CC BY
58
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Влияние пор и частиц наполнителей в связующем
на теплопроводность композита
с шаровыми включениями
# 02, февраль 2014
В01: 10.7463/0214.0699772
Савельева И. Ю.
УДК 536.2
Для улучшения технологических характеристик полимерного связующего как составной части композита используют мелкодисперсные наполнители в виде порошка, чешуек или волокнистых частиц [1,2]. Это дает возможность получить экзотермический эффект в процессе отверждения связующего, уменьшить его усадку и улучшить механические, теплофи-зические, электромагнитные и другие эксплуатационные характеристики изготавливаемого композита. Вместе с тем наличие в связующем таких наполнителей может привести к возникновению его пористости, ухудшающей свойства композита. Возникновение пор также связано с усадкой связующего в процессе его отверждения, достигающей нескольких процентов (для эпоксидного и кремний-органического до 4 %, для фенольного до 7 %, а для полиэфирного даже до 15 % [1]).
Одной из характеристик композита, которая чувствительна к наличию в связующем пор и частиц мелкодисперсного наполнителя, является эффективный коэффициент теплопроводности. Количественное влияние объемной концентрации пор и наполнителя в полимерном связующем на этот коэффициент можно установить при помощи математической модели, описывающей перенос тепловой энергии в композите.
Для определенности рассмотрим композит, состоящий из матрицы и включений шаровой формы. Математическую модель переноса тепловой энергии в таком композите построим в предположении, что шаровые включения не контактируют между собой, т. е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Композит будем считать состоящим из множества
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение
1. Математическая модель
составных шаровых частиц, каждая из которых включает полый шар с внутренним Я0 и наружным Я1 радиусами, окруженный слоем материала матрицы. Примем, что такая составная частица с наружным радиусом Я является представительным элементом структуры композита и в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного материала, коэффициент теплопроводности Л которого подлежит определению как эффективная характеристика композита. Таким образом, структурная модель композита содержит три фазы: включение, слой матрицы и неограниченный массив однородного материала. Объемную концентрацию включений в композите обозначим через Су, причем Су = (Я1/Я)3.
В свою очередь материал матрицы представляет собой полимерное связующее, содержащее в общем случае поры и частицы мелкодисперсного наполнителя, т. е. модель материала матрицы также является трехфазной. Объемную концентрацию пор в материале матрицы обозначим через Ср, а объемную концентрацию п-го типа наполнителя — через Сп, п = 1, N. Форму пор и частиц наполнителя примем шаровой. Размеры частиц могут изменяться от долей микрометра до нескольких десятков микрометров [3]. Можно ожидать аналогичного интервала изменения размеров пор. Для мелких пор допустимо пренебречь переносом тепловой энергии в их полости [4], т. е. можно считать, что коэффициент теплопроводности пор равен нулю.
Сформулированные по отношению к материалу матрицы допущения позволяют для нахождения его коэффициента теплопроводности Лт использовать математическую модель
переноса тепловой энергии в многофазном композите [5]. Из этой модели следует, что
Л = Лт = 1 -2В (1)
где Лс — коэффициент теплопроводности связующего,
*=I <2>
п=1 '
Лп — коэффициент теплопроводности частиц наполнителя п-го типа.
