CC BY
66
УДК 539.373, 539.6, 532.613.1
Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице
Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, К.Б. Устинов
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
Дано обобщение аналитического решения задачи Эшелби о деформации материала внутри и вне шарового включения в упругой среде, вызванной однородными собственными деформациями внутри включения и заданными напряжениями вдали от него, при учете наряду с поверхностной упругостью поверхностных остаточных напряжений. Найдены выражения внутреннего и внешнего тензоров Эшелби и тензоров концентрации напряжений при учете указанных двух типов поверхностных эффектов. Выявлен характер неоднородности полей деформаций и зависимости от диаметра включения (масштабный эффект), проявляющихся на нанометровых масштабах. Показано, что при определенных условиях влияние остаточных напряжений превосходит эффект поверхностной упругости.
Ключевые слова: включение, упругая матрица, задача Эшелби, тензор Эшелби, тензор концентрации напряжений, поверхностные деформации, собственные деформации, остаточные поверхностные напряжения
Effect of residual surface stress and surface elasticity on deformation of nanometer spherical inclusions in an elastic matrix
R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov and K.B. Ustinov
Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
The analytical solution of the Eshelby problem, which describes the deformation of an elastic medium inside and outside a spherical inclusion with homogeneous internal eigenstrain and specified remote stress, is generalized taking into account both surface elasticity and residual surface stress. Expressions are derived for the internal and external Eshelby tensors and stress concentration tensors with regard to the above effects. A characteristic strain field inhomogeneity and its dependence on the inclusion diameter in the nanometer range (the scale effect) are found. It is shown that under certain conditions, the effect of residual surface stress surpasses that of surface elasticity.
Keywords: inclusion, elastic matrix, Eshelby problem, Eshelby tensor, stress concentration tensor, surface strain, eigen strain, residual surface stress
1. Введение
По мере уменьшения размеров деформируемых тел вплоть до нанометрового диапазона начинают экспериментально проявляться масштабные эффекты их физических свойств. В классической теории упругости отсутствуют какие-либо характеристики среды с размерностью длины, так что в рамках этой теории масштабный эффект невозможен. Описание наблюдаемого масштабного эффекта механического поведения таких нанообъектов, как нанотрубки, наноусы (нанопроволоки), нановключения, тонкие пленки, атомные кластеры, на-
ноостровки и др. требует того или иного обобщения теории упругости.
Масштабный эффект может быть связан с невозможностью использования приближения сплошной среды при наноразмерах, т.е. с важностью на таких масштабах дискретного атомного строения материала. Решающее значение могут иметь при этом отличительные особенности атомного строения приповерхностных слоев и зон у границ раздела. Роль этих относительно узких областей может становиться существенной, когда число приповерхностных атомов перестанет быть очень ма-
© Гольдштейн P.B., Городцов B.A., Устинов К.Б., 2010
лым по сравнению с числом атомов в остальном объеме материала.
Многочисленные теоретические исследования с использованием первых принципов или полуэмпиричес-кого молекулярного моделирования, принимающие во внимание атомную структуру материалов, и экспериментальные работы подтвердили наличие масштабного эффекта для нанообъектов при размерах от долей до десятка нанометров. Такое поведение демонстрируют, в частности, упрощенные дискретные модели пленок (например [1]) и модели обобщенной упругости нанотрубок, построенные на базе молекулярного численного моделирования (например [2]).
В последние годы популярным стало применение для описания механического поведения нанообъектов такой обобщенной теории упругости, которая использует классическую теорию при рассмотрении основного объема материала, и лишь для поверхностей и границ раздела вводится нестандартная характеристика. Для описания аномальной поверхностной упругости при этом в различных публикациях применяются разнообразные определяющие соотношения, дополняющие обычный закон Гука для объема материала.
Относительно просто может быть получена теоретическая оценка роли особенностей поверхностной упругости наночастиц на примере известной задачи Эшелби [3]. Она представляет собой задачу определения напряженно-деформированного состояния упругой безграничной среды с шаровым включением из другого материала, подверженного однородной собственной деформации. Собственная деформация при этом может быть обязана тепловому расширению, фазовому превращению, несовместности атомных решеток материалов матрицы и включения, остаточному напряжению, пластическому течению, двойникованию и т.п. Аналитическое решение задачи Эшелби с учетом дополнительных поверхностных деформаций, описываемых двумерным законом Гука с обобщенными поверхностными модулями упругости, было подробно рассмотрено в работах [4, 5]. Однако в этих работах не принимался во внимание такой важный фактор, как поверхностные остаточные напряжения. В данной работе он будет учитываться. В разделе 6 будет показано, используя опубликованные теоретические оценки коэффициентов поверхностной упругости и остаточных поверхностных напряжений для ряда материалов, что роль последних может быть преобладающей. Вначале будут рассмотрены общие соотношения и представления решения задачи Эшелби для включения с внутренними собственными деформациями и поверхностными эффектами (п. 2), проведен анализ кинематики, статики и используемых здесь определяющих соотношений на сферической границе включения (п. 3). В разделе 4 найдена зависимость полей деформаций, создаваемых шаровым включением с
собственными деформациями при учете поверхностных эффектов, от собственных деформаций включения (тензор Эшелби). В этом пункте подробно обсуждаются лишь компоненты внутреннего тензора Эшелби, касающиеся поля деформаций внутри включения. Вид некоторых входящих в решение довольно громоздких коэффициентных функций отражен в Приложении. Отличительными чертами найденного решения являются отсутствие однородности поля деформаций и масштабный эффект (зависимость вида решения от диаметра включения). В разделе 5 дается решение более общей задачи о напряженно-деформированном состоянии внутри и вне включения при заданных собственных деформациях внутри включения и полях напряжений вдали от него с учетом упругих деформаций и остаточных напряжений на границе раздела между включением и упругой матрицей. Завершается работа обсуждением связи использованных в ней определяющих уравнений для поверхности раздела с известными, вообще говоря, более общими определяющими соотношениями Гертина-Мердока [6, 7] (п. 7). Рассмотренные эффекты представляются существенными для дальнейшего развития физической мезо-механики [8, 9], одним из ключевых положений которой является описание процессов, происходящих на различных масштабах при переходе от мезо- к нанометровым.
2. Соотношения для сред внутри и вне включения
В дальнейшем изложении предполагаем, что среда может рассматриваться как кусочно-однородная, каждая из подобластей которой описывается уравнениями линейной теории упругости с возможными собственными (начальными или остаточными) деформациями. При этом в силу линейности задачи деформации е для к-й однородной области можно представить в виде суммы упругой и неупругой составляющей
ец=4+е“ (1)
Здесь и далее второй верхний индекс Т соответствует полным деформациям, а второй верхний индекс 0 — собственным деформациям. Отсутствие второго верхнего индекса указывает на упругие деформации. Первый верхний индекс к характеризует тип рассматриваемой области и для него возможны далее два значения: е — для матрицы и i — для включения. Нижними индексами отмечаются компоненты тензорных величин.
Рассматривая задачу, аналогичную известной задаче Эшелби, будем предполагать, что неограниченная упругая матрица всюду свободна от собственных деформаций, а во включении имеются однородные собственные деформации. Предположение об однородности достаточно для разложения не только деформаций, но и смещений на упругую и неупругую составляющие
еГ=4, е-=4+#
иТ = и,, ит = и + и0
Здесь для смещений и использован аналогичный набор индексов.
