CC BY
30Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-01-00683 (разд. 1, 2), и РНФ, проект
№ 14-50-00029 (разд. 3,4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров В.В., Александрова О.В., Коноваленко И.С., Тихонова К.В. Возмущаемые стабильные системы на плоскости, I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 5. 30-36.
2. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. М.: Физматлит, 2007.
3. Александров В.В. К задаче Булгакова о накоплении возмущений // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика. 1969. 186, № 3. 70-73.
4. Aleksandrov V.V., Aleksandrova Т.В., Angeles Vasques A., Vega, R., Reies Romero M., Soto E., Tikhono-va K.V., Shulenina N.E. An output signal correction algorithm for vestibular mechanoreceptors to simulate passive turns // Moscow University Mechanics Bull. 2015. 70, N 5. 130-134.
5. Sadovniehii V.A, Aleksandrov V.V., Aleksandrova T.B., Konik A.A., Pakhomov B.V., Sidorenko G.Yu., Soto E., Tikhonova К. V., Shulenina N.E. Mathematical simulation of correction of output signals from the gravitoinertial mechanoreceptor of a vestibular apparatus // Moscow University Mechanics Bull. 2013. 68, N 5. 111-116.
6. Патент РФ № 2500375. Устройство автоматической коррекции установки взора человека при визуальном управлении движением в условиях микрогравитации. Авторы: В. А. Садовничий, В. В. Александров, Т. Б. Александрова, И. Б. Козловская, Л.Н. Корнилова, А. Н. Григорьев, К. В. Тихонова и др. М., 2013.
Поступила в редакцию 17.02.2016
УДК 532.5+537.8+551.5
ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОД ГРОЗОВЫМ ОБЛАКОМ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВОРОНКИ ТОРНАДО
С. А. Мае лов1
Рассмотрено влияние электрического поля под грозовым облаком на формирование и движение воронки торнадо (смерча). Показано, что электрическая сила может обеспечивать как опускание развивающейся воронки к земной поверхности, так и ее "втягивание" в грозовое облако.
Ключевые слова: торнадо, грозовое облако, атмосферное электрическое поле.
The effect of an atmospheric electric field under a thundercloud on the formation and motion of a tornado funnel is considered. It is shown that the electric force may cause both the descent of a developing funnel to the Earth's surface and its suction into the thundercloud.
Key words: tornado, thundercloud, atmospheric electric field.
1. Введение. Торнадо (смерч) — интенсивный атмосферный вихрь, опускающийся из грозового облака в виде вращающейся воронки радиуса 10-1500 м и более [1]. Основной чертой сильного торнадо является высокая скорость вращения воздушного потока в воронке, иногда превышающая 100-150 м/с. Кроме того, для торнадо характерна тесная связь воронки с порождающим ее материнским грозовым облаком. Эта связь не находит теоретического объяснения в рамках моделей [2, 3], подробно рассматривающих термогидродинамические механизмы образования и усиления атмосферных вихрей, генерацию завихренности и спиральности, но не учитывающих важную роль электрических механизмов в формировании торнадо [4]. Учет электрических факторов необходим также для обоснования высокой молниевой активности воронки торнадо; появления холма брызг или пыли под торцом воронки, еще не достигшей земной поверхности [5]; локализации завихренности в стенках воронки (толщина которой на два-три порядка меньше радиуса торнадо) и других явлений, сопутствующих торнадо. Поэтому для обоснования различных аспектов и закономерностей поведения торнадо на разных стадиях его существования привлекаются электромагнитные механизмы торнадогенеза [4-9].
1 Маслов Сергей Алексеевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergm90Qmail.ru.
В настоящей работе исследовано влияние сильных возмущений атмосферного электрического поля (АЭП) под грозовым облаком на развитие и движение воронки торнадо. Показано, что при разных зависимостях вертикальной компоненты АЭП от расстояния до оси воронки электрическая сила может приводить как к опусканию воронки к земной поверхности, так и к ее "втягиванию" в грозовое облако.
2. Движение воронки торнадо под действием электрического поля. В настоящее время установлено, что грозовое облако в развитой стадии имеет дипольную или трипольную электрическую структуру [10-12]. Верхний слой дипольного облака обычно заряжен положительно, нижний — отрицательно. В трипольном облаке помимо этих областей имеется сравнительно малая область дополнительного положительного заряда, которая расположена в центре под нижним (отрицательно заряженным) слоем и наличие которой может существенно влиять на формирование воронки торнадо [5, 6].
