CC BY
2Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/39-148 Ссылка для цитирования этой статьи:
Галкина С.А., Барулина М.А., Кондратов Д.В., Окуньков С.В., Улитин И.В. Влияние параметров размерно-зависимого чувствительного элемента микромеханического гироскопа на его эксплуатационные характеристики // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 20 22. №3
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАЗМЕРНО-ЗАВИСИМОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА НА ЕГО ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Галкина С. А.1, Барулина М.А.1,2, Кондратов Д.В.1,2,3, Окуньков С. В. 12, Улитин И.В. 1,2 1Институт проблем точной механики и управления РАН, Россия, Саратов,
lab2 @iptmuran. ru
2Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского,
Россия, Саратов, [email protected] 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, [email protected]
IMPACT THE PARAMETERS OF A SIZE-DEPENDENT SENSING ELEMENT OF A MICROMECHANICAL GYROSCOPE ON ITS PERFORMANCE CHARACTERISTICS
Galkina S.A.1, Barulina M.A.12, Kondratov D.V.13, Okunkov S. V. 12, Ulitin I. V. 12 1 Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences, Russia,
Saratov, [email protected] 2 Saratov National Research State University Named After N.G. Chernyshevsky;
Russia, Saratov, [email protected] 3 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, [email protected]
Аннотация. Исследован вопрос влияния параметров размернозависимого чувствительного элемента микромеханического гироскопа на его эксплуатационные характеристики. Построена модель нестационарной деформации плоского чувствительного элемента микромеханического гироскопа как размернозависимой ортотропной прямоугольной тонкой пластины с использованием теории деформации пластин третьего порядка и новой модифицированной теории упругости. Получено аналитическое решение задачи о собственных колебаниях такого чувствительного элемента. Оценено влияние размерно-зависимых параметров на динамическую настройку гироскопа и, как следствие, его
УДК 532.517.2:539.3
DOI: 10.24412/2541 -9269-2022-3-22-26
эксплуатационные характеристики.
Ключевые слова: микромеханические гироскопы, колебания, размернозависимая пластина, чувствительный элемент, неклассическая теория упругости
Abstract. The impact of parameters of the micromechanical gyroscope size-dependent sensing element on its performance characteristics has been studied. A mathematical model of a non-stationary deformation of a micromechanical gyroscope sensing element as a size-dependent orthotopic rectangular thin plate is constructed using the third order plate deformation theory and the modified theory of elasticity. An analytical solution of the natural oscillations' problem for such sensing element is obtained. The effect of size-dependent parameters on the dynamic tuning of the gyroscope and, as a result, its operational characteristics is estimated.
Keywords: micromechanical gyroscopes, oscillations, size-dependent plate, sensitive element, non-classical theory of elasticity
Введение
Тенденция к уменьшению размеров микромеханических гироскопов и, как следствие, их компонентов привела к необходимости адаптации классических теорий упругости к изучению динамической и статической деформации объектов, эффективные размеры которых уже предполагают необходимость учета неоднородности их материала. К настоящему времени не выработано единого мнения, какие размеры требуют использования неклассических теорий упругости, но большинство публикаций посвящено рассмотрению объектов, эффективные размеры которых лежат в пределе от 20 от 300 нм [1-3]. Так как уже существуют патенты на микромеханические датчики [4, 5], в которых чувствительные элементы имеют подобные размеры, то задача оценки степени влияния значений размерно-зависимых параметров чувствительных элементов на эксплуатационные характеристики этих датчиков.
Математическая модель
Рассмотрим чувствительный элемент в виде плоской прямой ортотропной пластины высоты h и плотности р. На верхнюю грань приложена распределенная нестационарная нагрузка q(t, xi, xj). Система координат показана на рис. 1.
q(t,xi,xi) -7 х'
Т.....г-'г Г г ур>-► h
Хз
Рис. 1. Чувствительный элемент в виде прямой ортотропной пластины
Авторами ранее [6, 7] были получены уравнения движения такой пластины и построено аналитическое решение в случае свободно опертой пластины в виде двойного ряда Фурье:
т т т т
ип = > > и^т, (t)cos(^x^)sin(^x7) V
= £ £ ипт Юс05(апх1)зт(ртх2) Р0 = £ £ Упт(1)з1п(апх1)соз(ртХ2)
п=1т=1 п=1т=1
ж ж ж ж
w0 = £ £ Шпт&)5т(апх1)5т(ртх2) ф1 = £ £ ¥ 1пт&)со5(апх1)5т(ртх2)
п=1т=1 п=1т=1
ж ж пп тп
Ф2 = ££ ¥ 2пт(г)зт(апх1)соз(ртХ2) ап = Рт = ^
п=1 т=1
где и0, у0, - перемещения точек срединной поверхности ЧЭ в направлении осей Х1, Х2, хз соответственно, ф1, ф2 - углы поворота поперечного сечения ЧЭ относительно осей Х2, Х1.
