Влияние изменения плотности губчатой и компактной костных тканей на напряженно-деформированное состояние модельного образца кости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Т. В. Колмакова

ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ГУБЧАТОЙ И КОМПАКТНОЙ КОСТНЫХ ТКАНЕЙ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛЬНОГО ОБРАЗЦА КОСТИ

Исследовано влияние изменения плотности компактной и губчатой костных тканей на напряженно-деформированное состояние модельных образцов кости. Моделирование напряженно-деформированного состояния костной ткани проводилось в программном комплексе ANSYS с использованием метода конечных элементов. Выявлено, что изменение плотности губчатой составляющей модельного образца приводит к смене преобладающего вида деформации, влияющего на распределение напряжений и деформаций.

Influence of change of density of compact and spongy bone tissue on the stress and strain state of model samples of the bone. Modeling of the stress-strain state of the bone tissue was conducted in the software package ANSYS using finite element method. It is revealed, that change of density of a spongy component of sample leads to change of a prevailing type of deformation influencing on distribution of stress and strain.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, костная ткань, напряженно-деформированное состояние.

Key words: Computer simulation, bone tissue, stress and strain state.

На сегодняшний день актуальным является исследование механического поведения костной ткани для разработки методики подбора индивидуальных механически совместимых с костной тканью имплантатов. Механические свойства костной ткани определяются ее строением и составом. Кости в своем составе имеют компактное и губчатое вещество, отличающееся пространственным расположением их структурных элементов, плотностью и минеральным содержанием [1]. В данной работе изучается влияние изменения плотности губчатой и компактной составляющих модельного образца кости на его напряженно-деформированное состояние.

Рассматривался модельный образец костной ткани, содержащий губчатую и компактную составляющие в соотношении 1:1 (рис.1).

Толщина промежуточного слоя принималась равной средней толщине трабекул в губчатой ткани человека, равной 300 мкм [2]. Моделировалось нагружение образца напряжением сжатия о0 вдоль оси Z (оси кости) (рис.1). Плоскость нагружения YX на рисунке 1 представлена на переднем плане, плоскость закрепления — на заднем.

Задача решалась в рамках линейной теории упругости. Модули упругости и предельные напряжения при сжатии компактной и губчатой составляющих модельного образца задавались в зависимости от их плотности и минерального содержания согласно модели Эрнандеса [3].

Плотность компактной составляющей pk варьировалась от 1,6 до 1,9 г/см3, а плотность губчатой pg — от 0,2 до 1,0 г/ см3.

© Колмакова Т. В., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 99 -104.

100

Влияние изменения плотности губчатой и компактной костных тканей

^зт =

^<Х

Рис. 1. Геометрическая модель костного образца:

1 — компактная составляющая; 2 — губчатая составляющая; 3 — промежуточный слой

Массовые доли минералов в компактной и губчатой костной ткани принимались равными 60 и 53 % соответственно.

Нагружение модельного образца осуществлялось до момента разрушения губчатой составляющей.

Моделирование напряженно-деформированного состояния костной ткани проводилось в программном комплексе ЛЫБУБ с использованием метода конечных элементов.

На рисунке 2 представлены распределения напряжений о2 (МПа) (рис. 2, а) и деформаций £2 (рис. 2, б) в модельных образцах с плотностью компактной ткани рк =1,8 г/см3, плотностью губчатой р8 = 0,2, Pg = 0,5 и pg = 0,8 г/ см3.

Общим для всех видов образцов является то, что наибольшие по абсолютной величине сжимающие напряжения образца сконцентрированы в компактной составляющей, прилегающей к промежуточному слою. Наблюдается также наличие растягивающих напряжений в компактной составляющей образцов со стороны свободной поверхности (рис. 2, а). В губчатой составляющей вблизи плоскости нагружения локализуются наибольшие по абсолютной величине сжимающие деформации, значения которых уменьшаются по мере удаления от плоскости нагружения (рис. 2, б).

