CC BY
16
УДК 533.951
ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ФИЛАМЕНТАЦИЮ МОЩНОГО
ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
К. Н. Овчинников, В. П. Силин
Показано, как явление подавления ограничения электронного теплопереноса в слабостолкновительной горячей плазме, обусловленное нелинейным влиянием обратного тормозного поглощения электронов на их распределение по скоростям, приводит к уменьшению роли тепловых эффектов в порождении филаментации по сравнению с воздействием пондеромоторной силы.
Явление филаментационной неустойчивости возникает в результате усиления про странственных флуктуаций распространяющегося в плазме лазерного излучения. Оно приводит к появлению самофокусировочных каналов излучения с пониженной плотностью плазмы, расположенных параллельно направлению распространения лазерного луча. В зависимости от того, какая причина определяет формирование таких каналов - пондеромоторная сила или тепловая, обусловленная перераспределением частиц из-за столкновительного поглощения излучения и теплового переноса - филаментацию соот ветственно определяют как пондеромоторную или тепловую. Шмитт [1], основываясь на численном моделировании в условиях классического электронного теплопереноса. указал на возможность полного подавления филаментации для характерных параметров лазерной плазмы. Однако, например, в работе [2] было указано на то, что исходя из представлений о классической теплопроводности, Шмитт недооценил роль тепловой филаментации плазмы, поскольку, как это стало считаться общепринятым, в условиях облучения плазмы лазерным излучением высокой интенсивности возникает ограничение электронного теплопереноса. Уменьшение при этом теплопроводности приводит к большим модуляциям температуры, что увеличивает модуляцию плотности, а поэтому увеличивается уровень тепловой филаментации. Авторы работы [2] базируют свое
рассмотрение на представлениях о нелокальном переносе тепла. При этом в [2] сделан вывод о возможности того, что в реальной ситуации тепловой механизм филаментации доминирует. Численное моделирование электронного переноса работы [2] подтверждено аналитической теорией работы [3]. Подчеркнем, что такое моделирование и аналитическая теория строились в предположении о максвелловском распределении электронов плазмы. С другой стороны известно, что в условиях воздействия на плазму достаточно интенсивного лазерного излучения распределение электронов может существенно отличаться от максвелловского. Такое отличие описано в работе [4] применительно к условиям, когда выполнены неравенства
гь2Е>Ут>у2Е. (1)
Здесь Z 1 - кратность ионизации ионов плазмы, vt = yjквТ/т тепловая ско рость электронов, ve — еЕ0/тш0 - амплитуда скорости осцилляций электронов в поле лазерного излучения. Уже в работе [5] проведенное там численное решение кинетиче ского уравнения указало на уменьшение ограничения электронного теплопереноса при увеличении интенсивности греющего плазму излучения. В работе [6] построена reo рия подавления ограничения электронного теплопереноса с увеличением интенсивное ги греющего плазму излучения, что обусловлено существенным отклонением электронного распределения от максвелловского. Ясно, что увеличение электронного теплопереноса приведет к снижению роли тепловой филаментации.
Обсуждению снижения роли тепловой филаментации в лазерной плазме в условиях высокой интенсивности излучения (1) посвящено настоящее сообщение.
В работе [7] изложены результаты теории филаментации лазерного излучения и получены выражения для порогов филаментации в условиях нелокального переноса, когда длина свободного пробега теплового электрона i превышает характерный размер возникающих филаментов А
£ > А ~ yZA^,
где А0 длина волны лазерного излучения, a L характерный масштаб пространственного изменения плотности плазмы. В условиях (1) поглощение излучения происходит быстрее, чем происходит максвеллизация распределения электронов, блаюда ря межэлектронным столкновениям. Поэтому распределение электронов оказывается значительно отличающимся от максвелловского. Для описания возникающего в таких
условиях распределения в [6, 7] использована функция распределения работы [ I]
(2)
г i
MM) = , r,Q/ X зтехР 4тгГ 3 p)v3(t)
М<)7
где показатель //, зависит от интенсивности лазерного излучения
3 _ £е2 | Ер |2
^ + 1 + 1,66 а-0'724 ' а " а>1тЧ2г
При низких интенсивностях накачки, когда а < 1, формула (3) дает ц к 2, что отвгчаг г обычному максвелловскому распределению. В другом предельном случае, когда о >> 1 получаем распределение Лангдона (р = 5). Отвечающие распределению (2) возмущения плотности электронов, обусловленные электромагнитным полем, имеют вид [6, 7]
п / ___ „ „. \ [ , „ 2
= (Е'Е+ Е°Е-О {«'+ f'ïzww)
(4)
где Е± 1 - малые амплитуды филаментационных возмущений, пс = тио^/Атсс1 кри тическая плотность, Т - температура электронов, к - волновое число филамента, 1 = (KBT)2/2irZe4nA,
_ Г(5/р)Г(1//0 м ЗГ2(3//х) '
16- 2)
h
оо у
J dyK1/7(y) J dxl1/7(x)
2/7 /ум-6\2/7"
+
У / Vх/
/2д - 12, 86; /2,5 = 8, 92; /3 = 6,15; /3,5 = 4,65; /4 = 3,85; /4,5 = 3,47; /6 = 3,42.
