Влияние кинетики фазовых превращений на сверхупругое упрочнение нестабильного материала Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

М.С.// В сборнике: Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации, материалы I Международной научно-технической конференции. Курский государственный технический университет; отв. ред. Е. И. Яцун. 2003. С. 7982.

34. Обеспечение заданной геометрии режущей части и качества обработанной поверхности осевыми инструментами/ Яцун Е.И., Зубкова О.С., Мержоева М.С.// Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Техника и технологии. 2012. № 2-1. С. 113-116.

35. Назначение и расчет конструктивных подач при оснащении сборного инструмента сменными многогранными пластинами/ Емельянов С.Г., Сорокина О.С.// В сборнике: Фундаментальные и прикладные вопросы технологии машиностроения: "Техно-логия-2000" 2000. С. 135-137.

УДК 539.374

ВЛИЯНИЕ КИНЕТИКИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА СВЕРХУПРУГОЕ УПРОЧНЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОГО МАТЕРИАЛА Ильина Елена Алексеевна, к.ф.-м.н., доцент (e-mail: [email protected]) Сараев Леонид Александрович, д.ф.-м.н., профессор Самарский национальный исследовательский университет имени Академика С.П. Королева, г. Самара, Россия (e-mail: [email protected])

В публикуемой статье представлена модель сверхупругого упрочнения материала с нестабильной фазовой структурой при постоянной температуре. Сформулировано кинетическое уравнение и описан процесс образования и роста сферических зародышей новой фазы в зависимости от развития неупругих структурных деформаций. Установлены макроскопические определяющие соотношения для нестабильной микронеоднородной среды и вычислены ее эффективные характеристики.

Ключевые слова: фазы, макроскопические свойства, модули упругости, статистическая однородность, структура, структурные деформации, фазовый переход, эргодичность, эргодичность, эффективные соотношения.

Разработка моделей, описывающих кинетику фазовых превращений в твердых телах при постоянной температуре, представляет собой актуальное направление современной механики деформируемого твердого тела. Подобные модели способны позволяют достаточно адекватно давать качественные и количественные оценки механических параметров нестабильных металлов и сплавов, описывать эффекты сверхупругого упрочнения материалов, эффекты «памяти формы» и т.д.

В рассматриваемом объеме деформируемой нестабильной среды под воздействием внешних нагрузок возникает и развивается новая фаза в виде отдельных включений, содержащая материал с новыми механическими

свойствами. Изменения объема новой фазы и ее поверхности описывают количественную сторону процесса фазового превращения. Кроме того, напряженно-деформированное состояние континуума при переходе через фазовую границу претерпевает разрывы первого рода, образуя внутри объема новой фазы неупругие структурные деформации.

Уровни таких структурных деформаций всегда ограничены предельными значениями, которые представляют собой материальные константы материала.

Рассмотрим однородный упругий материал, в котором под воздействием внешних напряжений образуются зародыши новой фазы сферической формы и происходит фазовый переход первого рода. Объем возникающей

и развивающейся новой фазы ^ и объем старой фазы составляют полный объем материала V, ограниченный поверхностью ^.

Вытеснение под воздействием внешних нагрузок новой фазой старой фазы, вызванное перестройкой кристаллической и доменной структуры материала

V ^ V, Ур ^ V - V, ^ о,

сопровождается возникновением и развитием необратимых структурных деформаций (г), которые ограничены предельными сдвигами двойниковых доменов

0 ^ *\

®тах

Здесь у - максимальный уровень структурных деформаций, которые

удовлетворяют условию несжимаемости (г) _ 0.

Закон Гука для компонентов рассматриваемой среды имеет вид

< = 2-Мр 'е„ +8„ 'К е,г^р,

< = 2-М (-®г] ) + 8г]-е„,г .

Здесь < ,е у - тензоры напряжений и полных деформаций, пара-

метры Ламе компонентов.

Уровни напряжений, соответствующие началу прямого и обратного фазовых переходов задаются поверхностями Мизеса в шестимерном пространстве напряжений

= *+2, V ^ V),

2 , \ (2)

£.. • £.. = £ .

