Влияние взаимной информированности агентов на оптимальную структуру организации (базовая модель) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЛИЯНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТИ АГЕНТОВ НА ОПТИМАЛЬНУЮ СТРУКТУРУ ОРГАНИЗАЦИИ (БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ)

Залесов А.И.

(Московский физико-технический институт) 2а1е80У@,Ьо1Ьох.гц

Введение

Рассматривается базовая модель построения оптимальной структуры организации при различной информированности центра и подчиненных ему агентов. Предполагается, что центр не имеет никакой информации о параметрах агентов, а последние, в свою очередь, обладают неполной (либо, как частный случай, полной) информацией о параметрах друг друга. Центр, используя свое право модифицировать структуру организации, с помощью конкурсного механизма побуждает агентов сообщать свои истинные оценки параметров друг друга.

1. Постановка задачи

Рассмотрим активную систему (АС), состоящую из центра (Ц) и двух подчиненных ему активных элементов (АЭ). Центр получает прибыль от выполнения активными элементами своих действий, и в качестве стимулирования выплачивает им вознаграждение. Каждый АЭ несет определенные затраты по выполнению действия. Затраты АЭ зависят от его типа - некоторой персональной характеристики АЭ.

Пусть прибыль центра равна сумме действий активных элементов

(1) Н = у1 + у2 ,

а затраты /-го АЭ (/ = 1, 2) на выполнение действия у, е Ш+ равны

(2) о, (у, г,) = у■ / 2 г, ,

где г є Ш+ - тип і-го элемента. При этом большему значению типа соответствует меньшее значение затрат на выполнение одного и того же действия.

Центр может произвольно менять структуру (иерархию) АС. В случае двух элементов возможны три варианта:

1. веерная структура (когда оба АЭ подчинены непосредственно центру);

2. иерархическая структура, в которой первый АЭ подчинен центру, а второй АЭ подчинен первому (в этом случае первый АЭ называется промежуточным центром);

3. иерархическая структура, в которой второй АЭ подчинен центру, а первый АЭ подчинен второму.

Активный элемент, выполняющий роль промежуточного центра, вправе назначать план и вознаграждение подчиненному элементу, распределяя полученные от главного центра план и вознаграждение между собой и другим АЭ.

Каждому АЭ известен его собственный тип, также каждый АЭ имеет некоторое представление о типе другого элемента. Пусть г12

- представление первого АЭ о типе второго, г21 - представление второго АЭ о типе первого. Считается, что переменные г12 и г21 являются общим знанием, то есть:

1) каждому АЭ известны г12 и г21;

2) каждому АЭ известно 1;

3) каждому АЭ известно 2;

4) и т.д.

Будем считать, что г1 > г21 и г2 > г12, то есть ни один из АЭ не «переоценивает» своего оппонента.

В данной работе мы будем также считать, что г1 > г12 и г2 > г21. Это означает, что каждый АЭ полагает тип своего оппонента не большим своего собственного типа.

Центр не имеет никакой информации о типах АЭ, то есть является абсолютно неинформированным.

Задачей центра является назначение такого механизма функционирования АС, который позволил бы центру получить максимально возможную прибыль в условиях абсолютной неинформи-рованности.

Механизм управления структурой АС

В известных работах предложено несколько способов решения сформулированной в предыдущем разделе задачи центра.

Самый простой способ заключается в том, что АЭ независимо друг от друга сообщают центру свои заявки - оценки собственных типов, а центр на основании этих заявок независимо назначает им планы и стимулирование. Эффективность функционирования (прибыль центра) для рассматриваемой АС не превышает при этом Г + г2

[4, 5].

4

Более сложный способ основан на возможности центра изменять структуру АС. Устраивая между АЭ конкурс за право быть промежуточным центром, центр добивается увеличения эффективности функционирования АС. Например, для случая полной взаимной информированности АЭ, описанный в [3] механизм позволяет получить для рассматриваемой АС эффективность, равную эффективности функционирования при полной информи-

Г1 + Г2

рованности центра------—.

В случае неполной информированности центра о параметрах АЭ, каждый АЭ получает некоторый дополнительный выигрыш -так называемую «информационную ренту». Применяя конкурсный механизм с изменением структуры АС, мы заставляем АЭ в борьбе за право быть промежуточным центром жертвовать частью своей информационной ренты, и таким образом увеличиваем эффективность функционирования АС.

Пусть центр назначает следующий механизм функционирования. Каждый АЭ сообщает свою заявку - пару величин, соответствующих типу АЭ в веерной структуре и агрегированному (суммарному в случае квадратичных функций затрат АЭ [5]) типу двух АЭ в случае назначения его промежуточным центром. Обозначим заявку первого АЭ s12), второго - ^2, s21).

