CC BY
14
№ 2 (38) 2012
С. В. Астанин, докт. техн. наук, профессор Таганрогского государственного педагогического института
Н. К. Жуковская, канд. техн. наук, заместитель директора Таганрогского филиала НОУ ВПО «Российский новый университет»
Внутрифирменные механизмы распределения ограниченных ресурсов на основе переговорного процесса
Аппарат теории игр находит широкое применение в решении экономических задач. Вместе с тем в ряде случаев возникает необходимость учитывать некоторые факторы, которые при классическом подходе во внимание не принимаются.
Введение
Задача управления ресурсами относится к числу классических задач управления, при решении которых стали широко использоваться математические методы. Это связано с наличием хорошо отработанных экономико-математических моделей, эффективно реализуемых средствами вычислительной техники. Вместе с тем в последние годы стала меняться концепция, положенная в основу исследования и управления экономическими системами, что определяется, в первую очередь, изменением взглядов на предприятие, которое рассматривается не только как производственный или экономический объект, но и как социальная система. Общим недостатком существующих моделей распределения ресурсов, с точки зрения использования системного подхода к решению задачи распределения ресурсов, является игнорирование человеческого фактора в моделях, наличия системной цели и частных интересов, взаимодействия элементов систем и т. д.
Одно из направлений исследований, позволяющих сгладить возникшие противоречия, — поведенческая теория игр. В классическом теоретико-игровом анализе важнейшую роль играют понятие игры в нормальной форме (как модели взаимодейст-
118 у
вия агентов) и принцип равновесия Нэша (как способ определения стратегий агентов при взаимодействии). Игра в нормальной форме характеризуется множеством участников, или игроков, для каждого из которых задается множество возможных стратегий поведения и функция выигрыша. В ситуации равновесия по Нэшу ни одному из игроков невыгодно изменять свою стратегию, если другие игроки придерживаются иной, общей стратегии.
Другая важная концепция в моделировании рационального поведения — принцип исключения доминируемых стратегий. Стратегия игрока называется доминируемой, если существует альтернативная стратегия, обеспечивающая ему больший выигрыш при любых стратегиях остальных игроков. Принцип исключения означает, что рациональные игроки не будут использовать доминируемые стратегии. Проблема заключается в том, что поведение реальных участников (элементов) организационных систем (ОС) далеко не рационально, в силу как системных принципов, определяющих живучесть системы, так и возможного «отложенного» равновесия, возникающего в результате обучения и эволюции поведения элементов системы.
Одним из подходов, учитывающих иррациональность поведения элементов ОС,
№ 2 (38) 2012
является подход, основанный на нахождении компромисса в ходе проведения переговоров. Первые попытки формализации переговоров были предприняты в таких моделях теории игр, как торг по Нэшу, модель Рубинштейна и др. Однако в основе этих моделей также лежало предположение о рациональности участников переговоров. На практике принятие компромиссных решений на основе переговоров определяется множеством различных факторов: информированностью о намерениях других участников, ограниченностью времени для принятия решений, представлениями о правдивости оппонентов и степени истинности передаваемой ими информации и т. д. [3]. В связи с этим важным направлением исследований в рассматриваемой области является разработка механизмов разрешения конфликтов на основе компромисса и учета рисков участников, а также влияние внешних и внутренних факторов на переговорный процесс.
Постановка задачи
Рассмотрим ОС, состоящую из трех элементов: руководителя и двух исполнителей. Руководитель ставит перед исполнителями задачи, имея ограниченные ресурсы для их выполнения. Каждая задача может быть выполнена с различным качеством. Руководитель точно не знает, какой объем конкретного ресурса будет достаточен для выполнения задачи с заданным уровнем качества и может только приблизительно оценивать возможности исполнителей. Будем считать, что к ресурсам причисляются также и финансы, имеющие отношение к стимулированию исполнителей и выделяемые в размере, зависящем от качества выполненной ими задачи.
