CC BY
18УДК 532.5.01; 532.51; 532.526
Кропачева Анастасия Сергеевна
Студентка физического факультета
Субботин Станислав Валерьевич
Кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории вибрационной гидромеханики
ФГБОУ ВО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», Россия, 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, тел. (342) 238-64-15,
e-mail: subbotin_sv@pspu. ru
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА СТРУКТУРУ ОСРЕДНЕННОГО ТЕЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРЕ, СОВЕРШАЮЩЕМ ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ВИБРАЦИИ1
Anastasia S. Kropacheva
Student of the Physical Faculty
Stanislav V. Subbotin
PhD, Leading Researcher of the Vibrational Hydromechanics Lab.
Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University», 24, Sibirskaya Str., 614990, Perm, Russia, tel. (342) 238-64-15, e-mail: subbotin_sv@pspu. ru
THE EFFECT OF ROTATION ON THE STRUCTURE OF AVERAGE FLOW
IN A CYLINDER PERFORMING ROTATIONAL OSCILLATIONS1
Аннотация. Экспериментально исследуется осредненное течение в цилиндрической полости, совершающей вращательные вибрации. В случае, когда среднее вращение полости за период колебаний равно нулю, структура течения имеет вид пары осесимметричных тороидальных вихрей, локализованных вблизи торцов полости. Наличие среднего вращения и, связанная с ним сила Кориолиса, модифицирует эту структуру. Осредненные тороидальные вихри прижимаются к боковой стенке полости, а их поперечный размер уменьшается. При этом вблизи торцевых стенок индуцируются вихри противоположной закрутки. Исследуется зависимость интенсивности течений от параметров вибраций, а также от скорости вращения полости.
Ключевые слова: вращательные вибрации, пограничные слои, осредненные течения.
Abstract. Steady flow in a cylindrical cavity performing rotational oscillations is experimentally investigated. In the case when the average rotation of the cavity
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МК-1994.2018.1).
© Кропачева А.С., Субботин С.В., 2018
during the oscillation period is zero, the flow structure has the form of a pair of ax-isymmetric toroidal vortices located near the cavity ends. The presence of averaged rotation, and the associated Coriolis force, modifies this structure. Averaged toroidal vortices are pressed against the side wall of the cavity and their transverse size decreases. At the same time, vortices of the opposite rotation are induced near the end walls. This paper investigates the dependence of the intensity of steady flows on the parameters of vibrations, as well as on the cavity rotation speed.
Key words: rotational oscillations, boundary layers, steady flows.
Известно, что вибрационное воздействие на гидродинамические системы способно возбуждать на фоне осциллирующего движения стационарное. Классическими примерами являются акустические течения (кварцевый ветер) [15], а также осредненные течения, возникающие вблизи твердых границ. Так, описание потоков, возникающих вблизи твердых тел, совершающих трансляционные колебания, можно найти в [14]. Колебания приводят к формированию на поверхности тел пограничного слоя Стокса, а за его пределами - вторичного течения. При этом скорость движения жидкости за пределами слоя Стокса определяется безразмерной амплитудой у и безразмерной частотой вибраций ю = R2 / v, где Qnb - частота вибраций, R - размер тела, v - кинематическая вязкость жидкости. Последняя величина характеризует относительную толщину слоя Стокса 8 ~ R / ю1/2. Вращательные вибрации тела также способны генерировать осредненные течения. Так, при вращательных вибрациях шара в пределе высоких ю возникает вторичное течение, направленное от полюсов к экватору [6]. При больших значениях амплитуд вибраций около экватора рождается интенсивное радиальное течение, глубоко проникающее в объем жидкости [7].
