Влияние сухого трения в исполнительных механизмах автоматических систем с приводным электродвигателем на их устойчивость Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN GS6S-3SS6

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2GG4, том 14, № 4, c. 39-43

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 681.5.01: 658.5; 681.5.01: 658.512 © В. Н. Шамберов

ВЛИЯНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ В ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМАХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИВОДНЫМ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕМ НА ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Рассматривается задача учета сухого трения в исполнительных механизмах приборных следящих систем с приводным электродвигателем и исследуется влияние сухого трения в исполнительном механизме на возникновение автоколебательных режимов.

ВВЕДЕНИЕ

Впервые электрическая машина для автоматического регулирования была применена в 1871 г. русским ученым-инженером В.Н. Чеколаевым. Новшество быстро нашло распространение в военной технике благодаря стараниям выдающегося русского артиллериста В.Ф. Петрушевского и талантливого изобретателя в области минного дела и артиллерии А.П. Давыдова. В настоящее время электрические машины широко используются в современных системах автоматического управления, автоматических устройствах и приборах.

В автоматических системах электрические машины часто используются в качестве исполнительных электродвигателей, преобразующих подводимый к ним электрический сигнал в угловую скорость вращения вала. С валом связан управляющий рабочий механизм, образующий с электродвигателем исполнительный механизм автоматической системы.

Присутствие сухого трения в исполнительном механизме может вызвать автоколебательный режим и привести к аварийной ситуации. Исследование явления требует создать в рамках сформулированной задачи идеализацию этого явления в виде определенной математической модели, допускающей возможность применения известных методов исследования.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА ПРИ УЧЕТЕ СУХОГО ТРЕНИЯ

Уравнение динамики исполнительного механизма с приводным электродвигателем получим из уравнения равновесия моментов (1) и уравнения электрического равновесия (2):

г

\

J + —

дв + . 2 .р

V F J

dQ , _

IT+М в-"*

(Q),

(i)

где приведенный к валу двигателя динамический момент обусловлен инерционностью ротора (Jдв) и инерционностью связанного через редуктор (] — передаточное число редуктора) с валом

двигателя рабочего механизма (Jм); см/ = М — вращающий момент двигателя; см — коэффициент пропорциональности; Мвнтр (П) — приведенный к валу двигателя момент от сил внешнего трения; П — угловая скорость вращения вала;

L — + Ri + с Q = U, dt е

(2)

где / — ток якоря; Ь — суммарная индуктивность; Я — суммарное активное сопротивление; се П — противо-ЭДС двигателя; се — скоростной коэффициент двигателя.

Момент от сил внешнего трения Мвнтр (П) представляет собой сумму двух моментов: от сил вязкого трения Мвтр (П) = кт П (кт — положительный коэффициент, характеризующий вязкое трение) и от сил сухого трения Мс тр (П)

М

вн.тр.

= М в.тр.^) + М cm(Q).

с.тр.

Для М (Q) выполняется:

М с

с.тр

<М

тр.0

М = М (Q)

с.тр. с.тр.дв.

если Q = 0; Sign(Q), если Q Ф 0,

где М,

тр.0

М (П) стрдв — момент сил сухого трения движе-

момент сил трения покоя, а

ния.

Так что для момента сил внешнего трения справедливо

М

М

если П = 0;

вн.тр. = кт П + М(П) с.тр.дв. §Щп(ПХ

еслиП Ф 0.

(3)

Момент сил сухого трения движения — монотонно убывающая положительная функция, характеризуемая:

своим максимальным значением

/с.тр.дв. — Мтр.ост. при |П| — 0 '

М (П) — М .

V / с.тр.дв. тр.ШІП

М(П)с минимальным значением

при |п| —— ^ , максимально отрицательным наклоном

к; =-(£1 (и (а) „р.Дв.)/ап)п—0'

При этом Мтр.0 > Мтр.ост. > Мтр.ШІП > 0[1, 2].

Долгое время практика моделирования сухого трения в исполнительных механизмах ориентировалась на его простейшую идеализацию

Мтр.0 = Мтр.ост. = Мтр.ШІП > °5 полУчившУю название кулоновской. Качественной особенностью не-кулоновских идеализаций является учет превышения сил трения покоя над силами трения движения: Мтр.0 > Мтр.ост. = Мтр.ШІП > 0 — учет сухого

трения по Булгакову; МТр.0 = МТр.0СТ > > 0 —

>

учет сухого трения по Хайкину; Мтр 0 > Мт

> М т

■ тр.0 — тр.ост.

