Волноводнодиэлектрические резонаторы сложной структуры. Аналитический расчет Текст научной статьи по специальности «Математика»

показали, что для крупномасштабных неровностей индикатриса обратного отражения световых волн носит диффузный характер.

Литератрура: 1. Гапшис В. А. Координатные измерительные машины. М.: Машиностроение, 1988. 352с. 2. Оптический производственный контроль / Под ред. Малакары Д. М.: Машиностроение, 1985. 400с. 3. Абле-ков В.К., Колядин С.А., Фролов А.Ф. Высокоразрешающие оптические системы. М.: Машиностроение, 1985. 244 с. 4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Гостехиздат, 1948. 352 с. 5. Стрэттон ДА. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948. 410с. 6. Исакович М.А. Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1952. Т.23. Вып 3(9). С. 305. 7. Семенов Б.И. Радиотехника и электроника. 1965. Т.10, № 11. С. 147. 8. Бугер П. Оптический трактат о градации света. Ленинград: Издательство АН СССР, 1950. 235 с. 9. Топорец А.С., Мазуренко М.М. Оптико-механическая промышленность. 1974. №11. С.59. 10. Иванов А.И, Топорец А.С. Журнал технической физики.1956, Т.26. Вып.3, С.631. 11. Иванов А.И, Топорец А.С. Журнал

УДК 621.372.8

ВОЛНОВОДНОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

СЛИПЧЕНКО Н.И._________________________

Проводится аналитический расчет волноводно-диэлектрических резонаторов двух типов. Для каждого из них получены системы линейных алгебраических уравнений в общем виде, позволяющие определить коэффициенты отражения и передачи рассматриваемых структур.

1. Введение

Твердотельные устройства СВЧ диапазона заняли прочное место в радиоэлектронике. Одним из важных компонентов таких устройств являются фильтры. Их физическая реализация разнообразна. Большинство из них представляет собой отрезки запредельного волновода, которые содержат диэлектрические неоднородности. Применение запредельных волноводно-диэлектрических структур в качестве базовых элементов СВЧ устройств обусловлено расширением функциональных возможностей последних, а именно: 1) конструктивная простота резонансного звена; 2) уменьшение габаритных размеров; 3) снижение стоимости изготовления; 4) повышение точности расчета параметров устройств; 5) использование низкопроницаемых материалов.

Практический интерес представляет изучение волноводно-диэлектрических фильтров в целях их последующего проектирования. Выбирая надлежащим образом параметры линии передачи—диэлектрическую проницаемость и геометрические размеры, можно реализовать фильтры с требуемыми частотными характеристиками.

технической физики. 1956. Т.26. Вып.3. С.623. 12. Топорец А. С., Мазуренко М.М. Журнал прикладной спектроскопии. 1967. Т.7, №6. С. 905. 13. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р, Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей. М.: Наука, 1975. 385 с. 14. Городинский Г.М. Оптика и спектроскопия. 1964. Т.16, №3. С.112. 15. Городинский Г.М., Шестов А.И. Оптика и спектроскопия. 1970. Т.29, №6. С.600. 16. Beckmann P. Proceeding of the IEEE. v.3, №5, 1970. Р.341. 17. Войшвилло Н.А. Оптика и спектроскопия. 1967. Т.22. Вып.6. С.956. 18. Шмаров В.М. Міжнародна конференція «Сучасні інформаційні та енергозберігаючі технології «Збірник наукових праць. Вип. №6. Видавництво «ФАДА-ЛТД». Київ, 1999. С.5-6.

Поступила в редколлегию 12.06.2004

Рецензент: д-р физ.-мат наук, проф. Чурюмов Г.И.

Шмаров Валерий Николаевич, канд. техн. наук, генеральный директор Украинской государственной компании по экспорту-импорту вооружений и средств военной техники (Укрспецэкспорт). Научные интересы: лазерные дистанционные средста измерений. Адрес: Украина, Киев, ул. Дегтяревская, 36.

2. Метод решения и цель работы

Для анализа рассматриваемых в работе волноводнодиэлектрических структур используется метод декомпозиции [2-4], в соответствии с которым весь электродинамический объект разбивается на элементарные подобласти, представляющие собой отрезки регулярных линий передачи. Границами частичных областей являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны (ось z ). В каждой из выделенных подобластей поля представляют собой суперпозицию падающих и отраженных волн конкретного отрезка линии передачи. Применительно к решаемой задаче будем считать:

1) высота подводящих и запредельных волноводов такова, что волны, имеющие вариации поля по оси У, не возбуждаются;

2) в подводящем волноводе (z < 0) в положительном направлении оси z распространяется основная волна прямоугольного волновода единичной амплитуды;

3) все волны, рассеянные на стыках различных волноводов, принадлежат к классу Hno .

