CC BY
17
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
УДК 621.91: 531.3
ВЛИЯНИЕ ИЗГИБНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ИНСТРУМЕНТА
НА САМООРГАНИЗАЦИЮ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗАНИЯ МЕТАЛЛОВ
В. Л. Заковоротный1, ФамДинь Тунг2, В. С. Быкадор1
1 Донской государственный технический университет
2Вьетнамский государственный технический университет им. Ле Куй Дона
В статье рассматривается случай, когда изгибные деформационные смещения инструмента не являются величинами малыми. Такая ситуация характерна, например, для процесса растачивания глубоких отверстий. Борштанга в этом случае имеет малые значения изгибной жесткости. В этом случае за счет уменьшения переднего угла режущего инструмента наблюдается увеличение сил при возрастании деформационных смещений в направлении скорости резания. Тем самым формируется положительная обратная связь, которая принципиально изменяет динамику процесса резания. Показано, что для такого процесса характерен определенный вид бифуркаций. Во-первых, наблюдается ветвление точек равновесия. Во-вторых, по мере увеличения жесткости процесса резания в окрестностях равновесия формируются не только предельные циклы, но и после этапа удвоения периодов колебаний формируются хаотические аттракторы, обладающие ограниченной областью притяжения. Показано, что на формируемые притягивающие множества влияние оказывают технологические режимы, которые определяют силы резания и задают упругие деформационные смещения инструмента.
Ключевые слова: Динамическая система, притягивающие множества, хаотические аттракторы, бифуркации, процесс резания материалов.
Введение
В исследованиях динамики процессов обработки на металлорежущих станках главное внимание уделялось изучению устойчивости точки равновесия системы, а также автоколебаний системы [1-18]. Во всех этих работах не принимался во внимание случай, когда за счет существенных изгибных деформационных смещений инструмента, вызывающих уменьшение переднего угла режущего инструмента, силы резания не уменьшаются (как полагалось в отмеченных выше работах), а возрастают. Тем самым формируется положительная обратная связь, способствующая самовозбуждению системы резания, в том числе пересечению устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий. При этом динамика системы существенно меняется: подавляется квазипериодическая динамика, возникает мультистабильность, каскады
бифуркаций удвоения периода, хаотические аттракторы. Приводимый в статье материал дополняет известные примеры образования хаотических аттракторов [19-24] и объясняет возможность образования при резании экспериментально наблюдаемых аттракторов типа детерминированного хаоса.
Математическая модель системы
Рассмотрим математическую модель процесса резания (рис. 1), в которой силами, действующими на заднюю грань инструмента, будем пренебрегать (задний угол инструмента а есть величина большая, что характерно, например, для растачивания). Однако деформационные смещения инструмента в направлении Х2 сопровождаются изгибом, вызывающим изменение переднего угла инструмента у. Поэтому, во-первых, по мере увеличения деформационных смещений в направлении Х2 имеет место увеличение объема пластической деформации в зоне резания и как следствие увеличение модуля силы резания Г(1) = Г^2 }т [25]. Во-вторых, силы резания
в направлении Х1 возрастают непропорционально быстро [11]. Кроме этого, как и в ранее рассмотренных случаях [26,27], имеет место запаздывание изменения сил по отношению к деформационным смещениям инструмента. Для наглядности рассматриваемых ниже эффектов зависимость сил от скорости также не будем учитывать. Эти особенности процесса резания можно учесть, если рассмотреть силы
Рис. 1. а - формирование площади срезаемого слоя; б - поверхность скольжения и образование сил резания без изгибных деформаций инструмента; в - поверхность скольжения и образование сил резания при развитии изгибных деформаций инструмента
резания в виде следующих зависимостей:
= Х1 рЬ[а - У1(1)] + 8(Г2(1)}3, К>(1) = Х2рЬ[а - П(2)]+ ркр0,
т
т
т
т
(1)
<и
(2) (Х\ <и
(1) &Х1 <и
(2) &Х1 <и
+ Х1 = У
(1)
+ Х1 = У
(2)
(1)
+ Х2 = У
(1)
+ Х2 = У
(2)
где Х1, Х2 - деформационные смещения, мм, вершины инструмента в двух ортогональных направлениях; %1, /2 - угловые коэффициенты, удовлетворяющие условиям нормировки (х1)2 + (х2)2 = 1; Б, а, Ь - площадь срезаемого слоя, мм2, толщина и ширина, мм, срезаемого слоя, зависящие от технологических режимов (подачи на оборот Бп и глубины резания Ьр ) и угла ф (см. рис. 1) (здесь очевидны соотношения: а = Бп 8ш(ф), Ь = ¿р/8ш(ф)); 8 - коэффициент, кг/мм3, определяющий отношение приращения силы к приращению объема деформируемого материала, имеющий
смысл плотности; в - коэффициент, кг/мм, имеющий смысл жесткости; Т(1), Т(2), (1) (2) 1 1
12 , 1 2 - постоянные времени, с, определяющие запаздывание изменения сил по отношению к деформационным смещениям инструмента относительно заготовки.
