CC BY
99
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
УДК 336.767.3:51
ВЛИЯНИЕ СРОКА ДО ПОГАШЕНИЯ НА ИЗМЕНЧИВОСТЬ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ
ПОПОВА НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА
кандидат физико-математических наук, доцент профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», Москва, Россия E-mail: [email protected]
Срок до погашения - один из важнейших факторов, влияющих на цену облигации. Влияние этого фактора на изменчивость цены облигации известно по рыночным наблюдениям. Однако задача о влиянии срока до погашения на изменчивость цены купонной облигации до сих пор не рассматривалась. В связи с этим теория инвестирования в финансовые инструменты с фиксированным доходом представляется неполной. Решение этой задачи актуально и с практической точки зрения, поскольку позволяет получить более полное представление о факторах, влияющих на процентный риск облигации.
Для решения задачи использованы теоремы о дифференцируемых функциях и числовых последовательностях. Результаты получены при условии горизонтальности кривой рыночных доходнос-тей и параллельности ее перемещений. Задача решалась в условиях определенности при фиксированных значениях основных параметров облигации.
Основной результат данной работы - математическое доказательство влияния срока до погашения на изменчивость цены облигации. Для получения доказательства потребовалось предварительно установить ранее не изученную зависимость величины изменения цены облигации при изменении срока до погашения от уровня доходности рынка. Доказанные утверждения подтверждаются конкретными вычислениями и согласуются с выводами, полученными ранее автором на основании изучения зависимости дюрации облигации от срока до погашения, а также с рыночными наблюдениями.
Теоретические результаты - доказанные утверждения о влиянии уровня доходности рынка на величину изменения цены облигации при изменении срока до погашения и о влиянии срока до погашения на изменчивость цены облигации - можно рассматривать как вклад в теорию инвестирования в финансовые инструменты с фиксированным доходом. Результаты работы могут быть использованы в задачах портфельного и долгосрочного инвестирования.
Ключевые слова: купонная облигация; математические методы; срок до погашения; изменчивость цены облигации.
АННОТАЦИЯ
MATURITY IMPACT ON BOND PRICE VOLATILITY
NATALIA V. POPOVA
PhD (Mathematics and Physics), Associate Professor of the Chair of Higher Mathematics, Plekhanov Russian University of Economics, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
ABSTRACT
Maturity is one of the most important causes of bond price changes. Its effect on the bond price volatility is confirmed by market data. However, the impact of maturity on coupon bond prices has not yet been analysed. It makes the theory of fixed income investments incomplete. The answer to this question might be valuable from the practical point of view as well, providing a wider picture of bond price factors.
The theorems on differentiable functions and numerical sequences were applied to solve the problem. The results were obtained under the condition that the yield curve is horizontal with parallel displacement. The problem was solved in terms of certainty, for fixed values of the basic bond characteristics.
The article provides mathematical proofs of the effect of maturity on the bond price volatility. To prove this relationship we studied first the effect of interest rates on the bond price volatility. This effect was confirmed by calculations. The effect of maturity on the bond price volatility is also confirmed by market data.
Theoretical results - the proven effect of interest rates on the bond price volatility and the effect of maturity on the bond price volatility - contribute to the theory of fixed income investments. The results can be used for portfolio and long-term investments.
Keywords: coupon bond; mathematical methods; maturity; bond price volatility.
Изменчивостью цены облигации называют относительное (процентное) изменение цены облигации при изменении ее доходности [1, с. 505]. При этом под доход-
ностью облигации, или рыночной доходностью, понимается доходность к погашению [1, с. 505]. Рыночной доходностью называют «уровень рыночной доходности финансовых инструментов со сравнимым риском» [1, с. 925]. По величине оценивают чувствитель-
ность цены облигации к изменению рыночной процентной ставки на заданную величину [2, с. 461-462], то есть процентный риск облигации - одну из важнейших ее характеристик как объекта инвестирования. Поэтому задачи о факторах, влияющих на данный показатель, представляют как теоретический, так и практический интерес.
