Влияние неравномерности распределения фазы поля на круглом отверстии на погрешность дифракционного метода измерения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗЫ ПОЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ НА ПОГРЕШНОСТЬ ДИФРАКЦИОННОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ

А.С. Митрофанов, Г.Д. Фефилов

В дифракционных измерительных преобразователях в качестве источника излучения обычно используют одномодовый He-Ne лазер, генерирующий излучение с длиной волны ^=0.6328 мкм. Излучение лазера, работающего на основном типе колебаний ТЕМ00, характеризуется гауссовым распределением амплитуды поля в поперечном сечении пучка, расходимостью, пространственной и временной функциями когерентности.

Причинами возникновения неравномерности распределения фазы поля в плоскости отверстия являются расходимость лазерного излучения и неточная установка контролируемого объекта в пучке, а именно:

• наклонное расположение контролируемого отверстия относительно плоского волнового фронта падающего излучения, которое ведет, в основном, к изменению фазы в плоскости отверстия по линейному закону (возникновению линейной фазовой погрешности) [1];

• смещение контролируемого отверстия вдоль оптической оси из плоскости перетяжки гауссова пучка (т.е. из плоскости, в которой фронт волны плоский), что ведет к изменению фазы по квадратичному закону (возникновению квадратичной фазовой погрешности) [1].

Рассмотрим подробнее примеры возможного расположения измеряемого объекта в гауссовом пучке.

Если отверстие наклонено под углом 9* к оптической оси, для плоского волнового фронта, функция распределения фазы поля на отверстии имеет вид Y(r)=P-r, а проекция отверстия будет иметь вид эллипса. Размер проекции отверстия на плоскости, нормальной к лучам, в зависимости от угла радиального сечения уменьшается по сравнению с размером контролируемого отверстия от 2a до 2a':

2a'= 2acos9*. (1)

Наименьший размер 2a' проекции отверстия наблюдается в радиальном сечении, перпендикулярном к оси наклона отверстия. Как следствие уменьшения размера проекции отверстия, в соответствии с теоремой о видоизменении дифракционной картины, происходит пропорциональное увеличение размера дифракционных максимумов [6]. Численные значения относительного изменения размера проекции отверстия в зависимости от угла его наклона 9* относительно оптической оси от 1° до 20° принимают значения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1. Относительное изменение размера проекции отверстия от угла

наклона

9* 1° 2° 3° 4° 8° 12° 16° 20°

а '¡а 0.9998 0.9994 0.9986 0.9975 0.9902 0.9781 0.9613 0.9397

В случае наклонного падения лазерного пучка под углом 9* на отверстие линейное изменение фазы в плоскости отверстия вызывает смещение оси диаграммы направленности и изменение размера проекции отверстия. Координата центра главного максимума соответствует направлению

9 = агсБт-.

2па

Если отверстие расположено перпендикулярно оптической оси, но смещено из плоскости перетяжки гауссова пучка вдоль оптической оси, на него падает излучение со сферическим волновым фронтом. Для сферического волнового фронта функция распределения фазы поля на отверстии имеет вид х¥(г)=в-г2, где

Р =

2пк

2п-(я - Л )=-р2)-К)

1-К ).

(2)

Здесь в - отклонение фазы на краю отверстия (или пучка); к - линейный размер, соответствующий отклонению фазы на краю отверстия (или пучка) (рис. 1); К - радиус кривизны волнового фронта.

Рис. 1. Отклонение фазы на краю отверстия

Кривизна волнового фронта гауссова пучка достигает максимального значения на расстоянии г = 2§ от плоскости перетяжки [2]:

Кт1П = г-

( г2 > 1 + ^ ,

V ^

= 2

(3)

где г0 = ■

п-ш

X

конфокальный параметр гауссова пучка, ш0 - радиус перетяжки

гауссова пучка.

Следует отметить, что конфокальный параметр пучка характеризует лишь излучение на основной моде ТЕМоо. Исходя из рабочего диапазона измерений 5-500 мкм, выберем размер перетяжки гауссова пучка Шо=1000 мкм (необходимый размер

перетяжки можно обеспечить с помощью телескопической системы).

