CC BY
60
1. Porteven A., LeChatelier F. Sur un phenomene observe lors de l’essai de traction d’alliages en cours de transformation// Comp. Rend. Acad. Sci. Paris, 1923. Vol. 176. P.507-510.
2. SavartF. Recherches sur les vibration longitudinales // Annales de Chimie et de Physique. Deuxieme serie, 1837. Vol. 65. P. 337-402.
3. Masson A. Sur elasticite des corps solides // Annales de Chimie et de Physique. Troisieme serie, 1841. Vol. 3. P. 451-462.
4. MontheilletF., CohenM., Jonas J. J. Axial stresses and texture development during the torsion testing of Al, Cu, a-Fe // Acta Metallurgica, 1984. Vol. 32. P. 2077-2089.
5. Poynting J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proccedings of Royal Society. London. A, 1909. Vol. 82. P. 546-559.
6. Rubin M. B. Plasticity theory formulated in terms of physically based microstructural variables. Part II. Examples // International Journal of Solids and Structures, 1994. Vol. 31, № 19. P. 2635-2652.
7. Delobelle P., Robinet P., Bocher L. Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic steel // International Journal of Plasticity, 1995. Vol. 11. № 4. P. 397-421.
8. Малышев Б. М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, астрономия, физика, химия, 1958. № 1. С. 55-68.
9. Малышев Б. М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, астрономия, физика, химия, 1958. № 2. С. 33-46.
10. Георгиевский Д. В. Тензорно-нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики, 2002. Т. 1, № 2. С. 150-176.
11. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Новые принципы составления определяющих уравнений эндохронной теории пластичности при конечных деформациях // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства: межвузовский сборник научных трудов. СПб: Издательство Санкт-Петербургского государственного
технологического университета растительных полимеров, 1996. С. 124-127.
12. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Москва: КМК, 1998. Вып. 59. С. 72-76.
13. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пластичности при учете конечных деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ. СПб:СПбГТУ, 2003. № 3. С. 96-103.
14. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. О расширении возможностей эндохронной теории неупругости, учитывающей конечные деформации // Проблемы прочности и пластичности, 2004. Вып. 66. С. 31-34.
15. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Исследование поведения циклически нестабильных материалов при учете конечных деформаций // Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела. Тез. докл. VI международ. научн. симп. Тверь, 1-3 марта 2006. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. унта. С. 27-28.
16. Ronay M. On second-order strain accumulation in aluminum in reversed cyclic torsion at elevated temperatures // International Journal of Solids and Structures, 1967. Vol. 3. P. 167-176.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00169).
Поступила 14.10.2006 г.
УДК 539.374
А. Н. Анисимов, А. И. Хромов
ВНЕДРЕНИЕ КЛИНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВО ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ КУЛОНА-МОРА
Задача о внедрении клина в полупространство рассматривались Р. Хиллом, Е. Ли и С. Таппером при условиях текучести Мизеса и Треска-Сен-Венана. В этом случае идеальное жесткопластическое тело является несжимаемым. При условии текучести Кулона — Мора происходит изменение объема материала в пластической области. Целью работы являлось исследование полей деформаций в различных точках пластической области: на поверхностях разрыва скоростей перемещений и в центре веера характеристик в условиях плоской деформации.
1. Основные соотношения. Основными соотношениями в теории пластических течений являются [1]:
а) ассоциированный закон пластических течений
Э/
ej =^—, 1 > о, i, j = 1,2,3, (1)
j
где £у — тензор скоростей деформаций; а. — тензор напряжений; / (а.) — условие текучести; 1 — постоянная;
б) дифференциальные уравнения равновесия
У. j
= 0, i, j = 1,2,3.
(2)
В плоском деформированном состоянии условие текучести Кулона-Мора представляется в
виде
t = к - sin р • s,
(3)
1
где t = — д\(о 11 -s22)2 + 4т 12 , s = — (s 11 + s22), а к и р — постоянные материала.
2 v 2 Уравнения равновесия (2) примут вид:
Э£ Э£
(1 - sin р cos 2y)--------sin р sin 2y-------2(к - sin p- s)
dx dy
Г • 2 dy 2 dy4 sin2y —-- cos2y—-
dx dy
= 0,
ds ds
- sin p sin 2y---------------------------+ (1 + sin p cos 2y)-+ 2(к - sin p- s)
dx dy
dydy
cos2y-+ sin2y—
dx dy
= 0.
(4)
Подставляя выражения £п =
dvL
dx
dv2
dy
dV2 dVj
2S12 = ^-^ + -^-L в соотношения (1), полечим
dx dy
уравнения для скоростей:
rdV
2sin2y—1 - (sin р + cos 2y)
dx
dV
2sin2y —- - (sin p- cos2y)
dy
dvL+Э^_ dx dy dVL + Щ dx dy
= 0,
= 0.
(5)
Характеристики систем уравнений (4) и (5) образуют два семейства и определяются уравнениями:
. dy dV
h = y-1 = const, -7- = -—L = tg(y-j), dx dV2
г л dy dV
x = y + 1 = const, — = -—L = tg(y + j),
dx dV2
p p ^ 1 . 1 ,
где Ф = — + —, 1 =— ctgplnt.
