Влияние внешнего электрического поля на зонную структуру графеновой наноленты Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Иванченко Г.С., Невзорова Ю.В., 2011

УДК 544.225.22 ББК 22.37

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ЗОННУЮ СТРУКТУРУ ГРАФЕНОВОЙ НАНОЛЕНТЫ1

Г.С. Иванченко, Ю.В. Невзорова

В приближении времени релаксации учтено влияние тангенциальной компоненты внешнего электрического поля на зонную структуру однослойной и многослойной углеродной наноленты zig-zag-типа. Было показано, что изменением величины электрического поля можно регулировать ширину запрещенной зоны.

Ключевые слова: графен, электрическое поле, зонная структура, нанолента, резонансный интеграл.

Введение

Носители заряда в графене описываются уравнением Дирака, а не привычным в твердотельной физике уравнением Шредингера, что обусловлено симметрией кристаллической решетки графена. Электронные подзоны, образованные симметричной и антисимметричной комбинацией волновых функций на разных подрешетках, пересекаются на краю зоны Брил-люэна, что приводит к конусообразному энергетическому спектру вблизи «дираковских» точек. Как следствие, квазичастицы в графене, подобно безмассовым релятивистским частицам, имеют линейный закон дисперсии Е = ккур, где роль скорости света играет скорость Ферми ур и с/300 [4].

При положительных энергиях (выше дираковской точки) токонесущие состояния подобны электронам и заряжены отрицательно. При отрицательных энергиях, если валентная зона не целиком заполнена, квазичастицы ведут себя как положительно заряженные частицы (дырки) и могут рассматриваться как твердотельный аналог позитронов. Электроны и дырки в графене оказываются взаимосвязанными, проявляя свойства зарядово-сопряженной симметрии. Это обусловлено симметрией его кристаллической решетки и тем, что квазичастицы в графене описываются двухкомпонентной волновой функцией. Двухкомпонентное описание аналогично описанию в квантовой электродинамике (КЭД), использующему спинорные волновые функции, но «спин»-индекс в случае графена обусловлен принадлежностью разным подрешеткам, а не «реальному» спину обычных электронов, и поэтому именуется псевдоспином с.

Конический вид закона дисперсии в графене является результатом пересечения подзон, обусловленного разными подрешетками. В результате, электроны с энергией Е, движущиеся в положительном направлении, принадлежат той же ветви спектра, что и дырки с энергией - Е, движущиеся в противоположном направлении. Это означает, что электроны и дырки, находящиеся на одной и той же ветви спектра, имеют одинаковый псевдоспин с, который параллелен квазиимпульсу для электронов и антипараллелен для дырок. Это позволяет ввести понятие киральности [5], которая является проекцией псевдоспина на направление движения и имеет положительный знак для электронов и отрицательный для дырок.

Зонная структура графена была исследована и наиболее прямым способом - с помощью фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением, позволяющей установить рас-

пределение электронов в импульсно-энергетическом пространстве [6]. Такое исследование показало, что хотя дисперсия вблизи дираковских точек и является приблизительно линейной, но она может искажаться вследствии различных взаимодействий. При сильном допировании графена вследствии электрон-электронного, электрон-фононного и электрон-плазмон-ного взаимодействий в дисперсионной зависимости при энергиях порядка 1 эВ появляются изломы [7; 8].

1. Зонная структура бислоя графена

Одноатомной толщины графитовый лист с гексагональной структурой, называемый графе-ном, - пример двумерной системы с трансляционной симметрией. Он характеризуется двумя элементарными векторами трансляций С1 и С2 длиной С = 43а0 = 2,46А, где а0 = 1,42А - длина связи между соседними атомами углерода (см. рис. 1).

а б

Рис. 1. Фрагмент слоя графена в плоскости ХУ

При рассмотрении двухслойного графена выбирается геометрическое расположение слоев, соответствующее АВАВ упаковке (графит Бернала).