Такое распределение напряжений 02 и деформаций £2 определяется неравномерной деформацией образца во всех трех направлениях при осевом сжатии. Другими словами реализующиеся в разных направлениях виды деформаций (деформация сжатия в направлении оси нагружения Z, деформация растяжения в направлении оси У и деформация изгиба в направлении оси X) в разной степени влияют на распределение напряжений и деформаций в образце вдоль оси нагружения.

На рисунке 3 представлена зависимость параметра шШ, показывающего степень влияния на напряженно-деформированное состояние вида деформации (изгиба шЫх, растяжения шЫу, сжатия шЫг) образца, от плотности его губчатой составляющей. Параметр шЫг равен отношению значения максимального по абсолютной величине перемещения в одном из направлений системы координат к сумме максимальных по абсолютной величине перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

рх = 0,2 г/ см3

= 0,5 г/ см3

р8 = 0,8 г/ см3

а б

Рис. 2. Распределение напряжений о2 (МПа) (а) и деформаций е2 (б) в модельных образцах кости с плотностью компактной костной ткани р;с = 1,8 г/ см3 при напряжении сжатия о0 = 1,2 МПа

Из рисунка 3 видно, что для образцов различной плотности на распределение напряжений и деформаций в направлении оси нагружения в меньшей степени влияет деформация растяжения, реализующаяся в направлении оси У.

Для образцов с плотностью компактной составляющей 1,8 г/см3 и плотностями губчатой составляющей < 0,5 г/см3 преобладающее влияние на распределение напряжений-деформаций оказывает деформация сжатия (рис. 3), реализующаяся в направлении оси Z. Поэтому для этих образцов характерно наличие области наибольших по абсолютной величине напряжений в губчатом слое вблизи плоскости нагружения среди всего распределения напряжений губчатой составляющей (рис. 2, а). Для образцов с плотностями губчатой составляющей > 0,5 г/см3 преобладающее влияние оказывает деформация изгиба в

101

102

направлении оси X (рис. 3). Поэтому для этих образцов в губчатой составляющей вблизи промежуточного слоя появляется область наименьших по абсолютной величине напряжений среди всего распределения напряжений губчатой составляющей (рис. 2, а). Два вида деформации (сжатия и изгиба) в равной степени влияют на распределение напряжений и деформаций в образце с плотностью губчатой костной ткани равной 0,5 г/ см3 (рис. 3, отмечено вертикальной черной линией).

Рй=1.8г/см3 Р*=1.б г/см3

— - - тЦу — — — — тиі — - - тЦу - тиі

°-64 “к 0.48

0.32

0.16 —

0 2 0 4 0 6 0 8 1

Рис. 3. Зависимость степени проявления вида деформации тШі (изгиба тШх, растяжения тШу, сжатия тШх) в одном из трех взаимно перпендикулярных направлениях от плотности губчатой составляющей образца рх при плотности компактной составляющей р/с = 1,8 г/ см3 и р/с = 1,6 г/ см3

При понижении плотности губчатой ткани попытаются значения напряжений компактной составляющей, сконцентрированные в области промежуточного слоя (рис. 2, я), что связано с более интенсивным сжатием губчатого слоя по сравнению с компактным.

Деформация губчатой составляющей образца с увеличением ее плотности становится менее локализованной и распределяется более равномерно по всему объему (рис. 2, б), а в компактной, наоборот, с уменьшением плотности губчатой составляющей наблюдается равномерное распределение, что связано со сменой преобладающих видов деформации (рис. 3).

Снижение плотности компактной составляющей образцов с 1,8 до

1,6 г/см3 приводит к незначительному изменению степени влияния на распределение напряжений Oz и деформаций є2 в образцах видов деформаций, реализующихся в разных направлениях при осевом сжатии (рис. 3). При этом одинаковое влияние деформаций сжатия и изгиба на распределение напряжений и деформаций оказывается в образце с плотностью губчатой ткани 0,46 г/ см3.

