CC BY
48
30.09.2004, № 1546-В2004.
8. Закарюкин В.П., Крюков А.В., Абрамов Н.А. Построение упрощенных моделей электроэнергетических систем для целей оперативного управления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2007. № 16. С. 66-71.
9. Закарюкин В.П., Крюков А.В., Крюков Е.А. Моделирование предельных режимов электроэнергетических систем с учетом продольной и поперечной несимметрии. Иркутск, 2007. 138 с. Деп. в ВИНИТИ
03.08.2006, № 1036-В2006.
10. Закарюкин В.П., Крюков А.В., Раевский Н.В., Яковлев Д.А. Моделирование и прогнозирование процессов электропотребления на железнодорожном транспорте. Иркутск, 2007. 114 с. Деп. в ВИНИТИ
11.01.2007, № 19-В2007.
11. Закарюкин В.П., Крюков А.В., Соколов В.Ю. Системный подход к моделированию многоамперных шинопроводов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 68-72.
12. Закарюкин В.П., Крюков А.В., Шульгин М.С. Параметрическая идентификация линий электропередачи и трансформаторов. Иркутск, 2012. 96 с.
13. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Арсентьев М.О. Использование технологий распределенной генерации на железнодорожном транспорте // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 3. С. 81-87.
14. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Буякова Н.В. Моделирование электромагнитной обстановки на желез-
ных дорогах переменного тока // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 2. С. 169-175.
15. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Буякова Н.В. Расчет электромагнитных полей, создаваемых тяговыми сетями электрофицированных железных дорог // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. Т. 48, № 1. С. 148-152.
16. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Иванов А.Н. Моделирование электромагнитных полей, создаваемых многопроводными линиями электропередачи // Проблемы энергетики. 2007. № 7-8. С. 37-43.
17. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Кобычев Д.С. Моделирование электромагнитных влияний контактной сети железных дорог на смежные линии электропередачи // Электротехнические комплексы и системы управления. 2009. № 1. С. 2-7.
18. Крюков А.В., Закарюкин В.П., Кобычев Д.С. Определение наведенных напряжений с учетом несинусоидальности токов контактной сети железных дорог переменного тока // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2009. № 2. С. 315-319.
19. Шульгин М.С., Крюков А.В., Закарюкин В.П. Параметрическая идентификация линий электропередачи на основе фазных координат // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 1. С. 140-147.
УДК 519.6:311 Краковский Юрий Мечеславович,
д. т. н., профессор, профессор кафедры ИСиЗИ, Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail:kum@stranzit ru Нго Зюи До,
аспирант кафедры информатики и математического моделирования, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: [email protected]
ВЛИЯНИЕ ВИДА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ НА ПОКАЗАТЕЛИ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА
Y. M. Krakovskiy, Ngo Duy Do
THE DISTRIBUTION FUNCTION INFLUENCE ON RESIDUAL LIFE INDICATORS
Аннотация. Исследовано влияние вида функции распределения наработки на средний и гамма-процентный остаточный ресурс. Обоснование вида функции распределения проведено по модифицированному критерию Колмогорова и статистическим данным по оборудованию объемом 25 единиц. Выбрано три различных функции распределения: нормальное, Бирнбаума - Саундерса и Вейбулла. Чтобы оценить точность вычисления показателей остаточного ресурса для выбранных видов законов наработки, найдены их оценки с использованием статистического подхода. По обоим показателям ближе к их оценкам находятся значения, полученные по распределению Бирнбаума - Саундерса. Одним из преимуществ аналитического подхода является возможность применения метода Монте-Карло для исследования остаточного ресурса оборудования, структурно состоящего из различных компонент.
Ключевые слова: наработка оборудования, средний остаточный ресурс, гамма-процентный остаточный ресурс, модифицированный критерий Колмогорова, вероятность безотказной работы.
Abstract. The influence of the distribution function on the average and gamma-percent residual life was investigated. Justification of the distribution function was performed by the modified Kolmogorov test and statistical data on the equipment of 25 units. The authors have chosen three different distribution functions: normal, Birnbaum-Saunders and Weibull. To assess the accuracy of the calculation of a residual life for selected types of distribution laws found their estimates using a statistical approach. Both indicators nearer to their estimates values are obtained on the Birnbaum-Saunders distribution. One advantage of the analytical approach is the possibility of using the Monte-Carlo method for the study of residual life of equipment, structure consisting of various components.
