CC BY
25
УДК 539.3
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-4-65-74
ВЛИЯНИЕ МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ И ТИПА ОПОРЫ НА КРИТИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
А.А. Саакян
Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, Ереван, Республика Армения
Аннотация
Рассмотрена задача устойчивости прямолинейного стержня, закрепленного на одном конце и сжимаемого на другом конце центральной осевой нагрузкой, при наличии дополнительной опоры. Для трех видов закрепления конца стержня (шарнирное, жесткое и скользящее, в перпендикулярном к оси стержня направлении) решена задача устойчивости стержня под воздействием как консервативной сжимающей силы, так и следящей силы. Предположено, что в некоторой точке стержня есть точечная опора, которая может быть как шарнирного типа, так и типа скользящей, в направлении оси стержня, заделки. Получены зависимости критической сжимающей нагрузки от места расположения дополнительной опоры и найдены точки приложения опоры, когда критическая нагрузка принимает максимальные значения
Ключевые слова
Стержень, устойчивость, промежуточная опора, консервативная нагрузка, следящая нагрузка
Поступила в редакцию 07.02.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
Введение. Задача устойчивости центрально сжатого упругого стержня была сформулирована и решена еще в XVIII в. Л. Эйлером. В последние десятилетия интерес к этой задаче усилился ввиду широкой ее распространенности [1]. Из множества работ, в той или иной мере связанных с устойчивостью тонкого стержня, отметим, в частности, работы в области биомеханики [2, 3], в микроэлектронике [4, 5] и в инженерии [6-8].
Задачи оптимизации устойчивости сжатого упругого стержня по критерию минимального веса исследованы достаточно полно [9]. Задачи оптимизации на основе определения места расположения опоры рассмотрены в работах [10, 11]. Решение задачи устойчивости закрепленного по концам двухкомпонентного составного стержня под действием осевой сосредоточенной силы, приложенной в точке раздела материалов, а также зависимость критической силы от отношения изгибных жесткостей составных частей стержня даны в работе [12].
В настоящей работе проведено исследование характера изменения критической нагрузки в зависимости от места расположения и типа опоры. Установлено, что в случае опоры шарнирного типа значение критической силы по мере удаления опоры от закрепленного конца монотонно возрастает, в то время как в
случае опоры типа скользящей заделки это значение имеет максимум. Найдены точки приложения дополнительной опоры, когда значение критической силы достигает максимума, который существенно превосходит соответствующее значение в первом случае.
Постановка задачи. Пусть стержень постоянного поперечного сечения, закрепленный на одном конце, сжимается центральной силой Р. Предположим возможность установки точечной опоры, ограничивающей поперечное смещение стержня в этой точке, которая может быть шарнирного типа (опора а) или типа скользящей заделки (опора Ь) (рис. 1).
№
¥
i^ÜE.
ы
-SZ-"Ж"
Рис. 1. Схема установки точечной опоры
При заданной длине стержня l требуется определить местоположение опоры, т. е. найти множитель 0 <S< 1, при котором критическая нагрузка, приводящая к потере устойчивости, будет наибольшей.
Уравнение устойчивости для каждой части стержня имеет вид [13]
d4WiM + а2 =о, а2 =Р_, (1)
dx4 dx2 EJ
где w(x) — поперечное перемещение (прогиб), при i = 1 на отрезке 0 < x <5l, а при i = 2 на отрезке 5l < x < l; P — сжимающая нагрузка; E — модуль упругости материала стержня; J — наименьший момент инерции поперечного сечения стержня.
Предположим, что на опоре, т. е. в точке раздела x = 5l частей стержня, выполняются условия
_ dw1 dw2 d2w1 d2w2
w1 = 0, w2 = 0, -=-, —— = ——, x = 5l опора а (2)
dx dx dx dx
или
W1 = 0, w2 = 0, dW1 = 0, dW2 = 0, x = 5l опора b. (3)
dx dx
Общее решение уравнения (1) имеет вид
wi = Ai + Bix + Ci sin ax + Di cos ax, i = 1,2.
Раздельно рассмотрим каждый случай закрепления конца стержня, учитывая при этом тип опоры и характер сжимающей силы.
Шарнирное закрепление. Удовлетворяя условиям шарнирного закрепления конца
wi = о, ^ = 0, х = 0 (4)
dx
и условиям непрерывности (2), в случае опоры a имеем
wi = Ci I sin ax —X sin a5l |;
c _ C 1 61 xJ (5)
w2 =-(sin a6l cos ax -a6l + ax)--C1 sin a6l + C2 sin ax.
cos a6l 6l
Произвольные постоянные C1 и C2 определяют из граничных условий на конце x = l. Поскольку этот конец свободен относительно перемещений и подвержен действию лишь осевой нагрузки, запишем условия, налагаемые на изгибающий момент и перерезывающую силу:
d2W2 _ d3W2 dW2 , .