Сформулирована [1, с. 505; 2, с. 458] и доказана с помощью математических методов зависимость величины от направления изменения доходности облигации и ее купонной ставки [3, с. 46-51]. Срок до погашения - один из основных факторов, влияющих на изменчивость цены облигации [1, с. 506]. Влияние этого фактора известно по рыночным наблюдениям. В литературе приводятся наиболее известные формулировки этой зависимости. Например, в работе Ф. Фабоцци [1, с. 506-507]: «Вообще, при заданных купонной ставке и начальной доходности, чем больше срок до погашения, тем выше изменчивость цены облигации». Аналогично
в работе Л. Гитмана, М. Джонка [4, с. 475]: «Вообще, стоимость облигаций с более длительными сроками погашения колеблется больше, чем стоимость краткосрочных выпусков при изменении рыночных процентных ставок». Эти утверждения сформулированы на основе часто встречающихся рыночных наблюдений.
В работах [3, 6] зависимость процентного изменения цены облигации при изменении ее доходности от срока до погашения установлена косвенно на основании зависимости дюрации облигации от срока до погашения. Однако задача о влиянии срока до погашения на изменчивость цены купонной облигации до сих пор не рассматривалась. В связи с этим теория инвестирования в финансовые инструменты с фиксированным доходом представляется неполной. Решение этой задачи актуально и с практической точки зрения, поскольку позволяет получить более полное представление о факторах, влияющих на процентный риск облигации.
Известно, что применение математических методов к изучению финансовых инструментов способствует углублению и расширению информации об объекте инвестирования. В работах [3, 5] приводятся математические доказательства некоторых важных свойств купонной облигации. В данной работе предлагаются доказательства зависимости абсолютного и относительного изменения цены купонной облигации при изменении ее доходности на заданную величину от срока до погашения. Доказательство этой зависимости приводится в теореме 2 и базируется на утверждении теоремы 1.
Пусть дана облигация номиналом А, купонные выплаты по которой производятся т раз в году по годовой купонной ставке /. Предположим, в текущий момент времени t = 0 облигация продается через время т после купонной выплаты, когда до погашения облигации остается Т лет и п купонных платежей. Цена облигации в этот момент имеет две составляющие: котируемую цену Рп и накопленный купонный доход. Накопленный купонный доход, приблизительно равный тА, фактически не зависит от времени, оставшегося до погашения облигации. Кроме того, при торговле на бирже информация о ценах на купонные облигации дается в виде котируемой цены. Поэтому зависимость от срока до погашения будем рассматривать только для изменений котируемой цены купонной облигации. Это значит, что дальше будем считать т = 0. Тогда срок до погашения облигации Т = п (лет) равен длине п купонных периодов. Чтобы установить характер изучаемой зависимости, достаточно считать, что т = 1 (влияние параметра т можно изучить в отдельной задаче). Пусть г — доходность облигации в момент t = 0. Облигация является справедливо оцененной [2, с. 421], не имеет кредитного риска и не может быть отозвана эмитентом до установленной даты погашения. При указанных условиях котируемая цена облигации в момент, когда до ее погашения остается п купонных периодов, равна:
п |
Рп = +-, п = 0,1,2, (1)
+ г)' (1 + г )п (1)
где q = /А — купонный платеж по облигации.
Первый вопрос, который необходимо рассмотреть, это влияние уровня доходности рынка на величину изменения цены облигации при изменении срока до погашения на один купонный период.
Предположим, при уровне доходности облигации г срок до ее погашения сократился с п до (п - 1) купонных периодов. Тогда котируемая цена облигации, продающейся с премией, снизится на величину ДРп = Рп _ Рп _ 1, а цена облигации, продающейся с дисконтом, поднимется на величину ДРп = Рп _ 1 _ Р . Для облигации, продающейся по номиналу, ДРп = 0.
Таким образом, величина изменения цены облигации, продающейся с премией или дисконтом, при уменьшении срока до погашения на один купонный период положительна по определению. Это абсолютное изменение цены облигации, взятое со знаком «+». Далее бу-
Д Р
дем рассматривать положительные абсолютные ДРп и относительные изменения цены облигации. "
Одна и та же облигация может продаваться при разных уровнях доходности рынка. Следующая теорема устанавливает зависимость абсолютного и относительного изменения цены купонной облигации при изменении срока до погашения на один купонный период от уровня доходности рынка.
А Р
Абсолютную ДРп и относительную величину изменения котируемой цены облигации
при уменьшении срока до погашения на один купонный период будем рассматривать как функцию доходности т.
Теорема 1. При фиксированном п > 1 справедливы следующие утверждения: А Р
1) ДР и —- являются убывающими функциями доходности т на отрезке 0 < т < /(облига-
ция продается с премией при r < f и по номиналу при r = f);
А P„
2) существуют точки максимумов та функции ДРп и то функции —¡^ (при фиксированном
Рп
п > 2) на множестве т >/(облигация продается с дисконтом при т >/).