Ввиду линейности задачи достаточно в дальнейшем рассмотреть, прежде всего, случай одноосных собственных деформаций, после чего общий случай может быть получен как суперпозиция решений, соответствующих собственным деформациям в различных направлениях.
Внутри и вне шарообразного включения поле упругого смещения может быть представлено в сферических координатах г, 0, ср (см., например, [10], гл. IV, формулы (1.8), (1.10)):
Ц = £[ А (п + 1)(п - 2 + 4vi)r”+1 + Вппгп-1 ]х
п=0
х Рп (cos 0), г < R,
и0 = £ [Ап(п + 5 -4vi)гп+1 + Впгп-1 ]х
п=0
dPn (cos 0)
d0
N г- —|
U = Xl Cnn(n + 3-4ve)r“” + Dn(n + 1)r~n~ l>
n=0Г J
x Pn (cos 0), r > R,
N г „ -i
U0e = X ГCn(-n + 4 - 4ve)r-n + Dnr-n-2 (x
n=0
dPn (cos 0)
(3)
d0
, r > R.
Здесь R — радиус включения; Pn (x) — полиномы Лежандра; v1, ve — коэффициенты Пуассона включения и матрицы соответственно; An, Bn, Cn, Dn — коэффициенты, подлежащие определению. Из последующего видно, что для рассматриваемой задачи достаточно удержать младшие члены с n < 2. Причем, члены с n = 1 следует опустить, поскольку они связаны с отсутствующим в рассматриваемой задаче главным вектором сил.
В задаче о включении, испытывающем собственные деформации, полные смещения внутри него будут складываться из упругих смещений (3) и собственных смещений, обязанных однородной собственной деформации растяжения £i0 вдоль оси z:
Uf = £10r cos2 0, U00 = -£10r sin 0 cos 0. (4)
Упругие деформации внутри и вне включения будут выражаться через упругие смещения обычным образом:
k U =-
dr
pk = 1 dU0k + Uk
tftft —--------Г-----“г-------
£k = ФФ
Ul ctg0+ U r r
1 ( 'ЛТ Tk TTk
r Э0
k
(5)
dr
u_i+1 и
r r Э0
k 2
В случае упругой изотропии материалов матрицы и включения напряжения связаны с упругими деформациями следующим образом:
а* = 2^k е* +lk (ек,г + e00 + ekk),
a00 = 2^£00 +^k ^ + 4 + ekk ),
krr +e00+ekk ),
akk = 2^£kk + ^ (£kr + 4) + £kk )
(6)
ak0 = 2^k ^0-\k ,,k
Здесь X , ц — константы Ламе к-й фазы.
Для решения поставленной задачи о нахождении полей напряжений и смещений внутри и вне включения выписанные соотношения должны быть дополнены граничными условиями, в качестве которых будут выступать соотношения поверхностной упругости на границе раздела, к рассмотрению которых сейчас и перейдем.
3. Соотношения на поверхности раздела
Подобно описанию явления упругости в объеме, поверхностная упругость описывается двумя группами переменных (кинематических — смещений и деформаций и статических — поверхностных напряжений) и тремя группами уравнений — кинематических, связывающих компоненты поверхностных и объемных смещений и деформаций, статических, связывающих компоненты поверхностных и объемных напряжений, и определяющих соотношений, связывающих между собой переменные обеих групп.
3.1. Кинематика поверхности
Ограничим рассмотрение случаем двусторонне когерентной границы раздела, т.е. будем считать, что полные смещения поверхности и*Т совпадают с полными смещениями обеих прилегающих объемных областей (включения и окружающей матрицы):
цХ = ц51=цт, (7)
т.е. вектор полного смещения является непрерывной функцией координат. Полные поверхностные деформации при этом связываются с полными смещениями по обычным формулам. В силу непрерывности нормальной и тангенциальных к поверхности компонент вектора смещения необходимо отсутствие компонент тензора поверхностных деформаций, имеющих индексы, соответствующие направлению нормали (т.е. еш- и епп). Тензор полных поверхностных деформаций становится проекцией тензора полных объемных деформаций на плоскость, касательную к границе раздела. Следовательно, каждый из тензорных индексов тензора поверхностных деформаций может принимать значения от 1 до 2, а не от 1 до 3, как в пространственном случае. Данное понижение размерности тензора полных поверхностных деформаций соответствует непрерывности полных смещений (7).
Непрерывность полных смещений вдоль поверхности раздела влечет за собой непрерывность всех производных от полных смещений по координатам, направленным по касательным к поверхности раздела, так что можно заключить, что аналогично условию для полных
смещении должно выполняться условие непрерывности компонент полных деформации с тензорными индексами, принимающими значения 1 и 2:
4=^=^. (8)
Для рассматриваемого случая осесимметрично деформируемой сферы соотношения между полными поверхностными деформациями и полными смещениями аналогичны второму и третьему соотношению (5). В них достаточно заменить индекс к, указывающий материал матрицы и включения, на индекс поверхности раздела s и добавить индекс полных смещении и деформации Т:
t = 1 auee
Ьаа =
U!
„1T = Ue
;;
-ctge +
U!
ап ' ’ -фф --о- ■ - (9)
г 00 г г г
Отметим, что рассмотренный вариант связи кинематики поверхности с кинематикоИ объема не единственный (обсуждение различных возможностей см., например, в [11-13]). В этоИ работе мы принимаем, что справедливы соотношения непрерывности вида (7)-(9), (1)-(3). Однако нельзя исключить и другие варианты для иных физических ситуации, например со скольжением на границе раздела, с реконструкциеи поверхности раздела и другими взаимосвязями между упругими и неупругими составляющими в объеме и на поверхности.
3.2. Статика поверхности
Будем предполагать, что равновесное состояние поверхности описывается обобщенным законом Лапласа-Юнга в соответствии с [6, 7], которьш использовался в работах [4, 5]:
У8а8 + [а]п = 0, [а] = а1 - ае. (10)
Здесь а8 — тензор поверхностных напряжении. Такои закон может быть получен путем рассмотрения баланса сил в координатных осях, связанных с элементом поверхности, т.е. является аналогом уравнении равновесия. При этом выражение для поверхностного градиента У8 представимо в виде (см. [4, 5]):
Vn1 = -
+ д h1a21 ■
da2
1 —1 —1 2 а11 + а22 e1 n _l_ 1
5 R1 R2 6 11 T h1h2
Э/?1
Эа-,
s dh2
°12 - 2
Эа1
'22
h1h2
dh
Эа-,
- h1 а22 +
Эа1
21
h2a12 +
(11)
Эа1 Эа1
Здесь e1, e2 — два взаимно ортогональных базисных вектора в плоскости, касательнои к поверхности раздела; n — единичный вектор нормали к нещ а1, а2 — два параметра, определяющие поверхность раздела так, что кривые с а1 = const, а2 = const задают два взаимно ортогональных семеиства на даннои поверхности;
А1, Н2 — соответствующие метрические коэффициенты; Rl, R2 — главные радиусы кривизны; ст|- — компоненты тензора поверхностных напряжении.
