CC BY
34
ВЕСТНИК лтчпл'».
10/2013
УДК 624.074.4
Р.Ф. Мухутдинов, Ф.Г. Шигабутдинов
ФГБОУВПО «КазГАСУ»
ВЛИЯНИЕ МЕСТНЫХ ДЕФЕКТОВ НА ВОЛНООБРАЗОВАНИЕ В ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ
Геометрически нелинейные дифференциальные уравнения продольно-поперечных движений тонкой ортотропной оболочки типа Тимошенко, учитывающие сдвиг и инерцию вращения, используются для анализа продольно-поперечных движений цилиндрических оболочек с локальными изменениями толщины при продольных ударах абсолютно твердым телом. Результаты решений представлены в виде двумерных и трехмерных графиков, отображающих картину волнообразования по всей поверхности оболочки.
Ключевые слова: ортотропный, цилиндрическая оболочка, изменение толщины, продольный удар.
Обзор работ в области динамического поведения тонкостенных конструкций до 1972 г. можно найти в [1]. Обстоятельный обзор более поздних работ с оценкой эффективности и рекомендациями по применению численных методов приведен в [2]. Из работ, имеющих непосредственное отношение к теме данной статьи, отметим исследования [3—6], в которых с использованием методом конечных разностей рассматривалось динамическое выпучивание изотропных тонких цилиндрических оболочек. В современных строительных конструкциях и машиностроительной промышленности широко применяются композитные материалы, которые в большинстве своем являются ортотропны-ми. Этим вызвана необходимость исследования поведения элементов, изготовленных из этих материалов при ударном воздействии. В этом направлении выполнены работы [7—11]. В [3—9] рассматривались только оболочки постоянной толщины. Поведение ортотропных оболочек с подкрепляющими ребрами жесткости рассматривались в [10—12] и в других работах авторов [13—18].
Постановка задачи. В данной работе исследуется влияние локальных изменений толщины ортотропных цилиндрических оболочек при продольном ударе абсолютно твердым телом. Появление таких «нерегулярностей» в геометрии может быть вызвано, как дефектами изготовления, так и техническими требованиями.
В первом случае зона оболочки с измененной толщиной будет иметь малые размеры, какие только позволяет рассмотреть использованный метод конечных разностей (МКР), во втором случае приходится говорить об оболочке с переменной толщиной.
Итак, пусть имеется круговая цилиндрическая оболочка (рис. 1) постоянной толщины, по одному из торцов которой в начальный момент времени производится удар телом, движущимся вдоль продольной оси оболочки. Для определенности будем предполагать, что удар наносится по левому торцу оболочки.
Система координат Oxyz, изображенная на рис. 1, имеет начало на торце, по которому наносится удар. Ось Ох направлена вправо, параллельно оси оболочки, положительное направление оси Oz совпадает с направлением внешней нормали к поверхности оболочки.
Продольное сечение оболочки с одним из вариантов расположения «дефектов» показано на рис. 2. Предполагается, что изменение толщины оболочки в зоне «дефектов» происходит без скачков, при составлении разностной схемы геометрия «дефектов» описывается линейными функциями. Рассматриваются только начальные стадии поперечных движений оболочки, когда движения оболочки можно считать осесимметричным. Материал оболочки будем предполагать неограниченно упругим, чтобы иметь возможность провести исследование при значительных скоростях нагружения. Главные оси ортотропии совпадают с направлением главных кривизн оболочки.
Рис. 1. Общий вид оболочки
Рис. 2. Продольное сечение оболочки
Дифференциальные уравнения движения тонкой оболочки типа Тимошенко, получены из уравнений К.З. Галимова [19]. Уравнения геометрически нелинейные, учитывают переменность толщины, сдвиг и инерцию вращения элемента оболочки и описывают осесимметричные движения.
—11 = ph ( х) и; дх
-{N + Tu dW 1 + ^ = ph(х)w;
дхI 11 дх) R R v '
дМ _N =Р(h(х))3
у.
