Влияние деформации поперечного сдвига односторонними связями большой жесткости Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 9 2008

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН

621.01

ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ НА КОЛЕБАНИЯ БАЛОК С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ

Канд. техн. наук доц. И. ЕЛЮМИНАРСКИЙ

Предлоэюен численный метод расчета колебаний балки С.П. Тимошенко с односторонними связями повышенной жесткости. Рассматривается влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений на реакцию и зазор между односторонней связью, имеющей форму сферической поверхности и балкой, совершающей свободные колебания. Исследуется сходимость получаемого решения.

Численным методам расчета колебаний тонкостенных элементов, движение которых ограничено односторонними связями (ОС), посвящены работы [1,2],где изложенные методы применяются для систем, в которых жесткость упругого тела и ОС имеют один порядок. Если жесткость ОС на несколько порядков выше жесткости упругого тела, то расчеты методами, рассмотренными в [1,2], затруднены из-за больших затрат машинного времени.

В [3] предлагается численный метод расчета упругих систем с ОС большой жесткости. Этот метод позволил исследовать колебания тонких балок с ОС, выполненных в виде стержней с закругленными концами. В этой работе использовалось уравнение колебания балок, основанное на гипотезах Кирхгофа-Лява.

Колебания балок с ОС большой жесткости относятся к классу задач с сильными нелинейностями как по пространственной, так и по временной координате. В таких системах возможно появление зон больших градиентов перемещений во времени и про-

№ 9 2008

странстве. В связи с этим необходимо исследовать влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения сечений на колебания балки с ОС.

Уравнения поперечных колебаний балки, учитывающие инерцию вращения сечений и деформацию поперечного сдвига, впервые записал СП. Тимошенко [4].

д2м? Зш Р д2м?

—----г. +-=-; (1)

дх2 дх кОя с\д1г '

2(дм> } д\\/

дх

+ Сс

2 '

V

2 '

с[Ы

(2)

где - перемещение сечений балки от изгиба; У - угол поворота сечений балки от

, кС 2 Е _ рз . изгиба; с'к =-; с1 =—; С = —; к - коэффициент сдвига; з - площадь поперечно-

Р Р ш

го сечения балки; С -модуль сдвига; р - плотность; Е - модуль упругости; Е1 - из-

гибная жесткость балки; Р - внешняя нагрузка.

Граничные условия для основных видов закрепления балки записываются в ви-

о

де: шарнирное опирание м? = О , -= 0; заделанный край - = 0, \|/ = 0 ; свобод-

Эх

. л ду ныи край--\|/ = и,-= 0.

дх дх

Систему уравнений, описывающую колебания балки по С.П. Тимошенко с односторонними связями, можно представить в виде

А(и)+С(и) = р + ' (3)

Я,М>0, 1 = 1,...,Ь; (4)

А, (/) = ¿Ах,,*) + (0) + Ао,^ 0, 1 = 1,...,!; (5)

Л,(^К(0 = 0, 1 = 1,.(6)

В этих уравнениях введены следующие обозначения; и = {^(х^),^*,/)}7 ;

; К1 А, (0 - функции реакции и зазора в ОС с

номером /; х,- координата ОС с номером /; д(х - х,.) - функция Дирака; Д0, - зазор между ОС с номером / и балкой в недеформированном состоянии; = -1, если / -ая ОС ограничивает перемещение балки в положительном направлении действия внешней

№9

2008

нагрузки р(х^), в противном случае = 1; (/)) - абсолютная деформация ОС с номером /; Ь - число ОС;

А(и) =

Э2>у

а -?Г д2\\> >; с(и)=<

с\дг2 V Л ^

/

-квя

д2ц* дх2

д2уу дц) дх2 дх дц? дх

Сс

(7)

