Визуализация новых полей скоростей двумерных уравнений идеальной пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневскце чтения

УДК 539.374

О. В. Гомонова, С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск, Россия

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НОВЫХ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Предложен метод визуализации полей скоростей для плоской задачи идеальной пластичности.

Система двумерных уравнений, описывающих двумерное напряженно-деформированное состояние идеальной пластической среды, имеет вид [1]:

да

■3 = 0.

dx dy

да y-+—= 0,

2t

dy dx (аx -аy)2 + 4t2 = 4k2, 4 -füV ö = (sx-аy + ^ö

dx dy 0 V x ' I dy dx

dx

(1)

(2)

где аx, а

y'

^^х ^у п —- + —- = 0,

дх ду

- компоненты тензора напряжений; ух, уу - компоненты вектора скорости деформации

частиц среды; k - постоянная пластичности.

Данная система уравнений обычно решается следующим образом: находятся решения уравнений (1), а затем на их основе строятся поля скоростей (решаются уравнения (2)).

Для построения новых полей напряжений (решений уравнений (1)) может быть применен метод действия симметриями на линии скольжения решения Прандтля, которые для данных уравнений совпадают с характеристиками; их дифференциальные уравнения имеют вид

dy dx

dx = -ctge,

dx

где 6- угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью абсцисс. Этот метод успешно применялся в более ранних работах авторов [2-4].

Но применительно к уравнениям (2) данная методика не эффективна, так как характеристики уравнений (1) и (2) совпадают. Поэтому предлагается строить траектории (с помощью введения временного параметра) либо линии тока для соответствующих решений.

Пусть Ss - некоторое неособое решение уравнений (1), а Sp - решение Прандтля. Тогда существует симметрия j, такая что jSp = Ss . Для визуализации

решения Ss достаточно подействовать симметрией j на характеристики решения Прандтля. В результате будут построены линии скольжения решения Ss , которые его полностью определяют. Пусть Ssv -решение уравнений (2) , соответствующее решению Ss . Как было отмечено выше, для его визуализации описанный метод не подходит, поскольку характеристики уравнений (1) и (2) совпадают. В этом случае поступаем так: для поля скоростей, соответствующего решению Прандтля, строим либо траектории движения частиц, либо линии тока и уже на них действуем симметрией j.

Отметим, что визуализация полей скоростей с помощью траекторий зависит от выбора параметра, играющего роль времени, поэтому является неоднозначной.

Библиографические ссылки

1. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969.

2. Гомонова О. В., Сенашов С. И. Двумерная пластичность: симметрии, точные решения // LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co / Saarbrücken, 2012.

3. Senashov S. I., Gomonova O. V. Transformation of the Prandtl Solution into New Solutions of Ideal Plasticity // Proc. of the 2nd Intern. Conf. on Multimedia Technology (ICMT 2011) (Hangzhou, July 26-28, 2011). Vol. 7. Part II. P.6634-6637.

4. Senashov S. I., Gomonova O. V. Evolution of the Characteristics of the Prandtl Solution // J. of Applied and Industrial Mathematics. 2009. Vol. 3. № 3. Novosibirsk,

O. V. Gomonova, S. I. Senashov Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk, Russia

VISUALIZATION OF NEW FIELDS OF VELOCITIES OF TWO-DIMENSIONAL IDEAL PLASTICITY EQUATIONS

A method of the visualization of new fields of velocities for 2-dimensional problem of ideal plasticity is proposed.

© Гомонова О. В., Сенашов С. И., 2012