Исходя из сообщенных заявок, центр выбирает структуру АС и назначает планы:

а) если s1 + s2 > *12 и s1 + s2 > s21, то выбирается веерная структура и каждому АЭ назначается план .*■;

б) если s12 > s1 + s2 и s12 > s21, то первый АЭ назначается промежуточным центром и ему назначается план s12;

в) если s21 > s1 + s2 и s21 > s12, то второй АЭ назначается промежуточным центром и ему назначается план s21;

Во всех случаях центр назначает агентам квазикомпенсатор-ное стимулирование, при котором сообщенные типы принимаются за истинные [5]. Промежуточный центр также назначает подчиненному элементу план и квазикомпенсаторное стимулирование, принимая свою оценку типа подчиненного элемента за истинную.

В качестве концепции решения игры агентов при фиксированном таким образом механизме стимулирования примем информационное равновесие [8].

В рассматриваемой модели каждый АЭ знает собственный тип и считает, что знает тип своего оппонента. Таким образом, пытаясь стать промежуточным центром, любой АЭ рассчитывает лишить своего оппонента информационной ренты. Например, с точки зрения первого АЭ выигрыши элементов при реализации различных иерархий равны:

о С о Л

1

1. Веерная структура: ¡1 = —

V

г

1 0

• * = т

2. Первый АЭ - промежуточный центр:

С * \

512

*=т

1-

12

Г1 + Г12 0

, ¡2 = 0.

3. Второй АЭ - промежуточный центр:

С г > * С

21

, ¡2= ~2

¡1 =

5 2 Г

21 21

2(Г12 + Г21 )

1 - Г21

10

1-

Г12 + Г21 0

В приложении доказываются следующие теоремы:

21

г + г12

Теорема 1. Если выполнено £ Г12 + Г21 и

г2 + г21

—2— £ г12 + г21, то описанный выше механизм функционирования реализует в качестве информационного равновесия иерархическую структуру со вторым АЭ в роли промежуточного центра и эффективностью (прибылью центра) (г12 + г21 + 8) / 2.

Теорема 2. Информационное равновесие, найденное в теореме

1, единственно в том смысле, что нет других равновесий, приводящих к другой структуре или другой эффективности функционирования.

Г + г12

Теорема 3. Если выполнено —— > г12 + Г21, то заявка s1 = 0

Г1 + Г12 *

и 512 = —2— является субъективной доминантной стратегией

г2 + г21

для первого АЭ. При этом, если —— £ г12 + г21, то заявка

второго АЭ будет ъ2 = 0 и 521 = г12 + г21 + 8 .

г2 + г21

Теорема 4. Если выполнено —— > г12 + Г21, то заявка s2 = 0

Г2 + Г21 *

и 521 = —2— является субъективной доминантной стратегией

г + г

для второго АЭ. При этом, если 1 ^ 12 £ г12 + Г21, то заявка первого АЭ будет s1 = 0 и 512 = г12 + г21.

Из приведенных теорем следует, что предложенный механизм обладает следующей зависимостью эффективности от параметров зависимости от соотношений типов АЭ и их взаимных представлений:

Г + г,, г2 + г21

- если ----2--- £ г12 + г21 и ---2--- £ г12 + г21, то эффектив-

ность равна (г12 + г21 + 8) / 2;

г + Г12 Г2 + Г21

- если ---2--- > Г12 + Г21 и -2- £ Г12 + Г21 , Т0 эффектив-

г + г

ность равна 1 ^ 12 (первый АЭ выберет свою субъективную

доминантную стратегию и станет промежуточным центром);

Г + г12 г2 + г21

- если ---2---- £ Г12 + Г21 и --2- > Г12 + Г21 , то эффективность равна 2 ^ 21 (второй АЭ выберет свою субъективную

доминантную стратегию и станет промежуточным центром);

Г + г12 г2 + г21

- если ---2--- > Г12 + Г21 и -2- > Г12 + Г21 , то эффектив-

Г г1 + г12 г2 + г21 ]

ность равна тах■<—^^— > (в этом случае оба АЭ выберут свои субъективные доминантные стратегии, а промежуточным центром станет тот АЭ, чья заявка больше).

Таким образом, элементы сообщают центру либо свои истинные представления друг о друге, либо уменьшенную в два раза сумму своего собственного типа и своей оценки типа оппонента. В последнем случае, когда фактически взаимные оценки АЭ сильно занижены, за счет сообщения искаженной информации эффективность функционирования АС выше, чем в первом.

Заключение

В работе предложена базовая модель построения организационной структуры при различных уровнях информированности центра и подчиненных ему агентов. Для предложенного конкурсного механизма с изменением организационной структуры найдено информационное равновесие, при котором агенты либо сообщают центру свои истинные представления друг о друге, либо, при определенных соотношениях параметрах модели, искажают их, тем не менее увеличивая эффективность функционирования организационной системы.