Доказательство. Докажем утверждения теоремы для абсолютных изменений цены облигации.
1) Функция ДРп непрерывна на отрезке [0, /\ и дифференцируема на интервале (0, Д Несложно убедиться, что производная (АРП)'Г = (Рп - Рп-\)'г = Р'п - Р'п-1 < 0 на множестве 0 < т < /. Следовательно, функция ДР является убывающей на отрезке 0 < т < /, причем ДР (т = 0) = q, ДРП (т = /) = 0.
2) Функция ДР непрерывна на полуинтервале [[, и дифференцируема на интервале (/, Получаем:
„ _ [> 0, / < г < га
(АРп)' r — (Рп-1 Рп)'' r — P„-1 — а
< 0, r > ra
где
Га =
_1 + nf
n -1
(2)
Следовательно, ra — точка максимума функции ДРп на полуинтервале [f причем
г - f
^Р„(г = f) = 0, АР„(га) = А—a—— > 0, lim AP (г) = 0. Утверждения теоремы для абсолютных изме-
(1 + га)
нений цены ДРп доказаны.
Если учесть, что производная — это скорость изменения функции в точке (в данном случае скорость убывания), то полученные соотношения для производных P^ - P'n-l позволяют построить графики зависимости «цена — доходность» функций Рп(г) и Рп 1(r) на одном рисунке (рис. 1). На этом же рисунке можно увидеть поведение величины ДРп на множествах 0 < r < f и r > f.
0 f ra Доходность, r
Рис. 1. Зависимости «цена - доходность» Pn(r) и РпЛ(г) облигации
Докажем утверждение теоремы для относительных изменений цены облигации. А Р
1) Функция —п , где ДРп = Рп _ Рп1 , непрерывна на отрезке [0, / и дифференцируема на
п
интервале (0,/). Рассмотрим ее производную по г. Получим:
ДР
Р
\ п ) г \
1-
Р-1
Рп
Рп-1
р
\ п I Г
р I р' р' \
1 п-1 п 1 п -1
р р
1 п 1 п-1
р
Установим знак разности
/ р' р' N
Гп Г п-1
р р
1 п 1 п-1
• Имеем:
Рп = ЯЪ-ТТ^ +77^, РП = -
пА
1=1(1 + г) (1 + г)
/А у /
(1 + г) £(1 + г)1 (1 + г)
п +1
Обозначим р = -— . Так как 1 + г
л л"+1 п л
_ Р - Р - Р
IР' = ^, 1Р (1 Р)2 (, Р)2
-1 1- Р '=1
рп+1 пРп+1
'=1
(1 - Р)2 (1 - Р)2 1 - Р
то
Тогда
Рп = - (Л + РП(Г-¡)), РП = - 4 (/(1 -Л + «Р"+1Г (Г - /) ),
рпЛ = А(/+рп-\г-/), р'пЛ = - 4 (/(1 -г-)+(и(г-/)).
/ р' р' N
и-1 р р
-'и -'и-1
р"
КпКп-1
[-(1 - рп)(г - /)2 + г2 -/(г - /)пгр] ,
где Кп =( / + р"(г - /)}, ^ =( / + рп~\г - /)}.
При г £ (0, / можно считать, что р = (1 + г)-1«1 - г. Тогда рп = (1+г)~п ~ 1- пг, 1 - р и разность
пг
/ р' р' N
-'и и-1
р р
1 п 1 п-1
Р [пг(/ - г)(1 -¡)г + г2] < 0
КпКп-1
(очевидно, что / < 1). Отсюда
/АР„ ^ < о на интервале (0, / - отношение является убы-
АР а АР
вающей функцией доходности г на отрезке [0, /], причем —- (г = 0) = —-—, —- (г = /) = 0.
Рп а+—а Рп
Утверждение 1 теоремы полностью доказано.