В этих условиях руководитель предлагает исполнителям общие объемы ресурсов, не разделяя их для каждого исполнителя. Исполнители, исходя из своих возможностей по выполнению задачи и наличия ограниченных ресурсов, согласовывают стратегии решения задач, определяют достаточ-
ные для решения конкретной задачи объемы § ресурсов и формируют общую заявку на ре- | сурсы. Заявка может быть принята либо от- ^ клонена руководителем. ^
Целью руководителя (т. е. ОС) является * получение максимальной суммарной при- | были, которая увеличила бы ресурсы орга- « низации. аа
Цель каждого из исполнителей — полу- ^ чение максимальной личной прибыли в условиях ограничений на ресурсы.
Подобная формулировка целей исходит из того, что для руководителя важна реализация всех задач, поставленных вышестоящим уровнем управления или договорными отношениями. Выполнение задач ведет к определенному доходу, объем которого может оказать влияние на функционирование ОС как в настоящем, так и в будущем (стимулирование сотрудников, модернизация технических и программных средств, разрешение кризисных ситуаций и т. п.). Исполнителя в большей степени интересует размер вознаграждения за выполненную им работу, исходя из собственных и предоставленных ему возможностей.
В игровой постановке описанная ситуация может быть представлена двумя уровнями моделирования:
1) иерархической игрой с двумя элементами — руководителем, делающим нечетные ходы, и коалицией исполнителей, использующих четные ходы;
2) игрой исполнителей, образующих максимальную коалицию и стремящихся на основе переговоров согласовать свои интересы с целями ОС.
В [1] рассмотрен подход к реализации уровня 2 на основе нечеткой компромиссной игры двух лиц при одном виде ограниченного ресурса. В практическом аспекте интерес представляет игра п лиц с т видами ограниченных ресурсов. Разрешение такой игры — основа для реализации уровня 1, т. е. постановки иерархической игры двух лиц, в которой первым игроком является руководитель ОС (Центр), а вторым игроком — коалиция п исполнителей.
№ 2 (38) 2012
§ §
Л
is
I
со £
Её £
о
is
о
со
0
1 й IE
is =§
&
0
1 I
I
а
Компромиссная игра п лиц с т видами ограниченных ресурсов
Компромиссная игра п лиц с т видами ограниченных ресурсов — это обобщение игры двух лиц при одном виде ограниченного ресурса и формально задается следующим образом [5]:
, X, ц, р,, д, D;, К, F), / = 1, п ,
где z¡ — задача, независимо решаемая /-м исполнителем (игроком); Х — стратегии /-го игрока относительно качества решения соответствующей задачи; ц : Х ^ [0, 1] — нечеткие функции предпочтения стратегий;
р( : фДХ, ...., Хп ) [0,1] — функция, которая определяет относительную достаточность ресурсов -го игрока в ситуации (Х1,..., Хп) для решения задачи с соответствующим качеством, где:
ф/(.....x 2 )=m х-
m k =1
ax - X Rl (Xj
Rk (X
-/ * 1 —
Rk(Xi) = (rik(x1), Rk (X,) = (( (x 1), Rk (Xj) = (((x;),
...rf (xf}), .
..., rk (xf 0,
..., rk (xf)),
sa задач z;, z2
при допущении наличия
!
IT £
д, ((1.....Хп ):ф,((.....Хп) [0, 1] — нечеткая цель /-го игрока, заданная на множестве относительных значений ресурсов в ситуации (Х1, ..., Хп) в предположении определенной очередности допуска¡-х игроков к получению ресурсов;
О/ — нечеткая область допустимых решений (-го игрока в (Х1 хХ2 х...хХп) с функцией принадлежности вида:
( У)_К (.....Хп (Х1.....Хп) >Х
Цо*(......Хп)=^ 0, Уцц(Х......Хп)<Х ,
причем
Цо, ((.....Хп ) =
= тИР((( Хп), д,(Хп), Ц/} функция принадлежности нечеткой области возможных решений 01, а X е [0,1]; К , (Х1, ..., Хп) — множество равновесных стратегий с функцией принадлежности вида:
Р,((.....Хп ) =
п ( ((1.....Хп) ((1.....Хп))*I.