(1)
дх 12
Соотношения физического закона упругости для материала оболочки приняты в виде
Ги = КХН (х) (8^282); Т22 = К2Ъ (х )(&2 + ); (2)
М = ЩХ^ х; " = *^ (х )£+У]; (3)
K =
E
1 -V i v2
; K2 =
E„
1-V1 V2
ди 1 (дм ^ w ду о
1 дх 21дх] ; 2 R' X1 дх'
(4)
(5)
ВЕСТНИК лтчпл'».
10/2013
Все обозначения общепринятые: Т Т22 — усилия в серединной поверхности оболочки; Ы — изгибающий момент в серединной поверхности оболочки; N — перерезывающая сила; к2 — коэффициент сдвига; С13 — модуль сдвига; у — угол поворота нормали к срединной поверхности, вокруг касательной к окружности; и, V, V — перемещения точек поверхности приведения оболочки; е1 , в2 — относительные деформации, соответствующие введенной системе координат. Рассматривались цилиндрические оболочки, левый ударяемый край которых опирается на шарнирно подвижную опору, а правый край жестко заделан. В начальный момент оболочка считается недеформированной. Система уравнений (1)—(5) решалась методом конечных разностей.
Решение задачи и обсуждение результатов. Уравнения (1) и соотношения (2)—(5) записывались в виде явной конечно-разностной схемы. Из требований устойчивости разностной схемы и минимальности времени счета были выбраны значения безразмерных шагов сетки: 0,01 — по пространственной координате и 0,0025 — по временной координате. Для оценки устойчивости разностной схемы проводились расчеты при различных шагах по временной координате: 0,005; 0,0025; 0,00125 и фиксированном шаге 0,01 — по пространственной координате. Оптимальным оказалось соотношение 0,01 и 0,0025. С той же целью при тестировании разностной схемы и метода решения счет проводился до значений времени, соответствующего времени 24 пробегов продольной волны вдоль оболочки. Устойчивость счета присутствовала во всех случаях. Были проделаны расчеты с увеличением скорости удара в предположении о бесконечной упругости материала, при этом получены прогибы равные 1,5...2 толщинам оболочки. И при изменении скорости удара счет оставался устойчивым. Некоторая часть результатов вычислений приведена на рис. 3—11. На всех рисунках показано расположение «дефектов» на поверхности оболочки. Размеры рассматриваемых оболочек: длина равна 2 м, радиус срединной поверхности оболочки равен 1 м. Скорость удара во всех приведенных вариантах счета принималась равной 5 м/с. Отношение модулей упругости Е2/ Е1 = 0,5; отношение модуля сдвига к большему из модулей упругости было равно G/E1 = 0,4.
Отношение массы оболочки к массе ударяющего тела принималось равным 0,1. На графиках прогибы отнесены к толщине оболочки вне зоны «дефекта» к = к0 = 0,03 м. Безразмерное время Т=?/?0 получено делением реального времени I, истекшего с момента удара, на время ¿0, соответствующее времени однократного пробега продольной волны вдоль длины оболочки. Штрих пунктирными линиями для сравнений на рисунках показаны формы движения той же оболочки без «дефектов», в те же указанные на рисунках моменты времени. При этом меньшему моменту времени соответствует нижележащий график.
На рис. 3 показаны формы движения оболочки к моментам времени Т = 3. Здесь волна движется от ударяемого торца к заделанному торцу оболочки. «Дефект» примыкает к левому торцу оболочки, по которому был нанесен удар, минимальная толщина оболочки в этом месте составляет 0,01 м, т.е. треть от толщины оболочки. По графикам видно, что прогибы концентрируются в окрестности «дефект», а в других удаленных сечения оболочка ведет себя как оболочка постоянной толщины. Это характерно для класса динамических за-
дач этого типа. С увеличением времени (рис. 4, Т = 4) прогибы продолжают расти в этой же области. На рис. 5, 6 показан случай, когда «дефект» расположен посередине длины оболочки. Размеры «дефектной зоны» такие же, как и в предыдущем случае. Здесь интересно влияние граничных условий на форму волнообразования (слева — шарнир, справа — заделка).
