Влияние поляризации вакуума на характер динамики мюона в поле ядра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 1 Физико-математические пауки 2006

УДК 539.189.1

ВЛИЯНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА НА ХАРАКТЕР ДИНАМИКИ МЮОНА В ПОЛЕ ЯДРА

Р.Х. Гайнутдинов, А. С. Июдин, А. А. Мутыгуллина

Аннотация

Исследуется динамика мюопа в поле ядра с учетом эффектов поляризации электронного вакуума. С помощью обобщенного динамического уравнения проведены расчеты лэмбовского сдвига энергетических уровней атомов с различными атомными номерами. Показано, что при вычислении энергетических уровней мюоппых атомов эффекты пело-кальпости взаимодействия мюопа с ядром являются несущественными. Вместе с тем. результаты расчетов показывают, что эти эффекты становятся очень существенными при описании процессов взаимодействия мюоппого атома с полем излучения, сопровождаемых рождением электроп-позитроппых пар.

Введение

В настоящее время возникшая на стыке атомной физики, квантовой электродинамики и ядерной физики теория мюонного атома дает предсказания, которые с большой точностью подтверждаются экспериментальными данными [1. 2]. Одним из важных приложений теории мюоппых атомов является исследование структуры атомных ядер. В этих исследованиях мюон используется как пробная частица, которая благодаря большой массе может проникать внутрь ядра. Ввиду того, что радиус боровской орбиты для мюона в 206 раз меньше, чем у соответствующего обычного атома, в тяжелых атомах мюон в низших энергетических состояниях проводит примерно половину времени жизни внутри ядра. Поэтому расположение таких уровней очень чувствительно к распределению заряда в ядре. Другим следствием большой массы мюона является то. что в мюонных атомах важную роль играют эффекты, связанные с поляризацией электронного вакуума. Это обусловлено тем. что поляризация вакуума существенно искажает кулоновское взаимодействие между заряженными частицами на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона, а в тяжелых мюонных атомах орбиты находятся на таких расстояниях от ядра. Важность этих эффектов обусловлена тем. что эффективное взаимодействие между мюоном и ядром является нелокальным во времени, поскольку оно связано с процессами, в которых происходит рождение и последующая аннигиляция электрои-позитронных пар. В обычной теории мюоппого атома эта нелокальность взаимодействия ие учитывается, хотя в тяжелых атомах она может играть важную роль. В настоящей работе влияние иелокальности во времени взаимодействия на характер динамики мюона в поле ядра исследуется с помощью формализма обобщенной квантовой динамики [3]. который в отличие от стандартных методов квантовой теории позволяет последовательно описывать динамику квантовых систем с нелокальным во времени взаимодействием.

1. Обобщенное динамическое уравнение

В работе [3] было показано, что уравнение Шредингера не является самым общим динамическим уравнением, совместным с современными концепциями квантовой физики, и более общее уравнение движения было выведено как следствие основополагающих физических принципов. Являясь эквивалентным уравнению Шредингера в случае, когда взаимодействие в системе является мгновенным, это обобщенное динамическое уравнение позволяет расширить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий. Развитый таким образом формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД) открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой физики [4. 5]. В данной работе этот формализм используется для исследования взаимодействия мюонного атома с электронным вакуумом. В формализме ОКД оператор эволюции представляется в следующей форме [3]

І І2

{■ф2\и(г,го)\Фі) = (Ф2\Фі) +У &2 J&1(Ф2\&&,Ь)\Ф1). (1)

І0 І0

Здесь (^2\<5'(І2,іі)\^і) _ амплитуда вероятности того, что если в момент времени і і состояние системы было \^і), то взаимодействие в системе начнется в момент времени і і, закончится в момент в ремени <2, и в тот же момент система будет обнаружена в состоянии \^2)- Первый член в правой части (1) описывает вклад от процесса, в котором взаимодействие в системе ие происходит пи в один момент времени. Используя представление (1). для оператора эволюции можем записать выражение

СЮ

І/(М») = 1 + ± (2)

2п 7 (г - Но) (г - Но)

—ю

Т(г) = і| ехр[ігт]Т(т) йт

о

и

Т(т) = ехр(-іЯо<2)<5,(І2,<і)ехр(іЯоіі).