Коэффициент в формуле (4) характеризует возмущение электронной плотности, вы званное пондеромоторной силой, а коэффициент стоит перед слагаемым, обус ловлен ным столкновительным поглощением излучения. Соответственно, первое слагаемое в фигурных скобках (4) отвечает пондеромоторной филаментации, а второе тепловой. И } формулы (4) следует, что в условиях, когда Zk2f'¿ > 1, неравновесность распределе пия электронов, отвечающая возрастанию показателя будет уменьшат ь возмущения электронной плотности.
Согласно [7] для коэффициента пространственного усиления филамента вдоль на правления распространения С имеем выражение
= ц (#*) - , . (5)
где к0 = 27г/Ло = ыо/с, а величина q2Ak) описывается выражением
Zl-n/7 \
(6)
1 П
---а.
пс32жпск,вТ 8 Z пс
В отличие от [7] здесь дополнительно учтено слагаемое, обусловленное пондеромоторной силой. Для оценки порога филаментации используем соотношение GmL = 2тг, где С, наибольшее значение коэффициента пространственного усиления, которое отвечает филаменту с некоторым значением волнового числа к7П. Введем новую переменную ц следующим образом
Тогда согласно (5), (6) для определения порога получаем соотношение
(7)
которое содержит две неизвестных величины у и При написании уравнения (7) использованы обозначения
= 4 wfc
и
L Z1-"'7
2Л0 в"/т
о = 8тг2
Р
A0L '
Величина Ам характеризует соотношение вкладов пондеромоторной и тепловой фила ментации в величину порога филаментационной неустойчивости. В условиях, когда Ад > 1, порог будет определяться главным образом пондеромоторной филаментаци ей, а при Ам < 1 тепловой.
На рис.1 приведена зависимость величины А^ от плотности потока энергии лазер ного излучения с длиной волны Ао = 1 мкм, падающего на плазму с параметрами кв'Т ~ 1 кэВ, Z ~ 10, Л ~ 5, п ~ пс/10 = Ю20 сж~3, L ~ 100 мкм. Как видно из рис. 1, при р = 2 имеем А^ < 1 и вклад тепловой филаментации превышает вклад пондеромоторной. Однако уже при незначительном искажении максвелловского распре деления при р 2,2, что в нашем случае отвечает /о ~ 1,3 • 1013 Вт/см2, А^ ~ 1. При
А,
Л,
О
40
20
30
10
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Рис. 1. Зависимость отношения вкладов пондеромоторной и тепловой филаментации < порог филаментационной неустойчивости Ац от р при п ~ пс/10.
Рис. 2. Зависимость отношения вкладов пондеромоторной и тепловой филаментации » порог филаментационной неустойчивости Ац от р при п ~ пс.
дальнейшем увеличении р роль тепловой филаментации согласно рис. 1 еще больше ослабевает. Например, при р = 4,7 (что соответствует /0 ~ 1016 Вт/см2) тепловые эффекты становятся малыми > 30).
На рис. 2 приведен аналогичный график, построенный для случая более плотной плазмы п ~ пс — 1021 см~3, когда мы имеем меньшую длину пробега электронов (f. ~ 1, 53 м,км). Из-за меньшей длины пробега возмущения плотности, обусловленные столкновительным поглощением, с ростом р спадают не так быстро как в предыдущем случае. При р — 2 вклад тепловой филаментации примерно в 5 раз превышает вклад пондеромоторной. При /о ~ 1015 Вт/см2 (а = 4,2) влияние пондеромоторной силы и влияние тепловых эффектов сравниваются. Наконец, при /0 ~ 1016 Вт/см£ (а = 12) вклад тепловой филаментации в порог составляет около 60% от вклада пондеромотор ной.