Причем 11(1) < Т{л> и Т±ч < Т^>. У^', У^', У2КЧ, У2^> - промежуточные координаты, моделирующие запаздывание сил по отношению к деформационным смещениям, а также их частотную зависимость.
Для построения математической модели введем параметры, характеризующие физические свойства инструмента [11]: т - диагональная матрица инерционных коэффициентов, кг • с2/мм; Н - матрица диссипативных коэффициентов, кг • см/мм; с - матрица упругих коэффициентов, кг/мм. Математическая модель представляется в виде системы
(2) (1)
(2) (1) (2) (1) (2)
№ (Х, йХ^^ т + Н11 + Н2,1 + С1,1 Х1 + С2ДХ2 = Х1рЬ
т
(И2
й2Х2 (г2
(г
(Х1
(г
(Х2
а У1
(1)
+8 у»):
+ - + Н2,2 ~ГГ~ + С12 Х1 + С2,2Х2 = Х2рЬ
(г
(г
аУ
(2)
+ РУ2
(2)
т
т
т
т
(1) Х (г
(2) Х (г
(1) (Х2 (г
(2) (Х2
(г
+ Х1 = У
(1)
+ Х1 = У,
(2)
+ Х2 = У
(1)
+ Х2 = У
(2)
(2)
которая учитывает следующие основные свойства: во-первых, запаздывание сил по отношению к деформационным смещениям и частотную зависимость связи деформационных смещений с силами; во-вторых, формирование сил в зависимости от деформационных смещений в направлении скорости резания; в-третьих, нелинейную зависимость сил от деформационных смещений в направлении скорости резания. Модель (2) не принимает во внимание закономерности изменения сил, формируемых в области задней грани инструмента, а также зависимость сил от скорости резания.
Свойства равновесия
Равновесие системы определяется, исходя из условия отсутствия изменения деформационных смещений инструмента. Следовательно, точка равновесия (Х\,Х2) определяется из уравнения
{ (С1,1 + ИРЬ)Х*1 + С2,1 Х2 = Х1рЬа + 8 (Х^)3 ,
(3)
I (С1,2 + Х2рЬ)Х? + (С2,2 - в)Х2 = Х2рЬа.
Анализ выражений (3) приводит к необходимости рассмотрения следующего уравнения
8 №*)3 + СЕ Х*2 + = 0, (4)
где С = {С2,2(С1,1 + Х1РЬ) - [вцв + Х1РЬР + с2,2 + Х2РЬС1,^ } /(С1,2 + Х2РЬ) = = (А — В)/О- обобщенная жесткость системы; (х1с1,2-Х2с1,1 )/(с1;2+Х2рЬрЬа) -суммарное значение силы. В динамической системе резания параметры А, В, О и суммарная сила варьируют в достаточно широком диапазоне. Они определяются элементами матрицы жесткости подсистемы инструмента, свойствами процесса резания, технологическими режимами и геометрией инструмента, влияющей на угловые коэффициенты.
Вначале рассмотрим случай, когда Х1С1,2 = Х2<1,1. Возможность выполнения этого условия зависит от геометрии инструмента, которая определяет угловые коэффициенты, и от углов ориентации осей эллипсов жёсткости в подсистеме инструмента, то есть от конструктивных свойств суппортной группы. Для этого случая наибольший интерес представляет выяснение влияния параметра в на свойства системы. Из (4) видно, что по мере увеличения в с учетом соотношения Х1<1, 2 = Х2<1,1 существует точка бифуркации во = с2,2 — ((Х2) /(Х1) )с1,1, начиная с которой имеет место ветвление решений. Это бифуркация равновесия системы типа вилки. Ей соответствует С^ = 0. Как видно, при в < во система имеет единственную точку равновесия (рис. 2, a). При в > во свойства системы, рассматриваемые в вариациях относительно двух точек равновесия, например, ±Х| 1, являются симметричными, как это наблюдается в системе Лоренца [19]. Нетрудно показать, что для этой системы у потенциальной функции точкам Х2 1 соответствуют два минимума. При в < во потенциальная функция имеет единственный минимум, соответствующий точке Х2 = 0.