Т(г)

ставлено в виде

(і(ф2\Т{г)\ф1) = (ф2\Т{г)\п)(п\Т{г)\ф1)

сЬ ^ (,-К)2 1 '

с граничным условием

Т(г) , - В(г), (4)

где

В (г) = і! йт ехр[ігт]ехр(—іНоі2)Н (і2, іі) ехр(іНоіі).

о

Физический смысл граничного условия (4) заключается в том. что в пределе беско-

Т(г)

иечно малыми временами взаимодействия, описываемые обобщенным оператором

ядро

ядро

ядро

мюон

мюон

_______I_

мюон

Рис. 1. Упорядоченные во времени диаграммы, описывающие взаимодействие между мюоном и ядром

взаимодействия П-1пі(і2,і1). Таким образом, характер динамики системы зависит от поведения оператора Т(г) в пределе бесконечно больших энергий. Если в этом пределе оператор Т (г) стремится к некоторому оператору ПІ5 то есть В (г) = Пі, то динамика системы описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом вза-Пі

рия не может быть справедливой для всех энергий, граничное условие (4) для уравнения (3) следует рассматривать как условие, определяющее поведение оператора Т(г) для г Є Б, ще Б - некоторая область значений, для которых г много больше характерной энергии рассматриваемой теории, но много меньше характерной энергии более фундаментальной теории.

2. Динамика мюонов в поле ядра

Для рассматриваемой в работе динамики в поле ядра область Б должна лежать много выше характерного энергетического масштаба этой системы, определяемого энергией ионизации атома Е-юп, так, чтобы основной в клад в Т-матрицу, описывающую динамику мюона в поле ядра, вносили упорядоченные во времени диаграммы квантовой электродинамики, представленные на рис. 1. Одиопетлевые диаграммы описывают вклад от процессов, связанных с поляризацией вакуума. Вычисляя вклады от каждой из этих упорядоченных во времени диаграмм, для оператора взаимодействия получим следующее выражение [6]

(р2|В(г)|р1) = -Щ- + (р2|Вро1(-)|Р1), (5)

где

(Р2І-Вроі(^)|рі) — ——р ^Поо(г — ЕР1, q) + Поо(^ — ЕР2, q)j (6)

Поо(-^) =(”)

п

где

Ь~ п\ = [ с1х^х + 1/2)^х - 1 [ "_______г2 - т ] ^

З У ж3/2(4т2.г' - х1 + ц1 + гО) у + Ат2х 4т2ж

Первый член в правой части уравнения (5) описывает вклад от процесса, в котором ядро и мюон обмениваются одним кулоновским фотоном, а второй процесс, при котором обмен фотоном между мюоном и ядром сопровождается рождением и поглощением виртуальной электрои-позитроииой пары и, очевидно, является нелокальным во времени. Решая обобщенное динамическое уравнение с этим оператором взаимодействия, можно описать динамику мюона в поле ядра. Например,

можно описать процесс захвата мюона ядром и наити связанные состояния, которые определяют состояния мюонного атома и его энергетические уровни. Вклад от эффектов поляризации, которые в операторе взаимодействия (5) описываются нелокальным оператором Bpol(q, 0), может рассматриваться как поправка к куло-иовскому взаимодействию. По этой причине мы можем начать с решения уравнения (3) с оператором взаимодействия

(P2|B(-)|P1) = (9)

q

В этом случае уравнение (3) является эквивалентным уравнению Шредннгера

г^|*(*))=Я|*(*)> (10)

с гамильтонианом Дирака, который в координатном представлении имеет вид

Za

Н = —ia'V + j3m-------, (11)

r

где a = e2 / 4п. Вместо свободных состояний, в качестве базисных состояний можно использовать полную систему векторов |ФП), являющихся решениями уравнения Дирака

