CC BY
21
УДК 621.385.01
М.А. Кудимов, Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин
ВЛИЯНИЕ АЗИМУТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДОВ В МАГНЕТРОННОМ ДИОДЕ
Проведен анализ влияния магнитного поля на характер движения заряженных частиц в магнетронном диоде. На основе анализа карт динамических показателей определены изменения областей хаотичности для различных видов неоднородностей магнитного поля.
M.A. Kudimov, N.Yu. Khorovodova, V.B. Bayburin
AZIMUTHAL NON-UNIFORM MAGNETIC FIELD INFLUENCE CHARGES MOVEMENT CHARACTER IN THE MAGNETIC DIODE
The analysis of influence of a magnetic field on character of movement of the charged particles in the magnetic diode is given in this paper. On the basis of the analysis of cards of dynamic parameters changes of areas of chaos for various kinds’ heterogeneity of magnetic field are certain.
В работах [1] и [5] исследовалось влияние меняющегося по азимуту магнитного поля на характер траекторий заряженных частиц. Представляет интерес оценить, как влияет различная степень азимутального изменения магнитного поля на траектории заряженных частиц.
Уравнение движения заряда в скрещенных полях магнетронного диода в прямоугольной системе координат, как и в работах [1] и [5], представим в следующем виде:
d2 х dy
—- = qEx + Q— dt dt
d2 y dx
—T- = qEy - Q— dt y dt
(1)
Данной системе уравнений поставим в соответствие фазовое пространство с фазовыми переменными х, у, Ух = ёх/&, Уу = ёу /& . Тогда система (1) примет вид:
V = дЕх +ПУу
х = Vx
Vy = qEy-QVx
y = V,
(2)
где Ех, Еу - составляющие напряженности электрического поля, определяемые по формулам:
и ■ х
Ех =----------------------------------------------------и0 . ч , (3)
(х2 + y2) • ln
(г
V rk.
a
Еу =
и0 • У
(х2 + у2 )• 1п
(4)
V Гк.
Ч
О = — В - циклотронная частота; ч - величина заряда частицы; т - масса частицы; В - маг-т
нитная индукция. Если ввести азимутальную неоднородность магнитной индукции, то циклотронная частота О будет также изменяться по азимуту.
Рассмотрим следующие виды азимутального изменения циклотронной частоты:
О = О0 + АО БІп(2а), (5)
О = О0 + АО біп (8а), (6)
О = О0 + АО біп (60а). (7)
При определении величин фазовых переменных использовался неявный метод, изло-
женный в [3]. Все расчёты проводились в безразмерных единицах. Принимались следующие значения параметров электрического и магнитного полей: га=10 - радиус анода, гк=0,5 - радиус катода, и0=0,5 - потенциал анода, О0=1,5, АО=0,6. Начальные значения фазовых переменных Ух, Уу полагались равными нулю.
а)
б)
в)
Рис. 1. Результаты оценки хаотичности системы для случая однородного магнитного поля
Для оценки степени хаотичности системы использовались изображение траекторий движения заряда, данные расчета спектра мощности и показателей Ляпунова. Результаты расчета показателей Ляпунова представлялись в виде карт динамических режимов в плоскости параметров (X, У), на которых белый цвет соответствует отрицательным значениям пока-
зателя Ляпунова, градации серого - различным положительным значениям (чем темнее цвет - тем больше показатель Ляпунова).
На рис. 1, а представлена карта динамических режимов, построенная для случая однородного магнитного поля О=О0. Исследуемая область окрашена в светло-серый цвет, показатели Ляпунова отрицательные или близкие к нулю. Заряд движется по типичной циклоидальной траектории (рис. 1, б). Гладкий вид спектра с наличием нескольких ярко выраженных пиков также свидетельствует о регулярности движения (рис. 1, в).
При введении в рассмотрение неоднородного магнитного поля, меняющегося в соответствии с выражениями (5)-(7), наблюдается появление хаотических режимов, о чем свидетельствуют темные области на картах, рис. 2, а-в соответственно. С увеличением частоты азимутального изменения магнитного поля степень хаотичности системы возрастает. Карта на рис. 2, в не содержит регулярных областей, при ее расчете было получено самое большое положительное значение показателя Ляпунова из всех рассмотренных случаев.
ч 0.5. X
-1 -0.5 -0.5. -1. ^ 0.5 1
а)
б)
в)
Рис. 2. Карты динамических режимов в плоскости координат (X, У): а - магнитное поле вида (5); б - магнитное поле вида (6); в - магнитное поле вида (7)
Пример хаотических траекторий показан на рис. 3, а, б. Визуально можно оценить нарушение циклоидального характера движения. Но для случая магнитного поля, меняющегося согласно выражению (7), были получены траектории регулярного вида. При этом они демонстрируют явную неустойчивость: при незначительной разнице в начальных условиях соседние траектории быстро расходятся (рис. 3, в).
Хаотический характер движения подтверждается и результатами расчета спектров мощности (рис. 4, а-в). В отличие от спектра регулярной траектории, описанного выше, спектры хаотических траекторий имеют более сложный изрезанный вид, свидетельствующий о наличии хаотического режима для данных начальных условий.
Необходимо отметить, что все три метода оценки хаотичности исследуемой системы показали, что с увеличением частоты азимутального изменения магнитного поля хаотичность возрастает (расширение областей хаотических режимов, чувствительная зависимость траекторий от начальных условий, хаотический вид спектров мощности).
На основе представленных результатов можно сделать следующие выводы:
1. При относительно малой частоте азимутального изменения магнитного поля (соотношение (5), (6)) хаотичность системы невелика, соответствующая неоднородность магнитного поля слабо дестабилизирует траекторию.
2. При больших величинах частоты азимутального изменения магнитного поля (соотношение (7)), несмотря на визуально наблюдаемую регулярность вида траекторий зарядов, хаотичность системы существенно увеличивается (что подтверждается картами динамических режимов и характером спектра мощности). Таким образом, визуальная оценка вида тра-
ектории в данном случае оказывается недостаточной, для более точного исследования необходимо использовать методы расчета показателя Ляпунова и спектральных характеристик траекторий.
1. (/ /Ь.5_ V V \ ) -X
-{[ V -0.5 -0.5. °увТ\ 1
Параметры пзафика хО = 0.500; у0 = 0.000; УхО = 0.000; УуО = 0.000 Е0 = 0.500; гцик = 1.500; ЛГцик = 0.600 Кол. шагов = 10000; Ляпунов = 2.400;
а)
б)
в)
Рис. 3. Траектории движения зарядов: а - магнитное поле вида (5); б - магнитное поле вида (б), в) - магнитное поле вида (7). Пунктиром показана траектория, смещенная относительно базовой на 0.01
а)
б)
в)
Рис. 4. Спектры мощностей: а - магнитное поле вида (5); б - магнитное поле вида (б); в - магнитное поле вида (7)
ЛИТЕРАТУРА
1. Байбурин В.Б. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В.Б. Байбу-рин, А.О. Мантуров, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 6. С. 62-68.
2. Кузнецов С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов. М.: Мир, 1988. 240 с.
3. Поттер Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. М.: Мир, 1975. 285 с.
4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. М.: Эдитори-ал УРСС, 2001. 318 с.
5. Хороводова Н.Ю. Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде / Н. Ю. Хороводова, В. Б. Байбурин // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 67-71.
Кудимов Максим Александрович -
аспирант кафедры
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Хороводова Наталия Юрьевна -
аспирант кафедры
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Байбурин Вил Бариевич -
профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 23.06.06, принята к опубликованию 10.10.06
