов - локальные процессы (солитоны) в сплошной жидкой среде и атмосфере звезд и Солнца, моделирование мощных конвективных процессов в атмосферах Земли и Солнца.