——- = 0; ——- + к—— = о, x = l. (6)
dx2 dx3 dx
При к = a2 будем иметь случай консервативной нагрузки, а при к = 0 — следящей нагрузки.
Подставляя второе из представлений (5) в условия (6), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений
tg a6l cos alC1 -(tg a6l cos al - sin al) C2 = 0;
Ci Í(a2 -K)tg a6l sin al + J-i__])+
I Lcosa5l a5l J)
+ C2 ^-(a2-к—g a5l sin al + cos al)-
[ cos a5lj
Приравняв детерминант матрицы приведенной выше системы к нулю, получим следующее трансцендентное уравнение для определения критической нагрузки, приводящей к потере устойчивости в зависимости от местоположения опоры:
/ . ч sin a5l sin a(l -5)l -a5l sin al , ч
-(a2 -K)tga5l + к-6-L--= 0. (7)
a5l cos a5l
В случае консервативной нагрузки (=a2) уравнение (7) примет вид
aSl sin al - sin aSl sin a(l-S)) = 0, (8)
а в случае следящей нагрузки (к = 0) — вид
tg aSl = 0. (9)
Когда имеем опору b, решения для разных частей стержня не связываются друг с другом и при удовлетворении условиям (3), (4) и (6) для каждой части стержня записываем собственное трансцендентное уравнение:
К '= 0.
а8) cos а8) - sin а8) = 0 (10)
и
(а2 -к) + кcosа(1 -8)) = 0, которое в случае консервативной нагрузки сводится к уравнению
cos а(1 -8)) = 0, (11)
а в случае следящей нагрузки — к уравнению
а2 = 0. (12)
Учитывая, что для левой части стержня нет понятия «консервативная» или «следящая» нагрузка, а также уравнение (12) для правой части, можно сделать следующий вывод: в случае следящей нагрузки стержень не теряет устойчивость независимо от месторасположения опоры типа скользящей заделки.
Жесткое защемление. В этом случае у конца стержня будем иметь условия
W1 = 0, dw- = 0, х = 0. (13)
dx
В случае опоры a для прогибов каждой части стержня получим выражения
w1 = C1
/ . 1 - cos ax
( aS/ - sin aS/ J--ax + sin ax
1 - cos aS/
fa(SZ-ax) ]
w2 = C2 <—^-- + sin ax - tg aSZ cos ax !> + (14)
[ cos aSZ J
^ f aSZ (aSZ - sin aSZ) 1 - cos aSZ _,(1 -aSZ ctg aSZ)
+ C1 <---ъ--L + ax--+ tg aS/--- cos ax
[ cos aSZ 1 - cos aSZ cos aSZ 1 - cos aSZ
Удовлетворяя вторым из представлений (14) условиям (6), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений
(aSZ - tg aSZ) , 7Ч
C^ -— cos aZ + C2 (-sin aZ + tg aSZ cos aZ) = 0;
1 - cos aSZ
f 1 - cos aSZ / 24 aSZ - tg aSZ . Л
C1 < ük--halK-a2 )---sin aZ f +
[ cos aSZ 1 - cos aSZ J
+ C2 \--aK—h a( к-a2)( cos aZ + tg aSZ sin aZ) [■ = 0.
[ cos aSZ J
Приравняв детерминант матрицы последней системы к нулю, придем к следующему трансцендентному уравнению:
к [ -2aSZ cos aZ + 3sin aZ + sin a (1 - 2S ) Z - 4 sin a (1 - S ) Z ] + + 2 (к-a2 )[aSZ cos aSZ - sin aSZ ] = 0,
которое в случае консервативной нагрузки примет вид
-2а5/ cos al + 3sin al + sin а(1 - 25)/ - 4 sin а(1 -5)) = 0, (15)
а в случае следящей нагрузки — вид
a5l cos a5l - sin a5l = 0. (16)
В случае опоры b очевидно, что уравнения (11) и (12) для правой части стержня сохранятся, а для левой части нетрудно получить уравнение
2cosa5l + a5l sina5l - 2 = 0. (17)
Скользящая заделка. Для скользящей в перпендикулярном направлении заделки граничными условиями являются
á3W1 dw1 ——т = 0, —— = 0, х = 0. dx dx
Удовлетворяя последним условиям и условиям непрерывности (2), в случае опоры a запишем
w1 = С1 (a5l-ax - sin a5l + sin ax );
w2 = С i-1—cos a5 (a5l-ax )-sin a5l + tg a5l cos ax [ cos a5l
+ С2 i-1-(a5l - ax ) + sin ax - tg a5l cos ax 1.