Докажем утверждение 2 теоремы для относительного изменения цены облигации. А Р
2) Функция —п , где ДРп = Р _ Рп , непрерывна на полуинтервале [/, и дифференци-
Рп
руема на интервале (/, Тогда
'АР \ (Р х
АП = Гп_1 _ 1
Р Р
\ п / Г \ п
'Рл
р I р' р
= " -1 " -1 П
р р р
П \ П-1 П
(3)
Установим знак разности
n-1 _n_
P P
1 n-1 1 n
• Имеем:
( p ' 1 n-1 Р'Л _ pn
p y1 n-1 Pn ) KnKn-l
- (1 - p" )( Г - f )2 + Г2 - f ( r - f ) nrp ]
'ДР.x'
(4)
Согласно (3) и (4), знак производной р определяется знаком функции
V " / г
ф(г) = - (1 -Р")(г -f)2 + г2-f(г-^пгр в квадратных скобках в правой части равенства (4). Исследуем эту функцию.
r 2(i + f )2
Если n = 2, то ф(г) = —-—> 0. Тогда (1 + r )2
АР АР
жестве r > f причем —2 (r = f ) = 0, lim —2
P2 p-
AP,
AR
,где r > f Значит, функция —2 возрастает на мно
P
r - f
1 AR — и —2 = f P2 fr + 2 f +1
для каждого конечного r > f.
Однако при любом п > 2 функция ф(г) изменяет свой знак на множестве г > /. Убедимся в этом. При г = / и любом фиксированном п > 1 функция ф(г) = г2 > 0. По свойству непрерывных функций, в правой полуокрестности точки г = / функция ф(г), а следовательно, производная
(АР \
-рп сохраняет знак. Значит, при значениях доходности г > /, достаточно близких к /, про-
V " / г
изводная
, PL
> 0.
С другой стороны, для каждого п > 2 можно указать точку, где производная
/2 Ч/А + /)3 - Ч - ^ /
v Р
< 0.
Например, если n = 3 и r = 2rg, где го = кУ ro > f.
-, то ф(2г о) = -/Г - 2 fr0 (r0 - f) < 0, посколь-
Таким образом, при n > 2 производная
V Р ,
изменяет свой знак на множестве r > f с «+»
на «-». Значит, при каждом фиксированном п > 2 существует точка го >/, в которой
а само отношение имеем:
V P ,
= 0,
в этой точке достигает максимума. Итак, при фиксированном п > 2
v Р
> 0, f < r < r0 < 0, r > r0
где ro - точка максимума функции ^ff- на множестве [f, причем (r = /) = 0,
АР,
( Г ) =
ro ( ro - f )
( ro - f ) + f (1 + o "
AP
> 0, lim An = о.
г—M P
Точное решение уравнения ф(г) = 0, то есть точное значение точки r,, можно найти, используя функцию «Подбор параметра» табличного процессора Microsoft Office Excel. Приближенное решение уравнения - (1 - p" )( r - f)2 + r2 - f (r - f)nr p = 0 для больших значений n можно найти следующим образом. Перепишем это уравнение в виде:
1
1 + r
( f [r2(n - 2) - (2 + f (n - 1))r + f ] - pn - \r-f)2) = 0.
Чем больше n, тем меньше влияние слагаемого pn - 1(r - f)2, поскольку p < 1. Поэтому приближенное решение можно найти при достаточно больших n > 2, когда влиянием слагаемого pn - 1(r - f)2 можно пренебречь и выражение в квадратных скобках близко к нулю. Чем больше n, тем точнее приближенное решение. При фиксированном достаточно большом n > 2 приближенное решение имеет вид:
г - (2 + f (n -1)) + J f 2(n -1)2 + 4 f + 4 2(n - 2)
Теорема 1 доказана.
A P
В табл. 1 приведены вычисления абсолютного АР и относительного —- изменений коти-
Pn
руемой цены облигации при уменьшении срока до погашения на один купонный период для фиксированного n и различных значений r облигаций с f > r и f < r. В области r > f в таблице выделены точки максимумов ra и ro. Как видно из таблицы, результаты вычислений подтверждают доказанные утверждения 1 и 2 теоремы 1.
Таблица 1
A P
Зависимость APn и -PL от уровня
п
доходности r
A = 100, m = 1, f = 10 %, n = 10
r dP dP/P
1% 8,147583 0,04398351
2% 6,562786 0,03818667
3% 5,208657 0,03261293
8% 0,926387 0,00816775
9% 0,422411 0,00396937
10% 0,000000 0,00000000
11% 0,352184 0,00374223
12% 0,643946 0,00725986
13% 0,883765 0,01055604
22,1% 1,642967 0,03118583
22,2% 1,643039 0,03132813
22,3% 1,643011 0,03146879
34,0% 1,285770 0,03873566
34,1% 1,281531 0,03873607
34,2% 1,277292 0,03873571
В табл. 2 приведены значения точек максимумов га и го для/< г и различных п. Ставки га и г , поД Р
лученные из непосредственных вычислений АРп и —п для различных г, близки к значениям по
Рп
формулам (2) и (5) соответственно (с увеличением п значение го точнее). Вычисления показывают, что значения доходностей га и г,, близкие к значению купонной ставки, соответствуют большим значениям п. Из этого можно заключить, что результаты теоремы 1 могут иметь практическое значение для долгосрочных бумаг.