Keywords: mean time, the average residual life, gamma-percent residual life, modified Kolmogorov test, uptime probability.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
12,2; 14; 15,8; 17,3. (1)
Выбрано три различных функции распреде-
ления:
1) нормальное распределение
Р (*) = -
1 *
1 Г - 2
—ехр(-(л - *) /2а
ал/2л -1
г)ск =
(2)
= Ф[(*-*)/а], где Ф(л) — интеграл вероятности 1 л
Ф(л) = -= Г ехр(—*2 / 2)С* , (3)
Т - математическое ожидание, о -среднеквадратическое отклонение (о2 -дисперсия). Эти параметры заменяются их оценками (~, В(). Вероятность безотказной работы
Р(Т) = Ф[(Г - *)/а]; (4)
2) распределение Бирнбаума - Саундерса [1, 2]
Р (Т) = Ф[((Т -а)/л/Т ]. (5)
Математическое ожидание и дисперсия
равны
Т = а/( + 1/2(2 ; Б, =а/(3 + 5/4(4. (6) С учетом (6) оценки параметров по методу моментов равны
Р = .
г1 +ЗД
2Д
, а = /31-0,5!/3. (7)
Введение
Мировая практика показывает, что для увеличения безопасности и ресурса оборудования необходимо использовать стратегию обслуживания и ремонта по фактическому состоянию. Для этого необходимо уметь оценивать и прогнозировать остаточный ресурс оборудования. На практике используется статистический и аналитический подходы, часто одновременно.
При аналитическом подходе необходимо обосновать вид функции распределения наработки, как правило, используя небольшие по объему статистические данные. С учетом этого фактора для одних и те же данных по наработкам можно статистически подобрать различные функции распределения. В качестве критерия согласия выбран модифицированный критерий Колмогорова.
В работе исследуется влияние вида функции распределения наработки, обоснованной по статистическим данным, на величину показателей остаточного ресурса: а) среднего остаточного ресурса, б) гамма-процентного остаточного ресурса. При оценке параметров этих функций используется метод моментов [1].
1. Постановка задачи
Исследование проведено по статистическим данным для наработок 25 единиц оборудования, взятых из работы [1]:
2,5; 4,8; 5,3; 5,8; 6,0; 6,7; 6,9; 7,4; 7,5; 7,9; 8,4; 8,6; 8,7; 9,1; 9,2; 9,5; 9,9;10,1;10,6; 11; 11,5;
Вероятность безотказной работы
Р(Т) = Ф[(а — (*)/Л/т ] .
(8)
3) распределение Вейбулла [1, 2]
Р(Т) = 1 - ехрГ-(* , Т > 0. (9) Математическое ожидание и дисперсия
равны
Т = *Г(1 +1);
В,
1
1)
(10)
Г(— +1) -Г2(-_ ( ( здесь Г() - гамма-функция. По методу моментов, зная оценку коэффициента вариации, определяют первоначально оценку параметра формы р. Зная эту оценку, из уравнения (10) (значение математического ожидания) определяют оценку параметра масштаба п. Вероятность безотказной работы
Р(*) = ехрГ-(*/^)(1, * >0 . (11)
Оценка математического ожидания наработки для выборки (1) равна 9,068 лет, оценка дисперсии 10,982, оценка среднеквадратического отклонения 3,314 лет, оценка коэффициента вариации 0,365 (36,5 %).
2. Технология решения задачи
Решение задачи состоит из нескольких этапов:
1) Используя модифицированный критерий Колмогорова, проверяется гипотеза о том, что на основании статистических данных (1) можно принять гипотезу о виде функции распределения для наработки:
Но: ЗД = Р (л), (12)
где Р0 (л) - искомая функция распределения, Р (л) - эмпирическая функция распределения, полученная по статистическим данным.
2) Вычисление показателей остаточного ресурса: среднего остаточного ресурса, гамма-процентного остаточного ресурса.
3) Обработка статистических данных с использованием статистического подхода.
4) Выбор предпочтительной функции распределения наработки.