Течение в сферической полости, совершающей вращательные колебания, теоретически и экспериментально исследовалось в [5, 8, 12, 13]. Вращательные колебания приводили к возникновению осредненного течения в виде двух тороидальных вихрей, ориентированных вдоль оси вибраций. В [5] основное внимание уделялось большим амплитудам вибраций. В этом случае вблизи стенки полости на доле периода вибраций развивалась центробежная неустойчивость, что приводило к уменьшению скорости осредненного течения. В серии работ [1, 2, 10, 11, 16, 17] исследовались потоки в модели стекловидного тела глаза. Кювета сферической формы с выступом, которое моделировало хрусталик, совершала вращательные колебания. Было показано, что нарушение сферической симметрии существенно усложняет структуру осредненного течения. В области деформации полости возникают осредненные вихревые потоки, направление циркуляции жидкости в которых зависит от безразмерной частоты ю [2, 10, 17]. Так, в области низких ю жидкость в вихрях движется от места деформации в центр полости, а в области высоких ю движение имеет противоположное направление. В настоящей работе экспериментально исследуется влияние вращения полости на структуру осредненного течения в цилиндрической полости, совершающей вращательные вибрации.
Экспериментальная установка и методика. Кювета представляет собой прозрачный параллелепипед, внутри которого располагается цилиндр кругового сечения (рис. 1). С обоих концов кювета герметизируется прозрачными плексигласовыми фланцами, а пространство внутри цилиндра, а также между цилиндром и параллелепипедом заполняется рабочей жидкостью. Внешний отсек кюветы необходим для компенсации оптических искажений, возникающих на цилиндрической поверхности при наблюдении сбоку. Внутренний диаметр цилиндрической полости составляет D = 52,0 мм, а ее длина - L = 102,0 мм. Один из фланцев кюветы установлен в подшипнике, внутренний диаметр которого превосходит диаметр полости, что позволяет вести наблюдения вдоль оси симметрии. В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор кинематической вязкости v = 40.8 сСт.
Вращательные колебания полости задаются при помощи шагового двигателя типа FL86STH118-6004A по закону ф(t) = Дфэт(Qwfet), при этом скорость
вращения полости изменяется по закону Q( t ) = ДфОиЬ cos (Qwfe t). Управление двигателем осуществляется контроллером OSM-88U через USB-порт компьютера. Вал двигателя соединяется с осью кюветы при помощи разрезной муфты, которая с высокой степенью точности передает вращательные колебания. В этих экспериментах частота и угловая амплитуда колебаний фиксированы и составляют = 6.28 с-1 и Дф = 0.262 рад соответственно.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
В экспериментах с ненулевым средним вращением скорость вращения полости в лабораторной системе отсчета изменяется по закону
Q(V ) = Ого,+ЛфОиЬ cos t). При этом контроллер OSM-88U переключается в режим драйвера и управляется при помощи генератора модуля Zet-210 Sigma USB. Средняя скорость вращения полости изменяется в диапазоне Qroi = 6.28- 62.80с-1, а частота и амплитуда вращательных вибраций (либраций) -
= 6.28 -163.28 с-1 и Лф = 0.010 - 0.500 рад соответственно.
Основными безразмерными параметрами задачи являются безразмерная частота вибраций g = Qnb / Qrot, амплитуда s = оЛф и число Экмана E = v / QrotR2, характеризующее отношение сил вязкого трения к силе Кориолиса. Отметим, что эксперименты проводятся в области частот g > 2, где инерционные волны в объеме полости не возбуждаются и не оказывают влияния на структуру осред-ненного течения.
Структура течения исследуется PIV-методом. Для этого в жидкость добавляются пластиковые светорассеивающие частицы размером < 0.2 мм и плотностью, близкой к плотности жидкости. Поле скоростей исследуется как в плоскости, перпендикулярной оси вибраций (рис. 1, положение камеры 1), и в осевом сечении (рис. 1, положение камеры 2). Для этого полость освещается световым ножом, генерируемым лазером непрерывного действия Z-Laser Z500Q. Положение взвешенных в жидкости частиц записывается на скоростную видеокамеру CamRecord CL600x2 с разрешением кадров 800 х 800 пикселей и частотой кратной частоте колебаний полости. После этого из полученной видеозаписи экспортируются только те кадры, которые соответствуют одинаковой фазе колебаний полости. Благодаря такому подходу осциллирующая часть течения не рассматривается, а внимание уделяется только осредненному по периоду вибраций течению. Обработка последовательности фотографий осуществляется в программе PIVLab [19].