Таблица 2
Зависимость r и r от n
a о
A = 100, m = 1, f = 10 %
n 10 20 30 40 50 100
r , % а/ 22,2 15,7 13,8 12,8 12,2 11,1
r а (2), % 22,2 15,8 13,8 12,8 12,2 11,1
max dP 1,6430 0,3085 0,0786 0,022636 0,006963 0,000030
r, % cP 34,1 18,8 15,2 13,6 12,7 11,2
ro(5), % 32,4 18,7 15,1 13,6 12,7 11,2
max dP/P 0,0387 0,0051 0,0011 0,000298 0,0000868 0,00000033
На рис. 2 показана зависимость точки максимума та от п по формуле (2) (целым значениям п > ¡соответствуют точки на кривой). Видно, что для долгосрочных бумаг с увеличением п точка та приближается к значению купонной ставки/, что и показывают расчеты, приведенные в табл. 2. Характер зависимости точки максимума то от п по формуле (5) в области п > 2 аналогичен.
ra(n) > r^ (&F„yr > 0, 1< n < na
ra(n) = Г
0 1 П Па П
Рис. 2. Зависимость точки максимума г от п
п
До сих пор рассматривалось изменение цены облигации при изменении срока до погашения на один купонный период при уровне доходности т. Следующая теорема является продолжением предыдущей и рассматривает влияние срока до погашения на изменчивость цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину.
Пусть т и Рп(т) - доходность и цена облигации в момент, когда до погашения остается п купонных периодов. Уменьшению доходности в этот момент на величину Дт > 0 соответствует рост цены облигации на величину Д+Рп(т) = Рп(т - Дт) - Рп(т), а увеличению доходности на Дт > 0 соответствует снижение цены облигации на величину Д Рп(т) = Рп(т) - Рп(т + Дт).
Таким образом, величина изменения цены облигации при изменении ее доходности Д+Рп(т) или ДРп(т) положительна по определению. Это абсолютное изменение цены облигации, взятое со знаком «+». Далее будем рассматривать положительные абсолютные (абсолютный рост
Д+Р (т) или абсолютное снижение Д Р (т)) и относительные (относительный рост ^ Рпили
А-Р(гК п р(г)
относительное снижение ) изменения цены облигации при изменении ее доходности.
Теорема 2. Пусть r и Pn(r) - доходность и цена облигации в момент, когда до ее погашения остается n купонных периодов, а Ar > 0 - величина изменения доходности в этот момент. При неизменных r и Ar > 0 справедливы следующие утверждения:
1) lim Д+Pn(r) = Af Ar , lim = ; ' м r(r ± Ar) ™ Pn (r) r ± Ar
\ - } [A - ^ (r) 1
2) если/> r, то последовательности {А+Pn (r)} и j n) L являются возрастающими;
[ n (r)I г - i
3) если/< r, то существуют сроки na и no, такие, что последовательность {А+Pn (r)} является
JA+Pn (r) 1
возрастающей при n < na и убывающей при n > na, а последовательность j р j- является возрастающей при n < no и убывающей при n > no. L n J
Доказательство. По условию г - исходный уровень доходности в момент, когда до погашения облигации остается п купонных периодов. Пусть для определенности в этот момент рыночная ставка увеличилась на величину Аг > 0.
Докажем утверждение 1 теоремы. Выражение (1) для цены облигации можно записать в виде:
р»(г) = т^п[1- -] + — • Тогда Рп(г + Аг) = --^ +
(1 + r)"{ г) г (1 + (г + Ат)]Т 1 r + Ar j r + Ar
f f Так как lim Pn(r) = А —, а lim Pn(r + Ar) = A—-—, то
r n—r + Ar
1- Л-П/Ч л r Ar у A Pn(r) Ar lim A Pn{r) = Af-, a lim "v ' -
г(г + Аг) ' »- Р„(г) г + Аг'
где А Рп(г) = Рп(г) - Рп(г + Аг). Утверждение 1 доказано.