Литература

1. ГУБКО М.В., НОВИКОВ Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: СИНТЕГ, 2002.

2. ЗАЛЕСОВ А.И. Оптимальное стимулирование в активных системах с агрегированием информации. // Системы управления и информационные технологии. 2004. 1(13). С. 47 - 49.

3. ЗАЛЕСОВ А.И., КОРГИН Н.А. Неманипулируемые механизмы стимулирования в организационных системах с агрегированием информации. / Сборник докладов международной конференции «Современные сложные системы управления ». Тверь: ТГТУ, 2004. С. 286 - 290.

4. КОРГИН Н.А. Неманипулируемые механизмы обмена в активных системах. М.: ИПУ РАН, 2003

5. НОВИКОВ Д.А. Стимулирование в организационных системах. М.: Синтег, 2003.

6. НОВИКОВ Д.А., ПЕТРАКОВ С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИНТЕГ, 1999.

7. НОВИКОВ ДА., ЦВЕТКОВ А.В. Механизмы стимулирования в многоэлементных организационных системах. М.: Апостроф, 2000.

8. НОВИКОВ Д.А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Рефлексивные игры. М.: СИНТЕГ, 2003.

9. ПЕТРАКОВ С.Н. Механизмы планирования в активных системах: неманипулируемость и множества диктаторства. М.: ИПУ РАН, 2002.

Приложение (доказательства теорем)

Доказательство теоремы 1. Поскольку информированности активных элементов различны, то между ними возникает рефлексивная игра [8].

Рассмотрим игровую ситуацию с точки зрения первого АЭ. В зависимости от реализованной структуры каждый АЭ получает следующие выигрыши:

¿1

(3, 4) / = 2

(

1 - *

V Г 0

С * ' 1 - ^

V Г2 0

(веерная структура);

ґ

(5,6) /і = -2-центр);

1-

V Г1 + Г12 0

, /2 = 0 (первый АЭ - промежуточный

(7,8) /і-

* 2 г

21 21

\

г

10

Л

1-

21

Г12 + Г21 0

(второй АЭ -

2(Г12 + Г21 ) промежуточный центр).

Покажем теперь, что вектор (0, г2 + т21; 0, г12 + г21) является субъективным равновесием Нэша для первого АЭ.

При выборе элементами указанного вектора стратегий реализуется структура с первым АЭ в роли промежуточного центра, при этом (с точки зрения первого АЭ) выигрыши элементов равны:

(9,10) /і

Г12 + Г21

2

1 - Г12 + Г21 . Г1 + Г12 0

Если от равновесия отклоняется первый АЭ, то возможны три варианта:

а) реализуется веерная структура;

б) реализуется структура с первым АЭ в качестве промежуточного центра;

в) реализуется структура со вторым АЭ в качестве промежуточного центра.

Случай (а) может наступить, когда первая компонента заявки первого АЭ не менее г12 + г21 , но при этом его выигрыш становится отрицательным, следовательно, случай (а) при рациональном поведении элемента невозможен.

Случай (б) может наступить, если АЭ либо не изменяет второй компоненты заявки, либо увеличивает ее. При этом первая компонента заявки не превышает вторую, иначе мы бы пришли к случаю (а). Однако увеличение второй компоненты заявки уменьшает выигрыш первого АЭ, следовательно, такое отклонение невозможно.

12

Случай (в) может наступить, если первый АЭ уменьшит вторую компоненту своей заявки. При этом первая компонента меньше, чем г12 + г21, иначе мы бы пришли к случаю (а). При назначении второго АЭ промежуточным центром первый АЭ получает выигрыш (одинаковый при любой заявке, приводящей к структуре со вторым АЭ в роли промежуточного центра) г21 С г ^

(11) /і=2;

10

Рассмотрим неравенство

(12)

Г12 + Г21

2

1 - Г12 + Г21

Л

>

г1 + г12 0

1 - Г21

10

которое означает, что, являясь промежуточным центром, первый АЭ получает не меньший выигрыш, чем будучи подчиненным. Раскрывая скобки и избавляясь от знаменателей, получим:

Г1 (Г12 + Г21 ХЛ - Г21) > Г21 + Г12 ХЛ - Г21) ^ Г1(Г12 + Г2х) > Г21 (Г1 + Г2х)

^ Г1Г12 + Г1Г21 > Г1Г21 + Г21Г12 « Г1 > Г21 .

Поскольку последнее неравенство является одним из наших исходных предположений, то неравенство (12) выполнено, а значит отклонение (в) невозможно.

Итак, для первого АЭ любое отклонение от равновесия (0, г12 + г21; 0, г12 + г21) не приводит к увеличению выигрыша.

Несложно показать, что для второго АЭ (с точки зрения первого АЭ) любое отклонение от этого равновесия также не приводит к увеличению выигрыша.

