Влияние поперечных сдвигов на понижение напряженного состояния пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып.1(20). 2015

УДК 539.3

ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ НА ПОНИЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИНЫ

А. В. Ермоленко, А. Н. Гинтнер

В теории пластин типа Кармана - Тимошенко - Нагди, учитывающей трансверсальные деформации, моменты состоят из двух составляющих — моменты от кривизны срединной поверхности и моменты от изменения поперечных сдвигов. Показано, что при контактном взаимодействии пластины с абсолютно жестким основанием графики составляющих моментов в области максимальных значений находятся в противофазе, что приводит к снижению максимальных значений совокупного момента. Ключевые слова: уточненная теория пластин, контактная задача, противофаза.

1. Уравнения типа Кармана — Тимошенко — Нагди

В работе [4] показано, что при деформировании цилиндрической панели нагрузкой, близкой к сосредоточенной, графики моментов, связанных с кривизной и с изменением поперечных сдвигов, находятся в противофазе. Это приводит к тому, что максимальные значения совокупного момента при учете теорий, учитывающих поперечные сдвиги, уменьшаются. В данной работе отслеживается этот же эффект для кон-такного взаимодействия цилиндрически изгибаемой пластины и абсолютно жесткого идеально гладкого основания.

Теория пластин типа Кармана - Тимошенко - Нагди впервые была предложена в работе [3]. В дальнейшем был предложен вариант указанной теории, разрешающие уравнения которой могут быть приведены к произвольной поверхности [2]. В частности, в случае приведения к нижней лицевой поверхности разрешающие уравнения данной теории имеют вид

БД^ = дп - Н% Адп + (I - Н%Д)Ь(Ф, w),

© Ермоленко А. В., Гинтнер А. Н., 2015.

жд2ф = ЕкДт--1 £(ш'ш)'

</>1.1 + ^2,2 = - ^(«,, + (1)

Здесь — прогиб нижней лицевой поверхности, Ф — функция напря-

Ек3

жения, фг,г = 1, 2 — поперечные сдвиги; О = 12(1-2) — цилиндрическая жёсткость, — нагрузки, действующие на верхнюю и нижнюю лицевые поверхности, = — — нормальная нагрузка, тп = — нагрузочный (фиктивный) момент; к — толщина пластины, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона; Д — оператор Лапласа, Ь(Ф,'ш) = Ф,пЭД)22 — 2Ф,12и>,12 + Ф)22эдп — билинейная форма Кармана, д д'ш 2 к2

™>г=дх; к = 6(1 — V) •

При выводе уравнений (1) не используется геометрическая гипотеза Кирхгофа, при этом отказ от условия перехода нормали к недефор-мированной срединной поверхности в нормаль к деформированной поверхности приводит к возникновению поперечных сдвигов фг,{ = 1, 2 и параметра к2.

Наличие поперечных сдвигов приводит к изменению выражений для моментов. Указанные моменты имеют вид [3]

М11 = —+ ^22), М'22 = (1 ^ 2)М11,

М12 = —(1 — V )Ош,12;

МЦ = + ^2,2), М'2 = (1 ^ 2)м11,

= 2(1 — V)О(^1,2 + ^2,1), М = М + М, г,з = 1, 2. (2)

2. Контактная задача со свободной границей

С использованием теории типа Кармана - Тимошенко - Нагди аналитически и численно решен ряд задач о контактном взаимодействии пластины с абсолютно жестким идеально гладким основанием, например [1,3]. Показано, что в случае использования уточненной теории контактные реакции хотя и имеют пики на границе зоны контакта, но не содержат функцию Дирака и описываются квадратично суммируемыми функциями. При этом не обращалось внимание на влияние внесенных в теорию Каармана - Тимошенко - Нагди на распределение моментов при решении контактных задач. Для изучения указанного влияния рассмотрим следующую контактную задачу.