=minv
относительные значения ресурсов /-го игрока в ситуации (Х1, ..., Хп) в предположении определенной очередности допуска ¡-х игроков к получению ресурсов, причем
к = 1, т — вид ресурса, ятах — значение к-го ресурса, выделяемого руководителем исполнителям;
Среди множества равновесных стратегий каждого игрока выделим следующим образом наилучшую:
в,max ((.....Xn )= max {((.....Xj}.
В результате получим набор оптимальных относительно интересов каждого игрока ситуаций:
((x, xf.....xh,...),
(x;, x2.....xw).....(xq, xs.....xv,...),...).
Ситуацию (X;, ..., X ;,...,Xn) назовем абсолютным компромиссом,если
распределения требуемых ресурсов к-го вида каждым игроком при использовании соответствующих стратегий для решения
= ... А ... A x. = x" = x
[5].
одинакового числа р стратегий. Значения
Абсолютный компромисс достигается в том случае, если объем предваритель-
ф,(X;, ..., Xn) < 1 указывают на недостаток ре- но выделенных ресурсов Rmnax достаточен
сурсов в ситуации (X;, ..., Xn), а значения
Ф/ (X;, .. быток;
, Xn) > 1 на достаточность либо из-
для решения своих задач каждым игроком с определенным качеством, в предположении со стороны каждого из них, что к исполь-
120
№ 2 (38) 2012
зованию ресурсов из Я;кахон допускается последним.
Ситуация (Х1, ...,Х;,...,Хп) называется относительным компромиссом (п - 1)-типа, если
3!хЦ е X,.
Х^ Ф XV А Х1 = Хр А х2 = х2 А ...
причем
(Хр, х2.....х;,...) ^ (Хр, X......,...) ^...
^ (Хр, X ......Хья,...) ^ ....
Относительный компромисс возможен тогда, когда в предпочтительной ситуации для (п -1) игроков использование стратегии ;-го игрока, изменяющей эту ситуацию, либо ничего ему не дает, либо усугубляет его положение. По аналогии можно ввести понятие относительного компромисса (п - /)-типа,
/ = 1, п . Очевидно, что при / = п компромисс невозможен. Смысл компромисса нулевого типа заключается в наличии ситуации, которая не удовлетворяет ни одного из игроков.
Для определения предпочтения равновесных ситуаций используется нечеткая функция F¡, позволяющая оценить равновесные стратегии по отношению к цели ОС, которая заключается в максимизации доходов организации. В иерархической игре ход коалиции исполнителей — формирование общей заявки на ресурсы Ят*ах > Я^. В соответствии с [1] каждый элемент ОС кроме частных интересов преследует цель ОС, которая для него является доминирующей. В связи с этим разные равновесные стратегии приводят к различным значениям Я^. Возможное разнообразие ресурсов, представленных разными единицами измерения, приводит к необходимости нормирования. Поэтому будем оценивать равновесные стратегии по отношению к системному ресурсу Ятох, который представляет собой аддитивную свертку к-х ресурсов.
Пусть F(Х1, ..., Хп) — нечеткое множество возможных значений Ятах, при условии что ,-й элемент более предпочтителен при удовлетворении заявок на требуемые ресурсы и различных равновесных стратегиях. Тогда функция принадлежности возможных
значений ресурсов, необходимых для каждого элемента (Х1, ..., Хп) в зависимости от используемых стратегий, имеет вид [2]:
^ (X.....Хп) =
= тах(р, (X.....Хп), р 1 (X.....Хп)) , ф
1 + Х |р, (X.....Хп)-р у (Х1.....Хп )|
1=1
Большее значение (Х1,..., Хп) говорит о большем приближении значения системного ресурса Я'тах, соответствующего равновесной стратегии /-го игрока, к значению Ятах — относительному значению ресурса, выделяемого руководителем исполнителям.
Утверждение. Относительный компромисс (п-1 )-типа является равновесием Нэ-ша, адаптированным к условиям функционирования ОС.
Доказательство. Любую наилучшую равновесную стратегию можно охарактеризовать парой функций
( в/тах ((1.....Хп ) (Х1.....Хп )).