Рассмотрим процесс развития воронки под действием электрического поля грозового облака и сильных возмущений АЭП под ним. Среду воронки полагаем несжимаемой, так как характерная скорость потока в формирующемся "хоботе" торнадо обычно значительно меньше скорости звука. Движение для простоты считаем осесимметричным. Размер воронки существенно меньше радиуса и высоты облака: если высота и радиус воронки редко превосходят 1 км, то горизонтальный и вертикальный размеры облака составляют порядка 10 км [1]. Поэтому при расчете электрической силы будем пренебрегать собственным электрическим полем воронки и учитывать только АЭП под грозовым облаком. В указанных предположениях движение воронки в цилиндрических координатах описывается следующими уравнениями:
Р
диг ~dt
+ иг
диг дг
+ uz
д'Ре f . иг
дг
(диф диф диф Р ( -77Г + Ur -тг- + Uz -ТГ- +
ч dt ' duz
дг duz
dz duz
г
и,
/л Аuv - -f ,
(1)
P
divu
-7— ur —--h uz —-
dt or oz
1 диг_ дщ _ 0 r dr dz '
= -P9 ~ Pe=P~
dPe dz
eo{2e-l)
+ peE + ßAuz, E2.
Здесь г — координата вдоль оси потока (ось г выбирается направленной вертикально вверх перпендикулярно земной поверхности), г — расстояние до оси г, ¡л — турбулентная вязкость [13], ео — электрическая постоянная, р и ре — массовая и зарядовая плотности грозового облака и формирующейся воронки, р и ре — гидро- и электрогидродинамическое давление [14, 15], Е = (0,0, Е) — величина АЭП под облаком, качественно аппроксимируемая формулой [16-19]
Ё(г) =
Е(г) _ (4f)4 + ß
~ TWTT
Nexp(-rk) - 1
(2)
где Eq ~ 100 В/м — поле "хорошей погоды" (вдали от облака); N — постоянная величина, показывающая, во сколько раз напряженность АЭП под облаком превышает Eq; число к обычно равно 2 или 3; L — характерный масштаб изменения электрического поля; г = r/L. Безразмерный аппрок-симационный параметр /3^1 соответствует разным стадиям формирования зарядовой структуры грозового облака — от дипольного распределения (ß = 1) до окончательного формирования дополнительного (нижнего) положительного заряда (ß < 0). При этом в случае /3^0 АЭП под облаком дважды меняет знак — электрическое поле претерпевает двойной реверс [5, 10]. Отметим, что вертикальное поле, вообще говоря, зависит и от z, но эта зависимость E(z) не учитывается в (2), поскольку высота формирующейся воронки гораздо меньше размера облака. Кроме того, воронка обычно образуется вблизи оси облака, где f «С 1, поэтому радиальным полем можно пренебречь в сравнении с вертикальным.
В ходе решения системы (1) будем считать, что электрическое поле Е и вязкость /л среды вносят малую поправку в движение воронки, поле скоростей которой при Е = 0 и ¡л = 0 представляет собой классический вихрь Рэнкина [5, 20-22]:
иг = их = 0,
U (г) = Up(r) = и}0[0(а0 - г) ■ г + в (г - а0) ■ а0 ■ (а0/г)],
(3)
где 9(х) — функция Хевисайда, йо и Шо — соответственно радиус (ао <С Ь) и угловая скорость ядра вихря, т.е. области твердотельного вращения [21].
3. Обезразмеривание задачи. Приведем систему (1) к безразмерному виду. В качестве обез-размеривающих параметров для массовой и зарядовой плотности, длины и скорости выбираем соответственно р, ре, ао и шоао. В этом случае размерные и безразмерные характеристики среды связаны следующим образом: г = аог*, и = шоаои*, д = ш^аод*, /л = риоа^/л*, Е = рш^аоЕ*/ре и т.д. Далее индекс "*", соответствующий безразмерным переменным, будем опускать. Тогда обезразмеренная система (1) примет вид
и% _ дре , и [ Пг
диг диг дг + UZ dur dz
duv dt duv дг + U2 duv dz
duz duz дг + UZ duz dz
1 dur г дг duz dz = o, Pe
дг V г
+ Е + ¡лАи;
dz
go(2g - !) 2 р2 -12-Ршоь >
(4)
а формула (2) для возмущений АЭП под грозовым облаком перепишется как
= К«-""'"О- <6>
где ( = (реЕо)/(pujQÜo), г] = ao/L. Для скорости потока в нулевом приближении по Е и /л из (3) получаем
Ur = Uz = 0, U(r) = Uv(r) = 9(l-r)-r + 9(r-l)/r. (6)