[cos a5l J
Приравняв к нулю определитель матрицы однородной системы, получаемой после удовлетворения условиям (6), приходим к тригонометрическому уравнению (a2 -к) sin a5l + K{sin al - sin a(1 -5)l} = 0.
При к = 0 (следящая нагрузка) критическая нагрузка определяется из уравнения
sin a5l = 0, (18)
при к = a2 (консервативная нагрузка) — из уравнения
sin al - sin a(1 -5) l = 0. (19)
В случае опоры b прогиб левой части определяется однозначно, независимо от силы, и равен нулю. Следовательно, устойчивость всего стержня обусловливается устойчивостью только лишь правой его части.
Численный анализ. Учитывая обозначения в уравнении (1), численный анализ и выводы будут выполняться относительно параметра a с использованием критической нагрузки.
Рассмотрим крайние положения опоры. Пусть опора вплотную подходит к закрепленному концу стержня (5^0), тогда, независимо от вида закрепления этого конца и типа опоры, имеем задачу устойчивости стержня с жестко закрепленным концом, критическая консервативная нагрузка для которой известна [13] и равна
а = -
2l
(20)
Анализируя поведение уравнений (8), (11), (15) и (19) при 5 — 0, нетрудно найти, что эти уравнения переходят в уравнение сое а/ = 0, решением которого является (16). Для следящей нагрузки уравнения (9), (12), (16) и (18) дают только нулевое решение, т. е. под действием следящей силы стержень устойчивость не теряет.
Когда опора а приближается к свободному концу стержня (5 — 1), уравнения (8) и (9), как и уравнения (18) и (19), сводятся к уравнению бш а/ = 0, решением которого является а = л / /, совпадающее с известным результатом [13] для шарнирно закрепленного по концам стержня. Из уравнений (15) и (16) получим уравнение
а/ео8 а/-бш а/ = 0, (21)
решением которого является
4,493409457.... к
а = —-— «-, (22)
/ 0,7/
совпадающее с известным результатом [13] для стержня, жестко закрепленного на одном конце и шарнирно закрепленного на другом.
В случае, когда опора Ь подходит к свободному концу (5 —> 1), уравнение (10) переходит в уравнение (21) и имеет решение (22), а из уравнения (17) находим а/ = 2л, что совпадает с известным результатом [13] для стержня, жестко закрепленного на одном конце и скользяще заделанного на другом.
Зависимости критической консервативной нагрузки от расположения опоры при промежуточных расположениях опоры представлены на рис. 2.
а I 5я/2
2я Зя/2
я
я/2
2b^J
/ 2а
" " 1а 1 1 1 3
0
0,20
0,40
0,60 0,74 0,80
Рис. 2. Зависимости критической нагрузки от расположения опоры при различных условиях закрепления конца стержня: 1а, 1Ь — для шарнирно закрепленного конца при опорах а и Ь; 2а, 2Ь — для защемленного конца при опорах а и Ь; 3 — для скользяще заделанного конца
к
Для следящей нагрузки зависимости критической нагрузки от расположения опоры представляются аналитически:
- для шарнирно закрепленного конца и скользящей заделки (опора a) а/ = л / 5;
- для защемленного конца (опора a) и шарнирно закрепленного конца (опора Ь) а/ = 4,493409457... «л / ( 0,75);
- для защемленного конца (опора Ь) а / = 2 л / 5.
В приведенных выше формулах уменьшение 5 ограничивается условием прочности стержня
Р г 1
где 5 — площадь поперечного сечения; [ст] — допускаемое напряжение на сжатие.
Согласно зависимостям, приведенным на рис. 2, непосредственно можно отметить преимущество установки опоры Ь, т. е. опоры типа скользящей заделки (гладкой обоймы), выражающееся в существенном повышении значения критической нагрузки. Установка вместо опоры а опоры Ь в точке 0,74/, в случае шарнирно закрепленного конца, и в точке 0,8/, в случае жесткого его защемления, приводит к более чем двукратному (« 2,12) увеличению значения критической нагрузки.
