Влияние выбора приближения для маделунговского потенциала на расчетную электронную структуру кремния Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция физики

УДК 539.2: 621.382

Г.В. Арзуманян, АХ. Захаров, А.Б. Колпачев ВЛИЯНИЕ ВЫБОРА ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ МАДЕЛУНГОВСКОГО

ПОТЕНЦИАЛА НА РАСЧЕТНУЮ ЭЛЕКТРОННУЮ СТРУКТУРУ

КРЕМНИЯ

Знание электронной структуры кристаллов позволяет решать многие задачи физики твердого тела и твердотельной электроники. Задачу расчета электронного энергетического спектра (ЭЭС) твердого тела можно разделить на две части: построение кристаллического потенциала и нахождение электронных состояний в .

Важной проблемой при расчете ЭЭС кристаллов является корректное построение кристаллического потенциала, т.е. потенциала, имеющегося на атоме данного типа в кристалле с определенной структурой. Реальный кристаллический потенциал имеет очень сложную пространственную зависимость и практически неопределим. Поэтому для теоретических исследований используются упрощенные модельные потенциалы. Одним из широко распространенных в практических расчетах приближений для построения кристаллического потенциала является МТ-приближение, впервые предложенное Слэтером [1]. Идея МТ-приближе-ния заключается в разбиении кристалла на области двух типов: атомную и межатомную. Потенциал в атомной области считается сферически симметричным, а в межатомной области - постоянным и обычно принимается равным нулю.

В настоящее время существует несколько методов для построения кристаллического потенциала в МТ- форме. Одним из них является метод, предложенный Маттейсом [2]. Однако его применение может приводить к некорректным резуль-

- . , ( ), в ряде случаев может оказать существенное влияние на движение электронов в кристалле. Наличие ПМ обусловлено тем, что электронный заряд внутри МТ-сферы не полностью экранизирует заряд ядра, и получающуюся систему МТ-сфер можно рассматривать как решетку ионов.

Для построения МТ-потенциала в кремнии нами была использована схема, предложенная в [3]. Основное отличие данного подхода от изложенного в [2] состоит в том, что производится суммирование по кристаллической решетке не по, , . Вначале с учетом атомных радиальных волновых функций, взятых из [4], вычисляется атомная плотность заряда. Затем атомная плотность заряда используется для

вычисления кристаллической плотности заряда рск (г), т.е. плотности заряда электронов, возникающей на данном атоме, с учетом перекрытия “хвостов” атомных плотностей зарядов от соседних атомов. Вне сфер электронная плотность счи-

талась постоянной (р( г) = рсот1:) и находилась из условия электронейтральности .

Кристаллический потенциал определяется как сумма:

Ус£( г) = УС( г)+ УМ( г)+ ¥ХС( г), (1)

где V С( г)- кулоновский потенциал, создаваемый ядром атома типа А и электронами МТ-сферы этого атома; VXC( г) - обменный потенциал; V M( г) - ИМ.

Кулоновская часть кристаллического потенциала находится из решения уравнения Пуассона в интегральной форме:

V А = -

2 г 8п

с

г

+-----1 рР (г')г'2йг' + 8п | рСг (г") г”ёг" - 4прсо„,,г2мТ ■ (2)

Обменный потенциал вычисляется либо в приближении Слэтера [5], либо в приближении Хедина-Лундквиста [6], при этом МТ-аппроксимация кристаллической плотности заряда автоматически обеспечивает МТ-форму обменной части

.

ПМ определяется по формуле

vм(г) = 2£-дМт + рсоп«ьМт )ск, (3)

к а

где а}. - постоянная решетки; к, } - типы атомов; ск - концентрация атомов типа А

в подрешетке типа к; ф]к( г)- коэффициент, зависящий от геометрии решетки и ее параметров и определяющий потенциал единичного положительного заряда, помещенного в поле решетки ионов. Для определения ф]к( г) применяется метод Эвальда [7]:

K 2

m

4п „ ехр(-7^)С08(К’г'> „1 - (в,) п

г = 7Г- 2------4£п------+ Е--^-^тл4)

Km Ф0

К

г] ^‘WS£

где £ -постоянная, определяемая из условия сходимости первой и второй сумм (4); ^ WS - объем элементарной ячейки; г - радиус-вектор точки, в которой вычисляется потенциал. Сумма по Km Ф 0 берется по всем векторам обратной решетки, а сумма по г - по всем узлам решетки, находящимся на расстоянии г от точки г .

Постоянное значение потенциала в межатомной области вычисляется по формуле

г

0

V,

О 1 2

/ Г^ЫТ

(3 / - аЫт +6 р^ )п1 +

У ГЫТ

' / ОЫТ (% Q + рсоШОЫТ ) У С1 ) + ^хс (РсотЛ )•

(5)

Плотность электронных состояний 81 Плотность электронных СОСТОЯНИЙ81

р- П1 П01 у I еу

Рис.1

Рис.2

Данный подход расчета ЭЭС кристаллов уже применялся для исследования ЭЭС бездефектного кремния [8] и кремния с дефектами, связанными с атомами вольфрама [9], а также для исследования ЭЭС систем вольфрам-кремний [10], кремний-вольфрам-кремний [11]. В данных работах коэффициент р( г) из (3) счи-

, [3],

(р( г) = р0 = 5,3868). Плотность электронных состояний рассчитывалась по ме-[12]. .1 , -считанный в несамосогласованном варианте для кластера из 71 атома с обменным потенциалом по [6]. Заряд каждой МТ-сферы принимался равным заряду сферы радиуса Я=0,260 пост. реш. [8]. Из рис.1 видно, что часть вадентной зоны находится в области отрицательных значений энергий. С целью устранения данного недостатка в последующих расчетах нами была использована более точная аппроксимация для ПМ. В атомной области кристалла строился сферически симметричный ПМ. В [3] считалось, что ПМ постоянен внутри всей атомной сферы и равен тому значению, которое наблюдается в центре сферы. Между тем, из формулы (4) , -

нат.