В общем случае условие Х1С1,2 = Х2С1,1 не выполняется. Тогда точка бифуркации и точки равновесия системы, во-первых, становятся зависящими от во-вторых, свойства системы в вариациях относительно точки равновесия при неизменных параметрах также изменяются (рис. 2, б). В этом случае точке бифуркации равновесия соответствует условие С > 0. Отметим, что точкам равновесия X* из (3) однозначно соответствуют X£.
Для анализа устойчивости точек равновесия необходимо рассмотреть линеаризованное в окрестности равновесия уравнение (2), получаемое после замены
Х1 (г) = х* + Х1(г) и х2(г) = х2* + Х2(г),
d x .. d^x т—тт + h2— + c^x = 0, dt2 dt
(5)
где т
т0 0т
, h^ =
hi,i - XipbT1 hi,2 - X2pbT1
(i) i
(2)
C2
Ci,i + Xipb C2,1 - 36(X|)2' C1,2 + X2Pb C2,2 - в
h2,i + 3ST2(i)(X|)2
h2,2 + PTJ
(i)
Для анализа устойчивости конкретной точки равновесия необходимо рассматривать корни характеристического полинома системы (5)
[Л-2,1+36Т2(1)(Х2*)2]р+С2,1 - 36(х2*)2 тр2 + (Ь2,2 + рТ2(1))р + С2,2-в
(6)
Анализ эволюции корней характеристического полинома показывает большое разнообразие возможных механизмов потери устойчивости равновесия системы. В частности, если варьировать суммарное значение силы влияющее на X*, то знак смещения точки равновесия не влияет на свойства системы в вариациях относительно точки равновесия. Матрицы и с^ в (5) являются несимметричными, то есть представимы в виде сумм симметричных и кососимметричных составляющих. Анализ конкретных систем показывает, что главный механизм потери устойчивости
тр2 + (hi,i-XiPT ))p+ci,i +Xipb A(p) = (2)
(h i,2 - X2pbT| ^)p+Ci
,2 + X2pb
равновесия связан с преобразованием симметричной составляющей матрицы Н2 из положительно определенной в отрицательно определенную. Кроме этого, по мере увеличения в возможно преобразование симметричной (потенциальной) составляющей матрицы с% из положительно в отрицательно определенную. При варьировании в и имеет место множество бифуркаций притягивающих множеств, формируемых в окрестности равновесия.
Анализ бифуркаций системы
Проанализируем бифуркации системы на конкретном примере. Так как при анализе бифуркаций рассматриваются большие отклонения от точек равновесия, то исследованию подлежит система (2). Решение этой системы не может быть найдено в явном виде. Поэтому для ее интегрирования использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
Рассмотрим две системы, имеющие параметры
т=
0.2 • 10"2 0 0 0.2 • 10"2
Н=
1.2 0.8
0.8 2
с=
800 900" 900 1200
Они отличаются угловыми коэффициентами ориентации силы резания: для системы № 1 - х1 = 0.8, х2 = 0.6; для системы № 2 - х1 = 0.6, х2 = 0.8. Таким образом, для системы № 1 по мере увеличения в ветвление равновесия симметрично, симметричны и свойства в вариациях относительно точек равновесия. Для системы № 2 имеет место асимметрия. Параметры процесса резания остаются неизменными и соответствуют: Ь = 3 мм, а = 0.2 мм, р = 2000 кг/мм2, в = 0.9 • 104 кг/мм, Т(1) = 0.002 с,
Т(2) = 0.003 с, = 0.001 с, Т2
(1)
(2)
0.002 с [12].
На рис. 3 приведены две диаграммы бифуркаций аттракторов в окрестности равновесия при варьировании в € [0, 2000] кг/мм. Проанализируем притягивающие множества по мере увеличения параметра в.