Докажем утверждения 2 и 3 теоремы для абсолютных изменений цены облигации. Сравним абсолютные снижения цены облигации в результате увеличения ее доходности на величину Аг > 0 при сроках до погашения п и (п - 1), то есть п-й и (п - 1)-й члены последовательности {А-Рп(г)}.
Пусть/> г (облигация продается с премией или по номиналу). Рассмотрим случай, когда /> г и (г + Аг) </. Рассмотрим разность
А Рп(г) - А-Рп 1(г) = (Рп(г) - Рп(г + А г)) - (Рп 1(г) - Рп 1(г + А г)) = = (Рп(г) - Рп-1(г)) - (Рп(г + Аг) - Рп-1(г + Аг)) = АРп(г) - АРп(г + Аг). Здесь АРп(г) и АРп(г + Аг) — абсолютные изменения цены облигации при уменьшении срока до погашения на один купонный период при уровнях доходности г и (г + Аг) соответственно, рассмотренные в теореме 1. В силу утверждения 1 теоремы 1 получаем
А-Р (г) - А-Р (г) = АР (г) - АР (г + Аг ) > 0.
п п-1 п п
Если Аг таково, что (г + Аг) > / > г, то получим:
А-Р (г) - А-Р (г) = (Р (г) - Р (г)) - (Р (г + Аг) - Р (г + Аг)) > 0,
п п-1 п п-1 п п-1
так как Рп(г) > Рп 1(г) при/ > г и Рп(г + Аг) < Рп 1(г + Аг) при (г + Аг) >/. Если / = г, то Рп(г) = Рп 1( г) = А и разность
А-Р (г) - А-Р (г) = Р (г + Аг) - Р (г + Аг) > 0,
п п-1 п-1 п
поскольку (г + Аг) > /.
Таким образом, при / > г последовательности {А-Рп(г)} являются возрастающими. Значит, чем больше срок до погашения облигации, продающейся по номиналу или с премией, тем больше абсолютное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину.
Пусть/< г (облигация продается с дисконтом). Тогда (г + Дг) > f. Рассмотрим разность Д-Р (г) - Д-Р 1(г) = (Р (г) - Р (г + Дг)) - (Р 1(г) - Рп 1(г + Дг)) = = (Рп-1(г + Д г) - Рп(г + Д г)) - (Рп1(г) - Рп(г)) = ДРп(г + Дг) - ДРп(г). Следовательно,
Д-Р (г) - Д-Р (г) = ДР (г + Дг) - ДР (г). Здесь ДРп(г + Дг) и ДРп(г) - абсолютные изменения цены облигации при уменьшении срока до погашения на один купонный период при уровнях доходности (г + Дг) и г соответственно, рассмотренные в теореме 1.
Так как по формуле Тейлора ДРп(г + Дг) - ДРп(г) « (ДРп)'г • Дг при достаточно малых Дг > 0, то Д-Рп(г) - Д-Рп 1(г) « (ДРп)'г-Дг, где Дг > 0. Поведение производной (ДРп)'г получено при доказательстве утверждения 2 теоремы 1. Тогда при фиксированном п > 1 имеем:
[ > 0, ( < г < га (п) Д-Р„(г) - Д-Р„-1(г) = 1 ,
1 < 0, Г > Га (П )
где г — начальный уровень доходности облигации. Используя зависимость г(п) (рис. 2), получаем:
а-рМ - д-р,,(г)=|>0;'<п<п.
[ <0,п>па
Срок па является решением уравнения г = г(п). Для га по формуле (2) получаем:
1 + г
п = тту (6)
Утверждения 2 и 3 теоремы для последовательностей {Д-Рп(г)} доказаны.
Докажем утверждения 2 и 3 теоремы для относительных изменений цены облигации. Сравним относительные снижения цены облигации в результате увеличения ее доходности на величину Дг > 0 при сроках до погашения п и (п - 1), то есть п-й и (п - 1)-й члены последователь-ГА- Рп (г) 1
ности \ р !•. Рассмотрим разность:
А-Рп(г) _ А-Рп-1(г) = Рп(г) -Рп(г + Аг) _ Рп-Х(т) -Рп-Х(т + Аг) = Рп (г) рп-1(г) Рп (г) Рп-1(г)
= Рп-1(г + Аг) _ Рп (г + Аг) = Рп (г + Аг) РЯ-1(Г ) Рп (г) Рп-1 (г)
Если г = /, то Рп(г) = Рп 1(г) = А. Тогда
Рп - ,(т + Аг) Рп - х(т)
Ри (г + Аг) Ри (г)
- А = - (Рп ,(г + Аг) - Рп (г + Аг)) > 0, п > 1,
Ри(г) Р-'(г) А V п-А ' ^ ' '
поскольку (г + Дг) > /.