Располагая значением Лт, для оценки эффективного коэффициент теплопроводности Л композита в целом можно применить математическую модель переноса тепловой энергии в композите с однородной матрицей и шаровыми включениями [6], соответствующем указанной выше структурной модели. Тогда получим
^ = Т = ^т 1 ^ ис ' (3)
Лс 1 + ЬСу
где
........ 3
Лт — Л +
Ат + 2А ( Ко
2Лт + Л +(Лт — Л)(КО) 3
2 Ы/ т Л0
л = ло
3
Л0 — коэффициент теплопроводности материала шаровых включений. В случае включений
Ко гл 1 1 Ат — А
в виде сплошного шара — = 0 и о = о0
Я\ 2Ат + А
2. Двусторонние оценки
Для получения двусторонних оценок эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита используем двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле [7, 8]. Область V, содержащую представительный элемент в виде половины составной частицы радиусом Л, выберем в виде прямого цилиндра высотой Н ^ Л с достаточно большой площадью 50 параллельных оснований (рис. 1). Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной. Температуру основания при $ = п/2 положим равной нулю, а на втором основании зададим температуру Т*. Однородный материал в части области вне составной частицы имеет коэффициент теплопроводности А. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом V = Н50, ограниченной поверхностью 5, распределение температуры Т(М) и коэффициент теплопроводности Л(М) являются функциями координат точки М € V, причем функция Л(М) кусочнопостоянная и принимает значения А0 при Л0 < г < Ль Ат при Л! < г < Л и А при г > Л.
Рис. 1. Модель структуры композита при построении двусторонних оценок
Для минимизируемого функционала [7]
3[Т] = 1 [ Л(М)(УТ(М))2 ¿V(М), М € V, (4)
у
где V — дифференциальный оператор Гамильтона, примем в качестве допустимого линейное по высоте цилиндра распределения температуры с постоянной составляющей градиента
С = т*/н. Тогда из формулы (4) получим
,к[Т] = НБс - — Л— + —л*+ 2п—Ас—, (5)
и] 2 с 3 2 3 * 2 3 с 2' у '
где с учетом состава связующего
N N
Л* = (1 — CN — Ср)Лс I ^ ^ СпЛп, CN 'у ] Сп.
п=1 п=1
В качестве допустимого распределения вектора плотности теплового потока д для максимизируемого функционала[8]
I[д] = — Ц Щщт йУ(М) Чт(р) д(р) ■ п(р) ^(р), р е Б, (6)
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б, примем постоянное значение д = — Л С единственной составляющей вектора д, перпендикулярной основаниям цилиндра. В этом случае формула (6) примет вид
)2 (НБс — 2п—3/3 0 —3 — —3 2"1-Л-+ — 3Лс
где, учитывая состав связующего,
1 — С N — Ср ^^ Сп р* = —N— + ^
п=1
11[д] = — ^ (НБс —Л2П—3/3 + ^ р* + 2п—33Л—) + ЛС2НБс, (7)
Лс Лп
Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения 31 [Т] и 11 [д] не будут совпадать, причем Л[Т] > 11[д]. В промежутке между этими значениями должно быть расположено и значение Зс = (Л/2)С2НБс минимизируемого функционала (4) для однородной области с коэффициентом теплопроводности Л. Тогда при (—1/—)3 = Су с учетом формулы (5) из условия 31 [Т] > Зс получим верхнюю оценку
Л* - „ л —о
А+ = (1 — Су) ^ + АСу (1 — —3) > Л,
Ле ^ —3'
а при использовании формулы (7) из условия 11 [д] < Зс найдем нижнюю оценку
а - 1 < а
- = (1 — Су)р*Лс + (Су/А)(1 — — 3/—3) < .
Двусторонние оценки можно сблизить, если использовать корреляционное приближение теории случайных функций [9]. Тогда верхняя оценка для Л принимает вид
а* =(^^ (1 — CN — Ср) + Ср + + (1 — Су) v -1 — 2А*,
\1 + 2А*1 7 р 2А* р А + 2А* 1 , Ап + 2А*/
4 п=1 7
а нижняя оценка —
= (г—£ ^ —^—Ср)+1—Су СР+^ К1 — Су) п ^ )-1 —2А-
где А* и А* — соответственно наибольшее и наименьшее значения среди всех Хп (п = 1, N ), А и единицы.