Если = 0 (система № 1, рис. 3, а), то по мере увеличения в вначале единственная точка равновесия является асимптотически устойчивой (множество М, в € [0 ... 755]), затем имеет место бифуркация точки равновесия, при этом верхняя и нижняя точки двух ветвей диаграммы равновесия являются асимптотически устойчивыми (множество ^2). Устойчивость точек равновесия является апериодической. Затем (множество ^3) наблюдается бифуркация Андронова-Хопфа рождения орбитально асимптотически устойчивой пары предельных циклов. Эти предельные циклы являются симметричными в окрестностях верхнего и нижнего равновесий. Они находятся в ограниченном пространстве, расположенном между двумя верхними и нижними ветвями. При дальнейшем увеличении в (множество ^4) наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода. Известно, что бифуркация удвоения периода характеризует один из сценариев рождения хаотического аттрактора, рассмотренный М. Фейгенбаумом [28]. Хаотические аттракторы формируются на множестве ^5. Они образуются в окрестностях верхней и нижней точек равновесия, существуя в ограниченном объеме фазового пространства, то есть одновременно обладают свойством притяжения. Далее, за счет увеличения интенсивности возбуждения, траектории ста-
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма при варьировании в: а - система № 1, = 0; б - система № 2,
= 0
новятся орбитальными относительно всех трех точек равновесия. При этом вначале формируется траектория с каскадом удвоения периодов (множество ^6). Затем после каскада бифуркаций удвоения периода вновь формируется хаотический аттрактор (множество ^9). Однако, в отличие от ранее рассмотренного хаотического аттрактора, траектории захватывают все три точки равновесия. В дальнейшем циклы преобразования стационарных траекторий периодически повторяются (множества М0, М1). Наконец, система становится неустойчивой в целом (множество ^12). Однако в этом случае траектории, двигаясь относительно каждой точки равновесия, находятся в пространствах, которые не пересекаются друг с другом. Заметим, что, начиная с в = 1500 кг/мм, свойства системы становятся чрезвычайно чувствительными к вариациям этого параметра.
Некоторые наиболее типичные примеры проекций фазовых траекторий на плоскость (Х2 - (Х2/(г) приведены на рис. 4. Здесь необходимо обратить внимание на то, что хаотические аттракторы при в € ^4 (рис. 4, в) формируются исключительно в окрестности двух точек равновесия, а при в € ^9 (рис. 4, е) они напоминают аттрактор Лоренца и имеют свойства, близкие к этому аттрактору [23,24].
Проанализируем также частотные свойства стационарных колебаний при переходе от орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла (рис. 4, б)
к хаотическому аттрактору (рис. 4, г). Как видно из рис. 5, достаточно узкополосный спектр колебаний (рис. 5, а) в случае устойчивого предельного цикла через бифуркацию удвоения периода, характеризующегося образованием дополнительных частот с кратными и дробными частотами (рис. 5, б, в), трансформируется в достаточно широкополосный спектр при формировании хаотического аттрактора. После установления хаотического аттрактора спектральный состав колебаний скорее характеризуется окрашенным белым шумом (рис. 5, в). Подчеркнем, что даже малые вариации параметра в вызывают существенные изменения свойств системы.
Если = 0 (система № 2, рис. 3, б), то бифуркационная диаграмма за счет асимметрии верхней и нижней ветвей является более сложной. По мере увеличения в система вначале также имеет единственную точку равновесия, которая является асимптотически устойчивой (множество М). Затем в окрестности единственной точки равновесия формируется устойчивый предельный цикл (множество ^2), бифуркация удвоения периодов (множество ^3) и далее хаотический аттрактор
Рис. 4. Система № 1. Некоторые примеры проекций стационарных траекторий на фазовую плоскость (Х2 — йХ2/ё£) по мере увеличения параметра в: a - К2; б - КЗ; в - К4; г - Кб; д - Кб; е - К9
0.2
0.1
о
га 0.6
0.4
0.2
1 V Л у
0 200 400 600 800 / Гц ^ 0 200 400 600 800 /Гц
га 0.6
0.4
0.2
и Л 1 Л
ira
0.15 0.10 0.05
0
—\ 4 ,,[„11
л ill llw*
в
О
200 400 600 800 /Гц
О 200 400 600 800 /Гц
Рис. 5. Система № 1. Изменение спектрального состава аттракторов, соответствующих рис. 4, для различных значений параметра в: а - 500; б - 590; в - 610; г - 650