ь тр т1П > 0 — уточненный учет сухого трения.

По уравнениям (1-3) получим следующую модель исполнительного механизма:

тр.0 ’

Ь — = -Яі - се П + и;

& е

ап , ,

J-----= 0, если П = 0 и смі < М

йґ 1 м 1

J ^ = ~ктП - М(П)с тр дв. Й§П(П) + смІ, ■ (4)

если П Ф 0;

•/ ^ = -кт П - М(П) с тр дв. §.§п(смі) + см^

если П = 0 и |смі | > Мтр 0,

Здесь J — приведенный к валу двигателя момент всех вращающихся масс. Коэффициенты см, се могут быть определены по механическим характеристикам двигателя. При Мтр0 > Мтрост

модель (4) относится к моделям логико-динамического класса. Переменными состояния являются угловая скорость вращения вала й = ^ / & , угол поворота в и ток в обмотке якоря /, внешним воздействием — подводимое к якорю двигателя напряжение и.

Использование модели (4) сопряжено с существенными трудностями при аналитическом исследовании. Однако практика моделирования динамики автоматических систем с исполнительными двигателями малой мощности часто допускает пренебрежение моментом инерции (J = 0), что позволяет применить вырожденную модель [3] исполнительного механизма в классе кусочнолинейных моделей (представлена на рис. 1 в операторном виде: р = &/ & — символ дифференцирования по времени). Коэффициент к в модели характеризует трение движения. Сухое трение учтено с помощью существенной нелинейности N(М). Нелинейность соответствует учету сухого

трения при Мтр 0 > Мт

тр.ост. > Мтр.ШІП > 0 и кт > кт .

Рис. 1. Математическая модель исполнительного механизма с электроприводом

Рис. 2. Существенная нелинейность, определяющая учет сухого трения в исполнительном механизме при

J = 0 и к т > к т

Здесь обозначены: М стр — страгивающий момент двигателя; М ост — остановочный момент; Мдв — момент сил сухого трения при движении; N0— предыстория состояния нелинейности N (М).

Геометрическая интерпретация нелинейности представлена на рис. 2.

Значения Мстр. = смістр.

Мост. = сміост. могут оп-

ределяться экспериментально путем замера токов якоря, при одном из которых подвижная часть механизма приходит в движение (/стр ) и при другом —

останавливается (/ост ) соответственно. Фрикционные колебания в модели (представлены на рис. 3) будут наблюдаться при выполнении условия

с с Мстр.

е м + і > стр-

кЯ

Мо

(5)

Аналитическое описание нелинейности: если |М| - Мост, то N = 0;

если

МІ < Мстр. и |М| > Мост. и N0 = 0,

то N = 0;

если М > Мост и N0 Ф 0 или если М > Мстр. и N0 = 0,

то N = М - М ;

если М < -Мост и N Ф 0 или если М - -Мстр. и N = 0,

то N = М + М дв.

дв-

для внешнего воздействия и из диапазона

^стр. < и < Мост. Я

сс

е м +1

0.615

[рад]

0.308

Як

Фрикционные колебания — быстрые скачкообразные перемещения, чередующиеся с остановками подвижной части исполнительного механизма, наблюдаются в модели механизма только при

к' > к т.

2.461

и =6.6 в ф ^тгуутуї

І <9(0_ГГ

[А]

1.230

0.000

0.188

0.375

И

0.563

Рис. 3. Фрикционные колебания исполнительного механизма. Параметры системы: се = 0.2 Вх/рад, см = 1.0 Нм/А,

к = 0.1 Нмх/рад, Я = 3.0 Ом, Ь = 0.032 Гн, Мстр. = 4.00 Нм,

Мост. = 3.65 Нм, Мдв. = 0.00 Нм

с

с

м

м

Ку

и

Модель ісп. механизма по рис. 1

Рис. 4. Математическая модель следящей системы с электроприводом

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ В ИСПОЛНИТЕЛЬНОМ МЕХАНИЗМЕ

Рассмотрим некоторые примеры влияния сухого трения в исполнительных механизмах электрических следящих автоматических систем на возникновение в них автоколебаний. Простейшая следящая система с приводным электродвигателем и безынерционным усилителем с коэффициентом передачи Ку [4] представлена на рис. 4.