Ищем решение (4) в виде u(r,z,t) = U(r) + v(r, z,t), где v(r,z,t) — малая поправка к U(r) (|v(r, z, i)|/|U(r)| ~ ä < 1), обусловленная наличием электрического поля Е и турбулентной вязкостью ¡л среды. Слагаемые, описывающие влияние вязкости и АЭП, считаем членами одного порядка малости с 5 <С 1 по сравнению с остальными слагаемыми. При характерных значениях размерных параметров ао ~ 100 м, шо ~ Ю-1 с-1 [1], р ~ 1 кг/м3, ¡л ~ 1 кг/(м-с) [13], Е ~ (N — 1)Eq ~ 105 В/м [10], N ~ 103, ре ~ Ю-8 Кл/м3 [12] значения всех безразмерных слагаемых сЕи(| имеют порядок Ю-3. В указанных предположениях безразмерные уравнения движения среды системы (4) после линеаризации принимают вид
dvv dU Uvr ЛГ7 С/4 dt dr г \ г
Здесь учитывается, что при расстоянии до оси потока порядка радиуса торнадо величина rjr <С 1, поэтому в формуле (5) имеем (N ■ — 1) ~ N. Кроме того, в систему (7) не входят слагаемые,
соответствующие изменению давления, поскольку при малых скоростях потока движение среды почти не влияет на плотность и давление. Ищем решение (7) при условии, что в момент времени t = 0 имеет место соотношение u(r, z,0) = U(r), т.е. v|t=o = 0, где U(r) определено в формуле (6). Считаем, что конфигурация воронки при t = 0 совпадает с формой поверхности постоянного давления для комбинированного вихря Рэнкина [22]:
z = i-(r2-l)+C, г < 1, z = ±.(i-^j+C, l^r^R/ao, (8)
где R — радиус основания воронки в нижней части грозового облака, а постоянная С определяется выбором начала координат. Предполагаем, что плотность заряда воронки ре — положительная константа ре = const > 0, в первом приближении равная плотности дополнительного (нижнего) положительного заряда грозового облака. Для расчета влияния электрической силы вычислим поле
скоростей при 0 ^ г ^ R/aо. Внутри ядра (г ^ 1) поправка v(r,z,t) к полю скоростей U(r) из (6) описывается системой уравнений
dvr dv^
—— 2vv = 0, -7^+2vr = 0, dt dt (g)
а вне ядра воронки (1 ^ г ^ R/üq) система имеет следующий вид:
dvr _ vlD „ dvlL _
(10)
_2—^ = 0, —Е=0, dt г2 ' dt '
Решения этих систем должны удовлетворять уравнению неразрывности и условию согласования при г = 1. Несложными преобразованиями можно получить, что при v|t=o = 0 решение систем (9), (10) выражается формулами
vr = 0, vv = 0, vz = Nt- С/3; vr = 0, vv = 0, pvz = PePNEot
соответственно в безразмерном и размерном виде.
Можно заключить, что электрическая сила заставляет воронку торнадо равноускоренно двигаться по вертикали. Из формул (11) получаем, что размерное вертикальное ускорение воронки равно wz = pef3NE0/p. При /3 < 0 электрическое поле приводит к опусканию воронки к земной поверхности (wz < 0) с последующим формированием интенсивного торнадо, а при 0 < /3 < 1 воронка может двигаться и вертикально вверх (wz > 0), "втягиваясь" в грозовое облако. При Е{0) ~ NEo ~ 105 В/м [10], ре ~ Ю-8 Кл/м3 [12] и высоте облака Н ~ 1 км [1] над землей время опускания или "втягивания" воронки г ~ -\/2H/wz ~ 103 с, что вполне согласуется с натурными наблюдениями [1]. Если ре ф const, то электрическая сила вычисляется путем интегрирования зарядовой плотности по объему воронки с учетом (8).
Заметим, что размерный критерий движения воронки торнадо вверх или вниз (формула для vz в (11)) не зависит ни от угловой скорости, ни от радиуса воронки. Это означает, что последнюю формулу (11) можно обобщить на широкий класс вихревых осесимметричных течений несжимаемой среды, в которых поле скоростей в нулевом приближении имеет вид Ur = Uz = 0, Up = F(r).
Следует обратить внимание на то, что деформация воронки за счет вертикальной электрической силы может приводить к изменению поля скоростей со временем [5, 19], например:
иг = 0, -u^, = w(i) 6>(а0 - г) ■ г + 9(r - а0) • а0 • (a0/r)d^ , puz = pef3NE0t, (12)
где oj(t) = wo+wi(t), d(t) = l + di(t), wi(t)/wo ~ di(t) т.е. u(r,z,t) = U(r) при t = 0. Из (11)
следует вывод: u)\(t) и d\(t) должны быть такими, чтобы поправка к азимутальной скорости в первом приближении была равна нулю. После линеаризации поля скоростей (12) получаем соотношение
I wo • d\(t) ln(r/ao), ao ^ r ^ R.