Как и в однопериодической системе, оператор Гамильтона графена инвариантен относительно трансляций, поэтому его волновая функция должна удовлетворять теореме Блоха [2].

Для расчета зонной структуры бислоя графена предварительно вычислим значения интеграла перекрывания для волновых функций 2рг-орбиталей [3].

Расчет интеграла перекрывания проводился численно методом трапеций с точностью ~0,1 %. Значения резонансных интегралов определяются путем нормировки на величину резонансного интеграла электронного перехода между соседними атомами одного слоя (Р; = 1,4 эВ) [2]. Результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1

Значение величины интеграла перекрывания и резонансного интеграла в зависимости от смещения вдоль слоя

Ау 0 а0/2 л/3а0 /2 а0

ЗаЪ 3.55 * 10-5 2.41*10-5 1.14*10-5 7.94* 10-5

в, эВ 2,49*10-3 1,69* 10-3 7,98*10'4 5,56* 10-4

Рассчитать волновые функции сложных систем невозможно, поэтому воспользуемся методом МО ЛКАО, то есть волновую функцию записывают в виде детерминанта, построенного из одноэлектронных волновых функций. В кристаллах с трансляционной симметрией волновые функции, зависящие только от координат электрона, называют блоховскими.

Для исследуемой системы базисные блоховские функции имеют следующий вид:

(1)

ТЛ (г ) = -^ Е ЄХрИкІ1С1 + кІ2С2 Ж (г - І1С1 - І2С2 )

ТВ (г } = Е ®ф{'(№ + кІ2С2 )р (г - І1С1 - І2С2 )

ТС (г ) еХрЦ(к11С1 + к12С2)}рС (г — ё1 — І1С1 — І2С2 )

\1Ь уг

Т(г) = Еехр^До + кІ2с2)}рв(г -ёг -ІС1 -12с2)5

і1,і2

где рЛ, рВ, рС, рп - волновые функции атомных орбиталей; Ір 12 - целые числа; ср с2 - векторы трансляций основной решетки; ё1, ё2 - смещения соседних атомов одного слоя графена относительно другого.

В таком базисе, используя приближение ближайших соседей, определим секулярное уравнение четвертого порядка для законов дисперсии л-электронов:

а -Е (Т^ЩТв) (^лЩ^с) (^лЩ^п) (Т^Щт^ а-Е (ЧВЩк) (ТвЩТп) (ТсЩТл) <Тс|Щ Тв> а- Е (ТсЩТп) (ТпЩ|Тл) (Тп|я|Тв) (Тв|я|Тс) а-Е

= 0

(2)

Положение уровня Ферми совпадает с энергией р-орбитали а в свободном атоме углерода. Недиагональные матричные элементы записываются в приближении ближайших соседей:

(Тл|Я|Тв ) = а(і + е-£с + екс) (ТлЩ| Тс) = А (1 + е -*С1+ е*С2)

+ е'кС2 + е'к(С2 -^^)

(ТлЩ|%) = А И

(ТвЩ| Тл) = а1+е* + е ) (ТвЩ| Тс) = А

(ТвЩ|Тп) = А (1 + е+ еік°2)

<ТсЩ| Тл

(ТсЩ| Тв (ТсЩ| Тп <ТпЩ| Тл <Тп|Щ| Тв

(Тп|Я| Тс

= а (1+екк + е -кд2) = А

= А (1 + е-‘кС1 + е‘кС2 ) = А (еікк + е -кк2 + е

Аз (

= Аз1

= А (1 + е'кС + е

- Л (о,-к)

+ екк1 + е-кк2

кС1 , ,,-‘кк2

где Д = 1,4 эВ; Д2 = 2,49*10-3 эВ; Д3 = 5,56 * 10 4 эВ - резонансные интегралы.