(множество ^4). Процесс удвоения периодов (множества и ^7) и формирование хаотических аттракторов (множества и ^8) повторяется вплоть до точки, в которой наблюдается ветвление равновесия во = 1386 кг/мм. Затем свойства системы в окрестностях верхней и нижней ветвей равновесия существенно меняются. Вначале в окрестности верхней ветви формируется странный аттрактор, а в окрестности нижней - асимптотически устойчивая точка равновесия (множество ^9). Затем в окрестности верхней ветви (множество ^10) в системе вновь происходит бифуркация удвоения периода циклов, а на нижней - устойчивая точка равновесия. Наконец, в области нижней ветви наблюдается бифуркация Андронова-Хопфа (множество ^11), в области верхней ветви продолжается процесс удвоения периода. При дальнейшем увеличении в в области верхней ветви формируется хаотический аттрактор, а в области нижней ветви - сохраняются автоколебания (множество ^12). Как предельный цикл, так и хаотический аттрактор характеризуют притягивающие множества, существующие в ограниченном фазовом пространстве. Наконец в области верхней ветви система теряет устойчивость, и траектории уходят от центральной ветви, в области нижней ветви в ограниченном пространстве сохраняются автоколебания (множество М3). При дальнейшем увеличении в система в области верхней точки равновесия остается неустойчивой, а в области нижней ветви в ограниченном пространстве вначале образуется каскад бифуркаций удвоения периода (множество ^14), а затем образуется хаотический аттрактор, занимающий ограниченную область в окрестности нижней точки равновесия (множество ^15). За пределами этой ограниченной области система движется по траекториям, отходящим от всех трех точек равновесия. Наконец система становится неустойчивой в целом (множество ^16).
Принципиальным отличием каскада бифуркаций в системе № 2 (^2 = 0) от системы № 1 (^2 = 0) является различное поведение ее в областях верхней и нижней ветвей траектории смещения точек равновесия (рис. 6). При этом не образуются притягивающие множества, включающие сразу три точки равновесия, как это наблюдается в системе № 1. Обратим внимание на возможность существования в неустойчивой в целом системе некоторых локальных областей (рис. 6, в и г), в которых система является устойчивой в малом (см. рис. 6, в). Существуют также случаи, когда формируются хаотические аттракторы в ограниченном объеме (рис. 6, г). На формируемые траектории, кроме в и оказывают влияние практически все параметры системы (2). Если ранжировать параметры по чувствительности к ним изменения аттракторов, то необходимо отметить заметное влияние постоянных времени в системе (2), которые моделируют запаздывание сил по отношению к деформационным
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 X.мм „ -0.02 0 0.02 0.04 0.06 X,,мм а о
Рис. 6. Система № 2. Пример преобразования траекторий вершины инструмента в плоскости (Хх — Х2) по мере увеличения параметра в: a - К11; б - К12; в - К14; г - К15; д - К16
смещениям. Необходимо подчеркнуть, что все эти преобразования имеют практическое подтверждение, экспериментально полученное авторами и другими исследователями [11,29].
Заключение
Динамическая система резания может служить примером сложных преобразований притягивающих множеств, формируемых в окрестности точек равновесия. В зависимости от параметров динамической характеристики процесса резания пространство состояния динамической системы структурируется, и при этом свойства системы становятся чувствительными к малым вариациям параметров. Система обладает сложной динамикой и даже при неизменных параметрах в отдельных случаях в пространстве образуются области с различной топологией фазового пространства. Характерными для системы являются бифуркации Андронова-Хопфа, удвоения периода колебаний и образование хаотических аттракторов. Необходимо подчеркнуть, что такими свойствами начинает обладать система, имеющая единственную нелинейную зависимость в построенной математической модели. Если силы в системе уравнений представляются линейными зависимостями в координатах состояния, то система имеет единственную точку равновесия и может быть устойчивой или неустойчивой. В рассматриваемой системе не обнаружено формирование аттракторов типа инвариантного тора. Если принять во внимание, что система резания является возмущенной, то в ней в реальных условиях образуется сложный, трудно предсказуемый режим колебаний. Важно подчеркнуть, что эти колебания оказывают влияние на параметры качества изготовления деталей и состояние процесса обработки, например, на интенсивность изнашивания инструментов.
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 14-08-00206 «Разработка теории управления процессами обработки на металлорежущих станках на основе си-нергетической концепции с учетом самооорганизации и эволюции системы резания».
Библиографический список
1. Дроздов Н.А. К вопросу о вибрациях станка при токарной обработке // Станки и инструмент. 1937. C. 12.
2. Каширин А.И. Исследование вибраций при резании металлов. М.-Л.: АН СССР, 1944. 282 с.
3. Соколовский А.П.Вибрации при работе на металлорежущих станках // Исследование колебаний при резании металлов. М.: Машгиз, 1958. С. 15.