Осредненное течение при нулевом среднем вращении полости. Вращательные вибрации полости генерируют в полости осредненное течение, имеющее вид двух осесимметричных тороидальных вихрей, локализованных около торцевых стенок (рис. 2). В непосредственной близости от торцевых стенок жидкость движется в радиальном направлении к боковой стенке полости,
где разворачивается и продолжает движение вдоль нее. Поперечный размер вихрей вдоль оси z зависит от частоты вибраций. Так, при = 6.28 с-1 размер каждого вихря примерно равен z / L « 0.2 и, с последующим увеличением , уменьшается. Профиль осредненной скорости жидкости немонотонно меняется вдоль расстояния до оси вибраций (рис. 2а), при этом максимальная скорость достигается при a / R « 0.4.
Рис. 2. Структура осредненного течения в плоскости, проходящей поперек оси вибраций (а) на расстоянии г/Ь = 0,85 и в плоскости, проходящей через ось вибраций (б), при нулевом среднем вращении и Ои4 = 6.28 с-1 и Дф = 0,262 рад. Цветом на левом фрагменте показано амплитудное значение скорости жидкости и, справа - завихренность в проекции на
ось х (ось х направлена от нас)
Возникновение тороидального течения объясняется различием градиента давления жидкости вблизи торцов полости, где проявляются эффекты вязкости, и в объеме. В течение каждого полупериода колебаний жидкость выбрасывается в радиальном направлении около торцевых стенок и замещается жидкостью из центральной части полости (где радиальное давление меньше) в виде осевого течения. Аналогичная структура течения наблюдалась в сферической полости, совершающей вращательные вибрации [8, 12, 13]. Осредненное течение имело вид двух торов, ориентированных вдоль оси вибраций и заполняющих всю полость. Было показано, что с увеличением амплитуды вибраций Лф скорость осредненного движения возрастала по закону близкому к квадратичному. С увеличением частоты вибрационного воздействия скорость также росла,
что было связано с увеличением безразмерной частоты вибраций ю = Я2 / V. При ю > 103 скорость достигала асимптотического предела и переставала зависеть от ю. В силу подобия двух задач можно ожидать аналогичную зависимости скорости осредненного течения от ю.
Влияние вращения полости на структуру осредненного течения. В случае, когда на фоне вращательных вибраций кювета совершает равномерное вращение со скоростью , направление движение жидкости в вихрях меняется под действием силы Кориолиса. Частицы жидкости, движущиеся в радиальном направлении (рис. 2, а) закручиваются в азимутальном направлении. При этом поперечный размер тороидального течения уменьшается. В силу закона сохранения момента импульса частицы, движущиеся к оси вращения, совершают опережающее дифференциальное вращение, а частицы, движущиеся от оси, - отстающее. Поскольку градиент радиального давления у более быстро вращающейся части жидкости больше, в объеме полости возникает осевое течение, направленное в центр полости (рис. 3, а). Таким образом, пара тороидальных вихрей (см. рис. 2) трансформируется в систему из четырех. Направление
закрутки в вихрях такое, что жидкость движется к местам соединения боковой и торцевых стенок. Отметим, что максимальная скорость в этом потоке будет использоваться для характеристики интенсивности осредненного течения.
Рис. 3. Структура осредненного течения в осевом сечении полости при Пш = 6.28 с-1 и при Пи4 = 12.56 с-1 и Аф = 0.200 рад (а), Пи4 = 12.56 с-1 и Аф = 0.500 рад (б), Пи4 = 37.68 с-1 и Аф = 0.050 рад (в), Пи4 = 62.80 с-1 и Аф = 0.030 рад (г). Цветом показана завихренность га^и
Рис. 4. Максимальная скорость жидкости в осредненных потоках в зависимости от амплитуды вращательных вибраций при различных частотах колебаний полости и средней скорости вращения = 6.28 с-1
С увеличением амплитуды вибрационного воздействия осредненные вихри увеличиваются в размере, при этом осевое течение проникает более глубоко в центральную часть полости (рис. 3, б). С увеличением частоты о вихри, генерируемые вращательными вибрациями, уменьшаются в размере и прижимаются к торцам полости (рис. 3. в, г). При этом осевое течение в центр полости постепенно ослабевает и окончательно исчезает, когда вихри, ранее локализованные вблизи боковой стенки, растягиваются вдоль торцов. В этом случае в качестве характеристики интенсивности осредненного течения принимается максимальная скорость жидкости, направленная из углов полости в ее центр. Также следует отметить, что измерения скорости осредняются по всем четырем углам.