Рис. 3. Прогибы оболочки к мо- Рис. 4. Прогибы оболочки к мо-
менту Т = 3 менту Т = 4
Рис. 5. Прогибы оболочки к мо- Рис. 6. Прогибы оболочки к мо-
менту Т = 3 менту Т = 4
Рис. 7—9 иллюстрируют влияние минимальной толщины в зоне дефекта на поведение оболочки при ударе. Видно, что при некоторых толщинах в зависимости от места положения «дефекта» его влияние практически не проявляется. Влияние граничных условий по-разному сказывается при различном положении «дефекта» (сравним рис. 7—9).
Пространственная картина выпучивания представлена на рис. 10. Здесь по оси Ох отложены координаты шести поперечных сечений оболочки. Значение х = 0 соответствует положению ударяемого торца, безразмерное значение х = 1,0 соответствует заделанному торцу оболочки. По оси Оу отложено безразмерное время Т, которое вычисляется как отношение физического времени к промежутку t0, за который продольная волна один раз пробегает вдоль оболочки. По оси Oz откладываются безразмерные прогибы оболочки. Пространственное отображение поверхности прогибов позволяет проследить изменение прогибов в конкретных сечениях в зависимости от времени Т. Для этого достаточно рассечь поверхность прогибов плоскостью х = со^^ перпендикулярной к координатной плоскости ОхТ.
ВЕСТНИК
МГСУ-
10/2013
Рис. 7. Влияние величины дефекта
Рис. 8. Влияние величины дефекта
Рис. 9. Влияние величины дефекта
Рис. 10. Картина волнообразования
Краткие выводы. Неоднородность напряженного состояния, вызванная волновым процессом распространения деформаций по длине, существенным образом влияет на картину выпучивания оболочек. Формы волнообразования отличаются от волнообразования в статике. Изменение геометрии распределения толщины по длине оболочки требует нового расчета в каждом случае.
Библиографический список
1. ВольмирА.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М. : Наука, 1972. 432 с.
2. БаженовВ.Г., ЧекмаревД.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. № 5. С. 156—173.
3. Борисенко В.И., Клокова А.И. Закритическая деформация цилиндрической оболочки при ударе // АН УССР. Прикладная механика. 1966. Т. 2. Вып. 10. С. 29—35.
4. Гордиенко Б.А. Экспериментальное исследование поведения стержней и цилиндрических оболочек при ударе // Материалы к VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М. : Наука, 1969. С. 190—193.
5. Гордиенко Б.А. О машинном решении задач ударного выпучивания упругих систем методом конечных разностей // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 3. С. 143—148.
6. Кийко И.А. Продольный удар по тонкой цилиндрической оболочке // Вестник МГУ Математика и механика. 1972. № 3. С. 118—121.
7. Гордиенко Б.А. Динамика ортотропных цилиндрических оболочек при осевом ударе : доклад на III Всесоюз. конф. по механике полимеров, Рига, 1976 г. // Механика полимеров. 1977. № 5. С. 892—895.
8. Gordienko B.A. Analysis of impact deformation of corrugated and anisotropic shells. Rosprawy inzynierskie (Engineering Transactions). Warszawa, Panstowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, vol. 24, book. 4, pp. 809—818.
9. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Определение критических усилий потери устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии силами ударного типа // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2011. № 2. С. 85—92.
10. Шигабутдинов Ф.Г., Мухутдинов Р.Ф. Распространение упругих волн от продольного удара по оболочкам переменной толщины с нулевой гауссовой кривизной серединной поверхности // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 4. Ч. 5. С. 2374—2376.
11. Шигабутдинов Ф.Г., Мухутдинов Р.Ф. Влияние несимметрично расположенных шпангоутов на поперечное волнообразование ортотропных цилиндрических оболочек конечной длины при продольном ударе // Аналитическая механика, устойчивость и управление : тр. X Междунар. Четаевской конф., Казань, 12—16 июня 2012 г. Т. 1. Аналитическая механика. Казань : КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева, 2012. С. 521—528.