Аналитическое описание нелинейности, учитывающей сухое трение:

Если |М| - М М < М с

если

то N = 0; и N0 = 0,

то N = 0;

если М > М дв и N0 Ф 0 или

дв. и

если М > Мстр. и N0 = 0,

то N = М - М д

Рис. 5. Существенная нелинейность, определяющая учет сухого трения в исполнительном механизме при

J = 0 и к т < к т

Динамическая модель (6) была исследована методом точечных отображений [5, 6]. Результаты исследования: модель устойчива "в целом", если выполняются условия:

а) при (g1 + d1)2 > 4^2 (А + 1 - £)б > (В - 1) ехр

б) при (gl + ^)2 < 4d2

-1п

В -1

(2 - В)б >

> ^(1 - В)2 + А^ ехр

А -1 В - А

1 - В п агСй-----------+ —

А1 2

(7)

У-1

если М < -М дв и N0 ^ 0 или

ДБ. и

если М < -Мстр. и N0 = 0,

то N = М + М дв.

ДБ.

Геометрическая интерпретация нелинейности представлена на рис. 5.

Нелинейность учитывает сухое трение при

Мтр.0 > Мтр.ост. > М~ тр.т1п > 0 , К < кт и имеет качественные отличия от нелинейности (см. рис. 3), учитывающей сухое трение при кт > кт. При такой нелинейности (см. рис. 5) исполнительный механизм не генерирует фрикционные колебания, однако в самой автоматической системе сухое трение может вызвать автоколебания.

В режиме свободных движений динамика автоматической системы будет соответствовать модели

в) при (g1 + d1)2 = 4d 2

(2 - В)б > (В - 1) ехр

В-1

(8)

(9)

и + glи = -^ N (и) - d 2 N (и).

(6)

В выражениях (7-9) обобщенные параметры А > 1; А1 > 0; В, Q > 1 определяются как А1 = -в/ а, А = а1/а, В = -d1 /а. При этом в и а (при определении параметра А1) — соответственно мнимая и вещественная части комплексносопряженных корней Я12 = а ± ]'в уравнения

Я2 + (g1 + d1)Я + d2 = 0, а а = Я и а1 = Я2 (при определении А) — вещественные корни (причем а > а1 ) этого же уравнения. Качественный учет сухого трения характеризует обобщенный параметр Q = (Мстр. + Мдв. ) /(Мстр. - Мдв. ) : с увеличением Q область устойчивости расширяется. Структура разбиения пространства в соответствии с условиями (7-9) на области устойчивости и области автоколебаний представлена на рис. 6 (значение параметра Q зафиксировано).

и

1

Рис. 6. Структура разбиения пространства обобщенных параметров А, Л^, О, Q на области устойчивости и автоколебаний

8627

[В/рад]

6470

У

2157

8300^—у \ пгт

Область г івтоколеб аний

Облас ть \

устойчивости

0.010 0.035 0.060 0.085 0.110

і --------->

0.135 0.160

[ Гн ]

Рис. 7. Структура разбиения пространства исходных параметров (коэффициентов) на области устойчиво- системе в іі£іраме трамти.

сти и автоколебаний при константных значениях: с . рад’ См .

Я = 3.0 Ом, к = 0.01 Н-м-с/рад, се = 0.2 В'с/рад, см =

Рис. 8. Автоколебания в следящей автоматической

= 1.0 Н'м/А, Мстп = 1.00 Н'м, Мост = 0.25 Н'м

с/рад, см = 1.0 Н'м/А, к = 0.01 Н'м'с/рад, Я = 3.2 Ом, Ь = 0.032 Гн, Мсто = 1.00 Н'м, Мост = = 0.25 Н'м, ^у = 8500 В/рад

Невыполнение любого из условий (7-9) вызовет в модели автоколебания. Параметры обобщенной модели (6) определяются через исходные коэффициенты системы согласно выражениям:

4 = сесм/ Ьк; 42 = Ку см/ Д/р; & = к /Ь. Структуру разбиения можно представить и в исходных параметрах (коэффициентах), например на плоскости Куи Ь при фиксированных остальных параметрах (представлено на рис. 7).