Для такой кристаллической структуры, как структура алмаза, внутрь несо-

- ,

, - . -

лический потенциал. Он вычисляется путем усреднения по тонким сферическим слоям истинных значений ИМ:

р(r) = -1 J р(г )dQs, (7)

^ S a s

где s - объем сферического слоя толщиной Дт и радиуса 0 < r < Rmt. При вычислениях по формуле (7) шаг Др по угловым переменным выбирается таким образом, чтобы значение р(r) , вычисленное с шагом Др, совпало с заданной

точностью со значением р'(т) , вычисленным с шагом Др2 . кажД°й сфере

коэффициент р(r) вычислялся не менее чем в 800 точках. Сферически усредненный таким образом ПМ является отрицательным и плавно уменьшается по абсолютной величине при движении от центра МТ-сферы к ее краю. В межатомной области ПМ считался постоянным и принимался равным его значению на МТ-сфере (р(т) = р0 =4,2712). Результаты расчетов с обменным потенциалом по [6] .2. -

сферы радиуса R=0,260 пост. реш. Видно, что использование сферически симметричного ПМ позволило рассчитать полный ЭЭС бездефектного кремния.

, ,

- , .

ЛИТЕРАТУРА

1. Slater J.C. Wave functions in a periodic potential. Phys. Rev., 1937, 51, 1 10, p.846-851.

2. Mattheiss L.F. Energy bands for solid argon. Phys. 2. Rev. A- Gen. Phys., 1964, 133, 1 5, p.

1399-1407.

3. Bonьф ГМ., Дякин В.В., Широковский В. П. Кристаллический потенциал с базисом //Физ.

металлов и металловед., 1974, 38, № 5. С. 949-956.

4. Herman F., Skillman S. Atomic structure calculations. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New

Jearsey, 1963, p. 421.

5. Slater J. S. A simplification of Hartree-Fock method. Phys. Rev., 1951,81, 1 3, p. 385-390.

6. Hedin L., Lundquist B.I. Explicit local exchange correlation potentials. J. Phys. C., 1971, 4, №

14, p. 2064-2084.

7. Сштер Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: Мир, 1969. 648 с.

8. . ., . ., . .

muffin-tin - // -

ционные технологии, информационное, программное и аппаратное обеспечение. Таганрог, 1995. C. 134-135.

9. . ., . ., . ., . .

уровни в кремнии после электроискровой обработки вольфрамовым электродом //Элементная база микро- и наноэлектроники: физика и технология. Сб. науч. тр. под ред. Ю. А. Чаплыгина М. 1994. С. 73-83.

10. Колпачев AM., Захаров АТ. Электронное строение переходного слоя вольфрам-кремний /Материалы 39-й научно-технической конференции. Таганрог, 1993. С. 167-170.

11. Дуба шее С.Л., Захаров А.Г., Колпачев А.Б. Квантовомеханическая модель гетероструктуры с тонким проводящим слоем //Известия ТРТУ. Таганрог, 1995, i 1, с. 167-171.

12. Gyorffy B.L., Stocks G, M. On the CPA in a muffin-tin model potential theory of random substitutional alloys. J. de Physique (Paris), 1974, 35, № 5, p. 4-75.

УДК 534.08

МЛ. Сластен ОБ ОГИБАЮЩЕЙ СЕРИИ МНОГОКРАТНЫХ ОТРАЖЕНИЙ УЛЬТРАЗВУКОВОГО ИМПУЛЬСА, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ МЕЖДУ ПЛОСКОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Изделиями, ограниченными плоской и цилиндрической поверхностями, являются, например, калиброванные слитки монокристаллического галлий-гадолиниевого граната (МК ГГГ) с базовым срезом, который используется при изготовлении подложек для устройств памяти быстродействующих ЭВМ. Импульсы ультразвуковых (УЗ) колебаний возбуждаются и принимаются УЗ-преобразователем 2, расположенным на базовом срезе слитка 1 (рис.1).По огибающей серии многократных отражений УЗ-^пульса можно оценить напряженное состояние слитка, которое является одним из основных критериев его качества [1].

Рассмотрим характер изменения амплитуды эхо-^пульсов в серии многократных отражений при распространении импульсов УЗ-колеба-ний между плоской и цилиндрической поверхностями слитка МК ГГГ.

Рис.1 Рис.2

Часть цилиндрической поверхности слитка С'О' (см.рис.2), на которую падает УЗ-пучок СЭ, излучаемый УЗ-преобр^ователем, является для этого пучка круговым рефлектором радиуса Я. В данном случае все лучи УЗ-пучка после отражения от кругового рефлектора будут проходить через фокус - точку Б, отстоя-