Для того, чтобы получить второе уравнение, связывающее D^ и у, продиффереи цируем равенство (5) и найдем уравнение для определения волнового числа филамеи i -i
кт, при котором коэффициент пространственного усиления G(k) максимален. Используя обозначения у, А^ и запишем полученное уравнение в виде
D, (1 - р/7 + А.у»'7) = 2у1+"'7. (8)
Используя соотношение (8), перепишем уравнение (7) в виде уравнения для определения
1 - р/7 + А^П У l+p/7 + А^/т
Уравнение (9) определяет оптимальное волновое число для возникающих филаментов при пороговых значениях интенсивности лазерного излучения в соответствии с соотно шением km>th — ko\j2\oy/L. Соотношение (8) позволяет получить для порога филамен-тации выражение
ath = 8Z—-^F{p,A(l). (10)
TI ЬОц
Функция F(p,a) имеет вид
FM= 1 l7j_ ;/7/-w Oi
1 - /i/7 + ау»'7(р.,а)
а величина ?/(//, а) является соответствующим решением уравнения (9). Численный анализ соотношений (9), (11) показывает, что функция F(/i,a) практически не зависит от \i как от самостоятельного переменного и F(p,a) яз F(a). Поэтому можно, например, принять
F(p, а) « F(p = 3,5, а) = 1, 5у — 0,5- ,
У
где у определяется уравнением
У2 = г-
3 + 2ау/у '
Соответственно, формула (10) приближенно может быть записана в виде
"»-^¿{^-йЫ- • (12)
Подчеркнем, что зависимость у(А^) от р. сохраняется ввиду сильной степенной зависимости параметра Ам от р. Зависимости у(а), у(р,а), ^(а) показаны на рис. 3 они напоминают сглаженную ступеньку. Из рис. 3 следует, что зависимость кт^ <>т ^
сказывается только при Ац < 1. Однако и в этом случае неравновесность электронного распределения приводит лишь к небольшому увеличению оптимального размера филамента
ikrn,th) 5
71-\--74 •
{Km,th)tl=2
При малых а <С 1 мы получаем у2 = (1 — р/1)/{\ + р/7) и F ~ а. Это отвечает результатам работы [7]. В предельном случае, когда а > 1, получаем у ss 1, F(a) кз 1.
Найденные выражения для порога филаментационной неустойчивости (10), (12) позволяют изучать влияние на величину порога неравновесности распределения электро нов, длины свободного пробега электронов i и кратности ионизации ионов Z.
Приведем прежде всего некоторые численные примеры. Будем изучать филамента-цию лазерного излучения в условиях
А0 ~ 1 рм, /0 ~ 1015 Вт/см2, п ~ пс/10 = Ю20 см~3, (13)
квТ ~ 1 кэВ, Z ~ 10, А ~ 5, L(1) ~ 100 мкм, L(2) ~ 1000 мкм .
В этих условиях параметр Лангдона а = 4,2 и параметр неравновесности распределения электронов р = 3,9. Далее находим I ~ 15л<?с.м и соответственно д^ ~ 180, f>(2) ~ 18 (первое значение отвечает № ~ 100 жкл«, а второе ~ 1000 м к .и); следовательно 4!э ~ 12,6, А{2)9 йЗ,5и F(A^l) « 0,93, F(A^) « 0,77. Теперь, вычислив эти же величины в предположении, что распределение электронов отвечает максвелловском\ (р. = 2), получим 41} ~ 0,49, А(2) « 0,25 и F(A^) и 0,32, ,Р(Л^2)) и 0,20. В итоге, мы можем сравнить пороги фи ламентации, отвечающие р = 2 и р = 3,9 (¿3,9 ~ 0, 73)
- ^ (14)
ath,/i=2 J ¿(1) ¿3,9 F(A^) «2
\ (Xth,n=2 /¿(2)
= 5,4.
¿(2) «з,9F(42))
Рассмотрим другой пример с более высокой плотностью потока лазерного излучения Ю16 Вт/см2 и с неизменными другими параметрами (13). Тогда а = 42 и р. = 4, 7. Соответственно получаем Л$ « 30,3; Л$ и 6,5 и и 0,97; и 0.86
(«4,7» 0, 7)
(о^^Л =43; /а^Л =63 (15)
V ) ¿(1) V ) ¿(2)
Оценки (14), (15) показывают, что неравновесность электронного распределения повы шает порог филаментационной неустойчивости, когда 7Л'2(2 > 1. Подавление ограни чения электронного теплопереноса, обусловленное формированием неравновесных > гек тронных распределений при обратном тормозном поглощении мощного лазерного и ( лучения в плазме [6], ведет, как видно из формулы (4), к уменьшению возмущений электронной плотности, что в свою очередь ведет к снижению вклада тепловой фила ментации в порог.
\
Рис. 3. Зависимость от а функций у(р,а), F(a), у{а). 1 - у(р = 2,а), 2 - у(а), 3 у(р = ">.а),
4 - П"-).
Рис. 4. Зависимость филаментационной длины от волнового числа филамента. Кривые (Л отвечают р, = 2, а кривые (В) отвечают /2 = 4,7. Кривые (2) рассчитаны в пренебрежении вкладом тепловой филаментации, кривые (1) учитывают вклад тепловой филамента и, и а.