При повышении амплитуды вибрационного воздействия при фиксированной частоте о скорость осредненного движения жидкости и возрастает по квадратичному закону г2 (рис. 4). Полученная закономерность характерна не только для области малых амплитуд вибраций (Лср = в / о □ 1), но и для больших амплитуд, когда в одной из фаз колебаний кювета полностью останавливается (г = 1). В свою очередь повышение частоты вибраций о приводит к уменьшению скорости жидкости в вихрях. Последний результат наиболее примечателен, поскольку в отсутствии среднего вращения в сферической полости с увеличением частоты вибраций скорость осредненного движения возрастала [8, 12]. Эксперименты показывают, что с увеличением средней скорости вращения полости безразмерная скорость осредненного течения иК / ув2, нормированная на квадрат амплитуды вибраций, повышается (рис. 5, а).
Ранее потоки, во вращающейся цилиндрической полости при ее вращательных вибрациях, исследовались в [18, 20]. Наряду с тороидальными вихрями вблизи углов полости было обнаружено дифференциальное вращение жидкости. Интенсивность этого движения также возрастала по квадратичному закону
с амплитудой вибраций, АП / ПгЫ ~ в2. Отметим, что полученный результат справедлив не только для цилиндрической, но и для сферической геометрии [3, 4]. Так, при а = 2 жидкость в центральной части полости совершала отстающее дифференциальное вращение (АП / ПгЫ < 0) и с увеличением частоты вибраций монотонно уменьшалась до нуля. При а > 8 направление вращение жидкости менялось на противоположное (АП / ПгЫ > 0). Как показывают настоящие эксперименты, направление дифференциального вращения жидкости не оказывает влияния на направление вращения жидкости в тороидальных потоках, возбуждаемых вращательными вибрациями.
100
иК
10
0.1
5 г
ж
п„„ о-1 ♦ 6.28
_|_I_1_
10
иК
Л 31.40 УЕ X 62.80
10
б
_|_I_| | I
_|_I_I_I_I_| | I
0.001
0.01
Рис. 5. Безразмерная скорость осредненного движения жидкости иЯ ^е2 в зависимости от безразмерной частоты колебаний полости а при различных значениях средней скорости вращения (а) и в зависимости от числа Экмана Е = V/ Пго1Я2 при фиксированной частоте
вибраций а = 2.00 (б)
Рис. 6. Структура осредненного течения в осевом сечении полости при Пго( = 31.40 с 1,
а = 2.00 рад и числе Экмана Е = 1.9 • 10-3
2
1
а
Е
а
С повышением скорости вращения полости действие силы Кориолиса на частицы жидкости увеличивается. При этом тороидальные вихревые структуры, возбуждаемые вращательными вибрациями, уменьшаются в поперечном размере и вытягиваются вдоль боковой стенки полости (рис. 6). Как показыва-
ют эксперименты, безразмерная скорость осредненного течения уменьшается с числом Экмана по закону uR / vs2 ~ E 3 2. Избавляясь от вязкости в левой части этого выражения, можно получить следующее выражение для скорости движения жидкости обезразмеренной через линейную скорость вращения полости u / QRs2 ~ E 12. Этот результат является характерным для широкого типа задач, посвященных исследованию влияния гармонического воздействия на вращающиеся системы [9].
Выводы. Экспериментально исследовано течение в цилиндрической полости при ее вращательных вибрациях. Обнаружено, что в отсутствии среднего вращения полости осциллирующее движение жидкости приводит к возникновению пары осесимметричных тороидальных вихрей, локализованных вблизи торцов полости. Вблизи торцевых стенок жидкость движется от оси вибраций по направлению к боковой стенке полости, где разворачивается и движется обратно. Наличие среднего вращения кюветы усложняет структуру течения. Сила Кориолиса препятствует радиальному движению, увлекая частицы жидкости в азимутальном направлении. В результате рождается течение, направленное вдоль оси вибраций от торцов полости в ее центр. С увеличением частоты вибраций поперечный размер вихрей, генерируемых вращательными вибрациями, уменьшается. При этом осевое течение от торцов в центр полости ослабевает и окончательно исчезает, когда вихри растягиваются вдоль торцов. Показано, что скорость осредненного движения увеличивается по квадратичному закону с амплитудой вибраций и уменьшается с числом Экмана по закону ~ E~1/2.