Решение системы уравнений (3)-(6) можно представить в виде

I /

и(х, 0 = и 0 (х, /) + и,, (х, 0 4- £ й3 ¡Я/ (х)и 0. / (х, Г - хрт.,

./=1 о

где иг;(х,/)-решение однородного уравнения А(и(;)+ С(и0)= 0 страничными и начальными условиями исходной задачи; и Дх,?)- решение неоднородного уравнения А(и/,)+ С(ия) = р с граничными условиями исходной задачи и нулевыми начальными условиями; и(. Дх,/ — т)= {и>г.(х,/ — т)9\|/0 (х5/ — т)|7 - функция Грина, т,е. решение однородного уравнения А(и6. )+ С(иС; ) = 0 с граничными условиями исход-

ди(}

ной задачи и полуоднородными начальными условиями (и0 = 0, —= 0 при t фт ,

5/

ди

(11 __

дг

{5(х-хД0}; при t-x)

Разложим реакции в односторонних связях в ряд

т а=0

где - линейные финитные функции [5] ( /а =0, если t £ (¿а_р*ц), = СХ * А?;

А 1 = Т/т); Т - время движения; Я* - реакция в ] -ой ОС в момент времени . Считается, что односторонние связи имеют форму сферической поверхности.

Их

местное сближение с балкой X определяется по формуле Герца

(9)

Х = кЯ\

где к =

з(1У)

2 Е4г

; г - радиус поверхности ОС; Ц - коэффициент Пуассона.

В расчетах зависимость (9) представляется в виде

а. = 8(д)д, (Ю)

I

где Ь(К) = кЯ 3 - податливость эквивалентной линейной ОС.

Если подставить (8) в (7), а полученный результат и (10) подставить в (5), то разрешающая система уравнений для момента времени 1а примет вид

(У + Ла)Ка - Да = Ьа; (11)

Щ >0; А? -0; Щ • Д* =0, * = (12)

где Ьа --[Д0+|;KаfiRp+D(w^+w;)]; Кар~матрицы размерности Ь х Ь , эле-

'р+1

менты которых определяются по формуле = Д} |- т, ;

'м

V = Кар | а=р; Аа - диагональная матрица, элементами которой являются податливости эквивалентных линейных ОС 6;а в момент времени 1а \ Ка - вектор реакций в ОС в момент времени ta; Да- вектор зазоров между балкой и ОС в момент времени t(i; В - диагональная матрица, элементами которой являются параметры ^ ;

= - вектор решений однородного урав-

нения в точках контакта балки с ОС в момент времени ta ;

^р = - вектор решений неоднородного

уравнения в точках контакта балки с ОС в момент времени 1а\ Д0 - вектор зазоров между недеформированной балкой и ОС.

Система (11) - (12) разрешима относительно вектора реакций и вектора зазоров Да, если известны векторы реакций Кр в моменты времени (р = ОД,.., а -1).

Поэтому векторы Ка и Да из (11) - (12) определяются последовательно для а = 1,2,...,/и .

Поскольку матрица податливостей Аа зависит от вектора реакций Кй , то для каждого момента времени система (11) - (12) решается с помощью итерационного

№9

уточнения. На первой итерации решается система (11) - (12), в которой 8)1 = 5*"1 (/ = !,..,,£). Решение это задачи ведется одним из методов статического расчета упругих систем с линейными ОС, например, методом последовательных приближений [б]. Далее по найденному вектору уточняются податливости ОС 5]* и делается следующая итерация.

Если число узловых точек по времени т очень большое, то расчет будет невозможен из-за недопустимо большого объема памяти необходимого для хранения матриц КаД

(Ка,р = Ка"р+и). В этом случае промежуток времени, на котором определяется решение, разбивается на интервалы. Переход от одного интервала к другому сопровождается введением нового отсчета времени. Каждый интервал начинается с времени / = 0. При переходе от одного интервала к другому матрицы КаЛ не меняются. В начале каждого интервала пересчитывается решение однородного уравнения иа (х, .

Функции и0 (*,/), иДх,/) и (х5/ — т) определяются путем разложения решения в ряд по собственным формам колебаний.