С учетом свойства ортогональности применяемых при решении данной задачи собственных функций функциональные уравнения приводятся к системе линейных алгебраических уравнений, которые включают в себя бесконечное число неизвестных амплитудных коэффиц иентов. Ее можно записать в матричной форме AX = b, где X,b — векторы неизвестных амплитуд и свободных коэффициентов соответственно, матрица A имеет блочнодиагональный вид. Таким образом, расчет указанных выше устройств в математическом плане сводится к решению определенного класса граничных электродинамических задач, которые в свою очередь приводят к необходимости решать бесконеч-

РИ, 2004, № 3

9

ные СЛАУ. Алгоритмы решения данного класса систем реализуются методом последовательного исключения отдельных матричных субблоков, различные модификации которого описаны в [5-9].

Цель данного исследования — получить системы линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов падающих и отраженных волн в каждой частичной области резонатора, решая которые можно вычислить амплитудно-частотные характеристики рассматриваемых структур. В дальнейшем определяются элементы матрицы рассеяния рассматриваемой волноводнодиэлектрической структуры для анализа их частотных характеристик. Такие характеристики дают информацию о резонансных явлениях в запредельных волноводах с диэлектрическими слоями.

3. Двузвенный резонатор

Рассмотрим запредельный волноводно-диэлектрический резонатор с плоскими слоями. Он представляет собой три отрезка прямоугольного волновода сечений A , B , C , соединенных поочередно с двумя отрезками меньших сечений aj, a2 (a2 < aj < C < B < A ), и возбуждается волноводом большего поперечного сечения. Выбирая определенным образом значения проницаемости слоев, в волноводах меньших сечений создают участки с ^распространяющимися волнами—запредельные слои (рис. 1).

Пусть в подводящих волноводах при z < 0 возбуждаются волны Hmjo (mj = 1,2,...), при z > L3 — Hm30 (m3 = 1,2,...). Постоянные распространения этих волн обозначим через Р mj и Р m3 соответственно. Участки волноводов, имеющие продольные размеры I2 , /5, заполнены немагнитным диэлектриком с проницаемостями si, в2 соответственно. На этих участках возможны падающие и отраженные волны типа Hpo, p = 1,2,.... Постоянные распространения этих волн обозначим через

Р k, р , р k3, р ь, р V,, р

с

соответственно.

Каждая из рассматриваемых волн описывается своей функцией ф распределения поперечного электрического поля.

Поперечное электрическое поле Eу можно представить в виде суперпозиции падающих и отраженных волн на каждом участке волноводов:

Е у =ФіА (x)exp(-iPiAz) + EAmO m (x)exp(lpmz),

m=1

(1)

I X I I I

Ey = ЕФn(x)[B£ exp(-Pnz) + Bn exp(Pnz)], (2)

n=1

EIyI = ЕФIsI(x)[C+ exp(-ipIsI(z - /1)) +

s=1

+ Cs exp(ipII(z - /1))],

(3)

E^ = ЕФpII(x) [Dp exp(-pp^(z -/1 -/2)) + p=1

+ Dp exp(PpII(z -/1 -/2))],

Ey = E ®J(x)[EJ exp(-iPq (z - L1)) +

q=1

+ Eq exp(iPq(z - L1))] ,

(5)

X

EyV = ЕФnV(x)[B^ exp(-pnV(z - L2)) + n=1

+ Bn exp(PnV (z - L2))],

X

EV = ЕФ^7(x)[C+ exp(-ipV(z - L2 -/4)) +

s=1

+ Cs exp(ipV (z - L2 - /4))],

(6)

(7)

eV = ^(xMDpexpf-pVkz - L2 - /4 - /5)) +

~ p=1 VI (8> + Dp exp(371 (z - L2 - /4 - /5))],

EC = ЕФ C (x) exp(-ip C (z - L3 ))Eq (9)

q=1

Рис. 1. Двузвенный волноводно-диэлектрический резонатор

10

РИ, 2004, № 3

Подводящий волновод запитан основной волной прямоугольного волновода Hjq единичной амплитуды. Геометрические размеры и проницаемости слоев выбираются так, чтобы в каждом звене возникали участки с ^распространяющимися волнами (запредельные) [1]. При таких условиях амплитуды волн с большими номерами довольно быстро затухают по мере их удаления от сечений, в которых они возбуждаются. На электрическое поле Ey на границах областей, прилегающих к различным волноводам, налагается условие непрерывности. Такое же условие должно выполняться и в отношении поперечного магнитного поля Н x [1, 2].