Для частного случая сферическои поверхности формулы (10), (11) принимают простои вид:
ае -ai -a;; + aee = 0
ТТ ЇТ
R
1 э
а™ а,
(12)
-аee+-
;;
= 0.
Rtg0Э0 ^ R Данные выражения получаются также из уравнении равновесия сферическои оболочки, нагруженнои симметрично относительно оси (см. [14], §105), и соответствуют уравнениям равновесия, записанным в сферических координатах.
3.3 Определяющие соотношения для поверхности
Для пополнения системы уравнении граничными условиями необходимо выписать определяющие соотношения, связывающие компоненты тензора поверхностных напряжении с компонентами тензора деформации. В настоящее время предложено большое количество вариантов записи определяющих соотношении. Не претендуя здесь на полноту их анализа, сделаем лишь некоторые замечания. Данные соотношения могут быть нелинеиными и содержать компоненты начальных (остаточных) напряжении или собственных деформации поверхности. Упругие параметры, входящие в определяющие соотношения, соответствуют, в общем случае, анизотропному телу. Значения как упругих поверхностных параметров, так и начальных поверхностных напряжении могут зависеть от кристаллографическои ориентации поверхности, т.е. от положения рассматри-ваемои точки и ориентации локального базиса на поверхности включения. При этом теоретические ограничения на значения поверхностных модулеи весьма слабые, поскольку вместе с поверхностью необходимо учитывать прилегающие объемы, так что требование положительности упругои энергии применимо лишь к телу в целом, но не к участку поверхности. Поэтому в отличие от чисто объемнои упругости многие поверхностные модули жесткости могут быть отрицательными, как это видно из теоретических расчетов упругости кристаллических материалов, выполненных в [15].
При дальнеишем анализе будем пользоваться определяющими соотношениями частного вида:
ада = ада + (А1 + 2^+^ =
= (А1 + 2^)(seT - sse°e) + А1 (є;т; - є;0;),
„10 . л 1 1T . /л 1 і '•»111\^1T
(13)
офф=офф+^е00 + (А + 2ц8 )ефф =
= А8 (е00 - е0О0) + (А8 + 2ц8)(ефф - ефф).
Здесь А8, ц8 — модули поверхностнои упругости, аналогичные константам Ламе для объемнои изотропнои
_80 80
упругости; а00, афф — компоненты поверхностных ос-
таточных напряжении. Благодаря учету в этих определяющих уравнениях остаточных (начальных) напряжении они являются более общими, чем использованные в работах [4, 5]. Первые равенства в (13) выражают
деиствующие поверхностные напряжения через оста-
_80 80
точные напряжения а00, афф и полные поверхностные деформации, а вторые — через поверхностные деформации и собственные поверхностные деформации Е0°, При этом связь между остаточными напряжениями
(14)
фф
и собственными деформациями очевидна:
_80 /Л 8 . '->118\_80 , ^8_80
-а00 = (А + 2ц )£00+А
_80 Л 8_80 , /Л 8 , '-)..8\~80
-афф = А £00 + (А + 2ц )£фф*
Определяющие соотношения (13) можно получить также с помощью следующего выражения для плотности энергии, связаннои с деформированием поверхности:
А + 2ц 8Т 80 \ 2 А + 2ц 8Т 80 \ 2
р =—^-(е?Т -е?0)2 +—^-(еЙ -4°)2 +
+ А8(е1Т -«^(е^ -е82°) + 2ц8(е1Т -е!00)2. (15)
Предположение о малости не только упругих деформации е^., но также собственных объемных и поверхностных деформации е!°, е8° позволяет ограничиться рассмотрением задачи в рамках малых деформации.
В предшествующих работах [4, 5] члены определяющих уравнении, соответствующие остаточным поверхностным напряжениям (собственным поверхностным деформациям), отбрасывались в предположении их малости. Однако, согласно атомным оценкам характеристик поверхностнои упругости, выполненным в работе [15] для ряда кубических кристаллов, это не вполне верно. В [15] было наидено, что модули поверхностнои упругости составляли ~10 Н/м и лишь на один порядок величины превосходили остаточные поверхностные напряжения (а80 ~ 1 Н/м). При деформациях в линеином диапазоне е < 0.01 такие остаточные напряжения обеспечивают главныи вклад в напряжения на поверхности (напряжения, соответствующие упругим поверхностным деформациям, имеют порядок а8 = А8 е ~ 0.1 Н/м). Поэтому в нашеи работе они учитываются наряду с гуковским деформационным вкладом в принятых определяющих соотношениях. Дополнительное своеобразие используемых определяющих соотношении состоит в предположении об анизотропии остаточных поверхностных напряжении, которая частично отражает анизотропию структурнои реконструкции поверхности раздела. Согласно расчетам работы [15] различие в нормальных компонентах остаточных поверхностных напряжении для некоторых кристаллографических плоскостеи кристаллов может достигать десятков процентов от среднеи величины.
При дальнеиших расчетах будем предполагать, что собственные деформации поверхности совместны, так что существует вектор поверхностного смещения и он может быть представлен в виде, аналогичном (4):
иг80 = е8<°Я С082 0, и00 = -е8°я 81п 0СО8 0. (16)
Здесь е80 — эффективная одноосная деформация, вызывающая указанные поверхностные смещения.
Отметим, что определяющие соотношения (13) можно переписать и в терминах упругои деформации, раз-личнои для внутреннеи и внешнеи окрестностеи поверхности раздела. Подстановка (8) и (2) в (13) дает
а00 = (А8 + 2ц8 )(еее - е00) + А8 (ефф - ефф) =
= (А8 + 2ц8 )(е100 + е00 - е8000) +
+ А8 (ефф + ефф - ефф), (17)
афф = А8 (е00 - е8000) + (А8 + 2ц8)(ефф - ефф) =
=А8 (е100+е1000 - е00)+(А8+2ц8 )(ефф+ефф- ефф).
В частном случае е80 = е10, вновь приходим к формулировке определяющего соотношения, использован-нои в [4, 5], когда ненапряженное состояние поверхности совпадает с ненапряженным состоянием включения. В другом частном случае е80 = 0, ненапряженное состояние поверхности совпадает с ненапряженным состоянием матрицы.
Тогда согласно (17) поверхностные напряжения могут быть выражены в терминах либо упругих внутренних деформации:
а800 = (А8 + 2ц8 )(е100 + е10С0) + А8 (ефф + ефф) = = -а0° + (А8 + 2ц8)е00+А8ефф, афф = А (е00 + е1000 ) + (А + 2ц8)(ефф + ефф) =
(18)
(19)
= -афф + А8е100 + (А8 + 2ц8)ефф, либо упругих внешних деформации:
а800 = (А8 + 2ц8)е00 +А8 ефф,
афф = А8 е00 + (А8 + 2ц8)ефф.
В силу большеи громоздкости таких формулировок удобнее пользоваться представлением определяющих соотношении через полные деформации поверхности раздела.
4. Тензор Эшелби
4.1. Нахождение поля смещений внутри и вне сферического включения при наличии в нем одноосных собственных деформаций
Решение задачи о поиске полеи смещении, деформации и напряжении в теле, содержащем шаровую неоднородность с одноосными собственными деформациями при учете поверхностных эффектов, описываемых соотношениями (13), сводится к нахождению коэффициентов А0, А2, В2, С2, D0, D2 в (3). Коэффициенты В0, С0, как видно из структуры выражении в (3), не влияют на результаты и могут быть опущены. Другие коэффициенты находятся из сопряжения решении внутри и вне сферы.