Решение однородного уравнения колебаний балки С.П. Тимошенко представляется

в виде

мы и собственные частоты колебаний балки С.П. Тимошенко.

Коэффициенты В} и С} находятся из начальных условий движения по формулам [7]

(13)

;=1

где иу = {и^ }Г, со; - нормированные по кинетической энергии собственные фор-

(14)

где (...,...) - скалярное произведение двух функций.

Для получения ир применим уравнение Лагранжа второго рода

— — - —= 0,

д( дь] дЬ

(15)

№ 9 2008

где - функционал Лагранжа, векторы обобщенных ко-

ординат и скоростей.

Если решение уравнения (15) представить в виде ряда

ИP(x9t) = Y*<Ij(0Uj(x) , (16)

то функционалы кинетической и потенциальной энергий примут вид

Z ./=1 Ы L 1 Ы ,H

где ^li,.- скалярные произведения по кинетической и потенциальной

энергиям.

Нормированные по кинетической энергии собственные формы удовлетворяют условиям^,, и ;)А ~ 0 5 при u„u,)c =1. (17)

С учетом (17) окончательные выражения для функционалов Г и 77 примут вид

1 со 1 со со

т = с»)

Z /=1 Z /=1 /=1

Подставляя (18) в уравнение Лагранжа (15), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения функций qt (t)

^ + i = lv..,co. (19)

Пусть внешняя нагрузка равна произведению двух функций Р(х, t) = Р} (х)Р2 (/), тогда решение (19) при нулевых начальных условиях имеет вид интеграла Дюамеля

q (t) = j>9 (Т) ^ _ x))dx, (20)

ü>, о

Функции Грина uGj {х, t - т) определяются с помощью уравнения Лагранжа (15), в котором внешняя нагрузка задается в виде Р. - b(x — xj - т). В этом случае

/ \ W/U/) / \

q(t-x) = —^sm(® (21)

Подстановкой (21) в (16) получим формулу для вычисления функций Грина

ч * u (х)и, (V.)

_ ... (22) 7=Г <ö,

№9

2008

Собственные формы и частоты колебаний балки С.П. Тимошенко определяются из уравнения

С(и>со; А(и ). (23)

где А(и,) = -{ рл-и^,

В безразмерной форме уравнение (23) имеет вид

С'(й> а? А* (и,),

(24)

2 72

-2 <*),/ * где ю, = —^

и

И'

_/

I

А'(й>

' СЧи):

э^2

д2м? д\и —+ ——

г

- Сс21*

Собственные формы балки С.П. Тимошенко определяются из уравнения (24) методом последовательных приближений [7] с помощью уравнения

С*(и(*)= А'(ТГ*4) (25)

В расчетах система двух уравнений второго порядка (25) заменятся системой четырех уравнений первого порядка

с!V

- = КУ + 8•

(26)

. к Зм/ ,

где -,-

1 ' '

8 = \ О,-™*"1,0,

к=

0 1 о о о о

о о 0 1 0 1

о -с-4-г- с-ф/2 о

Система (25) решается методом прогонки по схеме Годунова, которая предусматривает ортонормирование и ортогонализацию векторов в процессе интегрирования.

Собственные частоты определяются по формуле Релея [7].

В качестве примера рассматриваются свободные колебания балки с одной ОС. Длина и ширина балки соответственно равны / = 0,27 ми Ь = 0,02 м. Один конец балки заделан, а другой свободен. ОС расположена на свободном краю балки и имеет форму сфе-

рической поверхности диаметром 0,01 м. Физические параметры балки и ОС следующие; Е = 210 ГПа; /л - 0,27 . Начальная деформация балки обеспечивалась сосредоточенной силой, приложенной к свободному краю. Эта сила создавала на свободном конце балки перемещение равное 5 мм. Зазор Д0 между недеформированной балкой и ОС принимался равным нулю.