12. Мухутдинов Р. Ф. Влияние механических характеристик материала на выпучивание ортотропных цилиндрических оболочек переменной толщины при продольном ударе // Прикладная математика и механика : сб. науч. тр. Ульяновск : УГТУ, 2011. С. 410—416.
13. Witmer E.A., Balmer H.A., Leech J.W., Pian T.H. Large dynamic deformation of beams, rings, plates and shells. AIAA Journal, 1963, vol. 1, no. 8, pр. 1848—1857.
14. Zienkiewicz O.C., Too J., Taylor R.L. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1971, vol. 3, no. 2, pp. 275—290.
15. SchmittA.F. Dynamic buckling tests of aluminum shells. Aeronautical Engineering. Review. 1956, vol. 15, no. 9, pp. 54—58.
16. Roth R.S., Klosner J.M. Nonlinear response of cylindrical shells subjected to dynamic axial loads. AJAA Journal. 1964, vol. 12, № 10, pp. 1788—1794.
17. Lindberg H.E. Impact Buckling of a Thin Bar. J. of Appl. Mech. 1965, vol. 32, no. 2, pp. 315—322.
18. Lindberg H.E., Herbert R.E. Dynamic Buckling of a Thin Cylindrical Shell Under Axial Impact. J. of Appl. Mech. 1966, vol. 33, № 1, pp. 105—112.
19. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / К.З. Галимов, Ю.П. Артюхин, С.Н. Карасев и др. ; под ред. К.З. Галимов. Казань : Изд-во КГУ, 1977. С. 3—132.
Поступила в редакцию в апреле 2013 г.
Об авторах: Мухутдинов Рустем Фаритович — старший преподаватель кафедры теоретической механики, ФГБОУ ВПО «Казанский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «КазГАСУ»), Республика Татарстан, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1, ktm80@yandex.ru;
Шигабутдинов Феликс Галлямович — кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, ФГБОУ ВПО «Казанский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «КазГАСУ»), Республика Татарстан, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1, ktm80@yandex.ru.
Для цитирования: Мухутдинов Р.Ф., Шигабутдинов Ф.Г. Влияние местных дефектов на волнообразование в ортотропных цилиндрических оболочках конечной длины при продольном ударе // Вестник МГСУ 2013. № 10. С. 60—67.
BECTHMK ,n;on<n
10/2013
R.F. Mukhutdinov, F.G. Shigabutdinov
THE INFLUENCE OF LOCAL DEFECTS OF WAVE GENERATION IN FINITE LENGTH ORTHOTROPIC CYLINDRICAL SHELLS EXPOSED TO THE LONGITUDINAL IMPACT
In this paper, we study the effects of local variations in the thickness of orthotropic cylindrical shells exposed to the longitudinal impact by a perfectly rigid body. The appearance of these "irregularities" in the geometry can be caused by manufacturing defects and by technical requirements. In the first case, the area having shell thickness variation will be small. It can be considered using the finite-difference method. In the second case, we should deal with variable shell thickness.
A Timoshenko type differential equation of the thin shell motion is used in the analysis of longitudinal and transverse motions of cylindrical shells with local variations in their thickness, if exposed to the longitudinal impact by a perfectly rigid body. Geometrically nonlinear equations take account of the thickness variation, the shift and rotatory inertia of the shell element. Equations of motion are presented as explicit finite-difference pattern. Calculations were stable in all cases. Calculations were carried out with account for the increasing impact velocity on the assumption of the infinite elasticity of the material, thus, deflections, equal to the two thicknesses of the shell, were obtained.
The results are presented in the form of solutions of two-dimensional and three-dimensional graphs that show a picture of a wave over the entire surface of the shell. All the figures show the location of "defects" on the surface of the shell.
Heterogeneity of the stress state, caused by the process of propagation of waves of deformations in length, influences significantly the pattern of the buckling of shells. The shapes of wave formation differ from wave formation patterns in statics. The change in the geometry of thickness distribution along the shell length requires new calculations for each specific case.