Подставив матричные элементы в секулярное уравнение, получим дисперсионное уравнение для бислоя графена:

а- Е а(1+еікС1 + е

е -кС1 + еікС2 + е^(о!-к)

Аз(

А (1+е

кс1

+е

А1(1+е-кг1+ екк2) А3 (1+е^к° + екС2) а3(

а- Е А Аз 1

А2 а- Е А1(1+е-61

+е-кС1 + е^ кк° )

е 1 +е 2 +е

- к (к2-С1 )

) А, (1

і , ікс, , -ікс,

1+е 1 +е

) й(і

а-Е 1 + е*1 + е-кс)

+е

а-Е

= 0

Сдвигая энергию на уровень Ферми (а = 0), получаем уравнение четвертого порядка относительно собственного значения Е:

Е4 - Д2 + 2Д! + ЭД2^2 -4ДДД! -4Д 032^6со^кС^£2]оо^1^ + 2cos2^к^

-1+12ос82 [ к-с±+с2 1+80083 ^ кj Со8^кС1^2£2]]+А4!2+А4!2 - 2Д2А2!2+А2А2|-

-(Д12Д2Д3 + А2А33)^6оо5^кС1 ^ С2 ^|со5^кС1 + С2 ^| + 2cos2^ кС1 ^ С2 - 1+1200Я2 ^ к с + С2 +

+ 8ооя3 ГкС-1—С2Л1оо8Г кС + С2 ^1^1 = 0

2

2

где

£ = 1 + 4соэ^cos^к-С-+С2^ + 4cos2^к С +^2|

Полученное уравнение описывает электронные переходы в бислое графена. Из уравнения видно, что переходы вдоль слоев и между ними взаимосвязаны. Учет электронных переходов между слоями приводит к расщеплению энергетических уровней по сравнению с зонной структурой монослоя графена. Это расщепление незначительно и его величина порядка резонансных интегралов Р2, Р3. Зонная структура бислоя графена показана на рисунке 2.

^Г/ГГ'

а б

Рис. 2. Зонная структура двойного графенового слоя:

а - по вертикальной оси отложена энергия, по горизонтальным - проекции волнового вектора кх, ку; б - ось абсцисс - ку , ось ординат - энергия

2. Влияние внешнего электрического поля на зонную структуру графеновой наноленты

Будем рассматривать ленты конечной ширины. В связи с этим на проекцию волнового вектора накладываются граничные условия. В итоге для лент zig-zag-типа проекция волнового вектора на ось Х принимает дискретный набор значений:

2т < к < 2т

а0(3ж-1)_ х “ 30/

(4)

к = -

2т

0(3#-1), где п = і ^ -1),

а для лент агт-Лаіг-типа, соответственно:

2т 2т

•<ку <-

^3a0N у Т3<

ао

1 2т

ку 'Жж, где п ' ^ N,

(5)

где N определяет ширину графеновой наноленты. Для расчетов использовались значения N = 5, 10, 15 гексагонов.

Рассмотрим постоянное тангенциальное электрическое поле, направленное поперек ленты. Гамильтониан системы электронов, в этом случае, в присутствии внешнего электрического поля,

1 дЛ

записанного в калибровке Кулона Е = ——, в общем виде записывается:

а

н=Ел І р - Єл({) кар* , (6)

где ар*,а^ - операторы рождения, уничтожения электронов с квазиимпульсом (р, *), Л(г) = сЕґ -вектор-потенциал электрического поля, который имеет одну компоненту и направлен поперек гра-феновых нанолент; в* - закон дисперсии электронов [1].

Используя приближение времени релаксации (т «10-13с), поправка к импульсу преобразуется к виду еЕт, следовательно, учет внешнего электрического поля производится с помощью поправки к проекции волнового вектора на ось Х:

еЕт

К ^ К + —. (7)

п

Влияние тангенциального поля на зонную структуру однослойной углеродной наноленты zigzag-типа показано на рисунке 3.