Два из условии сопряжения являются условиями неразрывности радиальнои и тангенциальнои компонент смещения на поверхности:
и. (я, 0)+иг° (я, 0) = ие (я, 0), (20)
и0(Я, 0) + и00(№, 0) = ие(№ 0). (21)
Еще два условия получаются путем подстановки в соотношения (12) поверхностных напряжении, выраженных через полные поверхностные деформации, совпадающие в соответствии с (8) с полными деформациями в объеме. Последние, в свою очередь, совпадают с упругими деформациями матрицы (см. (2)):
«. -аГг)Я - 2(А8 + ц8) х X (ее0 + ефф - е00 - ефф) = 0 для г = R, (22)
(ае0-а1г0)Я (е00 -ефф -
-е00 + ефф) +^0[(А8 + 2ц8)(ее0 - е00) +
+А8(ефф-е;0ф)] = 0 для г = Я. (23)
Приравнивая в (20) и (22) с учетом (5), (6) коэффициенты при одинаковых Рп (со 8 0), получим шесть уравнении (по два из (20) и (22) и по одному из (21) и (23)) относительно шести неизвестных коэффициентов А0, А2, В2, С2, D0, D2. Решение даннои системы дается формулами (А1)-(А6) Приложения.
Коэффициенты с номерами п > 2 при Рп (со 8 0) исчезают. В частном случае е80 = е0, выражения (А1)-(А6) с точностью до обозначении совпадают с выражениями, полученными в [4, 5]. Учет других возможностеи для е80 не приводит к существенно большеи громоздкости получаемых выражении. Решение в ситуации без поверхностных напряжении получается предельным переходом А8 — 0, ц8 —— 0 (либо Я — ^). В случае Ае = А1, це = ц1 решение совпадает с хорошо известным решением, полученным другим методом (см. [3]).
4.2. Компоненты тензора Эшелби
На основе полученного решения выпишем компоненты внутреннего и внешнего тензоров Эшелби — тензоров четвертого ранга, связывающих тензоры соот-ветствующеи полнои деформации с тензором собствен-нои деформации во включении:
е|Г = ^е“, ее7 = *еие1^. (24)
Некоторые из этих компонент получаются непосредственно из (3) при переходе к декартовои системе координат. Такие компоненты внутреннего тензора Эшелби имеют вид:
*3333 = 1 - 2(1 - 2vг') А0 + 2В2 +
+ 3А2 "7(х2 + у2) - ^1(х2 + у2 - 2г2)],
^133 =-2(1 -2^-52-
- 3 А2 [ (7 - 8v1 )г2 + 2v1 (3х2 + у2)],
S2233 =-2(1^)А0-В2- (25)
- 3А2 [(7 - 8v1)г2 + 2v1 (х2 + 3у2)],
S1233 = -12_у А2ху,
S11333 = 6vгA2 хг,
S2333 = 6у А2уг-
Величины А0, А2, В2, С2, D0, D2 определяются формулами (А2)-(А6) из Приложения. Решение, как и в [4, 5], здесь оказывается зависящим от координат.
Для других компонент, содержащих неодинаковые индексы во второи их паре, решение может быть получено суперпозициеи решении, соответствующих собственным деформациям растяжения вдоль оси х и собственным деформациям сжатия вдоль оси у с последующим поворотом результата суперпозиции на угол п/ 4 относительно оси г. Соответствующие компоненты при этом будут
*1112 = S2212 =-3(7 - 16у ) А2ху,
= 2 + В- + 2А-[(7 + 2v1)r2 - 6^г2
*1312 = А2уг, *2312 = А2хг,
*3312 =-3(7 -10^‘) А2 ху.
Остальные компоненты получаются круговои переста-новкои индексов. Наиденные выражения для *^1 с точностью до обозначении совпадают с аналогичными выражениями в [4, 5, 16].
Так же можно получить выражения для компонент внешнего тензора Эшелби, вывод которых изложен в следующем параграфе.
5. Задача об упругой неоднородности при заданной нагрузке вдали. Тензоры концентрации напряжений
Обратимся теперь к решению более общеи задачи о напряженно-деформированном состоянии среды с неоднородностью в виде шарообразного включения, создаваемого однородными собственными деформациями внутри и полем напряжении вдали от него. Как и при рассмотрении предыдущеи задачи, процесс решения можно упростить с помощью принципа суперпозиции, а именно: для начала достаточно рассмотреть задачу об упругом бесконечном теле, подвергаемом деиствию одноосного растягивающего напряжения вдали от шарового включения (на бесконечности) из другого материала при наличии собственных деформации е г0 внутри него. Предполагаем, что среда внутри и вне включения однородна и изотропна и характеризуется упругими константами Ае, це, А1, ц1 в матрице и включении соответственно. Поведение поверхности по-
(26)
прежнему характеризуется соотношениями (7)-(13). Задача о полях смещении, деформации и напряжении, как и прежде, сводится к нахождению коэффициентов А0, А2, В2, С2, D0, D2 в (3) исходя из условии сопряжения на сфере (20)-(23). Единственное отличие в том, что под смещениями в матрице ие, и0 теперь следует понимать величины
ие = £ [Спп(п + 3 - 4уе)г_п + Вп (п + 1)г-п-2 ]X
А I- -I
п=0
х Рп (cos 0) + —33 г п 2це
cos 0--
1 -Vе
ие = І [Сп(-п + 4 -4уе)г"п + Dnr-п-2]х
(27)
п=0
(С08 0)
' ё0
О'зз
-----33Г БІП 0 СОБ 0,
2це
отличающиеся от употреблявшихся ранее выражении дополнительными членами, соответствующими однородному растяжению вдоль оси г. Выражения для внутренних смещении и., и0 остаются в том же виде (3). Приравнивая в (20)-(23) коэффициенты при одинаковых Рп (со8 0), получим шесть уравнении относительно шести неизвестных коэффициентов А0, А2, В2, С2, D0,
Dг.
В силу линеиности такои системы уравнении ее решение может быть представлено в виде суммы трех
решении, для каждого из которых только одно из значе-
^ 10 80 ^ нии егг , егг , агг не равно нулю:
А0 = А0 е10 + А0е80 + А^а^,
А2 = А2 е10 + А2 е80 + А^а^,
В2 = В2 е10 + В2е80 + В^а^,
С2 = с2 е10 + С2е80 + С2аст~
7-Л т-л1_10 , т-л8_80 , Г^а_~>
В0 — В^е + В^е + Do а ,
7-Л т-л1_10 , т-л8_80 , Г^а_~>
D2 = В2е + В2е + D2 а .
Наиденные из решения системы выражения (А3)-(А7) приведены в Приложении. Результаты для смещении получаются подстановкои (28) в (3), после чего выражения для деформации и напряжении находятся подстановкои смещении в (5) и деформации в (6).
Решение для напряжении внутри и вне включения удобно представить в виде разложении:
(28)
і _ грп І0 , грІБ б0 , т-гїа у
?у = ІуШ екі + Тук1 екі + ^ї/кі^кі,
/-Т-Є _ -—^1 т^еІ І0 І т>ЄБ і т-гЄ? у
?у = ?кі + ЧуМ кі + Тї/кі + Тї/кі •
(29)
концентрации напряжении [4, 5], тензоры 7™, ТЩ могут быть названы перекрестными тензорами концентрации напряжении-деформации.