Za

ЯФ = (-iaV + (Зт----------)Ф. (12)

r

Состояния |Ф„) можно рассматривать как «свободные» состояния системы. Если

взаимодействие в системе, за исключением взаимодействия частиц с кулоиовским

полем, отсутствует, то эволюция системы описывается «свободным» оператором Грина

c„M = £!^jN, (13)

n Z En

где En — энергия системы в состоянии |ФП). Теперь для описания динамики системы мы должны учесть, что частицы в «свободных» состояниях |ФП) могут участ-

вовать в других взаимодействиях, например, в процессах рождения и поглощения фотонов и электрон-позптронных пар. Причем последний процесс является доминирующим в мюониых атомах. Процесс взаимодействия, связанный с рождением и уничтожением виртуальной электрон-позитрониой пары, в таком представлении, можно рассматривать как взаимодействие мюонов, находящихся в «свободных» состояниях |ФП) с вакуумом. Вид oneратора Bvac(z), описывающего такое взаимодействие, очевидным образом связан с видом оператора Bpoi(z)

d?q

(2тг)

(^ml-^vac^) |^n) — $тп j /г) \з (^)-^роІ (-2? Ч)і (14)

где

и„(д) = I <і3гФП(г)Фп(г)ехр[-щг]. (15)

В теориях, в которых рассматривается взаимодействие с вакуумом, Т-матрица, определяемая соотношением (3), описывает ие только взаимодействие между частицами системы, но и их собственную энергию. Это отражается в том, что Т-матрица содержит член, который имеет такую же структуру, как первый член в операторе эволюции (2), описывающий вклад в этот оператор от процессов, когда в

T

лона в формо

(n2|T (z)|nl) = (n2|nl)^(z,nl) + (n2|T/(z)|nl),

где ^(z, nl) - некоторая функция, описывающая собственную энергию частиц, и (n2|T/(z)|nl) описывает вклад в T-матрицу от процессов, когда существует взаимодействие, по крайней мере, между двумя частицами в системе. Так как в мо-ментном базисе (n2 |пі) есть произведение дельта-функций ^3(p2 — pi) для каждой | nl )

(3) ведет к тому, что оно оказывается расходящимся в физической области. Эту проблему можно решить используя метод, развитый в работе [7]. В основу этого метода положено преобразование, которое приводит к замене оператора эволюции

n z En

G(z)

T(z)

M(z)

T(z) M(z)

следующим образом:

Go(z) + Go(z)T (z)Go(z) = G(z) + G(z)M (z)G(z). (16)

G(z)

Ы ^ z-En-G{z,ny

n

C(z, n)

M(z) G(z)

rf(??2|M(„)|??l) = _(„,2|_DT(r;)|„,1)_(„,2|T'(r;)|„,1)((„,1|_D(5(r;)|„,1)-|-(„,2|_D(5(r;)|„,2)); (17) dz

^^. = -(n\Ds(z)\n), (18)

dz

Здесь (n1|Da(z)|n1^ (n2|DT(z)|n1) связаны с операторами M(z) и G(z) следующим образом

(n2|D(z)|ni) = (n2|ni)(niD (z)|ni) + (n2|DT (z)|ni), (19)

D(z) = M(z)G(z)M(z),

где первый член с правой стороны в уравнении (19) описывает «сингулярную» часть (n2|D(z)|n1), содержащую (n2|n1). Соответственно, из уравнений (4) и (16) следует, что граничные условия для уравнений (17) и (18) будут иметь вид

(n2|M(z)|ni) ^ (n2|Bt(z)|ni),

| z\ —— ^

C(z, n) ^ (n|B5(z)|n), (20)

\ z\ —— ^

где B,s(z) и BT(z) описывают, соответственно, «сингулярную» и «регулярную» части оператора взаимодействия

(n2|B(z)|ni) = (n2|ni)(ni|B5 (z)|ni) + (п2|Вт (z)|ni).