Подставляя значения X и Ш0 в формулу (3), находим, что гауссов пучок имеет

минимальный радиус кривизны Ктш » 10 м на расстоянии г « 5 м от плоскости перетяжки. Несмотря на то, что погрешность установки объекта, равная пяти метрам, маловероятна, приведем оценочный расчет максимального отклонения волнового фронта пучка от плоского на краю отверстия (ра) и на краю пучка (рш) для значения

радиуса

кривизны

Кт

10 м, используя выражение (2). р а = .^(я2 + а2) - К = 1.58-10-7 п,

вш =

X

2-п

2 - К = 3 -17 -10-7 п,

где

ше

Шг

(1 + )

гА

радиус гауссова пучка в сечении с

координатой г = г0 [2].

2

2

Результаты расчетов показывают, что неточность установки измеряемого объекта приводит к незначительному отклонению волнового фронта от плоского на краю отверстия.

В дифрактометрии к наиболее перспективным методам получения информации о геометрических параметрах объекта следует отнести:

- метод, основанный на измерении линейного (углового) размера между экстремальными точками дифракционной картины [3];

- метод, основанный на анализе сигнала ^ (и) в фазовом пространстве [4]. Сигнал

Ig (и) получается в результате свертки оптимальной весовой функции g(u) и функции

1(и), описывающей распределение интенсивности в дифракционной картине, что позволяет выровнять интенсивность дифракционных максимумов [5].

Рассмотрим влияние величины параметра в на изменение размера между экстремальными точками в дифракционной картине и сигнале lg (и), а также на

изменение значения корня квадратного из отношения производных нечетных порядков сигнала I g (и).

При симметричном распределении фазы поля в плоскости отверстия относительно его центра и равномерном и нормированном к единице распределении амплитуды поля выражение, описывающее распределение амплитуды в дифракционной картине Фраунгофера, записывается в виде [1]:

1

0(и) « 2па21 г/0 (и, г) ехр(-2 )ёг , (4)

0

где /0 - функция Бесселя нулевого порядка.

На практике отклонение волнового фронта от плоского невелико, поэтому может быть применен приближенный метод вычисления интеграла (4). Изменяя пределы интегрирования в выражении (4) на ±1 и разлагая экспоненциальный множитель ехр(-у'Рг2) в ряд Тейлора, получим:

О(и) « па2£ (~7) Р \г(2к+1)/0(и,г)йг . (5)

к=0 к! -1

Интеграл в выражении (5) можно выразить через производные от функции О0(и) = ^ (6)

и

описывающей распределение амплитуды в дифракционной картине от круглого отверстия при облучении его монохроматическим пучком света с плоским волновым фронтом, тогда

0(ипа2£|^о(и)|. (7)

Оставляя только первые два члена, получим выражение

0(и ) = па2 [[о (и)- ]вО0 (и)] . (8)

Найдем ["(и), используя рекуррентные соотношения для дифференцирования функции Бесселя [6,7]:

а [ /пЛ х)] = хп+ / (х). (9)

ах

После интегрирования для п = 0 получим

'х /0 (х ' )х' = х/1 (х), (10)

тогда

й й f1х(и)^ й fи•

(и) = Со(и) = "Н -J- 1="Н -2-

йи йи ^ и ) йи ^ и

й г .1 1 2и • 1,(и) и • J0(u) 21,(и) 10(и) 21,(и) = —[и • ■ - - -

йи и

(и )=й [ (и )]=-%-йи йи

й

и • йи

[[ о(и)]-

й йи

1 о(и)

ии 10 (и ) 211 (и )

и

й йи

2й

и • йи

[и • 11 (и)] +

и10 (и )

6и11 (и )

и

- 2-й.