Значит, электрическое поле под грозовым облаком может оказывать влияние на завихренность воронки торнадо (см. (8)). Более общий случай, когда в формуле (12) вместо ao стоит a(t) ф const, т.е. радиус ядра воронки меняется со временем, в настоящей работе не рассматривается. Также не приводятся сравнительные оценки исследованного электрического механизма с учетом влияния термогидродинамических факторов типа растяжения вихревых линий, высотного перепада температуры и атмосферного давления, генерации спиральности во влажном воздухе [2, 3] и т.д., что предполагается сделать в дальнейшем.
4. Заключение. На основе уравнений Навье-Стокса с учетом электрической силы исследовано влияние сильных возмущений АЭП под грозовым облаком на движение воронки торнадо. Электрическая сила может способствовать как опусканию формирующейся воронки к земной поверхности,
так и ее "втягиванию" в грозовое облако. Характерное время процесса формирования торнадо хорошо согласуется с результатами натурных наблюдений, что указывает на необходимость учета электрических факторов в ходе исследования эволюции воронки торнадо.
Автор выражает признательность В.Л. Натяганову за постановку задачи и полезные обсуждения полученных результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-31-00456).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Географические особенности и геологическая деятельность. Л.: Наука, Ленингр. отд-е, 1969.
2. Интенсивные атмосферные вихри / Под ред. Л. Бенгтссона, Дж. Лайтхилла. М.: Мир, 1985.
3. Курганский М.В. Генерация спиральности во влажной атмосфере // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1993. 29. 464-469.
4. Vonnegut В. Electrical theory of tornadoes //J. Geophys. Res. 1960. 65. 203-212.
5. Натяганов В.Л., Маслов С. А. Ломоносов и загадки природного электричества. Часть 4. Электромагнитные механизмы формирования торнадоподобного смерча // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 32-38.
6. Maslov S.A. The influence of tripole structure of thundercloud charge on secondary circulation in tornadoes // Fluxes and Structures in Fluids: Proc. Int. Conf. Saint-Petersburg. M.: Макс Пресс, 2013. 206-209.
7. Электровихревые течения / Под ред. Э.В. Щербинина. Рига: Зинатне, 1985.
8. Боев А.Г. Плазменная модель смерча // Вопросы атомной науки и техники. 2008. № 4. 133-138.
9. Маслов С. А. Электрические механизмы усиления завихренности в воронке торнадо // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 54-58.
10. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. Л.; М.: ГИТТЛ, 1949.
11. Williams E.R. The tripole structure of thunderstorm //J. Geophys. Res. 1989. 94. 13.151-13.167.
12. Евтушенко A.A., Мареев E.A. О генерации слоев электрического заряда в мезомасштабных конвективных системах // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 2009. 45, № 2. 255-265.
13. Теория мезомасштабной турбулентности. Вихри атмосферы и океана / Под ред. Г.С. Голицына. М.; Ижевск: РХД, 2010.
14. Сорокин В.А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: РХД, 2009.
15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. T. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.
16. Natyaganov V.L., Maslov S.A., Sytov V.E. The effect of thundercloud electric structure on tornado and downburst formation // Сб. докл. XI Междунар. науч. конф. "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики". Петергоф, 29 июня-3 июля 2015 г. СПб.: ИД "Петроградский", 2015. 85-88.
17. Натяганов В.Л., Киселева C.B., Маслов С.А., Сытое В.Э. Влияние электромагнитных факторов на формирование и динамику мощных атмосферных вихрей // Сб. трудов XI Всерос. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань, 20-24 августа 2015 г. Казань: Изд-во Казан. (Приволж.) федер. ун-та, 2015. 2739-2741.
18. Маслов С.А., Натяганов В.Л., Сытое В.Э. Влияние электромагнитных факторов и электрической структуры грозовых облаков на формирование торнадо и низовых прорывов / / Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Т. 2: Мат-лы X Междунар. симпозиума, посвященного 70-летию Победы. М.: Изд-во РАН, 2015. 77-87.
19. Маслов С.А., Натяганов В.Л. Влияние зарядовой структуры грозовых облаков на формирование торна-доподобных вихрей // Прикл. физ. 2016. № 1. 16-20.
20. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Вихревые и спиральные структуры в идеальной жидкости. Препринт № 627 Ин-та проблем механики РАН. М., 1998.
21. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Изд-во Ин-та теплофизики СО РАН, 2003.
22. Ламб Г. Гидродинамика. Л.; М.: ГИТТЛ, 1947.
Поступила в редакцию 24.11.2015