Имеется жестко закрепленная пластина длиной / и толщиной Л, расположенная на расстоянии А от абсолютно жесткого идеально гладкого основания. На пластину действует нагрузка При этом на краях пластины х = 0 и х = / выполняется условие жесткого закрепления, а два других края бесконечно удалены или загружены так, что в пластине реализуется цилиндрический изгиб. Под действием нагрузки пластина прогибается, и со стороны основания на нее начинает действовать сила реакции опоры г(х). Предполагаем, что на отрезке [хо, / — хо] пластина выстилается без зазоров. Требуется определить прогиб пластины т и возникающие контактные реакции г(х).

На основании системы (1) краевая задача относительно прогиба т может быть записана так:

Дт = дп — дп, т(0) = 0,т(/) = 0,т'(0) = 0,т' (/) = 0. (3)

Решение краевой задачи (3) ищем, используя метод функции Грина [1]. Названная функция определяется из следующей вспомогательной задачи:

С1У(х,£) = ¿(х — £), х,£ е (0,/),

С(0,£) = 0, С'(0,£) = 0,

С(/,£) = 0, С'(/,£) = 0, (4)

где ¿(х) — функция Дирака.

Решением задачи (4) будет следующая функция Грина:

С(х,0 = 6(х — {)>Н (х — О — х3 + Ы> х2, (5)

где Н(х) — функция Хэвисайда.

Для решения краевой задачи воспользуемся методом обобщенной реакции [5], итерационная схема которого имеет вид

тк = [гк-1 + — А)] + , в > 0, 1 Г1

тк = д Уо (?+ — тк(0 — (д+ — тк)"(£)№, (6)

Здесь ф+ = 1 (ф + |ф|) — положительная срезка функции. В качестве начального приближения полагаем

то = 0, то = Д J С(х,

Если при этом то < А, то пластина не коснулась основания и итерационную схему не проводим.

Рис. 1. Прогиб нижней лицевой поверхности

1000

8 / см"

11 /

----1 1— м

0.5

Рис. 2. Контактные реакции (г)

На рис. 1-3 приведены результаты расчета пластины со следующими геометрическими и физическими параметрами:

пх

= в1п—(МПа), V = 0, 3, Е = 2,1-106Па, I = 1м, к = 0, 01м, А = 0,01м.

Рис. 3. Моменты

Относительно полученных графиков следует отметить следующее. График прогиба качествено согласуется с условиями задачи — в средней части прогиб равен зазору, а на краях поведение пластины соответствует жесткому закреплению. Реакция основания в средней части совпадает с действующей нагрузкой, а на краях зоны контакта имеются пиковые значения. На рис. 3 точками показан момент от сдвигов, сплошной — момент, связанный с прогибом, пунктирной линией — итоговый момент (см. (2)). Из последнего рисунка видно, что компоненты момента находятся в противофазе, то есть с использованием поперечных сдвигов максимальные значения совокупного момента уменьшаются. Также в ходе численного эксперимента было замечено, что эффект противофазы не наблюдается при решении обычных («неконтактных» или под действием плавных нагрузок) задач.

Список литературы

1. Ермоленко А.В. О контактном взаимодействии цилиндрически изгибаемой пластины с абсолютно жестким основанием // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого тела : тр. научной школы акад. В.В.Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 79-95.

2. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана - Тимошенко - Нагди относительно произвольной базовой плоскости // В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. № 8.1 (20). C. 336-347.

3. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. 1999. Вып. 3. С. 181-202.

4. Михайловский Е.И., Ермоленко А.В., Миронов В.В., Ту-лубенская Е.В. Уточненные нелинейные уравнения в неклассических задачах механики оболочек. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2009. 141 с.

5. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 128-136.

Summary

Yermolenko A. V., Gintner A. N. Influence of transverse shears on decrease of strain state of plates

In the Karman-Timoshenko-Nagdi theory the moments consist of two components: the moments, related to the curvature of the middle surface, and the moments, related to the changes in transverse shears. It is shown, the maximum values of these components are in opposition in contact problems.

Keywords: refined theory of plates, contact problem, antiphase.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 29.11.2015