4 2 2
2. Определение полей деформаций.
А. Соотношения на поверхности разрыва скоростей перемещения. Будем описывать движение среды в форме Эйлера x0 = x0(x1, x2, x3), где x0, xt —лагранжевы и эйлеровы координаты частиц среды соответственно.
Выберем в качестве меры деформации тензор конечных деформаций Альманси
1 2
Деформирование материала в окрестности разрыва поля скоростей перемещений рассматривались в работах [2, 3], при этом предполагалось, что материал пластически несжимаемый. Ниже данный подход обобщается на случай сжимаемого пластического тела.
Пусть поверхность S является поверхностью разрыва поля скоростей перемещений, которая распространяется с нормальной скоростью G .
Функции x01 = x0l(xj,x2,x3), предполагаются непрерывными, производные на поверхности
S должны удовлетворять, согласно [4], следующим геометрическим и кинематическим условиям совместности:
-dx?
Ej = 2(dj- xk0i< j).
(6)
inj,
dt
= 1G,
(7)
где \х0j]= Х0+ — Х0.; п — компоненты вектора нормали к поверхности £; 1 — некоторые
функции, определенные на поверхности разрыва. Индексы «+» и «—» обозначают определенную сторону поверхности £.
e22 =
Вдоль каждой траектории материальной частицы лагранжевы координаты постоянны, поэтому
^0 Эх0 Эх0
&ґ дґ
3- + Уу — = 0.
дх.
Отсюда
Г дх 01 г дх 0- 1
3 =- Ук — к дху _
дґ
или, учитывая первое соотношение (7), получим
дХ[
дґ
=-[у/ ]-я у: .
(8)
Представим вектор разрыва скорости перемещений в виде
[V ]=К ] о+К ] ”, ,
где I, — компоненты вектора касательной к поверхности разрыва, V ] — модуль разрыва касательной компоненты скорости, [Уп ] — модуль разрыва нормальной компоненты скорости. Сравнивая правые части (7) и (8), получим
Ї =- Г [у ] ґі , [У, ] п-1 , ёх, !=- Г [У ] ґі , [У, ] п- Ї
[ О+у; о+у; 0 [ о+у; о+у; 0
п-.
Здесь принято, что О = —О”, т.е. вектор О направлен против вектора ” . Рассмотрим выражение
[ X-К-=-
[у, ] ґП-— , [Уп ] пп,
(о+у; )& (о+у; )&
\ /
где &ґ — бесконечно малый интервал времени. Здесь первое слагаемое представляет работу касательных к поверхности £ сил, затраченных на сдвиговые деформации объема (О + У, )&ґ, проходящего через поверхность разрыва. Второе слагаемое — работа нормальных к поверхности £ сил, затраченных на изменение объема среды.
Введем локальную систему координат, связанную с ортами пі, ґі. Обозначим
У ] ^ [Уп ]
Ж = —^—, ж2 =-1 о+у; 2 о+у;
(9)
соответственно, объемные плотности энергии сдвиговых и объемных деформаций. Тензор градиентов деформаций можно представит в виде
о - т о - т2
Будем считать, что ниже поверхности £ материал недеформирован, т.е. х0- = 8-, тогда компоненты тензора конечных деформаций Альманси (6) могут быть представлены в виде
і г о т
Ж і - ті2 - (і - т2)2
Угол 0 между первым главным направлением тензора Альманси и касательной к поверхности разрыва скоростей, его основные инварианты вычисляются через и Ж2 по формулам:
Е =
у 2
2Е
гд26 = - 12 =
-2Ж,
Еіі - Е.2 1 - ^2 - (1 - Ж.)2’
/е = .е + Е22)=4(1 - (2 - (1 - Ж.)2),
Не = (Еп - Е22)2 + 4Е2 = 4(1 - (2 - (1 - Ж.)2 )2 + )2,
е,2 = 4(1 - (2 - (1 - т.)2) ± )(1 - (2 - (1 - т.)2 )2 + )2.
Б. Деформации в окрестности центра веера характеристик. Для исследования поля деформаций в окрестности центра веера характеристик, используется равенство производной Коттер-Ривина по времени от тензора конечных деформаций Альманси и тензора скоростей деформации:
БЕ,, дЕ,, дЕ,,
Бі
V + Е1к
У
дх,-
+ Е
Л
У
дх,.
= Є
,,
(11)
к —]
Рассматривается случай веера характеристик ц • Тогда при стремлении к нулю радиуса кривизны Я-х характеристики X , система уравнений (11) перейдет всегда в систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
де А — + А
дх
-^+в дХ .
2 д0 в
2 г-----В
*дХ
1
е — 2
е - — 2
+ Вг оо8 2(0 - у) = 0, оо8 2(0 - у) + Аг = 0,
/
1
е-----
V 2,
(12)
Здесь
■ = |(Е—1 + Е22), г = — л/(Е—1 -Е22)2 + 4Е—2
8Іп 2(0 - у) - А • ctgp • г = 0.