йи

и

и11 (и )

и

11(и) 10(и ) 210(и) + 611(и)

310 (и) + 611 (и) 11 (и)

и и и и и и и

Подставляя выражение для G"(u) в (8), получим окончательное аналитическое выражение, описывающее распределение интенсивности в дифракционной картине при симметричном изменении фазы поля по отверстию по квадратичному закону:

4 2

I(и) = а п

11(и )

+ в2

611 (и) 11 (и) 310 (и )

и

(11)

Выражение (11) использовано для расчетов на ЭВМ таблично заданной функции, моделирующей дифракционное распределение интенсивности при квадратичном изменении величины отклонения фазы поля в от 0 до 0.3п на отверстии круглой формы.

Относительное изменение линейных размеров Ь;,к между экстремумами в дифракционной картине и сигнале ^ (и, ф), рассчитывалось по формуле

5 =

Ь* - Ь /,к ¡,к

г,к

где Ьгкк - линейный размер между заданными экстремумами в дифракционной картине или сигнале ^ (и) при облучении отверстия пучком с равномерным распределением

амплитуды и фазы поля, Ь*к - линейный размер между заданными экстремумами в

дифракционной картине или сигнале ^ (и) при облучении отверстия пучком с

квадратичным распределением фазы поля.

Относительное изменение корня квадратного из отношения производных нечетных порядков сигнала ^ (и) рассчитывалось по формуле

5 =

да (бш2 (и))"

К (и) \ (8Ш2(и))'

V

(бш2 (и))''

(8Ш2(и))'

где и =2паш/Х - период функции I^ (и) .

Численные расчеты показали, что при достаточно большом отклонении сферического волнового фронта от плоского (в > 0.2п) происходит существенное изменение амплитудного распределения во всех порядках дифракционной картины (рис. 2) и сигнала !ё(и) (рис. 3), заполняются минимумы дифракционного распределения (появляется постоянная составляющая), нарушается выравнивание интенсивности максимумов в сигнале !ё(и). Геометрические параметры дифракционной

2

и

и

2

и

2

2

и

и

и

картины заметно изменяются в области центральных дифракционных порядков, происходит смещение положения точек минимальной и максимальной интенсивности в сторону центра. Последнее вызывает изменение размера дифракционных лепестков: размер центрального лепестка увеличивается, а боковых уменьшается, причем с увеличением номера дифракционного лепестка влияние кривизны волнового фронта на изменение размера дифракционных лепестков и периодов сигнала 1%(и) уменьшается.

и, в ед. п

Рис. 2. Видоизменение дифракционной картины при наличии фазовой погрешности р: 1 - при р=0; 2 - при р=0.1п; 3 - при р=0.2п; 4 - при р=0.3п

При реальной величине расходимости лазерного излучения изменение линейного

размера дифракционных максимумов, периодов сигнала 1%(и) и изменение отношения

производных нечетных порядков сигнала I^ (и) составляет тысячные доли процента,

что оказывает незначительное влияние на погрешность рассмотренных дифракционных

методов измерения.

Литература

1. Антенны сантиметровых волн. Пер. с англ. / Под ред. Я.Н. Фельда. М.: Советское радио, 1950. 319 с.

2. Климков Ю.М. Основы расчета оптико-электронных приборов с лазерами. М.: Советское радио, 1978.

3. Крылов К.И., Митрофанов А.С., Султанов Р.В., Тарлыков В.А. Способ измерения размеров. А.с. № 372429 // БИ. 1983. № 35.

4. Соколов В.И., Фефилов Г.Д. Дифракционный способ измерения линейного размера изделия и устройство для его осуществления А.с. № 1469352. // БИ 1989. № 12.

5. Фефилов Г.Д. Дифракционный способ измерения линейного размера изделия и устройство для его осуществления А.с. №1357701 // БИ. 1987. № 45.

6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.

7. Справочник по специальным функциям. Пер. с англ. / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979.

и, в ед. п

Рис. 3. Видоизменение сглаженного сигнала при наличии фазовой погрешности в: 1 - при в=0; 2 - при в=0.1п; 3 - при в=0.2п;

4 - при в=0.3п