На рис. 4 показана зависимость филаментационной длины Lg = 2it/G от волнового числа филамента в экспериментальных условиях (13) и при плотности потока /0 ~ 1016 Вт/см2. В этих условиях р = 4,7. Такому значению параметра р. отвечают на рис. 4 кривые 1В и 2В, при этом кривая 2В соответствует полному пренебрежению вкладом тепловой филаментации, а кривая 1В соответствует учету последнего. Отличие
филаментационной длины {Ьд)1В от филаментационной длины (Ьд)1В в точке минимума составляет 0,9%. Для сравнения на этом же рисунке приведены кривые, отвечающие равновесному распределению с/х = 2-1Аи2А (кривая 2А соответствует полному пренебрежению вкладом тепловой филаментации, а кривая 1А отвечает его учету). В этом случае
тгп(Ьд)1А - тгп(Ьд)2А ^ т1п(Ьд)2А
Сравнение оценок, отвечающих р — 2 и р — 4,7, показывает зависимость вклада тепловой филаментации от степени неравновесности электронного распределения. И ( рассмотренного примера следует, что при увеличении параметра р роль тепловой фи ламентации при оптимальных значениях волновых чисел филаментов к уменьшается, становясь при р < 5 пренебрежимо малой.
Сравним, как меняется порог при уменьшении Ь в зависимости от степени неравно весности распределения электронов
= = 12, pwiii =16. (16)
/ ath,LW
V ath,LW J m=4,7 V ath,LW } м=з>9 V <*th,LW J
Результаты (16) указывают на то, что с увеличением неравновесности распределения электронов, порог филаментационной неустойчивости убывает медленнее с ростом L.
Наконец, изучим как меняется порог при изменении плотности электронов от ггс/10 до пс ~ 1021 см.~3, полагая при этом, что другие параметры имеют вид (13). Тогда имеем р = 4, 7, I ~ 1, 5 мкм, = 1,8, д^ = 0,18 и соответственно = 1,37, А^- = 0,29(^,7/^,7 = 1,99), F(A$) = 0,55, F{A$) = 0,20 и когда р = 2, = 0,13, А(21) 0,07 соответственно F(A^) = 0,11, F(A^) = 0,06, и отношение порогов
/W>\ =28> /ЧмМ =18) (17)
V <*tk,LW J „=4,7, „с V <*th,LW J д=2)Пс
=7? (о^Л =4g (18)
V OLth,^2 /¿(1),Пс \ ath,n=2 /L(2),nc
Сравнение (15) и (18) показывает, что если в условиях п ~ пс/10 порог с увеличением р более резко меняется при больших L, то при п ~ пс порог быстрее меняется при малых L. А сравнение (16) и (17) показывает, что если при п ~ пс/10 порог с увеличением L меняется быстрее в условиях равновесного распределения, то в случае плотной плазмь п ~ пс - порог меняется быстрее в случае сильнонеравновесного распределения.
Согласно результатам работы [2], из-за ограничения электронного теплопереноса в лазерной плазме может быть весьма важен тепловой механизм филаментации. В нас го ящей работе показано, что подавление ограничения электронного .теплопереноса, возни кающее при столкновительном поглощении мощного лазерного излучения и связанное с формированием сильнонеравновесных электронных распределений, приводит к снижению роли тепловой филаментации. В случае поглощения мощного излучения, так же как и в случае классического теплопереноса работы Шмитта [1], доминирует механизм пондеромоторной филаментации, а роль теплового механизма оказывается подавленной. Последнее обстоятельство позволяет с оптимизмом смотреть на выводы работы Шми : та [1], в которой указывается на возможность полного подавления филаментации при использовании современных схем улучшения однородности лазерного излучения.
Авторы выражают признательность А. В. Максимову, указавшему на правильный переход к случаю максвелловского распределения электронов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Schmitt A. J. Phys. Fluids, В 3, 186 (1990).
[2] Ер per lein Е. М., Short R.W. Phys. Fluids, В 4, 2211 (1992).
[3] Максимов А. В., Силин В. П. ЖЭТФ, 103, 73 (1993).
[4] Matte J. P., L а ш о u г е и х М., М ö 1 е г С., et al. Plasma Physics and Controlled Fusion, 30. 1665 (1988).
[5] E p p e r 1 e i n E. M., Short R. W. Phys.Rev., E50, 1697 (1994).
[6] С И л И н В. П. ЖЭТФ, 108, 193 (1995).
[7] О в ч и н н и к о в К. Н., Силин В. П. Физика плазмы, 22, 436 (1996).
Поступила в редакцию 13 января 1997 г.