Заключение. Исследовано влияние промежуточной точечной опоры типа шарнира или гладкой обоймы на значение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости центрально сжатого упругого стержня, при различных условиях закрепления одного его конца. Показано, что при расположении опоры близко к свободному концу стержня даже при следящей нагрузке возможна потеря устойчивости, причем при наличии опоры а критическая следящая нагрузка всегда превосходит критическую консервативную нагрузку. Установлено, что при любом местоположении опоры обоих типов значение критической консервативной нагрузки для стержня с защемленным концом превосходит это же значение для стержня с шарнирно закрепленным концом, а последнее, в случае опоры а, превосходит значение для стержня со скользяще заделанным концом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shan W., Chen Z. Mechanical instability of thin elastic rods // Journal of Postdoctoral Research. 2013. Vol. 1. No. 2. Р. 1-8. URL: http://www.postdocjournal.com/archives/557/ mechanical-instability-of-thin-elastic-rods.htm
2. Brangwynne C.P., MacKintosh F.C., Kumar S., Geisse N.A., et al. Microtubules can bear enhanced compressive loads in living cells because of lateral reinforcement // The Journal of Cell Biology. 2006. Vol. 173. No. 5. P. 733-741. DOI: 10.1083/jcb.200601060
URL: http://jcb.rupress.org/content/173/5/733
3. Das M., Levine A.J., MacKintosh F.C. Buckling and force propagation along intracellular microtubules // Europhysics Letters. 2008. Vol. 84. No. 1. P. 18003.
DOI: 10.1209/0295-5075/84/18003
URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1209/0295-5075/84/18003/pdf
4. Sun Y., Choi W.M., Jiang H., Huang Y.Y., Rogers J.A. Controlled buckling of semiconductor nanoribbons for stretchable electronics // Nature Nanotechnology. 2006. Vol. 1. No. 3. P. 201-207. DOI: 10.1038/nnano.2006.131
URL: http://www.nature.com/nnano/journal/v1/n3/abs/nnano.2006.131.html
5. Xu F., Lu W., Zhu Y. Controlled 3D buckling of silicon nanowires for stretchable electronics // ACS Nano. 2011. Vol. 5. No. 1. P. 672-678. DOI: 10.1021/nn103189z
URL: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn103189z
6. Liu Y, Xue Y. Some aspects of research on mechanics of thin elastic rod // Journal of Physics: Conference Series. 2013. Vol. 448. Conf. 1. P. 012001.
DOI: 10.1088/1742-6596/448/1/012001
URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/448/1/012001/meta
7. Kolomiets L., Orobey V., Lymarenko A. Non-conservative problems of the stability of bar structures // Hrcak. 2015. Vol. 9. No. 3. P. 311-316.
URL: http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=215291&lang=en
8. Auciello N.M. Stability and vibration of roads under follower forces; the boundary characteristic orthogonal polynomials (BCOP) method // Proc. of AIMETA2009 XIX Int. Congress of the Italian Association for Theoretical and Applied Mechanics. 2009, Italy. ARAS Edizioni. P. 1-10.
9. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. 256 с.
10. Гнуни В.Ц. Оптимальный выбор расположения опор в задачах изгиба, колебаний и устойчивости упругой балки // Сб. «Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем». Ереван: Изд-во ЕГУ, 1997. С. 115-120.
11. Гнуни В.Ц., Элоян А.В. Оптимальный выбор расположения опор в задаче изгиба прямоугольной пластинки // Известия НАН РА. Механика. 2001. Т. 54. № 3. С. 14-17.
