CC BY
14
Ф(3) = [0; 5] n = 1, v = 1. Решение задачи (1): pi(t) = 2/3 + 1/3t. Решением безусловной задачи является полином pi(t) = 7/3 — 1/3t.
Пример 2. Изменим условие предыдущего примера, лишь положив Ф(0) = [5; 5]. Задача (1) имеет бесконечно много решений p1(t) = 5 + at, a G [—2; —1/3], ts = 0. При этом заметим, что, например, для полинома pi(t) = 5 выполняется уеловие (A*) = 0, но решением задачи он не является.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Выгодчикова И. Ю. О сведении задачи о пеевдовнутренией оценке многозначного отображения полиномом к задаче о внешней оценке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез, докл. Воронеж, Зимней мат, шк, Воронеж, 2005, d 62-63.
2, Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М, 1990.
3, Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат. ун-та. Нов, сер, 2006, Т. 6, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 2, С, 11-19,
4, Дудов С.И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2007, Вып. 9, С. 22-26.
УДК 514.764
C.B. Галаев, A.B. Гохман
ВНУТРЕННИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗНОСТИ,
СОВМЕСТИМЫЕ С ДОПУСТИМОЙ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
В статье находятся необходимые и достаточные условия существования внутренних неголономных связностей, совместимых с допустимой почти симплектической структурой.
Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, заданное вместе со своим оснащением D\ на гладком многообразии X размерности n и класса CСледуя В.В. Вагнеру, такое распределение будем называть
n — 1 1
метим, что с некоторыми уточнениями излагаемые в настоящей статье результаты можно обобщить на неголономные многообразия произвольной коразмерности. С точки зрения механики неголономное многообразие интерпретирует линейные неголономные связи, накладываемые на механическую систему [1].
Развивая геометрию иеголоиомных многообразий, В.В. Вагнер вводит понятие внутренней геометрии неголономного многообразия как совокупности тех свойств объектов, заданных в неголономном многообразии, которые зависят только от самого неголономного многообразия и от его оснащения [2]. Параллельный перенос внутри неголономного многообразия осуществляется с помощью связности V, которую, следуя терминологии В.В. Вагнера, уместно называть внутренней. Таким образом, под внутренней аффинной связностью понимается отображение
V : гд х гд ^ гд,
удовлетворяющее следующим условиям:
1) V/l¡¡l+/2¡¡2 = /^¡¡1 + ; 2) V¡¡/V = /V¡¡V +(и/)И.
Внутреннюю связность следует отличать от так называемой усечённой связности. Под последней разные авторы понимают разные способы задания параллельного переноса. Помимо усечённой и внутренней связностей в ряде работ рассматриваются связности, осуществляющие параллельный перенос векторов, лежащих в распределении вдоль произвольных кривых многообразия X. Такие связности называются связностями в векторном расслоении, определяемом неголономным многообразием Так, в частности, определяя кривизну внутренней связности V, В.В. Вагнер специальным образом строит связность в распределении Д как в векторном расслоении.
Наряду с внутренней связностью, В.В. Вагнер рассматривает структуры, задаваемые в неголономном многообразии как сечения векторных расслоений вида
Д ® • • • ® Д ® Д* ® • • • ® Д*,
где Д* — сопряжённое к Д распределение.
Такие структуры будем называть внутренними тензорными структурами. В частности, В.В. Вагнером рассматривается риманова допустимая структура, совместимая с внутренней связностью:
Vg = 0.
Наличие оснащения Д± позволяет переити от внутренней тензорной структуры к соответствующей допустимой тензорной структуре. Именно, всякое внутреннее векторное поле будем называть одновременно допустимым векторным полем. Всякой внутренней 1-форме Л поставим в соответствие допустимую 1-форму Л, полагая
Л\в = Л, Л\^ =0.
Рассуждая по аналогии, каждой внутренней тензорной структуре типа (р, д) при необходимости мы можем поставить в соответствие допустимую тензорную структуру типа (р, д) и обратно.
Рассмотрим допустимую почти симплектическую структуру, т.е. внешнюю, вообще говоря, не замкнутую 2-форму и, такую что:
1) гки = п — 1;
2) и\в± = 0.
Важный пример такой структуры даёт контактная структура.
В работе [3] В.В. Вагнер строит систему дифференциальных инвариантов допустимой метрической формы д, используя внутреннюю связность, совместимую с д. Результаты, полученные В.В. Вагнером, аналогичны соответствующим результатам в голономном случае. Мы ставим перед собой задачу нахождения внутренних связностей, совместимых с допустимой почти симплектической структурой. В голономном случае подобная задача решалась многими авторами (см. [4 — 6]). Классический результат сводится к тому, что существование связности с нулевым кручением, совместимой с почти симплектической структурой и, эквивалентно замкнутости и.
Как показывает приводимый ниже пример, в случае неголономного многообразия не интегрируемая симплектическая структура может допускать внутреннюю связность с нулевым кручением.
Пусть X - гладкое многообразие, определяемое условием
X = {(V, х2, ж3) е К3\ х2 = 0, х3 = о}.
Распределение Д такое, что Д = (в\, е2), е1 = д1 — х2д3, е2 = д2, не интегрируемо и может быть снабжено допустимой симплектической структурой и = х3ё,х1 Л ё,х2.
С одной стороны, (1и = дъх1Л дъх2 Л (1х?3 = 0, с другой стороны, Vu = 0, где Г21 = Г12 = Хз, Г21 = Г22 = — — а Ь2, Ь3 произвольные функции, заданные на многообразии X.
Имеет место следующая теорема.
и
с внутренней связностью V нулевого кручения тогда и только тогда, когда
(ди)\в = 0.
Доказательство. Необходимое условие доказано в |7|. Для доказательства достаточности воспользуемся приемом, используемым в рабо-
D
V
помощью равенств
Tc = l^ad (ec^db - eb^cd + Ybcdj ,
где Ybcd - объект, симметричный по любой паре индексов и изменяющийся при преобразовании координат таким образом, чтобы функции rac определяли объект связности.
Очевидно, что полученная связность симметрична. С помощью очевидных вычислений можно убедиться в том, что она совместима с формой ш тогда и только тогда, когда (dw)|d = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В ершик A.M., Фаддеев Л. Д. Дифференциальная геометрия и лагранжева механика со связями // ДАН СССР. 1972. Т. 202. № 3. С. 555-557.
2. Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. VIII Междунар, конкуре на соискание премии им. И.И. Лобачевского (1937). Отчёт. Казань: Казан, физ.-мат. общ-во, 1940. 327 с.
3. Вагнер В. В. Геометрия (n — l)-MepHoro неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М,: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
4. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых дифференциальных уравнений. М,: Наука, 1995. 448 с.
5. Левин Ю.И. Об аффинных связностях, присоединённых к кососимметрическо-му тензору // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 4. С. 668-671.
6. Лемлейн В. Г. Тензор кривизны и некоторые типы пространств симметричной почти симплектической связности // ДАН СССР. 1957. Т. 115, JVS 4. С. 655-658.
7. Галаев C.B., Гохман A.B. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.
8. Галаев C.B., Гохман A.B. Неголономные почти симплектические многообразия с присоединённой связностью // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 31-33.