Зададим параметрам Ку , Ь значения из облас-

ти существования автоколебаний Ку = 8500,

Ь = 0.032 (см. рис. 7), или А1 = 0.51, Б = 1.969 (см. рис. 6). При начальных условиях, соответствующих области притяжения предельного цикла, в системе возникают автоколебания (представлены на рис. 8).

Рассмотрим пример [4] следящей системы, в которой используется пассивное дифференцирующее звено (рис. 9) с параметрами Т1 и Т2 при

Т > Т2.

6Х. —

Ку (Гц + 1)

ъ р + [

м

Ьр + к

ЩМ)

N

—=ч

к

О > » >

в

-Н

1

Рис. 9. Математическая модель следящей системы с пассивным дифференцирующим звеном

0.010 0.035 0.060 0.085 0.110 0.135 0.160 [ Гн ]

I ------^

Рис. 10. Структура разбиения пространства исходных параметров следящей системы с дифференцирующим звеном на области устойчивости и автоколебаний

Следящая система с дифференцирующим звеном в отличие от системы рис. 4 является моделью 3-го порядка, однако и к ней (приЬ Ф ЯТ2) можно применить условия (7-9), определяющие ее устойчивость для определенного соотношения (сечения) ее параметров.

В соответствии с методом сечений пространства параметров [7, 8], для системы рис. 9 можно получить одно сечение, которое определяется уравнением

К = Ь - я?2)

у Ь(Ь - ЯТ1)

(10)

На плоскости параметров Ку , Ь сечение вы-

глядит в виде двух линий (рис. 10). При выполнении равенства (10) условия устойчивости автоматической следящей системы 3-го порядка совпадают с условиями устойчивости системы 2-го порядка, для которой &1 = 1/ Т2, 41 = сесм / Ьк,

42 = Кусм /Як]рТ2. Применение метода показало, что для точек сечения при Ь < ЯТ2 система (6) всегда устойчива, для точек сечения при Ь > ЯТ1 условия устойчивости (отсутствия автоколебаний) — Ь > 0.1267.., Ку < 1552 (квадратная точка 1, см.

рис. 10).

Остальные точки граничной линии (овальные заштрихованные на рис. 10) получены методом машинного моделирования. Граничная линия раз-

деляет плоскость параметров Ky, L на область устойчивости и область автоколебаний (графики автоколебаний для точек 2 и 3 сходны с графиком рис. 8).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование влияния сухого трения в исполнительном механизме приборной следящей системы осуществлено в результате сочетания методов: теории релаксационных (разрывных) колебаний, сечений пространства параметров, точечных отображений и численного интегрирования уравнений динамической модели, что вполне соответствует новой технологии научного познания — совместному использованию строгого анализа и численной машинной математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шамберов В.Н. Моделирование динамики элемента с трением // Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем: Труды 6-й сессии Международной научной школы (Фридлендеровские чтения). СПб.: Институт проблем машиноведения РАН, 2003. С. 98105.

2. Шамберов В.Н. Метод аналитического исследования влияния сухого трения на поведение авторегулируемых динамических систем //

Научное приборостроение. 2003. Т. 13, № 3. С.77-83.

3.Мищенко Е.Ф, Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с.

4. Васильев Д.В., Чуич В.Г. Системы автоматического управления (примеры расчета). М.: Высшая школа, 1967. 419 с.

5. Шамберов В.Н. Исследование типовой промышленной системы автоматического регулирования с некулоновой моделью сухого трения. Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Л.: ЛГУ, 1988. 16 с.

6. Камачкин А.М., Шамберов В.Н. Существенно нелинейные автоматические системы. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 1995. 74 с.

7. Нелепин Р.А. Об исследовании методом сечений пространства параметров одного класса систем управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1965. № 4. С. 126-133.

8. Нелепин Р.А., Камачкин А.М., Туркин И.И., Шамберов В.Н. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления / Под ред. Р.А. Нелепина. Л.: ЛГУ, 1990. 240 с.

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Материал поступил в редакцию 28.04.2004.

EXECUTIVE MECHANISMS’ DRY FRICTION IMPACT ON THE STABILITY OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS WITH ELECTRIC ACTUATING MOTORS

V. N. Shamberov

Saint-Petersburg State Marine Technical University

The problem of dry friction causing self-oscillation in automatic control systems with electric actuating motors is considered.