3. Использование модифицированного критерия Колмогорова
Модифицированный критерий Колмогорова с поправкой Лиллифорса для нормального распределения имеет вид [3, 4]
* Г- 0 85
Вп = Вп (л/я - 0,01 + ) < С(0,05) = 0,895 . (13) п
Здесь С(0,05) - критическое значение при уровне значимости 0,05; п - объем выборки (п = 25);
Вп = тах(В+, В— ), где В+ = тах[г / п - р (л )]; В— = тах[Р0 (лг) - (г -1) / п]; Р0 (хг) - искомая функция распределения. Считается, что критерий Колмогорова хорошо обнаруживает отклонения от
нормального закона при малых объемах выборок.
Проверим гипотезу о том, что выборка (1) получена из совокупности, имеющей нормальное распределение. С учетом (13) для функции (2)
О+ = тах[/ / п - ГX)] = 0,098,
D „ = max
F (xt) -
i -1
= 0,059.
D = max(D+n , D- ) = 0,098,
* , r- 0,85 ч
Dn = Dn (л/n - 0,01 + ) = 0,497 .
Условие (13) выполняется, поэтому можно принять гипотезу (12) о том, статистические данные (1) получены из нормальной совокупности.
Учитывая, что параметры распределения оцениваются по статистическим данным, для распределения Вейбулла рекомендуют поправку [3]
(14)
D * = DJn .
D- = max
F (xt) -
t -1
= 0,077,
к' =
x max
n1 + n2
F (t) - F* (t), (15)
где (г) и (г) - эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам с объемами п1 и п2 (нормальное распределение и распределения Бирнбаума - Саундерса, соответственно).
Гипотеза H0 отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики к' больше критического к kp, т. е. к' > ккр, и принимается в противном случае. Критическое значение при уровне значимости 0,05 равно 1,358. В нашем случае
maxiFm (x) - F^ (x)| = 0,069;
X = . 25 Х 25 х 0,06914 = 0,244 . V 25 + 25
Так как X = 1,358 > X' = 0,244 , то гипотеза
о близости этих распределений принимается. С учетом этого, воспользуемся модифицированным критерием Колмогорова (13):
О+ = тах[ / п - Г(х,)] = 0,042,
D- = max
F (x) -
t -1
n
= 0,085 .
Если Б* меньше критического значения с, то считают, что выборка получена из генеральной совокупности, имеющей распределение Вейбулла при выбранном уровне значимости. При объеме выборки п = 25 и уровне значимости 0,05 критическое значение с = 0,846.
Проверим гипотезу о том, что выборка (1) получена из совокупности, имеющей распределение Вейбулла (оценка параметра формы равна 3, а оценка параметра масштаба 10,15).
О+ = тах[ / п - Г(х,)] = 0,088,
D = max(D+, D- ) = 0,085 ,
* г- 0 85
D* = Dn (л/n - 0,01 + ) = 0,431.
Б = тах( О+, О- ) = 0,088, О* = = 0,44 , Б* = 0,44 < с =0,846,
поэтому гипотезу о распределении Вейбулла можно принять.
Для распределения Бирнбаума - Саундерса отсутствует поправка, учитывающая использование оценок параметров. С учетом (7) эти оценки равны: р = 0,95; ос = 8,09 . На рис. 1 приведены графики функций нормального распределения и распределения Бирнбаума - Саундерса.
Эти графики близки между собой. Считая, что они построены по двум выборочным данным, воспользуемся критерием Колмогорова - Смирнова [3, 5] для их сравнения. Статистика критерия Колмогорова - Смирнова имеет вид
Учитывая условие (13), можно принять гипотезу (12) о том, что статистические данные (1) получены из совокупности, имеющей распределение Бирнбаума - Саундерса.
Таким образом, можно принять, что статистические данные (1) получены из совокупности, описываемой тремя распределениями. Это связано с тем, что объем выборки мал и для оцененных параметров все три функции распределения близки друг к другу.
4. Оценка среднего остаточного ресурса Средний остаточный ресурс вычисляется по формуле [1]
у =
J Pt (y)dy
(16)
где р (у) - вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (ресурса после времени г)
Р(г+у)
P (у) =
P(t)
(17)
Здесь у - остаточный ресурс; Р() - вероятность безотказной работы: для нормального распределения (4), для распределения Бирнбаума - Саундерса (8), для распределения Вейбулла (11).