у V - -

( ^ V)■

1

3

ний, £+ - - пределы прямого и обратного фазовых переходов, соответст-

Здесь = с.---8г] • - девиаторные компоненты тензора напряже-

венно. Величины £+,- зависят от температуры, а их численные значения задают тип поведения нестабильной среды. Это может быть либо сверхупругое поведение образцов материала, либо деформирование с эффектом «памяти формы», либо обычное пластическое течение.

Особенности геометрии внутренней структуры нестабильного материала

могут быть описаны индикаторной изотропной функцией координат ),

равной нулю в точках объема и единице в точках объема ^ ■ Локальный закон Гука (1) принимает вид

( Г ) = 2(V + И^( Г ))• ( Г )-2Vрг),

С (г ) = 3 (Кр +[К ]^(г))) (г )■

(3)

Здесь ^ - !• су • - девиаторные компоненты тензора полных де-3

2

формаций, К£ = з • V + Л - объемные модули упругости фаз, квадратными

скобками [/] = - /р обозначены разрывы величин при переходе фазовой границы.

Хаотический характер образования в полном объеме V сферических зародышей новой фазы заставляет предполагать индикаторную функцию

), напряжения с'7 (г), полные деформации (г) и структурные деформации (г) статистически однородными и эргодическими полями. Математические ожидания этих величин и их средние значения по полному

объему V и объемам фаз ^ совпадают [1].

/ = ^ ■ \/(г) • *, <Д = у ■ |/(г)• аг , (£ = р,д)

V £ У£

угловыми скобками обозначена операция осреднения.

Напряженно-деформированное состояние образца изготовленного из нестабильного материала может быть представлено в виде макроскопических определяющих уравнений, устанавливающих связь между макроскопическими напряжениями (<), макроскопическими полными деформациями

е I и макроскопическими структурными деформациями

ы

Такие макроскопические определяющие уравнения получаются в результате усреднения по полному объему V локального закона Гука (3)

Ы=2 • мр-(е.,)+2 • м • V {?.,), -2 • м • Ы,

< = 3- Кр• (ерр) + 3- [К ] • с,. (е„1. Здесь с8 = V - объемное содержание фазы.

Соотношения (4) показывают, что установление макроскопического закона Гука требует исключить усредненные по объему деформации ^ е^ , выразив их через макроскопические деформации (е^.

Для этого к локальному закону Гука (3), следует присоединить систему уравнений равновесия

<,,, (г ) = 0, (5)

и соотношения Коши

2 е (г )=щ,} (г)+и,. (г), (6)

связывающие компоненты тензора деформаций с компонентами вектора перемещений и. (г).

Граничными условиями такой системы являются условия отсутствия флуктуаций величин на поверхности ^ полного объема V

Р ( г )| =< Р). (7)

Замкнутая система уравнений деформирования нестабильной среды (3), (5) - (6) с граничными условиями (7) эквивалентна системе интегральных уравнений, ядрами которой являются вторые производные тензора Грина [2]

4(г) = IС к.(г - Г1) • т'м (г1) • аг1

V

(8)

Здесь штрихами обозначены /' = / - (- флуктуации величин в объеме V.

Величины ^ . находятся из известного соотношения

=8)+(к ч>.

(9)

Подстановка уравнений (8) в соотношения (9), с учетом изотропности функции к (г), дает

в \ =_1__((в ) +

7 1 + а -с -(т -1) \ 7

р р

т^ср ^р

(т -1) д 1 + Гр'ср \к -1)

Ы

(10)

Здесь

2 4-5•Ур 1 1 + Ур 1 3^Кр -2• V

=---,Уп =---,Ур =-

р 3 1 -У' р

15 1 -у

р л* р , Кд

т = —^к-

2 3^Кр + 2^ V

Кр КI

Подстановка формул (10) в соотношения (4) приводит к макроскопическому закону Гука

(»7)=2-(в,,) -^ .

С = 3^ К •• 8,).