В результате выполнения указанных выше условий получаем следующую систему функциональных уравнений относительно искомых амплитудных коэффициентов электромагнитных полей в каждой частичной области:

ЕФpII(x)[Dp exp(-pР11 /3) + Б" exp(PРП/з)] =

p=1

= ЕФ?(x)(Eq +E-) ,

q=i

ЕРp11 Фp11 (x)[-Dp exp(-pРп/з) + Dp exp(PpZI/3)] = Р=1

« D D

= EІР?Ф?(x)(-E;+E-), (17)

q=i

Z®S(x)[EJ exp(-ipJ(L2 - Li)) + q=i

ц ” IV ~ + ~ (18)

+ Eq exp(ipJ (L2 - Li))] = E ФП (x)(Bj +B -),

n=1

■ X . X T

Ф^ (x) + EAm ®J(x) =ЕФ n (x)(B ; +B -), (10)

m=i n=i

іР!АФ^(x) + i EPmAm®m(x) =

m=i

x

:EP П Ф n(x)(-B J+B - ) ,

n=i

uj t t t

ЕФn(x)[Bn exp(-pn/i) + B“ exp(Pn/i)] = n=i x TT

= ЕФ SI(x)(Cs++ c-), s=i

(11)

(12)

uj T T T T

E pn Ф n (x) [-B ; exp(-pn /1) + в - exp(P n/1)] =

n=1

” II II + (13)

= EiP?ФsI(x)(-C++ Cs-),

s=1

ЕФS(x)[C+ exp(-ipIsI/2) + C - exp(ips/2)] =

s=1

^ TTT

= ЕФ pII(x)(Dp+ Dp), p=1

Ei$®?(x)[-C+ exp(-ipIsI/2) + С" exp(ipIsI/2)] =

s=1

= EPpIIФ p"I(x)(_Dp + Dp),

p=1

(15)

EiPq®q (x)[_Eq exp(-ip® (L2 - Li)) + E“ exp(ip® (L2 - Li))] = q=i

= EP nv ф nv(x)(-B;+B-)

n=1

(19)

ЕФnV(x)[Bj exp(-pnV/4) +B- exp(PnV/4)] = n=1

= ЕФ V(x)(Cs++ c-),

s=1

(20)

X

EPnVФnV(x)[-Bj exp(-pnV/4) + B- exp(3nV/4)] =

n=1

X

= EiPV ф^7 (x)(-C+ + C-),

s=1

(21)

ЕФ V (x)[Cs+ exp(-ipV/5) + C- exp(iPV/5)] =

s=1

^ Л 7T ~ ~

= ЕФ V (x)(Dp + D-),

p=1

(22)

(14) EіР7фV(x)[-c: exp(—ipV/5) + C- exp(ipV/5)] =

s=1

= ер^ф Vi(x)(-d:+Dp)

(23)

p=i

p

E ф Vі (x)[DJ exp(-p Vі /6) + Dp exp(p Vі /6)] =

p=1

= ІФC (x)Eq ,

q=i

(24)

РИ, 2004, № 3

11

і zpV^Wx-d; expc-p^)+б- ехрірД)]=

p=i

= £фС(х)рСе+ .

q=i

(25)

= IPU-C m + Cm),

(29)

c m exp(-ip mm i2)+c m ехр(ір mm h)=d m+d m,(30) ір mm [-c m єхр(-ір mm i2)+c m ехр(ір mm i2)]=

= P imi(-Dm + Dm),

(31)

ECmp[Dp ехр(-рplIl3) + Dp ехр(РplIl3)] = Em + Em,

P=1

(32)

EPpCmpt-Dj ехр(-рріІІз) + б" ехр(РріІІз)] = p=1

= iPmU-Em +Em),

(33)

Em exp(-ipm(L2 - Li)) + Em exp(ipm(L2 - Li)) =

- ECmn(Bn +BnX

n=1

(34)

iP^-E* ехр(-іР£(Ь2 - Li)) +Em ехр(ір£ (L2 - Li))]:

= EP nV C mn (“В ;+B - ) ,

(35)

n =i

Из системы функциональных уравнений (10)-(25) следует такая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

Sim +Am = Ev nm(B J+E n ) , (26)

n=i

Д Д X I

- iPl5im + iPmAm = EPП(_Вm +Bn)vnm , (27)

n=i

Bm ехр(-р m ii)+Bm ехр(р m ii)=(c m+c m),(28) p m [-Bm ехр(-р m ii)+Bm єхр(р m ii)]=