тт тт1п гг^еп / • \
Для компонент Ту33, Т у33 (п = 1, s, а) выражения
получаются последовательнои подстановкои (28) в (3), (5), (6). Для внутренних компонент тензоров Т1з3 (п = = 1, s, а) имеем:
Т111п33 = -2ц1 "2(1 + V1 )А0 + 3(г2 (7 + 6v1) -
- (х2 + 5 у2Ю А2п + В2п ],
Т%.33 = -2ц1" 2 (1 + V1 )А0п + 3 (г2 (7 + бу1) -
- (5х2 + у V) А2п + В2п ], (30)
Т3'3п33 = -2ц1" 2(1+ V1 )А0п - 3(2у1 г2 +
+ (х2 + у2)(7 + 11))А2п - 2В2п ],
Т112п33 =-24цУ хуА2, Т113п33 = 12цУхг Аг,
Т2333 = 12 цУ уг А2_.
Здесь величины А0, А^, В^, С£, В, D21 с п = 1, s, а даются формулами (А3)-(А7) в Приложении.
Для компонент, содержащих неодинаковые индексы во второи их паре, решение может быть получено супер-позициеи решении, соответствующих собственным деформациям растяжения вдоль оси х и собственным деформациям сжатия вдоль оси г с последующим поворотом результата суперпозиции на угол п/4 относительно осиу. Соответствующие компоненты при этом равны
Т111п13 = -бц‘(7 + 5У) хгА2,
Т2213 =-бц (7 + Ш1) хгАп,
Т33п13 = -бц1 (7 + 51) хгА!, (31)
Тш3 = 18ц 111 уг А2, 72313 = Мц^хуА!,
Т?13 = 3ц1 [((7 + 21 )г2 - 61 у2)А2п + Вп2 ].
Остальные компоненты получаются круговои переста-новкои индексов.
Выражения для компонент внешних тензоров получаются совершенно аналогично. Ввиду их громоздкости они вынесены в Приложение в виде формул (А8).
Удобно выписать решение для деформации в виде аналогичных разложении:
Рі = ?іі рі0 + <-<к рб0 + <-<І?
ьу - Букіькі + Біукіькі + ЬуЫсткі,
ое _ реі _І0 , ггЄБ , ггес у
ьу = ^укі кі + Ьукі кі + ^уИ. ?кі •
(32)
Компоненты тензоров /, /, / дают значения і/-й компоненты тензора деформации (для т = і внутри включения и для т = е вне его) при единичном значении кі-й компоненты тензора собственных дефор-деформаций включения , тензора собственных по- маций включения ек°, тензора собственных поверхност-
верхностных деформаций ек° и тензора напряжений на ных деформаций ек° и тензора напряжений на беско-
бесконечности • Тензор Тук? именуется тензором нечности Фу соответственно. Тензоры могут рас-
Компоненты тензоров Тщ, тт8, тт характеризуют значения у-и компоненты тензора напряжении (для т = = 1 внутри включения и для т = е вне его) при единичном значении к1-и компоненты тензора собственных
0
сматриваться в качестве варианта обобщения внутреннего и внешнего тензоров Эшелби для случая наличия поверхностных напряжении. Заметим, что в работах [4, 5] под обобщением тензора Эшелби при наличии поверхностных напряжении понималась величина, которая в наших обозначениях записывается как *^1 + •
Причина различия, как указывалось выше, лежит в различии отсчета деформации поверхности от ненапряженнои матрицы, как в нашем случае, или от ненапряженного включения, как это делалось в работах [4, 5]. Тензоры
&т\ с<т8 г
*уМ, *уИ могут быть названы тензорами концентрации деформации, а тензоры перекрестными тензорами концентрации деформации-напряжении.
Компоненты внутренних тензоров на основе (25), (26) можно переписать в виде:
*3п33 =8“ - 2(1 - 21 )А0п + 2В2п +
+ 3А [ 7(х2 + у2) - 6у1 (х2 + у2 - 2г2)],
*1133 =-2(1 -21 )Ап-Вп -
- 3 А2п [(7 - 81 )г2 + 21 (3х2 + у2)], (33)
*2233 = -2(1-21 )А0 -В* -
- 3А
:[(7 - 81 )г2 + 21 (х2 + 3у2)],
о1п п,,1 Лп о1п /-„Л ап
*1233 = -121 А2 ху, *1333 = 61 А2 хг,
*22333 = 61 А23уг,
*1112 = *22212 =-3(7 - 161)АПху,
*т2 = 181п + В- + -А[(7 + 21).2 - 61 г2 ], (34)
*1312 = 91 А2пуг, *2312 = 911 А2пхг,
*3312 =-3(7 -101) АПху.
Здесь 81П = 1 при п = 1 и 81П = 0 при п = s, а. Величины А3, А2п, Вп , С2П, В, В* для п = 1, s, а даются формулами (А3)-(А7) Приложения. Остальные компоненты получаются круговои перестановкои индексов.
Выражения для компонент внешних тензоров концентрации получаются аналогично. Ввиду их громоздкости они вынесены в Приложение в виде формул (А9).
6. Оценка роли поверхностных эффектов
В этом пункте при оценке роли эффектов, связанных с упругими аномалиями границы раздела, используем наиденные решения в простои ситуации шарового включения с собственными деформациями всестороннего растяжения е0 и поверхностными собственными деформациями е80. Частныи случаи е80 = е0 был рассмотрен в [4, 5, 16]. Для него ненапряженное состояние поверхности соответствует продеформированному включению (поверхность включения не напряжена после собственных деформации), а е80 = 0 дает случаи, когда ненапряженное состояние поверхности соответ-
ствует недеформированному включению (поверхность матрицы не напряжена после собственных деформации). Выражение для полных деформации во включении может быть получено как суперпозиция решении, соответствующих трем ортогональным собственным деформациям. Подстановка (А3)-(А9) в (25) и (24) дает
е1Т =
3К1 + 2К VЯ 3К1 + 4це + 2К 8/я
е0 -
2 К 8/Я
80
---=------------Т-- • (35)
3К1 + 4це + 2К 8/я
Здесь К1 — модуль всестороннего сжатия включения; К8 = 2(А8 + ц8) — модуль упругости поверхности (аналог модуля всестороннего сжатия), которыи может быть и отрицательным; R — радиус включения. Раскладывая выражение (35) по степеням безразмерного параметра 2К8
8 = -
Яце
(36)
которыи является малым для включении достаточно большого радиуса, оставляя только члены нулевого и первого порядка по малому параметру, получим:
3К1
е1Т = е0
-х
1
1 + -
4ц
е2
-8—— п8
3К1
(37)
3К ‘(3К1 + 4це)
В этои записи используется также безразмерное отношение поверхностнои собственнои деформации к соб-ственнои деформации во включении п - е80/е0.