3. Результаты расчетов
Используем полученные расчетные формулы для количественного анализа при различных значениях Л зависимостей эффективного коэффициента теплопроводности композита и его двусторонних оценок от объемной концентрации Су включений в виде сплошных шаров (Л0 = 0). Коэффициент теплопроводности Ас различных полимерных связующих принимает значения в промежутке 0,17... 0,92
Вт
м-К
а из применяемых мелкодисперсных Вт
наполнителей наибольший коэффициент теплопроводности 34,2- имеет оксид магния
м • К
Вт
MgO, а наименьший 1,7 —— — оксид кремния 8Ю2 [1].
На рис. 2 построены графики зависимостей А, А+, а_ (соответственно сплошной кривой,
штрихпунктирной и штриховой линиями) и а*, а* (соответственно тонкой сплошной кривой
Вт
с черными кружками и пунктирной линией) от Су при Ас = 0,5-, Ср = 0,04, N = 1,
Вт м ~
С = 0,2, А1 = 34,2 —— и различных значениях Л > 1. В этом случае См = Сь ат = 1,222,
А*
0,720
Вт
мК
и р*
1,38
мК
. Большая разность значений А1 и Ас привела к тому, что
м • К ' * 'Вт
верхние оценки существенно отличаются от значений А по сравнению с нижними оценками.
^, /.+. л _, /Л X
Х=15
Х=5
Рис. 2. Графики зависимостей А, А+, А_ (соответственно сплошной кривой, штрихпунктирной и штриховой линиями) и А*, А* (соответственно тонкой сплошной кривой с черными кружками и пунктирной линией) от Су при Ас = 0,5 Вт
Ср = 0,04, N = 1, С1 = 0,2, А1 = 34,2
Вт м • К
м -К'
и различных значениях А > 1
На рис. 3 представлены графики тех же зависимостей при прежних обозначениях и исходных данных за исключением значения А1 = 1,7 Вт/(м-К). В этом случае верхние и нижние оценки заметно сближаются, особенно при А = 5. На рис. 4 приведены результаты аналогичных расчетов, но при А < 1. Следует отметить, что при любом сочетании исходных данных на всех рисунках ординаты всех графиков для любого выбранного значения А совпадают с этим значением.
А, А+, }■.— : А.. А* __
,/=15
14..........
12
10
о
Уш г /К
У 91* ■Г г * '
. У У' ! у\ / Г / £ 1 /• ь 1
Г^Г Л+ у У ,У Г Г 1 с *
..у У Л ' Г ' ' » 1
/ / к*/ • / Уф. ■'У/;
. У у ЛЧ/ Ал / * г / А £ г / ' ' (г 1 1Г >
У ■ Г. /* (У У \ , с /» Л 1 г >.
■> У У ** У» 1 А/ г'
* * ¡1 > ✓ г А*
У У . у / X /и* / > ■ ■ ^ /-¿л
■У г- г' Л Л —
^ -
/=10
1=5
0,2 0,4 0.6 0,8 С
Рис. 3. Графики зависимостей Л, А+, Л_ (соответственно сплошной кривой, штрихпунктирной и штриховой линиями) и Л*, Л* (соответственно тонкой сплошной кривой с черными кружками и пунктирной линией) от Су при Лс = 0,5 Вт/(мК), Ср = 0,04, N = 1, С1 = 0,2, Л1 = 1,7 Вт/(м К) и различных значениях Л > 1
Заключение
С использованием математической модели переноса тепловой энергии в многофазном композите [5] получены расчетные зависимости, позволяющие оценить влияние пористости связующего и наличия в нем мелкодисперсного наполнителя на эффективный коэффициент теплопроводности композита. Приведены результаты количественного анализа этих зависимостей применительно к реальным исходным данным, характерным для композитов с полимерной матрицей.