Key words: orthotropic, cylindrical shell, variations in thickness, longitudinal impact.
References
1. Vol'mir A.S. Nelineynaya dinamika plastinok i obolochek [Nonlinear Dynamics of Plates and Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1972, 432 p.
2. Bazhenov V.G., Chekmarev D.T. Chislennye metody resheniya zadach nestatsionar-noy dinamiki tonkostennykh konstruktsiy [Numerical Techniques for Solving Problems of Unstable Dynamics of Thin-walled Structures]. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela [Journal of Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 2001, no. 5, pp.156—173.
3. Borisenko V.l., Klokova A.I. Zakriticheskaya deformatsiya tsilindricheskoy obolochki pri udare [Supercritical Deformation of a Cylindrical Shell Exposed to an Impact]. AN USSR. Prikladnaya mekhanika [Academy of Sciences of the USSR. Applied Mechanics]. 1966, vol. 2, no.10, pp. 29—35.
4. Gordienko B.A. Eksperimental'noe issledovanie povedeniya sterzhney i tsilin-dricheskikh obolochek pri udare [Experimental Study of the Behavior of Rods and Cylindrical Shells Exposed to an Impact]. Materialy k VII Vsesoyuznoy Konferentsii po teorii obolochek i plastinok. Dnepropetrovsk, 1969 [Proceedings of the 7th All-Union Conference on the Theory of Shells and Plates. Dnepropetrovsk, 1969]. Moscow, Nauka Publ., 1969, pp. 190—193.
5. Gordienko B.A. O mashinnom reshenii zadach udarnogo vypuchivaniya uprugikh sistem metodom konechnykh raznostey [On the Computer Solution of Problems of Impact Buckling of Elastic Systems Using the Finite Differences Method]. Izvestiya AN USSR. Mekhanika tverdogo tela [Journal of Academy of Sciences of the USSR. Mechanics of Solids]. 1970, no. 3, pp. 143—148.
6. Kiyko I.A. Prodol'nyy udar po tonkoy tsilindricheskoy obolochke [Longitudinal Impact on a thin Cylindrical Shell]. Vestnik MGU. Matematika i mekhanika [Proceedings of Lomono-sov Moscow State University. Mathematics and Mechanics]. 1972, no. 3, pp. 118—121.
7. Gordienko B.A. Dinamika ortotropnykh tsilindricheskikh obolochek pri osevom udare: doklad na III Vsesoyuznoy Konferentsii po mekhanike polimerov, Riga, 1976 [The Dynamics of Orthotropic Cylindrical Shells Caused by an Axial Impact]. Mekhanika polimerov [Mechanics of Polymers]. 1977, no. 5, pp. 892—895.
8. Gordienko B.A. Analysis of Impact Deformation of Corrugated and Anisotropic Shells. Rosprawy Inzynierskie (Engineering Transactions). Warszawa, Panstowe Wydawnictwo Nau-kowe, 1976, vol. 24, book 4, pp. 809—818.
9. Shigabutdinov F.G., Khamitov T.K. Opredelenie kriticheskikh usiliy poteri ustoychivosti uprugikh tsilindricheskikh obolochek pri prodol'nom szhatii silami udarnogo tipa [Identification of Critical Efforts of Stability Loss in respect of Elastic Cylindrical Shells Exposed to Axial Compression by the Impact Type Force]. Vestnik KGTU imeni A.N. Tupoleva [Proceedings of Kazan State Technical University named after Andrey N.Tupolev]. 2011, no. 2, pp.85—92.
10. Shigabutdinov F.G., Mukhutdinov R.F. Rasprostranenie uprugikh voln ot prodol'nogo udara po obolochkam peremennoy tolshchiny s nulevoy gaussovoy kriviznoy seredinnoy poverkhnosti [Propagation of Elastic Waves Caused by the Longitudinal Impact along Variable Thickness Shells with Zero Gaussian Curvature of the Median Surface]. Vestnik Nizhegoro-dskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Proceedings of Lobachevsky Nizhni Novgorod State University]. 2011, vol. 4, no. 5, pp. 2374—2376.