Если / > г, то преобразуем разность к виду:
А-Рп (г) _ А-Рп-1(г) = _ рп (г + Аг) Рп (Г) Рп-1 (г) Ря-1(г)
АРп (г + А г) АРя (г)
Рп (г + Аг) Рп (г)
АР (г + Дг) А? )г)
где —^-- и п - относительные изменения цены облигации при уменьшении срока
Рп (г + Аг) () г)
до погашения на один купонный период при уровнях доходности (г + Дг) и г соответственно, рассмотренные в теореме 1.
Если / < г, то
А-Рп (г) _ А-Рп-1(г) _ Рп (г + Аг)
Р (г)
Р»»
Ри-1(г)
АРп (г + А г) АРп (г)
Рп (г + Аг) Рп (г)
Так как по формуле Тейлора при/ > г имеем:
АР„ (г + Аг) АРп (г) Р„ (г + Аг) Рп (г)
Р
•Аг при достаточно малых Аг > 0, то
А-Рп (г) _ А-Р„-1(г)
Рп (г)
Рп-1(Г)
Рп (г + Аг)
Рп-1 (г)
^Р
Рп
•Аг,
(7)
а при / < г:
А-^ (г) _ А-^(г) „ Ри (г + Аг)
Рп (г)
Поведение производной ния (7) при/ > г получаем:
АР„
Р.
Рч(г )
др.
•Аг.
(8)
установлено при доказательстве теоремы 1. Тогда из выраже-
А-Р(г) _ А-Рп-Х(г) Рп(г) Р»
> 0, п > 1,
поскольку в этом случае
^Р
Р„
< 0.
Таким образом, установлено, что при/> г последовательности
А- Рп ( г) Рп (г)
являются возрас-
тающими. Значит, чем больше срок до погашения облигации, продающейся по номиналу или с премией, тем больше процентное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину.
Из выражения (8) и теоремы 1 при/< г и фиксированном п > 2 имеем:
А- Рп (г) _ А- Рп_1(г) _ \> 0,! < г < го (п)
Р(г) Р»
< 0, г > го (п)
где г - начальный уровень доходности облигации. Используя зависимость го(п) (можно сделать рисунок, аналогичный рисунку 2, для го(п) по формуле (5)), при/< г получим:
А-Рп (г) _ А-Рп-1(г) _ Г> 0,2 < п < п0
Рп (г) Р»
< 0, п > п0
Срок по является решением уравнения г = го(п). Для го по формуле (5) получаем
По ~ 1 +
1 + (Г +1)(2г - f) + f2 (г -1)2 + 4г(г - f + гГ)
2г(г - f) '
(9)
Если п = 2 и/< г, то
АР, Р2
0 из теоремы 1. Тогда из выражения (8) получаем ^ ) > ^ р()
_р ). ад р(г)
Утверждения 2 и 3 теоремы для последовательностей \ п \ доказаны. Теорема 2 доказана
полностью.
Рп (Г )
I А- Р (г) I
В таблицах 3 и 4 приведены вычисления членов последовательностей {Д Рп(г)} и | р ) |
облигаций с / > г (табл. 3) и / < г (табл. 4) для Дг = 0,1 %. Как видно из таблиц, результаты вычислений подтверждают доказанные утверждения. В табл. 4 выделены строки, соответствующие па и по. Вычисленные по формулам (6) и (9) сроки па = 37,67 года и по ~ 46,36 года
I А- Р (Г) I
близки к полученным в таблице. Члены последовательностей {Д-Рп(г)} и 1-г приближа-
I Рп (г) \
ются к своим предельным значениям, полученным по формулам из утверждения 1 теоремы 2 (1,543 и 0,01234 соответственно в таблице 3 и 0,587 и 0,00763 в таблице 4).