§m ехр(-р mv 14)+Bm ехр(р nv i4)=c m+c m, (36)

p m [-b m ехр(-р m i4)+в m ехр(р m i4)]=

=ip m(-c m+c m),

(37)

c m єхр(-ір m is)+c m ехррр m i5)=d m+d m,(38) ip m[-c m ехрнр m is)+C m єхр(ір m is)]=

= P mi(-Dm + Dm),

E ^mp[Dm ехр(-Р^i6 ) + Dp ехр(РVi6 )] = Em

p=i

(39)

(40)

i Z PVіSmp [-D; ехр(-р Vіi6) + D- ехр(Р Vіi6)] = pSEm.

p=i

4. Трехзвенный резонатор

(41)

Для трехзвенного резонатора (рис. 2) система (1)-(8) дополняется уравнениями:

ЕC = Е фC (х) [Eq ехр(_ipC (z - L3))

q=i

+ Ё“ ехр(1РС (z - L3))] ,

E ™ = ЕФ Г(х)[Вп+ ехр(-ір nVII(z - L4)) -n=i

(42)

Bn ехрррnV(z - L4))],

EVIII = ЕФ^(х)[С+ exp(-iPVIII(z-L4 -i7))-

s=i

(43)

-Cs-exp(iPVIII(z -L4 -i7))]

(44)

Рис. 2. Трехзвенный волноводно-диэлектрический резонатор

12

РИ, 2004, № 3

EyX = ЕФpX(x)[D+ exp(-ippX(z - L4 -/7 - /8)) +

p=1

+ Dp exp(ipPX(z - L4 -/7 - /8))], (45)

= Z Ф^Х^РНР!^ - L5))Eq . (46)

q=i

Выводы

1. В результате решения поставленных граничных электродинамических задач получены в общем виде без наложения каких-либо ограничений системы линейных алгебраических уравнений, из которых могут быть найдены амплитудно-частотные характеристики изучаемых объектов. Решение указанных систем проводится численно с использованием ЭВМ.

Для трехзвенного резонатора к системе (26)-(41) добавляются следующие уравнения:

Ёmexp(-iPm(L4 - L3)) +

+ё mexp(iPm(L4 - L3))=

»~ ~ ~ _ (47)

- Z&mn(Bn + Вп), n=1

iPm[-E m exP(-iPm(L4 - l3))+

+ Emexp(ipm(L4 - L3))] =

= 2РГС mn(-BJ+Bn ),

n=1

в m exp(-p mII/7)+в m exp(p +%)=c m+c m ,(49)

pmII[-B m exp(-pmII/7)+в m exp(pmII/7)]= =ip mIII(-C m+c m),

(50)

c m exp(-ip mIII/8)+c m exp(ip mIII/8)=d m+d m,

(51)

ip mIII[-C m exp(-ip mIII/8)+c m exp(ip =

= PIX(-D+ + D_ ) (52)

2. Для случая одноволнового приближения, когда в соответствующих рядах удерживается только первое слагаемое, бесконечные системы становятся конечными. Это позволяет получить относительно простые выражения для коэффициента отражения и коэффициента передачи рассматриваемых резонаторов.

3. При анализе составления систем уравнений в общем виде просматривается алгоритм их написания для N-звенного волноводно-диэлектрического резонатора, что определяет перспективы данного исследования.

Литература: 1. Капилевич Ю.Б. Волноводные диэлектрические фильтры. М.: Связь, 1980. 136с. 2. Кириллов Л.Г., Двоскина Ю.Н. СВЧ устройства на запредельных волноводах (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника, 1974. №3. С.93-120. 3. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. 4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 5. Никольский В.В. Вариационные методы для задач дифракции (обзор) // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1977. Т.ХХ, №1. С.5-44. 6. Сигорский В.П., Петренко А.И Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов. радио, 1976. 7. Брамеллер А., Аллан Р., Хемэм Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. 8. Hajj I.N. Formulation of multiport equation via blok matrux elimination. Proc. IEEE, 1978. Vol. 66, №10. P. 1275-1277. 9. Козлов В.И., Юфит Г.А. Проектирование СВЧ устройств с помощью ЭВМ. М.: Сов. радио, 1975.

Поступила в редколлегию 12.02.2004

X ~~mp[Dp exP(-PpX/9) + DP exP(PpX/9)] = Em ,(53) Р=1

12 p? Lp[-D+ exp(-ppX /9)+D- expcpjf /9)]=p+E +

p=1

(54)

Рецензент: д-р физ.-мат наук, проф. Чурюмов Е.И.

Слипченко Николай Иванович, канд. техн. наук, профессор, проректор по научной работе ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика и электроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 702-10-20.

РИ, 2004, № 3

13