ка„

а

Ч

б

Рис. 3. Дисперсионные кривые графеновой наноленты шириной N = 5 гексагонов с учетом тангенциальной компоненты внешнего электрического поля:

а - Е = 0 В/мкм; б - Е = 13,8 В/мкм; в - Е = 41,4 В/мкм

в

С увеличением тангенциального электрического поля происходит изменение квазиимпульса электронов, что приводит к смещению разрешенных значений волнового вектора в зоне Бриллю-эна и их периодическому прохождению через дираковские точки. В результате, это отражается на ширине запрещенной зоны, которая варьируется полем от 0 до 1 эВ.

В случае двухслойной графеновой наноленты зонная структура с учетом внешнего тангенциального поля показана на рисунке 4.

—і—і—,—і—,—і—■—і—,—і—,—і—,—,—,—і—,—і і—■—і—■—і—■—і—■—і—і—і—■—і—'—і—і—і—і—і

-0.5 0.0 0.5 1.0 1,5 2.0 2,5 3,0 3,5 4,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-------'------1-----1------1------»-----1------1------1-----1------1------1-----1------1------1-----•------1------»-----1

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

в

Рис. 4. Дисперсионные кривые двухслойной графеновой наноленты шириной N = 5 гексагонов с учетом тангенциальной компоненты внешнего электрического поля:

а - Е = 0 В/мкм; б - Е = 29,2 В/мкм; в - Е = 87,4 В/мкм

Заключение

Приложение внешнего электрического поля в тангенциальном направлении по отношению к наноленте приводит к смещению разрешенных значений волнового вектора в зоне Брил-люэна. В результате уровни энергии периодически проходят через дираковские точки. Таким образом, происходит варьирование ширины запрещенной зоны в пределах от 0 до 1 эВ. Такое поведение должно существенно отражаться на проводящих свойствах объекта. В итоге мы получаем материал с переменными свойствами, управляемыми внешним электрическим полем.

Изменяя ширину лент, можно регулировать амплитуду и период изменения ширины запрещенной зоны.

В случае двухслойных нанолент также наблюдается дополнительное расщепление дисперсионных кривых за счет внешнего поля.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (Государственный контракт N° П892).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Белоненко, М. Б. Влияние магнитного поля на распространение предельно коротких импульсов в углеродных нанотрубках / М. Б. Белоненко, Н. Г. Лебедев, Е. Н. Г алкина, О. Ю. Тузалина // Оптика и спектроскопия. - 2011. - Т. 110, № 4. - С. 598-602.

2. Дьячков, П. Н. Электронные свойства и применение нанотрубок / П. Н. Дьячков. - М. : БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. - 488 с.

3. Иванченко, Г. С. Температурная зависимость удельной проводимости бислоя графена / Г С. Иванченко, Ю. В. Невзорова // Вестн. ВолГУ Сер. 1, Мат. Физ. - 2010. - Вып. 13. - С. 102-106.

4. Морозов, С. В. Электронный транспорт в графене / С. В. Морозов, К. С. Новоселов, А. К. Гейм // УФН. 2008. - Т. 178, № 7. - С. 776-780.

5. Blake, P. / P. Blake [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 2007. - 91. - 063124.

6. Bostwick, A. / A. Bostwick [et al.] // Nature Phys. - 2007. - 3. - 36.

7. Bostwick, A. / A. Bostwick [et al.] // New J. Phys. - 2007. - 9. - 385.

8. Wu, X. / X. Wu [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2007. - 98. - 136801.

THE INFLUENCE OF EXTERNAL ELECTRIC FIELD ON ZONAL STRUCTURE OF GRAPHENE NANORIBBON

G.S. Ivanchenko, Yu. V. Nevzorova

In approach of time of a relaxation influence tangential components of external electric field on

zonal structure single-layered and multilayered carbon nanoribbon of zig-zag type is considered. It has

been shown that change of size of electric field it is possible to regulate width of the forbidden zone.

Key words: graphene, electric field, zonal structure, nanoribbon, resonance integral.