(11)

Здесь

М = Мр-

К * = Кр-

мЫ =

^ + с,-(т -1) V 1 + Яр-ср•(т - 1)у

^ + с, •( -1) ^

1 + Гр-ср-(к -1)

1 + Яр-ср•(т -1)

(12)

Формулы (12) для эффективных модулей упругости м , К подтверждают, что образующаяся и развивающаяся новая вторая фаза Vq представляет собой отдельные включения, поскольку для значений Мр 0 и

К = 0 * к *

р величины м , К тождественно обращаются в нуль для любых

с с V

р' ,. Старая же фаза р представляет собой связующую матрицу, пой м = 0 К, = 0 М к *

скольку для значений , и , величины тождественно в

нуль не обращаются.

Определяющие макроскопические уравнения прямого и обратного фазового перехода находятся с помощью усреднений условий (2) по объему

новой фазы ^

ЯИ)д'Ыд = *+,- (13)

Постановка в условия (13) соотношений (3) и (10) позволяет вычислить макроскопические поверхности кинематического упрочнения

*и)-2• -(ы)д)• ((*и)-2 • п+,- • (ы),) = *+2-. (14)

Макроскопический закон деформирования, ассоциированный с поверхностью кинематического упрочнения (14), имеет вид

Ы=*+,- • // V/ \+2• п+,- •Ы)1

Здесь

s+,- = s+, -

a p • С p + с„

у m F F 4

(16)

- эффективные пределы фазовых переходов,

•( - ср )-1

* * п+,- =м •

г

s

+, -

у cq • s+,-

(17)

- эффективный коэффициент упрочнения, характеризующий скорость перемещения поверхности (14) в шестимерном пространстве макронапряжений.

Для определения величин (ю^ ^ необходимо сформулировать уравнение

изменения средних структурных деформаций в зависимости от изменения

объемного содержания новой фазы Cq.

В процессе фазового превращения можно условно выделить два этапа. Сначала на первом этапе происходит интенсивное образование отдельных зон новой фазы в виде зародышей. Для этого этапа характерен достаточно быстрый рост объемного содержания зародышей и относительно медленный рост уровня структурных деформаций. Затем, на втором этапе, прирост объемного содержания новой фазы осуществляется в основном за счет увеличения объемов самих зародышей, внутри которых структурные деформации развиваются до своих максимальных значений. Разумеется, что выделение таких двух последовательных этапов в процессе фазового превращения является достаточно условным. На самом деле различные элементы обоих этапов могут наблюдаться одновременно, а на разных стадиях развития уровней структурных деформаций может наблюдаться преобладание одного из них над другим [3].

Объемное содержание новой фазы удовлетворяет неравенству 0 < cq < 1,

а величина Q = • ctj удовлетворяет неравенству 0 < ^ < ^max, где ^max = \/ютах • ютах . Очевидно, что величина отношение с = ^

max \ V V ГЛ

max

удовлетворяет неравенству 0 < с <1. Вспомогательная переменная

1 = — = (18>

^ - 1 - с

max

изменяется на полубесконечном интервале

(0 <£<+«>)

и описывает

протяженность процесса фазового перехода ^ ^^. Значение параметра

% = 0 соответствует началу процесса фазового превращения и отсутствию

новой фазы, а неограниченное увеличение параметра % ^^ соответствует асимптотическое приближение к концу процесса фазового превращения и исчезновению старой фазы. Соответственно, значение Ы =0 отвечает началу процесса фазового превращения и отсутствию новой фазы, а значение Ы =1 отвечает концу процесса фазового превращения и отсутствию старой фазы.

Процесс возникновения и развития новой фазы может быть описан

кинетическим уравнением роста объемного содержания новой фазы

йс

с.