и • ^(р;>
А =
2(и - а(Іп(у + ф) + Ь 'со8(у + ф))
В = -
2со8 р( - а ’8Іп(у + ф) + Ь ’с08(у + ф))
1
где у = + Л0) — угол наклона первого главного направления тензора скоростей деформа-
ций к оси х; и — компонента скорости движения частиц вдоль характеристики Х , х = а(і), у = Ь(і) — уравнения движения центра веера характеристик. Величина, описывающая изменение деформации, определяется соотношением Е1 = е + г .
3. Задача о внедрении клина в полупространство. Решение задачи о внедрении клина в полупространство (рис. 1) предложено Р. Хиллом [5]. Распределение деформаций на линии разрыва и в окрестности веера характеристик для несжимаемых сред получено в работе [6].
Пластическая область состоит из двух треугольных областей А0РА1 и А2РА3 с равномерными напряженными состояниями, соединенные центрированным веером А1РА2, состоящего из прямолинейных характеристик ц и логарифмических спиралей, параметрические уравнения которых:
х = а--
^р( у-а)
соз(у + ф), у = Ь -
ст1®р( у-а)
2со8 ф
8Іп(у + ф).
2оо8 ф
Здесь а и Ь координаты точки Р •
Построение в плоскости течения ху дают возможность выразить длину контактного участка А0Р = с через глубину вдавливания ОА0 = к следующим образом:
к = с^т а - е‘вреtgф со8(а + 0)), а также связать углы —
Р
0 = ^ -а- р. Давление, необ-
ходимое для вдавливания клина в полупространство, определяется соотношением
к
Р и с. 1. К решению задачи о внедрении клина
Р = -
1 + 8ІП р
е
8ІП р
1 - 8ІП р
,2^0 - 1
и
Линия А0А1 А2Аз является линией разрыва скоростей перемещений. Проекция скорости частиц на ней:
_ cos a
и =-
cos j
,tgp(¥-a)
а нормальная Vn и касательная Vt компоненты скорости будут: Vn = sin р • и , Vt = cos р • и .
В области АгРА2 имеем
дУ і dV2 dx ду
2tgp cos a
Для исследования деформаций в окрестности линии разрыва скоростей перемещений и для нахождения угла раствора веера в , определяется нормальная скорость О :
С = , 1 1
gradf
ґд/ Л2 +'д/ л2
ydx;
дУ
где /(х, у) = / — уравнение движение поверхности А0А1А2А3 • Угол раствора веера в находится из уравнения:
SOA0 A1A2A3 = dSt
Spj a a a dSP
OA0 A1A2 A3
(т.к. в Ф в(t)),
где
( j Gds У dt, dSPA0>AlA2A3
ґди dvЛ Л
dx ду
dS 0 0
dt ,
и имеет вид
a, і a2 cos(a і e)etgpe і (3a, - a3 sinecos(2a і e) - 2sin(2a12e))e2tgpe - a4 cos(a і e)e3tgpe = 0, где
a1 = j-sin2a, a2 = tgjcos a(4sin p-5), a3 = 4sin p, a4 = tgj cos a(4sin p!3).
Распределение деформаций на линии разрыва скоростей перемещений A0 A, A2 A3 и в окрестности центра веера характеристик A1PA2 получено на основании (9), (10) и (12).
Рассмотрено численное решение задачи для угла раствора клина 2g = 60" при к = 1, p = 0" и p = 10".
Решение при p = 0" сводится к классическому случаю и показано на рис. 2.
Распределение деформаций при p = 10" показано на рис. 3.
Наибольшие деформации при р = 0’ и р = 10’ наблюдается в окрестности центра веера хар актер истик.
На рис. 4 представлены графики распределения деформаций Е1 (у) в окрестности особенностей поля линий скольжения в зависимости от величины угла раствора клина у для р = 0’ (сплошная линия) и р = 10’ (пунктирная ли-
ния). На линии разрыва поля скоростей перемещений изменение деформаций происходит от значения на линии 1 (А0А1) до значения на линии 2 (А2А3). В окрестности центра веера характеристик, деформации изменяются от значения на линии 2 до линии 3.
Из графиков следует, что при р = 0’, набольшие деформации наблюдаются в окрестности центра веера характеристик до у»31,7’, при у > 31,7’ наибольшие деформации наблюдаются на линии разрыва скоростей. При р = 10’ до значения у»38,6’ наибольшие деформации наблюдается в центре веера характеристик, при у > 38,6’ - на линии разрыва скоростей А0А1А2А3 .
0,4>
0,3=
0,2
0,1
0
10 20 30 40 50 60
Р и с. 4. Распределение деформации Отметим, что при р = 10’ происходит разрыхление материала.
БИБЛИОГРАФИЕСКИИ СПИСОК
1. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.
2. Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996. 181 с.
3. Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл.
РАН, 1998. Т. 362, № 2. С. 202.-205.
4. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.
5. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 529 с.
6. Буханько А. А., Хромов А. И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальне-
вост. матем. журн., 2002. Ч. 3, № 2. С. 311-319.
Поступила 7.06.2006г.