Для нормального распределения вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (17)равна
Pt (У) =
®[(t - У -1)/а]
(18)
ф[(г - г)/а]
Используя пакет «Матлаб», при г = 3, с учетом (18) находим средний остаточный ресурс (16): уг = 5,91 (лет).
Для распределения Бирнбаума - Саундерса вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (17) равна
n
n
n
n
тп2
Рис. 1. Графики двух функций распределения
p (у) = Ф[(а-(Т -3т)/УТ+3] (19)
* Ф[( а — (* )/л/Т ] '
Используя пакет «Матлаб», при * = 3, с учетом (19) находим средний остаточный ресурс (16): У* = 6,17 (лет).
Для распределения Вейбулла вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (17) равна
Р (у) = ехр |— ((1 + у)/ Л)( + (1/ л)( ], (20) Используя пакет «Матлаб», при * = 3, с учетом (20) находим средний остаточный ресурс (16): у, = 6,08 (лет).
5. Оценка гамма-процентного остаточного ресурса
Гамма-процентный остаточный ресурс (уо) вычисляется из уравнения [1]
Р(у) = у, (21)
где Р* (у) вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (17), у - заданная вероятность, рекомендованное значение у-(0,9-0,95). С учетом (18-20) и используя пакет «Матлаб», при * = 3 и у = 0,9 получим:
а) нормальное распределение, необходимо решить уравнение
Ф[(6,068 - у) / 3,314]/ Ф(1,831) = 0,9 . (22) Решая уравнение (22), получим у0 = 2,24
(лет);
б) распределение Бирнбаум - Саундерса, необходимо решить уравнение
Ф[(5,24 - 0,95 х у)/^3 + у ] / Ф(3,025) = 0,9. (23)
Решая уравнение (23), получим уо=2,40
(лет);
в) распределение Вейбулла, необходимо решить уравнение
гу+113
10,15 I
+
3
10,15
6. Статистический подход
Чтобы оценить точность вычисления показателей остаточного ресурса, найдем их оценки, используя статистический подход [1]. Точечная оценка среднего остаточного ресурса (16)
Т0(Т) =£ г. /[Кп (*)г] ,
(25)
1=к+1
где = - Т; Т - это время эксплуатации, после которого стали исследовать группу однотипного оборудования; Тi - время отказа г-й единицы оборудования; п - число единиц оборудования; к — число отказавших единиц оборудования до момента времени *;
Г = п - к ; Кп(*) = 1 -[1 -Р0(*)]п; Р0(*) = 1 - к / п - точечная оценка вероятности безотказной работы. Используя данные (1), находим Т0(*) = 6,34 (лет).
Точечная оценка гамма-процентного остаточного ресурса (21)
[( г т гт-1
)(Я0( ^т-1)-У)]
К0( гт-1) - К0( гт )
ту (*) = гт-1 + „ т—1\ , (26)
- 1п(0,9) = 0. (24)
где гт = гт - * ; * - время эксплуатации, после которого стали исследовать группу однотипного оборудования на отказ; Тт - время отказа т -й
единицы оборудования; г1<... < гт <... - вариационный ряд остаточных наработок. Для значений гт, гт-1 выполняется условие
) ^У< г т—\ ) ,
где Я0 (г) - оценка вероятности безотказной работы для остаточного ресурса; Я0 (г) = Г—-, где 5
г
- число отказавших за время г после времени * единиц оборудования; у - доверительная вероятность. Используя данные (1), при у = 0,9
(лет).
Решая уравнение (24), получим уо = 2,16 Ту0(*) = 2,50 (лет).
3
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
7. Выбор предпочтительной функции распределения наработки
В табл. 1 приведены результаты расчетов показателей остаточного ресурса для исследуемых функций распределения и их точечные оценки: Р -показатели (средний и гамма-процентный остаточный ресурс), N - нормальное распределение, ББ - распределение Бирнбаума - Саундерса, Ж - распределение Вейбулла, Б - статистический подход.