В частном случае, е80 = е0, формула для деформации упрощается следующим образом:
е1Т = е0
1
1 --
ц
2
е80 = 0,
3К1 + 4це 3 3К1 + 4це
а в другом частном случае виду:
3К1 [ . 4ц2
, (38)
преобразуется к
е1Т =е0
3К1 + 4це
1 + -
3К ‘(3К1 + 4це)
8
(39)
Отметим, что поправки, обязанные поверхностному эффекту, в этих частных случаях имеют противополож-ныи знак.
Выписанные формулы (37)-(39) для простого примера сферически симметричного деформирования (расширения) шарообразного включения позволяют достаточно просто оценить влияние (в том числе относительное) поверхностнои упругости и собственнои поверх-ностнои деформации е80 (остаточного поверхностного напряжения а80) на процесс деформирования. Для многих твердых материалов (например металлов) типичными значениями упругих коэффициентов объемного расширения и сдвига являются К ~ 2.5 ц = 1011 Н/м2. Оценку нужных поверхностных характеристик К8 и а80
можно получить из результатов теоретических расчетов для кубических металлов, выполненных в работе [15]. По порядку величины имеем: К8 ~ А8 ~ ц8 ~ 10 Н/м и а80 ~ 1 Н/м, е80 ~ 0.1. Последняя оценка поверхностнои собственнои деформации существенно выше типичных собственных деформации материала в объеме включения. Не совпадать они могут и по знаку.
Приведенные оценки для объема и поверхности дают для безразмерного параметра их относительного влияния оценку
8
10-9 м Я '
(40)
Согласно этои оценке определяющии параметр рассмот-реннои задачи становится малым при диаметрах включении, превышающих десяток нанометров. Следует далее уточнить, что согласно (37) влияние на поля деформации материалов поверхностных собственных деформации (остаточных поверхностных напряжении) зависит от произведения этого «малого» безразмерного комплекса 8 и безразмерного отношения п - е8'0/е0, вероятная величина которого согласно предыдущим оценкам не мала. Так что при наличии остаточных поверхностных напряжении изменение поля деформации в объеме в основном и будет определяться этим несколько большим произведением безразмерных параметров
е80
П8 = -^ 10-9 м. е0Я
(41)
В то же время при отсутствии остаточных напряжении согласно (39) влияние только поверхностнои упругости определяется только несколько меньшим параметром 8.
Из приведенного анализа оценок достаточно ясно, что при рассмотрении поверхностного влияния на напряженно-деформированное состояние включения в определяющих уравнениях поверхности необходимо учитывать остаточные поверхностные напряжения наряду с поверхностнои упругостью. Более того, их роль может оказаться определяющеи.
7. Замечания о связи использованных определяющих соотношений поверхности с определяющими соотношениями Гертина-Мердока
Линеаризованные определяющие соотношения для поверхностнои упругости из [6, 7], вообще говоря, существенно отличаются от (13). В покомпонентном виде
для случая не зависящего от направления остаточного
80
напряжения а они записываются в виде:
*81 =СТ80 (1 + е22 ) + (А0 + 2ц0 )е11 + А0е22 ,
*22 =а80 (1 + е11) + А0е11 + (А0 + 2 ц0 ) е22,
*12 = 2ц0е12 + а80(м12 -е12),
*21 = 2ц0е12 + а80(М12 -е12).
(42)
Здесь *8 — компоненты тензора поверхностных напряжении Пиолы-Кирхгоффа, определяемые как отношение силы к площади, соответствующеи отсчетнои конфигурации; еу — компоненты тензора деформации для поверхности; А0, ц0 — поверхностные константы Ламе, которые, вообще говоря, отличны от введенных 88
нами А , ц ; щ — компоненты вектора смещения поверхности. При выводе авторами [6, 7] определяющих соотношении для поверхностных напряжении и деформации подчеркивалось, что форма (42) продиктована желанием того, чтобы при равенстве нулю поверхностных модулеи упругости А0, ц0 напряжения Коши, т.е. напряжения в актуальном состоянии, оставались бы постоянными. Для частного случая жидких сред естественно полагать А0 = ц0 = 0, и напряжения Коши (отношение силы к площади, соответствующеи текущеи конфигурации) будут ст^л = *п/(1 + е22) = ая0, а^2 = = *22/(1 + е11) = ая0. При выполнении равенств А0 = = ц0 =0, как видно из (42), компоненты напряжения Пиолы-Кирхгоффа *8 растут с увеличением площади поверхности. Однако при рассмотрении твердых тел, когда новая поверхность не образуется, а все деформации (и, следовательно, увеличение площади) происходят за счет растяжения уже существующеи поверхности, отсутствие упругости (равенство нулю поверхностных упругих модулеи) представляется более естественным связывать с ситуациеи, когда напряжения Пио-лы-Кирхгоффа не зависят от деформации. Именно эти модули, т.е. модули, исчезновение которых приводит к постоянству тензора напряжении Пиолы-Кирхгоффа, мы будем именовать как А8, ц8. Принятое условие запишется следующим образом:
= Я22 = а80 для А8 = ц8 = 0. (43)
Наидем связь модулеи А8, ц8 с модулями А0, ц0. Для этого введем постоянные коэффициенты А, В согласно
А0 = А8 + Аа80, ц0 = ц8 + Ва80. (44)
Эти коэффициенты подлежат определению из условия (43). Подстановка выражении (44) в определяющие соотношения (42), а затем в условие постоянства напряжении Пиолы-Кирхгоффа (43) дает значения констант А = -1, В = 1/2. После подстановки полученных значении в выражения (44) и в определяющие соотношения (42), последние преобразуются к виду:
*8 = а80 + (Ая + 2ця)е11 +Аяе22,
*22 = а80 +А8е11 + (А8 + 2ц8)е22,
*12 = 2ц е12-а (щ1,2 -^О/2,
*21 = 2ц е12 + а (щ1,2 -щ2,1 ^2.
Полученные соотношения для нормальных напряжении совпадают с введенными определяющими соотношениями (13) при постоянных остаточных поверхностных напряжениях.
(45)
Для непостоянных (по координатам) остаточных напряжении ситуация осложняется: из (44) следует, что либо А% ц% либо А0, ц0 (либо и те, и другие) становятся функциями координат или деформации. Данная
1 I ^80 /л, 0 1 , ~80
зависимость, однако, имеет порядок 1 + а /А =1 + е и будет пренебрежимо малои, если только собственные деформации (деформации, соответствующие остаточным напряжениям) малы (что видно уже из формул (42)).
Приложение
Коэффициенты, входящие в полученные ранее выражения для смещении, деформации и напряжении, имеют следующии вид:
А0 = А0е10, А2 = А^е10, В2 = В2е10, С2 = С2е10, В = 4е10, Вг = В2е10,
(А1)
А0 = А0 + А0 е80/ е10, А2 = А2 + А2е 80/ е10,
В2 = в2 + В2е80/е10, С2 = С2 + С2е80/е10, (А2)
В0 = в0 + В0е 8%10, В2 = в2 + В2е80/е10 Здесь
А = А8 + ц8 + Яце А = А8 + ц8
А = I , А0 = "
А0
В = Я4ц1(1 + 11) В = .