На рисунке 4 представлены зависимости относительных усредненных по конечным элементам напряжений о2 и деформаций в структурных составляющих образца (компактной (С), губчатой (§■) и промежуточном слое (рэ)) от плотности губчатой составляющей модельного образца для различных значений плотности компактной ткани.

Результаты расчетов показывают, что с уменьшением плотности губчатой костной ткани возрастают средние напряжения и сокращаются

деформации в компактной костной ткани и промежуточном слое, уменьшаются напряжения и попытается деформация в самой губчатой составляющей образца. Влияние изменения плотности компактной ткани на напряженно-деформированное состояние структурных составляющих модельного образца мало по сравнению с влиянием изменения плотности губчатой костной ткани и в большей степени проявляется при приближении значений плотности губчатой составляющей к значениям плотности компактного слоя образца (рис. 4). Сокращение плотности компактной ткани ведет к снижению в ней и промежуточном слое напряжений и повышению в них деформаций, а также к увеличению напряжений и уменьшению деформаций в губчатом слое образца.

Рис. 4. Зависимости относительных усредненных по конечным элементам напряжений о2 и деформаций в структурных составляющих образца (компактной (С), губчатой (^) и промежуточном слое (рэ)) от плотности губчатой составляющей модельного образца для различных значений плотности компактной ткани

103

104

Зависимости относительных усредненных по конечным элементам напряжений oz и деформаций ez в структурных составляющих образца от плотности губчатой костной ткани имеют изгиб обратного знака. Смена знака кривых осуществляется в районе значения плотности губчатой ткани 0,5 г/ см3, что, вероятно, связано со сменой преобладающего вида деформации.

Таким образом, в результате проведенного исследования можно сделать соответствующие заключения и выводы:

Распределение напряжений и деформаций в образце кости при осевом сжатии, имеющем в своем составе компактную и губчатую составляющие в соотношении 1: 1 с минеральным содержанием 60 и 53 % соответственно, определяется преобладанием одного из видов деформаций — сжатия или изгиба. Для образцов с плотностью компактной составляющей 1,8 г/ см3 и плотностями губчатой составляющей < 0,5 г/ см3 преобладающее влияние на распределение напряжений-деформаций оказывает деформация сжатия. Для образцов с плотностями губчатой составляющей > 0,5 г/ см3 преобладающее влияние оказывает деформация изгиба. Для образцов с плотностью губчатой составляющей 0,5 г/см3 в равной степени реализуются эти виды деформаций.

Снижение плотности компактной составляющей образца с 1,8 до

1,6 г/см3 приводит к изменению плотности губчатой составляющей с 0,5 до 0,46 г/ см3, для которой в равной степени проявляются деформации сжатия и изгиба.

Уменьшение плотности губчатой костной ткани приводит к возрастанию средних напряжений и снижению средних деформаций в компактной костной ткани и промежуточном слое и сокращению средних напряжений и повышению деформаций в самой губчатой составляющей образца. Обратная ситуация реализуется в структурных составляющих образца при снижении плотности его компактного слоя.

Список литературы

1. Архипов-Балтийский С. В. Рассуждение о морфомеханике. Калининград, 2004.

2. Dagan D., Beery M., Gefen A. Single-trabecula building block for large-scale finite element models of cancellous bone // Medical & Biological Engineering & Computing. 2004. Vol. 42. P. 549 — 556.

3. Hernandez C. J. Simulation of bone remodeling during the development and treatment of osteoporosis. PhD Thesis. Stanford University, 2001.

Об авторе

Татьяна Витальевна Колмакова — канд. физ. мат. наук, доц., Томский государственный университет.

E-mail: [email protected]

About the author

Dr. Tatiana Kolmakova — Ass. Prof., Tomsk State University.

E-mail: [email protected]