Собственные частоты такого ЧЭ будут находиться в результате решения матричного уравнения [6]:
(5с1 + 5пс1 - ^^тМс1)у(о) = о, (1)
где Бс1, Бпс1 - классическая и неклассические матрицы; Мс1 - классическая часть матрицы кинетической энергии; К(0) = (и°т Ц°т Ш1°т Ф1пт )Т -
вектор, компоненты которого определяют моды колебаний:
иПт(!) = УптЮ = У0т(!)е™* Щ,т(1) = Щ0т(1)е1ш'
Численное моделирование
Собственные частоты шпт, МНг, ЧЭ как ортотропной свободно опертой пластины при различных 13 показаны ниже:
n = 1,m = 1 n = 2,m = 1 n= 1,m = 2 n = 3,m = 1 n = 1,m = 3
h = o
и0 ипт 24.5899 46.9845 45.8241 60.4056 67.8134
V0 vnm 36.4089 30.8675 66.2657 39.5176 97.4348
wo vvnm 1.8347 2.9847 6.0927 4.8641 12.9882
¥10 429.3768 429.8315 434.1927 383.8177 442.0127
¥20 T ^nm 380.1515 381.5337 382.0927 430.5897 385.324
l3 = 05 h-1
u0 unm 26.9187 46.991 55.6388 96.1344 60.4119
yo vnm 36.416 34.2557 66.2907 97.8944 46.3156
W0 vvnm 1.8347 2.9848 6.0929 12.9888 4.8644
¥10 408.2234 398.1097 430.1253 440.7786 395.8134
¥20 T ^nm 448.2819 465.1479 494.6417 599.3565 498.6406
Как известно, в режим функционирования ЧЭ микромеханических гироскопов должен работают на резонансе [8]. При этом отношение текущей кинетической энергии ЧЭ к максимально возможной зависит от комбинации рабочей частоты вынужденных колебаний ш , собственной частоты ш0 и логарифмического декремента затухания:
Т _ 1
Tmax Л ,(1 \2 /($\2
где д = 2п —— логарифмический декремент затухания, % - коэффициент,
линейно зависящий от углового или линейного коэффициента демпфирования подвесов ЧЭ; tj = — - расстройка частот.
Допустим, рассматриваемый ЧЭ работает на угловые вынужденные колебания. Тогда, согласно Таблице 1, собственная частота угловых колебаний упала с 429.3768 MHz до 408.2234 MHz (то есть уменьшилась на 4.9%). Также предположим, что логарифмический декремент затухания равен 0.01.
Тогда, согласно приведенной формуле, получим:
Т _ 1
Tmax=1.009 • 103
Таким образом, уменьшение частоты собственных колебаний на 5% привело к уменьшению кинетической энергии ЧЭ в 1000 раз. Поэтому учет размернозависимых параметров необходим при резонансной настройке микромеханических гироскопов.
Вывод
В работе был исследован вопрос влияния параметров размернозависимого чувствительного элемента микромеханического гироскопа на его эксплуатационные характеристики. Было показано, что учет
размернозависимых параметров может привести к существенной корректировке значений собственных частот ЧЭ. При это изменение собственной частоты даже на 5% приводит к уменьшению кинетической энергии ЧЭ в 1000 раз, и следовательно, уходу колебаний ЧЭ от резонансных, что делает не возможным дальнейшей эксплуатации гироскопа без дополнительной корректировки и настройки на новый резонанс. Таким образом, резонансную настройку гироскопа следует проводить на скорректированных значениях собственных частот размерно зависимого гироскопа.
Литература
1. Verbridge S., Parpia J., Reichenbach R., Bellan L., Craighead H. High quality factor resonance at room temperature with nanostrings under high tensile stress // Journal Of Applied Physics. 2006. 99(12). P. 124304
2. Abouelregal A., Marin M. The Response of Nanobeams with Temperature-Dependent Properties Using State-Space Method via Modified Couple Stress Theory // Symmetry, 2020. 12(8). P. 1276.
3. Barulina M.A., Galkina S.A., Markelova O.V., Golikova O.V. From micro to nano. Problems of modeling of nanoelectromechanical sensor // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2020. 984. 012012
4. Nanosensors for Chemical and Biological Applications. Sensing with Nanotubes, Nanowires and Nanoparticles. / Ed. Kevin C. Honeychurch. Woodhead Publishing, 2014. ISBN 978-0-85709-660-9
5. Pollack M., Fair R., Shenderov A. Electrowetting-based actuation of liquid droplets for microfluidic applications // Applied Physics Letters. 2000. 77(11). P. 1725-1726.
6. Barulina M., Kondratov D., Galkina S., Markelova O. Analytical Solution for Bending and Free Vibrations of an Orthotropic Nanoplate based on the New Modified Couple Stress Theory and the Third-order Plate Theory // Journal of Mathematical and Fundamental Sciences. 2022. Vol. 54. Issue1. P. 11-38.
7. Barulina M., Golikov A., Galkina S. Dynamics of Sensing Element of Micro- and Nano-Electromechanical Sensors as Anisotropic Size-Dependent Plate. // In: Awrejcewicz, J. (eds) Perspectives in Dynamical Systems II: Mathematical and Numerical Approaches. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol 363. Springer. Cham, 2021.
8. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: Учебное пособие. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.