Функция в,тах ((, ..., Хп) определяет для /-го игрока ситуацию (Х1, ..., Х1,..., Хп), наиболее благоприятную для него с точки зрения качества решения задачи в условиях ограниченных ресурсов и при допущении того, что он последним получает доступ к ресурсам. Функция (Х1,..., Хп) определяет для /-го игрока ситуацию (Х1, ..., ,..., Хп), при которой значение общего (системного) ресурса Я'^пах, требуемого всем игрокам, близко значению ресурса Ятах, предварительно выделенного руководителем коллективу исполнителей. При этом предполагается, что /-й игрок первым получает доступ к ресурсам. Для того чтобы относительный компромисс был равновесием Нэша, необходимо, чтобы конъюнкция (в/тах ((, ..., Хп) А
(Х1,..., Хп)) была не равна нулю и принимала бы максимальное значение среди всех возможных оценок равновесных стратегий. В этих условиях, с точки зрения рационального поведения, никакому игроку не выгодно отклоняться от компромиссного решения.
¡5 §
£ л
эё
г
Е
и
121
№ 2 (38) 2012
§
Л 12
I
со
12 £
Её ЕЁ
о £
о
со
0
1
I
Её £
&
0
1 I
I
а
Компромиссная игра с предысторией
Как отмечалось ранее, поведение игроков может отличаться от рационального поведения. Например, возможен вариант при наличии относительного компромисса (п - 1)-типа, когда одному из игроков (самому обделенному), например i-му игроку, аргументы в виде функций Р(тах ((, ..., Хп) и ця(Х1,..., Хп) могут оказаться недостаточными. В этом случае требуется дополнительное соглашение, в рамках которого (-му игроку дается обещание, что в следующей игре жертвой он не будет. Так как такое соглашение не имеет юридического характера, оно может нарушаться. Предположим, что соглашение заключается не только между (-м игроком и (п - 1)-игроками, но и между (-м игроком и к-ми игроками, причем к < п. Тогда каждый из игроков имеет представление о степени лживости других игроков и использует его для анализа оценки равновесных стратегий. Компромиссную игру, в которой каждый из игроков имеет представление о лживости других игроков, назовем игрой с предысторией.
Путь Г1,..., Г,,... — игры с предысторией, а Г, — текущая игра, в которой представления игроков относительно лживости других игроков заданы нечеткой матрицей N, в которой каждая строка определяет степень доверия (-го игрока к другим игрокам в виде функции ц(х1, xq) е [0,1]. Использование данной функции (-м игроком целесообразно при наличии нескольких относительных компромиссов, либо в случае
Ця (XI.....XV.....Хп) >ц, (XI.....х"
,Х„
2- причем ситуация (Х1,..., хд,..., Хп) является относительным компромиссом, а ситуация (Х1,..., XV,..., Хп) — равновесной.
Пусть сведения из матрицы N общедоступны для игроков. Тогда любой д-й игрок, зная отношение к себе других игроков, может изменить свою функцию предпочтений с цд на цд. Для этого ему необходимо соотнести собственные интересы, выраженные функцией цд, с иррациональным поведени-
€
I ?
<и
I
I I
I
ем других игроков, возможность которого определяется функциями ц(х(, хд). Фактически речь идет о сопоставлении п зависимых между собой целей: изменение цд влечет за собой изменение ц(х(, хд), и наоборот. В этом случае функцию цд можно определить следующим образом:
Цд = МЦд ,1 - Ц(XI, Хд ), ...,1 - Ц(Хп , Хд )) , h : [0,1]п ^ [0,1],
где 1 - ц(х1, хд), ( ф д, (= 1,п — мера недоверия (-го игрока д-му игроку.
Отображение h должно удовлетворять следующим условиям [4]:
1. ^0,0, ...,0) = 0, ^1,1, ...,1) = 1.
2. Для любых цд и (1 -ц(х(., хд)), д ф (,
если цд > (1 — ц(Х(, хд)), то цд < цд и если
(1-Ц(Х(, Хд )) >Цд , то цд <Ц(Х(, Хд ).
3. Для любых пар (ск, sk) е [0,1]п, если Зк такое, что ск > sk, то ^с^,..., сп) > h(s1,..., sn).
Условие 1 означает, что предпочтения цд д-го игрока, совместимые с представлениями о нем других игроков, будут приемлемыми (неприемлемыми) для решения задачи с определенным качеством.