й%

в(%)( + Ь • с,))- с,). (19)

Здесь а - коэффициент, описывающий возникновение и начальное развитие новой фазы на первом этапе, Ь - коэффициент последующего интенсивного роста объемного содержания новой фазы, множитель

(1 сР) отвечает за процесс насыщения, при котором образование новой фазы замедляется и происходит в основном за счет объемного роста самих

зародышей, внутри которых структурные деформации Ы развиваются до

своих максимальных значений. Функция т задает удельную скорость роста объемного содержания новой фазы и описывает особенности процесса фазовых превращений, связанных с возможным неоднородным распределением зародышей новой фазы в пространстве. Она принимает

значения на единичном интервале

(0 <в{%)< 1) Начальное условие для уравнения (19) имеет вид

ср

=0. (20)

%=0 у 7

Решение задачи Коши (19) и (20) имеет вид

%

(а + Ь )^в(х )йх

_0_

' %

(а + Ь )^в(х )йх

ехр

-1

ср = а--^-0%-V". (21)

а• ехр

+ Ь

\ 0 у

Если процесс возникновения и развития зародышей новой фазы является однородным и равномерным, то соотношение (21) принимает вид

cp = а-

ехр ((a + Ь )■£)-1 г • ехр (( + Ь )•£) + Ь

(22)

Возвращаясь, в соответствии с формулой (18), к переменной ю, находим

ехр

^ = а-

( + ь Угю

1 — ю

г

a• ехр

( + ь )

ю

ю

(23)

+ Ь

На рис.1 показаны кривые, построенные по формуле (1.17) для различных значений параметра a.

c

0,5

0

0

0,5

ю

Рисунок 1 - Кривые роста объемного содержания p, построенные по формуле (23). Расчетное значение параметра Ь ~ 0,5 Цифры у кривых -

значения параметра

a

Формула (23) описывает так называемую логистическую кривую, график которой до определенной концентрации зародышей является вогнутым и соответствует прогрессирующему росту новой фазы, а затем становится выпуклым, что соответствует процессу насыщения и замедленному росту новой фазы.

На рис. 2 представлены сравнения теоретических расчетов по построенной модели с экспериментальными диаграммами сверхупругого поведения сплавов [4].

1

1

0 0,02 0,04

Рисунок 2 - Сравнение теоретической и экспериментальной диаграмм

сверхупругого поведения сплава АиСи^п [4]. Сплошная линия -экспериментальная кривая; штриховая линия - теоретическая кривая.

На рис. 3 представлены сравнения теоретических расчетов по построенной модели с экспериментальными диаграммами сверхупругого поведения сплавов AuCd [5].

а

140

' *7 7 / /

/// ]// /I/ •

60

0,02

0,04

0

0

Рисунок 3 - Сравнение теоретической и экспериментальной диаграмм

сверхупругого поведения сплава AuCd [5]. Сплошная линия -экспериментальная кривая; штриховая линия - теоретическая кривая.

Список литературы

1. Сараев Л. А. Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов // Самара, Издательство Самарский университет, 2000. 182 с.

2. Сараев Л. А., Фартушнова Е.А. Уравнения изотермических фазовых превращений в твердых телах с микроструктурой // Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах. Труды II международного симпозиума ОМА II, Сочи, 2001, С. 289-292.

3. Физическое металловедение. - М.: Мир. Т. 2. 1968.

4. Murakami Y. Lattice softening, phase stability and elastic anomaly of the P-Au-Cu-Zn alloys // Journal of the Physical Society of Japan. 1972, V. 33, № 5, P.1350-1361.

5. Nakanishi N. Pseudoelasticity in Au-Cd thermoelastic martensite // Philosophical Magazine. 1973, V. 28, № 2, P. 277-282.

Ilyina Elena Alexeevna, Cand. of Phys.-Math. Sci., associate professor

(e-mail: [email protected])

Samara University, Samara, Russia

Saraev Leonid Alexandrovich, Doct. of Phys.-Math. Sci., professor

(e-mail: [email protected])

Samara University, Samara, Russia

INFLUENCE OF THE KINETICS OF PHASE TRANSFORMATIONS ON THE SUPERCREASED STRENGTHENING OF UNSTABLE MATERIAL

Abstract. The article presents a model of superelastic hardening of a material with an unstable phase structure at a constant temperature. The kinetic equation is formulated and the process of formation and growth of spherical nuclei of the new phase is described, depending on the development of inelastic structural deformations. Macroscopic determining relations for an unstable microinhomogeneous medium are established and its effective characteristics are calculated.

Keywords: phases, macroscopic properties, elastic moduli, statistical homogeneity, structure, structural deformations, phase transition, ergodicity, ergodicity, effective relations.