Используем эти уравнения для описания динамики мюона в поле ядра. В этом случае, как уже отмечали, в качестве базисных состояний должны использовать собственные состояния |ФП) гамильтониана (11). При этом оператор О (г), описывающий эволюцию мюона в поле ядра, взаимодействующего с вакуумом, будет иметь вид

Векторы |Фп), относящиеся к дискретному спектру, описывают состояния мюон-ного атома, и, соответственно, = Еп определяют его энергетические уровни в случае, когда атом не взаимодействует с вакуумом. Операторы В$(г) и Вт(г), определяющие граничные условия для уравнений (17) и (18), являются, соответственно, «сингулярной» и «регулярной» частями оператора взаимодействия. Оператор В$(г) совпадает с нелокальным во времени оператором Втас(г), описывающим взаимодействие с электронным вакуумом, а оператор Вт (г) описывает процессы рождения фотонов, электронов н позитронов. Решение этих уравнений с точностью a2Z дает

Соответственно, для энергетического сдвига ДЕП с заданной точностью, обусловленного поляризацией вакуума, имеем

Это в точности поправка Юлинга, которая была выведена в рамках стандартного подхода к теории мюонного атома. Таким образом, при описании лембовского сдвига энергетических уровней мюонных атомов подход, основанный на использовании формализма ОКД приводит к тем же результатам, что и обычные методы. Из этого можно сделать вывод, что в таких наблюдаемых, как энергии уровней мюонных атомов, нолокальиость во времени взаимодействия мюона с ядром не проявляется. Это связано с тем, что пропагатор

описывающий распространение виртуальной элоктрон-позитронной пары в мюоп-

на и позитрона в элоктрон-позитронной паре соответственно, и опущены дискретные переменные, описывающие спиновые состояния электрона и позитрона. Это означает, что для того, чтобы при энергиях 2 « ЕП, близких к энергетическим уровням атома, эффекты нолокалыгости, связанные с рождением и уничтожением виртуальных электрон-позитронных пар, проявляли себя, величина ДЕП = СП(0) не должна быть слишком малой по сравнению с 2те. Как видно из рис. 2, ДЕп становится сопоставимой с 2те только в случае очень тяжелых атомов. Но в этом случае упомянутая выше оценка уже неприменима, поскольку для таких атомов характерный передаваемый импульс q = к — рх имеет порядок ^ те, и,

(21)

Сп(г) — (фп|Бас(г — Еп)|Фп).

(22)

АЕп = (Ф„|Втас(0)|Ф„) = I ^з^„(<7)Вро1(0,<7),

(23)

где

(24)

1

(Фп, к2, р2|С(г)|Фп, кі, Рі) —

£(кі - к2)£(рі - Р2)

(25)

•г - - \]т2 + к2 - ^/т2 + ру - Сп(г - ^/т2 + к^ - •<//??2 + Рі) ’

ном атоме, при г « Еп имеет порядок (2шє) 1. Здесь кі и рі - импульсы электро-

г

Рис. 2. Поправка Юлипга к энергетическим уровням мюоппых атомов

следовательно, пропагатор. описывающий распространение виртуальной элоктрон-позитронной пары имеет порядок аZMм. Это означает, что даже для очень тяжелых мюониых атомов эффекты нелокальностп не проявляют себя при описании лэмбовского сдвига. Вместе с тем, эти эффекты могут быть очень существенными при энергиях г > Е^ + 2те. Несмотря на то, что эта область не важна с точки зрения определения лэмбовского сдвига, значения грпновского оператора (21) при этих энергиях описывают важные физические процессы, например, процессы рассеяния и поглощения фотонов в мюонных атомах, сопровождаемые рождением электрон-позитронных пар. В этой области Сп(г) становится комплексным, и мнимая часть 1тСп(г) характеризует вероятность рождения таких пар. На рис. 3 приведены результаты расчета 1тСп(г) с точностью до а2 Z для состояния 151/2 при Z = 130. Приведенная та этом рисунке зависимость 1тСп(г) от г, в частности, описывает зависимость вероятности рождения электрон-позитронных пар от энергии поглощаемого фотона.