Условие 2 определяет невозможность доминирования личных интересов над мнением других игроков при выполнении h.
Условие 3 показывает, что h не должно противоречить определению частичного порядка для векторов (1 -ц(х,, Хд ),...,1-ц( хп, Хд)).
В[6] приведены операции комбинирования нечетких множеств, применение каждой из которых определяется спецификой решаемых задач. В соответствии с вышеприведенными условиями наиболее подходящими операциями свертки являются операто-
ры осреднения вида:
гармоническое и
(2 (+У
тах(х, у)
— среднее
1 + |х - у| у
идемпотентная симметрическая сумма, где х и у — функции принадлежности нечетких множеств. Так функция цд может быть вы-
122
№ 2 (38) 2012
ражена через симметрическую сумму следующим образом:
Ц, =
тах(ц„, 1-ц( Х1, х,),..., 1-ц(х(, х,),..., 1-ц( хГ1, х,))
;+Xk-1-м( xi,
x
В результате получим изменение предпочтений использования стратегий Xq q-м игроком, что повлечет изменение оценок равновесных стратегий и, как следствие, учет интересов «обиженных» в прошлом игроков.
Иерархическая игра двух лиц «руководитель — исполнители»
Пусть задана игра Г = ((R, Z),(R*,X), J, G), где (R, Z), (R*, X) — конечные множества стратегий руководителя (Центра) и коалиции исполнителей, J и G — функции выигрышей игроков. Здесь R = {R1,..., Rs} — упорядоченное множество ресурсов, которые Центр может предложить исполнителям, с заданной выпуклой функцией предпочтения p(R), причем R1 = Rmin , Rs = Rorg ; Z = {Z1, ..., Zn } — задачи, которые необходимо решить независимо n исполнителям; R' = {R*,..., Rf} — множество ресурсов исполнителей, которые они могут предложить Центру в качестве альтернативы R; X = (X1, ..., X i,..., Xn) — стратегии исполнителей. Цель первого игрока — выбор такого R¡ е R, при данном множестве Z, чтобы в ситуации (Ri, X) его выигрыш J(R,, X) был максимальным. Целью второго игрока является максимизация выигрыша G(R,, X).
Игра протекает следующим образом. На первом ходе первый игрок в соответствии с функцией предпочтения выбирает значения ресурсов R, достаточные, по его мнению, для решения задач Z, вторым игроком. Задачи Z, а также значения R1 сообщаются второму игроку. В ответ второй игрок формирует подмножество стратегий
X = X (R,) = {х = (Х1.....Xn) eX / в,m^ ((1.....xn ) =
= max {в,(х1,..., xn)}},
соответствующих равновесным ситуациям, и выбирает стратегию x е X. Как отмечалось ранее, при дефиците R1 реализация x возможна при значении ресурсов, равном R*. Поэтому второй игрок на втором ходе игры информирует первого игрока о стратегии x и значении R*. Несмотря на то что стратегия второго игрока зависит от стратегии Центра, который принимает окончательное решение, на первых ходах имеется высокая неопределенность в игре. Центр, с одной стороны, точно не знает, сколько необходимо ресурсов для решения всех задач, а с другой, может преследовать стратегические цели ОС, стремясь не завышать значение Rl. Исполнители, с одной стороны, могут предполагать блеф Центра, с другой, руководствуясь общей целью ОС, не должны рисковать, слишком отклоняясь от R . С такой точки зрения, окончательное значение выделяемого ресурса должно быть согласовано между Центром и исполнителями. Иными словами, при некотором фиксированном значении R* функции выигрышей J(R*, X) и G(R*, X) должны удовлетворить обе стороны. Такое согласование возможно при существовании ситуации (R*, x *(R,*)), равновесной по Нэшу, т. е.
supJ(R,, x (R,)) = J(R,*, x*(R;),
R, eR
supG(R, x(R,)) = G(R*, x*(R/).
xeX
Исходя из постановки задачи, выигрыши игроков можно трактовать как полученные прибыли и определять следующим образом: n
G(R,, x(R,)) = X gs (x)/ R,;
s=1
J(R,, x(R,)) = Rogg - Rl + f,gs(x)/R,,
s=1
где gs — прибыль, полученная в результате реализации s-й задачи s-м исполнителем.