Т а б л и ц а 1
Значения показателей остаточного ресурса
P (лет) N BS W S
yt 5,91 6,17 6,06 6,34
уо 2,34 2,40 2,16 2,50
По обоим показателям ближе к их оценкам находятся значения, полученные по распределению Бирнбаума - Саундерса.
Выводы
1. Проведено исследование влияния вида функции распределения на показатели остаточного ресурса оборудования: среднего и гамма-процентного остаточного ресурса. В проведенном исследовании по обоим показателям ближе к их оценкам находятся значения, полученные по распределению Бирнбаума-Саундерса.
2. Одним из преимуществ аналитического подхода является возможность применения метода Монте-Карло для исследования остаточного ресурса оборудования, структурно состоящего из различных компонент. Для каждой компоненты можно предложить свою функцию распределения наработки, а затем получить выборку для наработки оборудования достаточно большого размера и обработать ее вероятностно-статистическими методами, включая оценки показателей остаточного ресурса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Краковский Ю. М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования. Новосибирск : Наука. 2006. 228 с.
2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математической подход. М : Радио и связь. 1988. 392 с.
3. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. СПб. : Питер. 2004. 847 с.
4. Lilliefors H.W. On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown // J. Am. Statist. Assoc. 1967. V.62. P. 399-402.
5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М. : Наука, 1983._
УДК 622.232.8.004(075.8) Иов Иван Алексеевич,
аспирант, Иркутский государственный технический университет, тел. 89140329437
ОЦЕНКА ЗАГРУЖЕННОСТИ ТРАНСМИССИИ ПРИВОДА ТЯГИ ШАГАЮЩЕГО ЭКСКАВАТОРА ЭШ 20.90
I. A. Iov
ANALYSIS OF TRANSIENT PROCESSES IN THE MECHANISM OF TRACTION DRAGLINE ESH 20.90
Аннотация. Разработана модель механизма тяги шагающего экскаватора ЭШ 20.90 представляющая собой единую электромеханическую систему, в которой механическая и электрическая части в динамических режимах находятся в непрерывном взаимодействии. Механическая часть представляет собой трехмассовую систему, которая позволяет исследовать нагрузки на вал-шестернях редуктора. Проведены исследования нагрузок на вал-шестернях редуктора тяги в динамических режимах. Значение коэффициента динамичности определялось отношением усилий в канатах механизма в к стопорному усилию, создаваемому приводом. По результатам исследований определено, что наиболее нагруженным узлом в механизме тяги являются вал-шестерни. Нагрузки на вал-шестерне z = 20, m = 26 в динамических режимах больше на 5-6 % нагрузок возникающих на рабочем органе и на 30 % нагрузок на приводном двигателе. Уровень динамических нагрузок зависит от начальной скорости и усилий, создаваемых приводом в процессе стопорения. Рекомендуется для снижения динамических нагрузок в механической части привода при работе в сложных горно-геологических условиях ограничивать скорость копания, обеспечивая тем самым снижение запаса кинетической энергии во вращающихся частях механизма. Предлагается оценку опасности возникновения критических ситуаций в механизме тяги производить через значение коэффициент динамичности.
Ключевые слова: шагающие экскаваторы, трансмиссия привода тяги, коэффициент динамичности, защита от перегрузок.
Abstract. A model of the mechanism of traction dragline ESH 20.90 presenting a single electro-mechanical system in which the mechanical and electrical parts in dynamic modes is in a continuous interaction. The mechanical part is a three-mass system, which allows you to explore the load on the gear shaft gear. Researches loads on the gear shaft gear thrust into dynamical modes. Dynamic coefficient value determined by the ratio of effort to the ropes in the locking mechanism of the force generated by the actuator. According to the research determined that the most loaded node in the mechanism are thrust pinion shafts . Load on the pinion shaft z = 20 , m = 26 in dynamic conditions is more than 5-6 % loadings occurring on the working body, and a 30 % load on the drive motor. Level dynamic loads depends on the initial velocity and the forces generated during the drive locking. It is recommended to reduce the dynamic loads in the mechanical part of a drive when working in difficult geological conditions, to limit the rate of digging, thereby lowering the reserve of kinetic energy in the rotating parts of the machine. It is proposed to assess the risk of emergencies in the mechanism to produce thrust value through dynamic factor.
Keywords: dragline, gear box, overload protection.