12. Lee G.E., Reissner E. Note on a problem of beam buckling // Journal of Applied Mathematics and Physics. 1975. Vol. 26. No. 6. P. 839-841. DOI: 10.1007/BF01596086
URL: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01596086
13. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
Саакян Арег Аветикович — аспирант Института механики Национальной академии наук Республики Армения (Республика Армения, 0019, Ереван, пр-т Баграмяна, д. 24/2).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Саакян А.А. Влияние места расположения и типа опоры на критическую нагрузку сжатого стержня // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 4. С. 65-74. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-4-65-74
INFLUENCE OF A SUPPORT TYPE AND LOCATION ON THE VALUE OF CRITICAL LOAD FOR COMPRESSION BAR
A.A. Sahakyan
Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of Armenia, Yerevan, Republic of Armenia
Abstract
The study considers the stability problem of a rectilinear bar fastened at one end and compressed by a central axial force. We assume that at some point the bar is supported by a) hinge, allowing axial movement and rotation, or b) sliding sleeve, allowing axial movement only. We examine three types of end fastening: a) hinge, b) rigid clamp and c) sliding sleeve perpendicular to the bar axis. We solved the stability problem for the bar for both "conservative" compressing force and "follower" force. Findings of the research show that in the case of hinge support the value of critical "conservative" force decreases monoto-nically when the distance between the fastened end and the support decreases, but in the case of sliding sleeve the value of critical "conservative" force has a maximum. The point of maximum and maximal value depend on the type of the bar end fastening. In case when the compressing load is a "follower" force, the value of critical force increases mono-tonically when the distance between the fastened end and the support decreases
Keywords
Bar, stability, intermediate support, conservative force, follower force
REFERENCES
[1] Shan W., Chen Z. Mechanical instability of thin elastic rods. Journal of Postdoctoral Research, 2013, vol. 1, no. 2, pp. 1-8. Available at: http://www.postdocjournal.com/archives/ 557/mechanical-instability-of-thin-elastic-rods.htm
[2] Brangwynne C.P., MacKintosh F.C., Kumar S., Geisse N.A., Talbot J., Mahade-van L., Parker K.K., Ingber D.E., Weitz D.A. Microtubules can bear enhanced compressive loads in living cells because of lateral reinforcement. The Journal of Cell Biology, 2006, vol. 173, no. 5, pp. 733-741. DOI: 10.1083/jcb.200601060 Available at: http://jcb.rupress.org/content/ 173/5/733
[3] Das M., Levine A.J., MacKintosh F.C. Buckling and force propagation along intracellular microtubules. Europhysics Letters, 2008, vol. 84, no. 1, pp. 18003.
DOI: 10.1209/0295-5075/84/18003 Available at: http://iopscience.iop.org/article/10.1209/ 0295-5075/84/18003/pdf
[4] Sun Y., Choi W.M., Jiang H., Huang Y.Y., Rogers J.A. Controlled buckling of semiconductor nanoribbons for stretchable electronics. Nature Nanotechnology, 2006, vol. 1, no. 3, pp. 201-207. DOI: 10.1038/nnano.2006.131
Available at: http://www.nature.com/nnano/journal/v1/n3/abs/nnano.2006.131.html
[5] Xu F., Lu W., Zhu Y. Controlled 3D buckling of silicon nanowires for stretchable electronics. ACS Nano, 2011, vol. 5, no. 1, pp. 672-678. DOI: 10.1021/nnl03189z
Available at: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn103189z
[6] Liu Y., Xue Y. Some aspects of research on mechanics of thin elastic rod. Journal of Physics: Conference Series, 2013, vol. 448, conf. 1, pp. 012001. DOI: 10.1088/1742-6596/448/1/012001 Available at: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/448/1/012001/meta
[7] Kolomiets L., Orobey V., Lymarenko A. Non-conservative problems of the stability of bar structures. Hrcak, 2015, vol. 9, no. 3, pp. 311-316.
Available at: http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=215291&lang=en
[8] Auciello N.M. Stability and vibration of roads under follower forces; the boundary characteristic orthogonal polynomials (BCOP) method. Proc. of AIMETA2009 XIX Int. Congress of the Italian Association for Theoretical and Applied Mechanics. 2009, Italy, ARAS Edizioni, pp. 1-10.
[9] Banichuk N.V. Optimizatsiya form uprugikh tel [Elastic body shape optimization]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 256 p.
[10] Gnuni V.Ts. Optimal'nyy vybor raspolozheniya opor v zadachakh izgiba, kolebaniy i ustoychivosti uprugoy balki [Optimum choice of support arrangement in bending, vibration and spring beam stability problems]. Sb. «Voprosy optimal'nogo upravleniya, ustoychivosti i prochnosti mekhanicheskikh sistem» [Collection "Problems of mechanical system optimal control, stability and strength]. Erevan: EGU Publ., 1997, pp. 115-120 (in Russ.).
[11] Gnuni V.Ts., Eloyan A.V. Optimal choice of the supports place in the problem of the rectangular plate bending. Izvestiya NAN RA. Mekhanika [Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia: Mechanics], 2001, vol. 54, no. 3, pp. 14-17 (in Russ.).
[12] Lee G.E., Reissner E. Note on a problem of beam buckling. Journal of Applied Mathematics and Physics, 1975, vol. 26, no. 6, pp. 839-841. DOI: 10.1007/BF01596086
Available at: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01596086
[13] Vol'mir A.S. Ustoychivost' deformiruemykh system [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 984 p.
Sahakyan A.A. — post-graduate student of Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of Armenia (Baghramyan prospekt 24/2, Yerevan, 0019 Republic of Armenia).
Please cite this article in English as:
Sahakyan A.A. Influence of a Support Type and Location on the Value of Critical Load for Compression Bar. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2017, no. 4, pp. 65-74. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-4-65-74