При измерении R , Ri, gs в одной шкале, очевидно, что рассматриваемая игра разре-
n
шима, если Xgs(x)/ Ri > Ri и Ri < Rorg.
s=1
Обобщенный алгоритм иерархической игры состоит из следующих основных шагов.
¡5 §
Eg
Л
эё f
SS
u
123
№ 2 (38) 2012
1. Центр предлагает исполнителям ресурсы в объеме Я1 для решения задач 7.
2. Исполнители, на основе анализа особенностей задач и достаточности предложенного ресурса Я, для их решения, формируют собственную оценку объема ресурса Я* и сообщают ее Центру.
3. Если объем ресурса Я* удовлетворяет Центр, он информирует исполнителей о передаче им ресурса Я* для решения задач 7, и на этом игра заканчивается. В противном случае Центр определяет новое значение ресурса Я1 < Як < Я0Гд, причем РЯ) < р(Я(), и сообщает его исполнителям.
4. Если ресурс Як соответствует одной из равновесных стратегий исполнителей, они
2 принимают предложение и игра заканчивает-& ся. В противном случае торг может быть про-§- должен, начиная с пункта 2, до тех пор, пока
5 стороны не придут к соглашению на основе последовательного приближения к нему.
<э Следует отметить, что процедура торга Ц может быть упрощена за счет выбора ис-щ полнителями значения Я*, которое соответ-| ствует наиболее предпочитаемой равновесна ной стратегии, за исключением наилучшей * стратегии, которой соответствовал ресурс || Я*. Однако такой выбор может изменить тип компромисса и повлиять на будущие взаимо-^ отношения исполнителей. С другой стороны, | возможности торга могут быть ограничены £ у Центра, за счет диапазона выбора, опре-| деляемого интервалом [ р^ (Як), р^ (Я,)]. ¡5 В случае отсутствия соглашения в иг-| ре Г может быть разыграна новая игра Г* Ц на иных условиях, формируемых как Цен-<| тром (изменение требований к задачам), так | и исполнителями (изменение предпочтений ? стратегий и целей). I
| Заключение
| В работе рассмотрена обобщенная мо-а> дель поведения элементов иерархической | системы, которая распадается на две част-^ ные модели: модели согласованного взаи-■Ц модействия п субъектов и модели согласо-
6 ванного взаимодействия Центра и коалиции ¿о исполнителей. Первая модель базируется
на понятии нечеткой компромиссной игры, позволяющей п исполнителям строить общую стратегию распределения т ресурсов на основе переговоров. Данная стратегия является ответным ходом исполнителей иерархической игры, лежащей в основе второй модели. В рамках первой модели рассмотрен случай динамической игры и предложен подход использования метазнаний игроков. Во второй модели поставлена задача согласования интересов Центра и исполнителей на основе равновесных по Нэшу ситуаций.
Иерархическая теоретико-игровая модель согласованного поведения представляется адекватной формализацией проблемы структурной устойчивости современных иерархических систем за счет учета поведенческих характеристик элементов ОС, а также особенностей их взаимодействия на основе анализа системной цели и частных интересов. Предложенный подход допускает развитие для более широкого класса объектов управления. Большой интерес представляет исследование динамической версии модели с различными вариантами информированности игроков.
Список литературы
1. Астанин С. В., Жуковская Н. К. Конфликтно-игровой подход к распределению ресурсов в организационной системе // Прикладная информатика. № 4 (34). 2011. С. 125-132.
2. Астанин С. В. Правдоподобные рассуждения в системах принятия решений. Таганрог: ТРТУ, ч. 2, 2000. — 110 с.
3. Васин А. А. Эволюционная теория игр и экономика. Ч. I. Принципы оптимальности и модели динамики поведения // Журнал Новой экономической ассоциации. № 3-4. 2009. С. 10-27.
4. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. — 288 с.
5. Жуковская Н. К. Согласование интересов в иерархических системах // Инженерный вестник Дона. № 4. 2011.
6. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. — 312 с.