Следовательно, вектор (0, г12 + г21; 0, г12 + г21) является субъективным равновесием для первого АЭ.

Аналогично доказывается, что вектор

(0, Г12 + Г21; 0, Гі2 + Г21 + 3) является субъективным равновесием второго АЭ.

Таким образом, равновесие (0, г12 + г21; 0, г12 + г21 + 3) является информационным равновесием в рефлексивной игре двух АЭ, что и требовалось доказать.

Эффективность функционирования системы равна

(13) Ф = г12 + г21 + 5 -

(г12 + г21

+ 3)2

г12 + г21 + 3

2(г12 + г21

+ 5) 2

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим возможные субъективные равновесия для первого АЭ. Возможны три варианта реализуемой структуры: (а) веерная структура, (б) структура с первым АЭ в роли промежуточного центра и (в) структура со вторым АЭ в роли промежуточного центра.

Если реализуется структура (а), то есть * + *2 > я12, я1 + я2 > я21, первый АЭ может, выбрав заявку * = 0 и я12 = я1 + г12 + 3, стать промежуточным центром и при этом получить полезность

*1 + г12 + 5

(

2

1 - *1 + г12 + 5 г1 + г12

Л

которая больше исходной (3). Действительно, опуская бесконечно малую величину 3, получаем

Ґ

1 -

Л

<

*1 + г12

Ґ

10

1 - *1 + г12

Л

г1 + г12 0

^ *1(г1 + г12) < (*1 + г12)г1 «

Последнее неравенство является истинным, поскольку в равновесии АЭ не может выбирать отрицательный выигрыш. Следовательно, исходное неравенство верно, а значит структура (а) не может быть реализована.

Если реализуется структура (б), но при этом яі2 < гі2 + г2і, то второй АЭ может, выбрав заявку я2 = 0 и я2і = яі2 + 3 стать промежуточным центром и увеличить свою полезность (которая в случае реализации структуры (б) равна нулю). Следовательно, в любом равновесии, приводящем к структуре (б), вторая компонента заявки первого АЭ равна гі2 + г2і.

Наконец, если реализуется структура (в), то первый АЭ может

г0 * г\ *

выбрать заявку * = 0 и *і2 = гі2 + г2і, стать промежуточным центром и получить больший выигрыш. Действительно,

*2 г

21 21

2(г12 + г21 )

С г >

1 -г21

V

г

<

(г + г )2 г С ^

12 21 21

10

2(г12 + г21)

1 - г21

10

*

2

2

2

2

что, согласно (12), не больше выигрыша, получаемого первым АЭ в случае, если он является промежуточным центром и выбирает заявку = 0 и ,512 = г12 + 721. Следовательно, структура (в) не может быть реализована.

Рассматривая аналогичным образом субъективные равновесия второго АЭ, приходим к выводу, что единственно возможные информационные равновесия приводят к структуре со вторым АЭ в качестве промежуточного центра и эффективности (13).

Доказательство теоремы 3. Рассмотрим с точки зрения первого АЭ множество наилучших ответов второго АЭ на заявку

7 + 71,

52 = 0 и 512 = -----.

12 2

Стать промежуточным центром второй АЭ не может, так как

7 + 712

для этого ему пришлось бы заявить 521 > ------2-- > 712 + ^ что

привело бы его к отрицательному выигрышу.

Добиться реализации веерной структуры второй АЭ может, 71 + 712

выбрав заявку 52 > ——. Выбрать такую заявку и при этом

получить положительный выигрыш, второй АЭ может, если вы-Г1 + Г12

полнено 712 > —2—, что противоречит введенному нами предположению 72 > 712.

Таким образом, с точки зрения первого АЭ он станет проме-

71 + 712

жуточным центром. Его выигрыш в этом случае равен -------------.

4

Максимальный выигрыш в случае веерной структуры для первого

ЛЭ 71 71 + 712

АЭ равен —, то есть строго меньше ---------.

44 Максимальный выигрыш первого АЭ в случае, если он явля-

77

ется подчиненным второму АЭ, равен —(1-----------) и достигается

8 71

г12 + г21

при заявке второго *21 =----------^----. Несложно показать, что

г21 г21 г1 + г12

-^(1-------) <—4—. Таким образом, выигрыш первого АЭ в

случае, когда он является промежуточным центром и заявляет

г1 + г12

я1 = 0 и =------------, максимален.

12 2

г1 + г12

Итак, мы доказали, что я1 = 0 и *12 = —^— является субъективной доминантной стратегией для первого АЭ.

Заявка второго АЭ (как равновесие в его субъективной игре) не измениться по сравнению с заявкой, полученной в теореме 1, поскольку второй АЭ считает типом первого г21, и не имеет ника-

г1 + г12

кой информации о соотношении —^— < г12 + г21.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.