11. Shigabutdinov F.G., Mukhutdinov R.F. Vliyanie nesimmetrichno raspolozhennykh shpangoutov na poperechnoe volnoobrazovanie ortotropnykh tsilindricheskikh obolochek konechnoy dliny pri prodol'nom udare [The Influence of Asymmetrical Rings on Transverse Wave Generation in respect of Finite Length Orthotropic Cylindrical Shells Exposed to a Longitudinal Impact]. Analiticheskaya mekhanika, ustoychivost' i upravlenie: trudy X Mezhdun-arodnoy Chetaevskoy konferentsii, Kazan, 12—16 iyunya 2012 goda. T. 1. Analiticheskaya mekhanika. Kazan [Analytical Mechanics, Works of the 10th International Chetaev Conference, June 12-16, 2012]. Kazan, KNITU-KAI Publ., 2012, pp. 521—528.
12. Mukhutdinov R.F. Vliyanie mekhanicheskikh kharakteristik materiala na vypuchivanie ortotropnykh tsilindricheskikh obolochek peremennoy tolshchiny pri prodol'nom udare [Influence of Mechanical Characteristics of the Material on the Buckling of Orthotropic Cylindrical Shells Having Thickness Variations in case of a Longitudinal Impact]. Prikladnaya matematika i mekhanika: sbornik nauchnykh trudov. Ulyanovsk [Applied Mathematics and Mechanics: Collection of Research Works. Ulyanovsk]. UGTU Publ., 2011, pp. 410—416.
13. Witmer E.A., Balmer H.A., Leech J.W., Pian T.H. Large Dynamic Deformation of Beams, Rings, Plates and Shells. AIAA Journal, 1963, vol. 1, no. 8, pp. 1848—1857.
14. Zienkiewicz O.C., Too J., Taylor R.L. Reduced Integration Technique in General Analysis of Plates and Shells. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1971, vol. 3, no. 2, pp. 275—290.
15. Schmitt A.F. Dynamic Buckling Tests of Aluminum Shells". Aeronautical Engineering Review. 1956, vol.15, no. 9, pp. 54—58.
16. Roth R.S., Klosner J.M. Nonlinear Response of Cylindrical Shells Subjected to Dynamic Axial Loads. AJAA Journal. 1964, vol. 12, no. 10, pp. 1788—1794.
17. Lindberg H.E. Impact Buckling of a Thin Bar. J. of Appl. Mech. 1965, vol. 32, no. 2, pp. 315—322.
18. Lindberg H.E., Herbert R.E. Dynamic Buckling of a Thin Cylindrical Shell Under Axial Impact. J. of Appl. Mech. 1966, vol. 33, № 1, pp. 105—112.
19. Galimov K.Z, Artyukhin Yu.P., Karasev S.N. Galimov K.Z., editor. Teoriya obolochek s uchetom poperechnogo sdviga [Theory of Shells in Light of Transverse Shear]. Kazan, KGU Publ., 1977, pp. 3—132.
About the authors: Mukhutdinov Rustem Faritovich — Senior Lecturer, Department of Theoretical Mechanics, Kazan' State University of Architecture and Civil Engineering (KazSUACE), 1 Zelenaya st., Kazan', Republic of Tatarstan, 420043, Russian Federation; +7 (843) 510-47-91; ktm80@yandex.ru;
Shigabutdinov Feliks Gallyamovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics, Kazan State University of Architecture and Civil Engineering (KazSUACE), 1 Zelenaya st., Kazan, Republic of Tatarstan, 420043, Russian Federation; +7 (843) 510-47-91; ktm80@yandex.ru.
For citation: Mukhutdinov R.F., Shigabutdinov F.G. Vliyanie mestnykh defektov na volnoobrazovanie v ortotropnykh tsilindricheskikh obolochkakh konechnoy dliny pri prodol'nom udare [The Influence of Local Defects of Wave Generation in Finite Length Orthotropic Cylindrical Shells Exposed to the Longitudinal Impact]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 60—67.