В0 = -------------------:-, В0 = "
А0
(А3)
А
0
2Я (А8 +ц8)(1 - 211)
А0 ,
а = 4ц1 (А8 + 2ц8)(4 - 511)
а2 =
А
2 (А4)
1/Л С,.1\ , „е,
А2 = 2(А8 + 2ц8)
2ц1 (4 - 511) + це(7 - 51е)
А ’
В2 = — (-2(А8 + 2ц8)2 (4 - 51е )(7 -Ш1) -А2
-7 Я(А8 + 2ц8 )(-ц1 (4 - 51е )(1 -11) + +6це (1 - 1е )(7 -1011)) + (Яце (7 - 51е) --А8 (4 - 51е ))(-2А8 (7 -1011) --Я(ц1 (7 + 511) + 4це (7 -1011)))),
В2 = Я (2(А8 + 2ц8)2 (4 - 51е )(7 -Ш1) -А2
-7 Я(А8 + 2ц8 )(ц1 (4 - 51е )(1 -11) +
+2це (-7 +1611 + (11 - 201 )1е)) +
+А8 (4 - 51е )(-2А8 (7 -1011) --Я(ц1 (7 + 51) + 4це (7 -1011)))),
С2 = ЯГ(7(5Я(4це + ц1) + 24А8 + 28ц8) -
-51(48А8 + 56ц8 + 5Я(8це - ц1))),
С2 =Я- (А8(4Яце(7-101) +
2А2
+Яц1 (7 + 51) + 20ц8 (7 -1011)) +
+ц8 (20ц8 (7 -1011) + 7Яц1 (7 + 51) +
+28Яце(7 -1011))),
о7ц1
В2 =—— (2 (А8 + 2ц8)(1 + 41е )(7 -101) +
А 2
+3(Яц1 (7 + 51) + 2(А8 + 2Яце )(7 - 101))), (А5)
В2 = Я- (6(А8 + 2ц8)2 (7-101) -2А2
-3А8 [2А8 (7 -1011) + Я(ц1 (7 + 51) +
+4це (7 -101))] + Я(А8 + 2ц8) х х(4це(7 - 21)(7 -101) +
+ц1 (119 -10711 - 161е (7 -1011)))),
А0 = 3Яц (1 + 1) +
+6(А8 +ц8 + Яце)(1 - 21),
А2 = 3Я(2(А8 + 2ц8 )2 (4 - 51е )(7 -Ш1) + +7 Я(А8 + 2ц8 )(6це (1 - 1е )(7 -101) + +7ц1(4 - 51е )(1 -1)) --(А8 (4 - 51е) + Я(це(-7 + 51е) +
+2ц1 (-4 + 51е )))(А8 (14 - 201)) +
+Я(це (28 - 401) + ц1 (7 + 51)))), 3Я(1 -1е)
(А6)
А =-
Аг=-
4(1 + 1е)А0 15(А8 + 2ц8)(1 -1е)
А2 ’
В2а =——(15 Я 2(-1 + 1)(56 ц8(-1+ 1) + 2А2
+6А8 (-7 + 81) + Я(-ц1 (7 + 51) + +4це(-7 + 101)))),
(А7)
С2а = -^ (5Я4 (це)-1 (-4ц8 (А8 + ц8 )(-7 + 101) + 4А2
+Я2 (це - ц1)(-ц1 (7 + 51) + 4це (-7 +1011)) + +Я(-49ц1ц8 (-1 +11) + А8 (ц1 (35 - 4711) + +4це(-7 +101))))),
= и0 =
1
(Я3 (це)-1 (-Яц1 (-1 + 21е )(1 +1) +
2(1 + 1 )А0 +(-1 + 21 )(Яце (1 + 1е) + 2ц8 (-1 + 21е) + +А8 (-2 + 41е)))),
В2а = -—(3Я6 (це)_1 (-4ц8 (А8 + ц8 )(-7 +1011) +
2А2
+Я2 (це - ц1 )(-ц1 (7 + 511) +
+4це (-7 +1011)) + Я (А8 (ц1 (35 - 4711) +
+4це1е(-7 +1011) + ц8)(- 49ц1 (-1 +11) +
+8це(-1 + 1е)(-7 +Ш1))))).
Компоненты внешних тензоров концентрации напряжении:
1 (ц(2г2(г4 (-5 + 41) +
греп _
Т1133 -~97л 77 г9(1 - 21)
+ г2 (4 у2 (4 - 51)1 + г2 (9 + 301 - 2412)+
+ х2 (15 - 261 + 412)) + 5 г2 (2(у2 + г2) X Х1(-5 + 41) + х2 (-9 + 81 + 812 )))С2П -
- 2г4 (3х2 (-1 + 1) - 3(у2 + г2 )1 + г2 (1 + 1 )ВП +
+ 3(г4 + 7 г2 (х2 (5 - 81) + 2( у2 + г2 )1) +
+ г2 (-2у21 - г2 (5 + 61) + х2 (-5 + 81)))В2П)),
ТПз = 9/л\ (ц(2г2 (г4 (-5 + 41) + г2 (4х2 (4 - 51 )1 +
г9(1 - 21)
+ г2 (9 + 301 - 2412) + у2 (15- 261 + 412))+
+ 5г2 (2(х2 + г2 М-5 + 41) + у2 (-9 + 81 + 812 )))С2П -- 2г4 (г2 (1 + 1) - 3(-у2 (-1 + 1) + (х2 + г2 )1))В0П +
+ 3( г4 + 7 г2 (у2 (5 - 81) + 2( х2 + г2 )1) +
+ г2 (-2х21 - г2 (5 + 61) + у2 (-5 + 81)))В2П)),
греп _ Т3333 =
1
‘зззз~-9„ _(ц(-2г2(2г41(-5 + 41) +
г9(1 - 21)
+г 2( х2(1+ 61- 412) + у2 (1 + 61- 412) +
+6г2 (5 - 61 + 4\!2)) - 5г2 (2г2 (5 - 91 + 412) +
+х2 (1 + 812) + у2 (1 + 812))) СП + 2 гА (г2 (1 + 1) -
-3(-г2(-1 + 1) + (х2 + у>))ВП --3(2г \ + 7г 2 (-2г 2 (-1+1) + х2 (- 3 + 81) +
+у2 (-3 + 81)) - г2 (2г2 (3 + 21) + х2 (-3 + 81)+ +у2(-3 + 81))ВП)),
Тш3 = \(3хуц(2г2 (15г2 + г2 (-5 + 41))С* -
г
-2г4В + 5(г2 - 7г2)В2П)),
^шз = -т-5-( хгц(2г2 (5(х2 (1 - 81) + у2 (1 - 81) +
2г
+г2 (19 - 81)) + 7 г2 (-5 + 41 )С2П + 3(-4г4 В + +(9г2 + 7(3х2 + 3у2 - 7г2 ))В))),
ТТзз = ^Т^( угц(2 г2 (5(х2 (1 - 81) + у2 (1 - 81) +
2г
+г2 (19 - 81)) + 7 г2 (-5 + 41))С2П + 3(-4г4 В +
+(9г2 + 7(3х2 + 3у2 - 7г2 ))В))),
T8elnlз = —9 1 (3хгц(~6г2 (г2 - 2г21 + 2.г21 -
г9(1 - 21)
-2гУ2 + у2 (1 - 21 - 212) - 2х2 (2 - 41 +12 ))С2п + +5(4х2 -3(у2 + г2))(-1 + 21)В)),
Т2213 = 9п 1 п (3хгц(6г 2 (г 2 - 4г 21 + 2г 212 + г9(1 - 21)
+2гV + 2у2 (-2 + 31 +12) + х2 (1 - 41 + 212 ))х ХС2П + 5(х2 - 6у2 + г2)(-1 + 21)В)),
73е3П13 = 9п\ (3хгц(-6г2(х2(-1+41 -^2 ;>-г9(1 - 21)
-у2 (1 -41 + 212) -2( -г 2( -1 + 1)1 +
+г2 (-2 + 31 + 12)))С2п + (А8)
+5(3х2 + 3у2 - 4г2)(-1+ 21 )В)),
Т1<2п13 = -9(3 угц(6г2 (х2 (-5 + V) + (у2 + г2 +
г
+5(6х2 - у2 - г2)В2 )),
T8e38з = 4т(3ц(2г2 (х4 + у4 + г4 + г2 г У + г
+2 у2 (г2 - г У) + х2(2у2 - 13г2 + г 21)) х хС* + (-4х4 + у4 - 3у2г2 - 4г4 --3х2(у2 - 9г2))В)),
Т2езп1з = —9(зхуц(6г2 (г2 (-5 +1 + (х2 + у2 -
г
-5(х2 + у2 - 6г2)В )).