■Г*^ .—Кг' ^ .Г^,
Л., Д_, Л . Л.*
/.-0,8
/.=0.5
л= 0,1
О 0,2 0,4 0,6 0,8 Су
Рис. 4. Графики зависимостей Л, Л+, Л- (соответственно сплошной кривой, штрихпунктирной и штриховой линиями) и Л*, Л* (соответственно тонкой сплошной кривой с черными кружками и пунктирной линией) от Су при Лс = 0,5 Вт/(мК), Ср = 0,04, N = 1, С = 0,2, Лх = 1,7 Вт/(м К) и различных значениях Л < 1
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-255.2012.8) и гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (проект МК-6618.2013.8).
Список литературы
1. Калинчев В.А., Ягодников Д.А. Технология производства ракетных двигателей твердого топлива. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 688 с.
2. Комков М.А., Тарасов В.А. Технология намотки композитных конструкций ракет и средств поражения. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 432 с.
3. Справочник по композиционным материалам: пер. с англ. В 2 т. Т. 2 / Под ред. Дж. Любина; под ред. Б.Э. Геллера. М.: Машиностроение, 1988. 584 с.
4. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
5. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности многофазного композита с шаровыми включениям // Известия вузов. Машиностроение. 2013. №6. С. 72-77. Режим доступа: http://izvuzmash.bmstu.ru/catalog/ newtechnologies/hidden/256.html (дата обращения 01.01.2014).
6. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями // Тепловые процессы в технике. 2012. № 10. С. 470-474.
7. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиз-дат, 1983. 328 с.
8. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.
9. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Influence of pores and filler particles in the binder
on the composite thermal conductivity
# 02, February 2014
DOI: 10.7463/0214.0699772
Savelyeva I. Yu.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation
The article offers a mathematical model of heat transfer in a composite with spherical shape inclusions. The model takes into account that filler particles and pores are available in the binder. The effective thermal conductivity of such composite has been estimated, including the use of dual variation to formulate a problem of stationary thermal conductivity in the non-uniform body. The presented results can be used to predict the thermal conductivity of the composite affected both by fine-dispersed fillers introduced in the polymeric binding structure and by arising porosity when curing the binder.
Publications with keywords: composite, porosity, binder, fine-dispersed fillers, dual estimates of effective thermal conductivity
Publications with words: composite, porosity, binder, filler particles, dual estimates of effective thermal conductivity
References
1. Kalinchev V.A., Yagodnikov D.A. Tekhnologiya proizvodstva raketnykh dvigateley tverdogo topliva [Technology of production of solid-propellant rocket engines]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 688 p. (in Russian).
2. Komkov M.A., Tarasov V.A. Tekhnologiya namotki kompozitnykh konstruktsiy raket i sred-stv porazheniya [Technology of winding of composite structures of missiles and weapons of destruction]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 432 p. (in Russian).
3. Lubin G., ed. Handbook of Composites. Van Hostrand Reinold Company, New York, 1982. (Russ. ed.: Lubin G., ed. Spravochnikpo kompozitsionnym materialam. 2 kn. Kn. 2. Moscow, Mashinostroenie, 1988. 584 p.).
4. Dul'nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Teploprovodnost'smesey i kompozitsionnykh materialov [Thermal conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad, Energiya, 1974. 264 p. (in Russian).
5. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. [Effective Thermal Conductivity Coefficient of Multi-phase Composite With Spherical Inclusions]. Izvestiia vysshikh ucheb-nykh zavedenii. Mashinostroenie - Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2013, no. 6, pp. 72-77. Available at: http://izvuzmash.bmstu.ru/catalog/ newtechnologies/hidden/256.html, accessed 01.01.2014. (in Russian).
6. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. [The Effective Thermal Conductivity of Composites with Spherical Inclusions]. Teplovyeprotsessy v tekhnike - Thermal Processes in Engineering, 2012, no. 10, pp. 470-474. (in Russian).
7. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniya zadach teploprovodnosti [Engineering methods for solving problems of thermal conductivity]. Moscow, Energoatomizdat, 1983. 328 p. (in Russian).
8. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).
9. Shermergor T.D. Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of microin-homogeneous media]. Moscow, Nauka, 1977. 400 p. (in Russian).