Заключение

Мы показали, что подход, основанный на использовании формализма ОКД, позволяет воспроизвести результаты обычного подхода к теории мюонного атома, связанные с определением лэмбовского сдвига. Преимущества подхода, основанного на формализме ОКД, заключаются в том, что он позволяет последовательно учитывать эффекты нелокальностп во времени взаимодействия мюона с ядром в процессах, в которых эти эффекты становятся существенными. Например, эффекты нелокальностп могут быть существенными в процессах нерезонансного рассеяния фотонов на мюонном атоме, когда энергии падающего фотона достаточно для рождения элоктрон-позитронной пары, в процессах захвата мюона ядром в результате тормозного излучения. Амплитуды этих процессов выражаются через гриповские операторы (21) при г > Еп + 2ше. Вместе с тем, результаты расчетов, приведенные на рис. 2, получены в лидирующем порядке теории, когда Сп(г) определяется уравнением (22). Однако такое приближение является неоправданным при г ^ Еп + 2ше. В этом случае для определения грпновского оператора, описывающего динамику мюона в поле ядра, необходимо решить уравнение (18) с

2, МэВ

Рис. 3. Зависимость вероятности рождения электрон-позитронных пар 1шО„(г) от энергии системы 2

граничным условном (20). В то же время, результаты расчетов, проведенных даже в таком приближении, позволяют сделать вывод о важности учета эффектов нело-кальности во времени взаимодействия мюона с ядром при описании различных динамических процессов, в которых участвуют мюонныо атомы.

Summary

R.Kh. Gainutdinov, A.S. Iyutlin, A.A. Mutygullina. Electronic vacuum polarisation effect on the muoii dynamics in nuclear field.

Muon dynamics in the nuclear field is investigated when taking into account the electronic vacuum polarization. We present the results of numerical solution of the generalized dynamical equation for the Lamb shifts of energy levels of muonic atoms with the different atomic numbers. It is shown that in describing the energy levels of muonic atoms the effect of the nonlocalit.y of the interaction of the muon with the nucleus is not significant. It is also shown that this effect can be significant in the processes of the interaction of muon with the radiation field accompanied by the creation of the electron-positron pairs.

Литература

1. Kinoshita Т., Niu M. Sixt.li-order vacuum-polarization contribution to the lamb shift of muonic hydrogen // Pliys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3240 3243.

2. Burei E., Rinker G.A. The energy levels of muonic atoms // Rev. Mod. Pliys. 1982.

V. 54. P. 67 118.

3. Gainutdinov R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

4. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A. Nonlocality of the NN interaction in an effective field theory // Pliys. Rev. C. 2002. V. 66. Art. 014006.

5. Gainutdinov R.Kh., A.A. Mutygullina A.A., Scheid W. Effects of nonlocalit.y in time of interactions of an atom with its surroundings on the broadening of spectral lines of atoms // Pliys. Lett. A. 2002. V. 306. P. 1 9.

6. Гайнутдинов Р.Х., Июдин А.С., Мутыгуллина А.А. Обобщенная квантовая динамика и пелокальпость взаимодействия атома с квантовым полем // Изв. РАН. Сер. Физическая. 2006. Т. 70. С. 525 527.

7. Гайнутдинов Р.Х, Естественное уширепие спектральных лилий мпогозарядпых попов и проблема поверхностных расходимостей // ЖЭТФ. 1995. Т. 108.

С. 1600 1613.

Поступила в редакцию 07.02.06

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и спектроскопии Казанского государственного университета.

E-mail: Renat.Gainutdinuveksu.ru

Июдин Алексей Сергеевич магистрант кафедры оптики и спектроскопии Казанского государственного университета.

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета.

E-mail: Aigul.MutygullinaQksu.ru