4. Мурашкин Л.С., Мурашкин С.Л. Прикладная нелинейная механика станков. Л.: Машиностроение, 1977. 192 с.
5. Альбрехт П.Динамика процесса резания металла // Конструирование и технология машиностроения: Труды американского общества инженеров-механиков ASME. М.: Мир, 1965. Т. 87, серия В. № 4. С. 40.
6. Жарков И.Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. Л.: Машиностроение, 1987. 184 с.
7. Тлустый И. Автоколебания в металлорежущих станках / Пер. с чешск. М.: Машгиз, 1956. 395 с.
8. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 359 с.
9. Эльясберг М.Е. Автоколебания металлорежущих станков: Теория и практика. СПб.: ОКБС, 1993. 182 с.
10. Вейц В.Л., Васильков Д.В. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке маложестких заготовок // СТИН. 1999, № 6. С. 9.
11. Заковоротный В.Л., ФлекМ.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ, 2006. 876 с.
12. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Серия: Технические науки. 2011. № 2. С. 38.
13. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания // СТИН. 1998. № 12. С. 6.
14. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении // Вестник ДГТУ. 2010. Т. 10, № 7. С. 1005.
15. Altintas Y., Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling // Ann. CIRP 44. 1995. P. 357.
16. Balachandran B. Non-linear dynamics of milling process // Philos. Trans. Roy. Soc.
2001. Vol. 359. Р. 793.
17. Davies M.A., Pratt J.R. The stability of low immersion milling // Ann. CIRP. 2000. Vol. 49. P. 37.
18. Gouskov A.M., Voronov S.A., Paris H., Batzer S.A. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul.
2002. Vol. 7. P. 207.
19. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
20. Анищенко В.С. Аттракторы динамических систем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1. С. 109.
21. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. 1987. 424 с.
22. Li T.-Y, YorkeJ.A. Period three implies chaos //Amer. Math. Monthly. 1975. Vol. 82. P. 982.
23. Lorens E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20. P. 130.
24. Dorfman J.R. An Introduction to Chaos in Nonequilibrum Statistical Mechanics. Cambridge University Press, 1999. 288 p.
25. Бобров В.Ф. Основы теории резания металлов. М.: Машиностроение, 1975. 344 с.
26. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем, Рыжкин М.Н.Моде-лирование динамической связи, формируемой процессом точения, в задачах динамики (скоростная связь) // Вестник ДГТУ. 2011. Т. 11, № 2. С. 137.
27. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем, Рыжкин М.Н.Моде-лирование динамической связи, формируемой процессом точения, в задачах динамики (позиционная связь) // Вестник ДГТУ. 2011. Т. 11, № 5. С. 30.
28. Feigenbaum M.J.The transition to a periodic behavior in turbulent systems // Commun. Math. Phys. 1980. Vol. 77, № 1. P. 65.
29. Кабалдин Ю.Г. Самоорганизация и нелинейная динамика в процессах трения и изнашивания инструмента при резании. Комсомольск-на-Амуре: Изд-во КнАГТУ, 2003. 175 с.
Поступила в редакцию 18.03.2014 После доработки 5.05.2014
INFLUENCE OF A FLEXURAL DEFORMATION OF A TOOL ON SELF-ORGANIZATION AND BIFURCATIONS OF DYNAMICAL METAL CUTTING SYSTEM
V.L. Zakovorotny1, Pham Dinh Tung2, VS. Bykador1
1Don State Technical University 2Le Quy Don Technical University
In the article we offer to consider case of a flexural deformation shifts of a tool when they are essential for nonlinear dynamics of cutting process. This situation is observed for drill deep holes, because a boring bar has a small values of a flexural stiffness. In that case an angle of cutting edge reduces and cutting forces increase if the deformation shifts also increased in velocity direction. The last circumstance becomes occasion for positive feedback that essentially changes dynamics of the cutting process. In the paper it is shown that process with positive feedback has the bifurcation. In the first place we can observe bifurcation of fixed points. In the second place we can watch if stiffness of cutting process is increased that limit cycles and chaotic attractors with limit region of attract are generated in neighborhood of fixed points. It is shown that attracting sets fundamentally depend on cutting parameters. The cutting parameters define cutting forces and the flexural deformation shifts of a tool.
Keywords: Dynamical system, attracting sets, chaotic attractor, bifurcations, cutting process of the materials.