Здесь для краткости у модуля сдвига це и коэффициента Пуассона 1е матрицы опущены верхние индексы е.
Компоненты внешних тензоров концентрации деформации имеют вид:
*1е1зз = -^(2г2 (-45х2 г2 + г4 (-5 + 41е) +
2г9
+г2 (9г2 - 3х2 (-5 + 41е )))С2П --2г4(г2 - 3х2)В + 3(г4 + 35х2г2 -
-5г 2( х2 + г 2))ВП ),
*'2233 = Т^(2г2 (-45у2 г2 + г4 (-5 + 41е)+
2г
+г2 (9г2 - 3у2 (-5 + 41е )))С2П --2г4 (г2 - 3у2)В + 3(г4 + 35у2г2 --5г2(у2 + г2))В2 ),
S3333 = A(-2r 2(-5z2(2z2(-5 + 4ve) +
2r
+x2 (-1 + 8ve) + у2 (-1 + 8ve)) +
+r 2 (6 z2 (-5 + 4ve) + x2 (-1 + 8ve) +
+у2 (-1 + 8ve)))C2n - 2r4(r2 - 3z2)x xD0n + 3(3r2(x2 + у2 - 2z2) +
+7z2 (-3x2 - 3у2 + 2z2 ))D2n),
S1233 = --V(3xK2r2(15z2 + r2(-5 + 4ve)Cn -
2r
-2r4D0n + 5(r2 - 7z2)D2n)),
Sie3n33 =-^(xz(2r 2(7r2 (-5 + 4ve) +
4r
+5(x2 + у2 +19z2 - 8x2ve --8у^є - 8z2ve))C2n + 3(-4r4D0n +
+(9r2 + 21x2 + 21у2 - 49z2 )D2n))),
S1e”13 =-1a(3xz(6r 2(2x2(-2 + ve) +
2r9
+(у2 + z 2)(1 + 2ve))C2n +
+5(4x2 -3(у2 + z2))D2n)), (A9)
S^2i3 = -1j(3xz(6r2(x2 -4у2 + z2)C2n -2r
-5(x2 - 6у2 + z2)D2n Xb
S3313 = T1? (3xz(6r2 (x2 + у2 - 4z2 + 2r2ve )C2 -2r
-5(3x2 + 3у2 - 4z2)D2n)),
Sm3 = Т19(^(6г2((у2 + zV + x2(-5 + ve))C2n + 2r
+5(6x2 - у2 - z2)D2.)),
cen 1 о/л 2 і 4 і 4 . 4 . 2 2,,e .
Si3i3 =TT3(2r (x + у + z +r z v +
2r
+2у2(z2 - r2ve) + x2(2у2 - 13z2 + r2ve))x xC^1 + (-4x4 + у4 - 3у2z2 - 4z4 --3x2(у2 - 9z2))D2n)),
S2e313 = T1^ (3ху(6Г2 ((x2 + у2К + z2 (-5 + ve ))C2n -2r
-5(x2 + у2 - 6z2)Dn Xb r2 = x2 + у2 + z2. (A10)
Pабoта выполнена в рамках Программы фундаментальных исследовании Президиума PAH № 22.
Литература
1. Kивцов A.M., Морозов Н.Ф. Aнoмалии механических характеристик наноразмерных объектов // ДAH. - 2001. - Т. 3S1. - №2 3.-С. S25-S27.
2. Goldstein R.V, Gorodtsov V.A., Chentsov A.V., Starikov S.V., Stegai-lov VV, Norman G.E. To description of mechanical properties of nanotubes. Tube wall thickness problem. Size effect / Preprint of Institute for Problems in Mechanics No. 937. - Moscow: Russian Acad. Sci., 2010. - 32 p.
3. Эшелби Дж. Определение поля упругих напряжении, создаваемого
эллипсоидальным включением, и задачи, связанные с этой проблемой // Континуальная теория дислокации. - М.: ИЛ, 1963. -С.103-139.
4. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Eshelby formalism for nanoinhomogeneities // Proc. Roy. Soc. L. A. - 2005. - V.461. -No. 2062. - P. 3335-3353.
5. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of elasticity at the nanoscale
// Adv. Appl. Mech. - 200S. - V. 42. - P. 1-6S.
6. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1975. - V. 57. - No. 4. - P. 291323; V. 59. - P. 3S9-390.
7. Murdoch A.I. Some fundamental aspects of surface modelling // J. Elast. - 2005. - V. S0. - No. 1-3. - P. 33-52.
S. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - ^восибирск: Hаука, 1995. -Т. 1. - 297 с., Т. 2. - 320 с.
9. Панин B.E. Синepгeтичecкиe пpинципы физическои мезомеханики
// Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
10. Партон B.3., Перлин П.И. Методы математическои теории упругости. - М.: Шука, 19S1. - 6SS c.
11. Cammarata R.C., Sieradzki K., Spaepen F. Simple model for interface stresses with application to misfit dislocation generation in epitaxial thin films // J. Appl. Phys. - 2000. - V. S7. - No. 3. - P. 12271234.
12. Cammarata R.C. Surface and interface stress effects in thin films // Progr. Surf. Sci. - 1994. - V. 46. - No. 1. - P. 1-3S.
13. Cahn J.W., Larche F. Surface stress and the chemical equilibrium of small crystals. II. Solid particles embedded in a solid matrix // Acta Met. - 19S2. - V. 30. - No. 1. - P. 51-56.
14. Тимошенко С.П., Boйнoвскuй-Kpuгep С. Пластины и оболочки. -М.: Шука, 1966. - 624 с.
15. Shenoy VB. Atomic calculations of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - No. 9. - P. 94-104.
16. Sharma P., Ganti S., Bhate N. Effect of surfaces on the size-dependent elastic state of nano-inhomogeneities // Appl. Phys. Lett. - 2003. -V. S2. - No. 4. - P. 535-537.
Поступила в редакцию 29.06.2010 г.
Сведения об авторах
Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф., зав. лаб. ИПМех РАН, [email protected] Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., вне ИПМех РАН, [email protected] Устинов Константин Борисович, к.ф.-м.н., сне ИПМех РАН, [email protected]