Результаты расчетов приведены на рис. 1-2. На рис. 1 представлены реакции Я в ОС на первом ее взаимодействии с балкой. Толщины балки Н принимались равными 5 и 10 мм. На рис. 2 показано изменение зазора между балкой и ОС.

Рис. 1. Влияние инерции вращения сечений балки и деформации поперечного сдвига на реакцию в ОС: 1 (2) - расчет без учета (с учетом) инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига

№ 9 2008

Рис. 2. Влияние инерции вращения сечений балки и деформации поперечного сдвига на зазор А между балкой и ОС: I (2) - расчет без учета (с учетом) инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига

При определении функций UG {x,t — т), u0(x,/)s иДх,/) бесконечные ряды

заменяются конечными. От числа удерживаемых членов ряда N зависит точность расчета. Необходимое значение N определяется путем численного исследования сходимости решения.

Точность расчета определялась по силе взаимодействия балки с ОС RN(t). Сходимость функционального ряда RN (f) оценивалась коэффициентом

JM')-^

5Л, = -—j.-100%, (23)

J RlS0{t)dt

0

где Rn (t) s Rl5Q (/) - реакции в ОС, которые определялись при учете в решении N и 150 членов ряда, соответственно, Т - время первого взаимодействия балки с ОС,

На рис. 3 представлены зависимости 5Л,(Л0, полученные для различных значений толщин балки h.

№ 9

2008

Рис. 3. Сходимость решения в зависимости от числа удерживаемых в решении членов ряда N : 1 - Л = Ю"2

м;2- /2 = 5-10"' м;3- /г = 2 101 м

Другим параметром, определяющим точность расчета, является интервал времени Аг1 между узловыми точками.

Относительная точность определения реакции в ОС оценивалась параметром

5.:

-100%, (24)

0

где ^(0, (0 ™ реакция в ОС, определяемая при шаге между узловыми точками равном At и — соответственно.

№9

2008

На рис 4. представлена зависимость 6ДА/), полученная для балки толщиной к — 5 мм.

ДМ О7, с

Рис. 4. Сходимость решения в 'зависимости от шага Аt

ВЫВОДЫ

1. Предложена методика расчета колебаний балки с ОС, учитывающая деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения сечений балки,

2. Установлено, что:

а) если жесткость ОС на несколько порядков выше жесткости балки, то

инерция вращения сечений и деформация поперечного сдвига сильно влияет на

h

реакции в ОС и колебания балки даже при малых значениях —;

б) учет инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига

уменьшает амплитуду высокочастотных осцилляций реакции в ОС;

в) для определения реакции в ОС с точностью «1-7-3% необходимо шаг

2п

Аt принимать равным

где со - максимальная собственная частота

12ютах

балки, используемая в решении (Штах = 0)^ определяется путем численного исследования сходимости решения (рис.3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кохманюк С.С. Динамика конструкций при воздействии кратковременных нагрузок / С.С. Кохманюк, A.C. Дмитриев, ГЛ. Шелудько, А.Н. Шупиков и др. - Киев: Наукова думка, 1989. -304 с.

2. Баженов В.А. Устойчивость и колебания деформируемых систем с односторонними связями / В А. Баженов, ЕЛ. Гоцуляк, Г.С. Кондаков, А.И. Оглобля. - Киев: Выща школа. Головное изд-во, 1989.-399 с*

3. Люминарский И.Е. Расчет колебаний упругих систем с инерционными односторонними связями // Известия вузов. Машиностроение. - 2006. - №6. - С. 8-14.

4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.; Л.: Машиностроение, 1967. - 444 с.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. - 3-е изд., перераб. и доп, - М.: Наука. Физматлит, 1989. - 608 с.

6. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. - М.: Стройиздат, 1975. - 145 с.

7. Вибрации в технике: Справочник. В 6т. / Под ред. К.В. Фролова. - М.: Машиностроение, 1999. -Т.1. - 504 с.