Список литературы
1. Balachandran R.K., Barocas V.H. Contribution of saccadic motion to intravitreal drug transport: theoretical analysis // Pharm. Res. - 2011. - Vol. 28. - P. 1049-64.
2. Bonfiglio A., Repetto R., Siggers J.H., Stocchino A. Investigation of the motion of a viscous fluid in the vitreous cavity induced by eye rotations and implications for drug delivery // Phys. Med. Biol. - 2013. - Vol. 58 (6). - P. 1969-1982.
3. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 650. - P. 505-512.
4. Calkins M.A., Noir J., Eldredge J.D., Aurnou J.M. Axisymmetric simulations of libration-driven fluid dynamics in a spherical shell geometry // Phys. Fluids. -2010. - Vol. 22. - P. 086602.
5. Colombini M. Axisymmetric flow within a torsionally oscillating sphere // Phys. Fluids. - 2014. - Vol. 26. - P. 023602.
6. Gopinath A. Steady streaming due to small amplitude torsional oscillations of a sphere in a viscous fluid // Q. J. Mech. Appl. Maths. - 1993. - Vol. 46. - P. 501-521.
7. Hollerbach R., Wiener R.J., Sullivan I.S. The flow around a torsionally oscillating sphere // Phys. Fluids. - 2002. - Vol. 14 (12). - P. 4192-4205.
8. Kozlov V.G., Subbotin S.V., Sabirov R.R. Steady flows in deformed elastic sphere subject to rotational oscillations // Phys. Fluids. - 2018. - Vol. 30 (9). -P. 093606.
9. Le Bars M., Cébron D., Le Gal P. Flows driven by libration, precession, and tides // Annual Rev. Fluid Mech. - 2015. -Vol. 47. - P. 163-193.
10. Oliveri A., Stocchino A., Storace M. Barriers to transport induced by periodic oscillations in a physical model of the human vitreous chamber // Phys. Rev. E. -2011. - Vol. 83. - P. 036311.
11. Repetto R., Siggers J.H., Stocchino A. Mathematical model of flow in the vitreous humor induced by saccadic eye rotations: effect of geometry // Biomech. Model. Mechanobiol. - 2010. - Vol. 9 (1). - P. 65-76.
12. Repetto R., Siggers J.H., Stocchino A. Steady streaming within a periodically rotating sphere // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 608. - P. 71-80.
13. Repetto R., Stocchino A., Cafferata C. Experimental investigation of vitreous humour motion within a human eye model // Phys. Med. Biol. - 2005. - Vol. 50. -P. 4729-4743.
14. Riley N. Oscillatory viscous flows. Review and extension // J. Inst. Maths Applics. - 1967. - Vol. 3. - P. 419-434.
15. Riley N. Steady streaming // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 33. -P. 43-65.
16. Stocchino A., Repetto R., Cafferata C. Eye rotation induced dynamics of a Newtonian fluid within the vitreous cavity: the effect of the chamber shape // Phys. Med. Biol. - 2007. - Vol. 52 (7). - P. 2021-2034.
17. Stocchino A., Repetto R., Siggers J.H. Mixing processes in the vitreous chamber induced by eye rotations // Phys. Med. Biol. - 2010. - Vol. 55. -P. 453-67.
18. Subbotin S. V., Dyakova V. V. Inertial waves and steady flows in a liquid filled librating cylinder // Microgravity Sci. Technol. - 2018. - V. 30 (4). - P. 383-392.
19. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab-Time-Resolved Digital Particle Image Velocimetry Tool for MATLAB version 1.43, -2016.
20. Wang C.Y. Cylindrical tank of fluid oscillating about a steady rotation // J. Fluid Mech. - 1970. - Vol. 41. - P. 581-592.