Таблица 3 Таблица 4
- А- P (r) A- P (Г)
Зависимость A P (r) и -от n (f > r) Зависимость A P (r) и -^^ от n (f < r)
Pn (r) Л ' Pn (r) V '
A = 100, m = 1, f = 10 %, r = 8%, Ar = 0,1 % A = 100, m = 1, f= 10 %, r = 13 %, Ar = 0,1 %
n A- Pn (r ) A- Pn (r ) Pn (r )
1 0,0942 0,0009
2 0,1830 0,0018
3 0,2665 0,0025
4 0,3452 0,0032
5 0,4192 0,0039
10 0,7283 0,0064
20 1,1198 0,0094
30 1,3260 0,0108
n A- Pn (r ) A- Pn (r ) Pn (r )
1 0,086070 0,00088417
2 0,160093 0,00168527
3 0,223705 0,00240759
4 0,278321 0,00305590
5 0,325172 0,00363531
20 0,572252 0,00725052
30 0,588030 0,00758621
36 0,589096 0,00763014
37 0,589098 0,00763339
38 0,589074 0,00763594
40 0,588972 0,00763938
45 0,588574 0,00764208
46 0,588488 0,00764205
47 0,588404 0,00764192
50 0,588168 0,00764109
Обсуждение результатов. Основной результат данной работы — математическое доказательство влияния срока до погашения на изменчивость цены облигации. Выводы, которые можно сделать на основании доказанной теоремы 2, справедливы при условиях, при которых доказана эта теорема. Эти выводы следующие: для облигации, продающейся с премией или по номиналу, чем больше срок до погашения, тем больше процентное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину, а следовательно, тем
больше ее процентный риск. Для облигации, продающейся с дисконтом, существует срок no = no(r), где r - начальный уровень доходности облигации, такой, что чем больше срок до погашения n, не превосходящий n, тем больше процентное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину. Для сроков n < no этот вывод подтверждается наиболее часто встречающимися рыночными наблюдениями, сформулированными в начале статьи. После срока no (n > no) процентное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину, а следовательно, процентный риск облигации начинает уменьшаться. Косвенно этот вывод подтверждается рыночными наблюдениями зависимости дюрации облигации от срока до погашения [2, с. 472-473] и работой [7]. В этой же работе получена формула для вычисления приближенного значения срока no, которая отличается от формулы (9) в данной работе. Обе формулы получены для больших значений n при условии горизонтальности временной структуры процентных ставок и параллельности ее перемещений. Как показывают вычисления, обе формулы дают близкие результаты. Таким образом, долгосрочные облигации, продающиеся с дисконтом, со сроками до погашения n > no становятся менее чувствительными к изменению рыночной процентной ставки по сравнению с краткосрочными. Mожет возникнуть вопрос: почему случаи, когда процентный риск облигации начинает уменьшаться с увеличением срока до погашения, наблюдаются редко? Mожно объяснить это следующим образом: срок no достаточно велик и реальные сроки до погашения большинства облигаций меньше no. Это говорит о том, что полученные результаты могут быть полезны в задачах портфельного и долгосрочного инвестирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фабоцци Ф. Дж. Управление инвестициями. - M.: ИНФРА-M, 2000. - 932 с.
2. Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. - M.: ИНФРА-M, 1999. - 1028 с.
3. Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. Ч. 1. Инвестиции с фиксированными доходами. - M.: Рос. экон. акад., 2000. - 1б0 с.
4. Гитман Л. Дж., Джонк М. Д. Основы инвестирования. - M.: ДЕЛО, 1999. - 991 с.
5. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Mатематические методы финансового анализа. - M.: АНКИЛ, 200б. - 439 с.
6. Попова Н. В. О некоторых свойствах дюрации Mаколея // Вестник Финансового университета. - 2011. - № 1 (б1). - С. 42-4б.
REFERENCES
1. Fabozzi F. J. Investment Management. Moscow, 2000, 932 p. (in Russian).
2. Sharpe W. F., Alexander G. J., Bailey J. W. Investments. Moscow, 1999, 1028 p. (in Russian).
3. Barbaumov V. E., Gladkikh I. M., Chuiko A. S. Financial investments. Part 1. Investments with fixed incomes. Moscow, 2000, 1б0 p. (in Russian).
4. Gitman L. J., Jonk M. D. Basics of Investing. Moscow, 1999, 991 p. (in Russian).
5. Melnikov A. V., Popova N. V., Skorniakova V. S. Mathematical methods of financial analysis. Moscow, 200б, 439 p. (in Russian).
6. Popova N. V. Some properties of the Macaulay duration. Vestnik Finansovogo universiteta -Bulletin of Financial University, 2011, no. 1 (б1) (in Russian).
