CC BY
27
Машиностроение. Строительство. Материаловедение. Металлообработка
УДК 534: 62-13
ВИБРОАКТИВНОСТЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ВАЛОВ, ВРАЩАЮЩИХСЯ В УПРУГО-МАССОВЫХ ОПОРАХ
В.И. Галаев
Кафедра «Теоретическая механика», ТГТУ
Представлена профессором Н.Я. Молотковым и членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: вынужденные колебания; вибронагружен-ность; обрабатывающий вал; прижимной вал; роторная машина; статическая и моментная неуравновешенности.
Аннотация: Проведены аналитические исследования вынужденных колебаний системы двух валов с упругим слоем между ними, вызываемых неуравновешенностью одного вала. Получены распределения уровней вибронагруженно-сти валов по их длине в случаях статической и моментной неуравновешенностей.
Механическая обработка материалов в зазоре между валами, вращающимися с различными угловыми скоростями, является назначением многих роторных машин. Обработка материала происходит на поверхности вала с меньшей угловой скоростью (прижимной вал), с помощью которого осуществляется также предварительное сжатие материала и его подача в зону обработки. Вал, имеющий большую угловую скорость (обрабатывающий вал) предназначен для придания материалу соответствующих физико-механических и геометрических характеристик. В практике обработки, например кожевенных материалов, машинами такого типа являются строгальные машины для получения требуемой толщины и гладкой поверхности кожи [1].
Процесс обработки материалов на роторных машинах сопровождается колебаниями их рабочих органов, основными при этом являются колебания с частотой вращения обрабатывающего вала, что указывает на его динамическую неуравновешенность. Соответствие обрабатываемого материала установленным требованиям во многом определяется качеством динамического функционирования обрабатывающей системы роторных машин, работа которой является показателем рациональности конструкции машины в целом [2].
Механическая модель обрабатывающей системы представлена в виде двух валов, расположенных в горизонтальной плоскости, с упругой связью между ними, которой является полоса материала в зазоре между валами, рассматриваемая как линейные силы упругости, равномерно распределенные по их длине (рис. 1).
У
■agf.l
e
Рис. 1 Расчетная динамическая модель системы упругосвязанных валов:
1 - обрабатывающий вал; 2 - прижимной вал; 3 - упругая связь
Главный вектор и момент дисбалансов обрабатывающего вала заменяется эквивалентной системой, состоящей из двух дисбалансов. Угловая скорость этого вала намного больше угловой скорости прижимного вала, что позволяет не учитывать неуравновешенность последнего. Колебания обрабатывающей системы рассматриваются в горизонтальной плоскости, так как они определяют распределение отклонений зазора между валами от технологического зазора, а следовательно, и качество обработки материала.
Введем следующие обозначения: Е1(/ь рь Е2/2, р2 - изгибные жесткости и массы единицы длины обрабатывающего и прижимного валов соответственно; 1 - длина валов; ю, Д, Д, ф12 - угловая скорость, дисбалансы и сдвиг фаз между дисбалансами обрабатывающего вала соответственно; х1, х2 - координаты точек расположения дисбалансов В1 и В2; Сп - коэффициент жесткости упругого слоя между валами; С1, С2, М1, М2 - жесткости и массы опор валов соответственно; у^х, ?), у2(х, ?) - функции распределения динамических прогибов обрабатывающего и прижимного валов по их длине.
Система дифференциальных уравнений относительно функций у1(х, ?), у2(х, ?) имеет вид
где / (.х, ?) - внешняя нагрузка, действующая на обрабатывающий вал, представляемая в виде двух сосредоточенных сил ^ = Дю2 Бт( ю?) и ^ = Дю2 Бт(ю? + ф12 ) (см. рис. 1).
Предполагаем, что силы ^ и ^ равномерно распределены в интервалах от х1 до х1 + а1 и от х2 до х2 + а2 с интенсивностями /1(х, ?) и /2(х, ?) на единицу длины вала, что позволит при решении задачи не записывать условия сопряжения решений системы уравнений (1). При этом /1(х, ?)а1 ^ а1 ^ 0; /2(х, ?) а2 ^ Е; а2 ^ 0; поэтому {(х,?) = /1(х, ?) + /2(х, ?):
+ Р1 ^2'11 +Сп [У1(х,t)-у2(х,t)] = f (х,t);
(1)
f (х, t) =
f2 ( X, t) =
где qa ^ Дш2, а,- ^ 0, i = 1, 2.
0, x < x1, x > х1 +ст1 q1 sin rot, x1 < x < x1 +CT1;
0, x < x2 , x > x2 +a2 q2 sin rot, x2 < x < x2 +CT2 ;
Решение системы (1), соответствующее вынужденным колебаниям валов, ищем в виде
| у (х,/) = А1 (хго/ + А12 (хго/ + ф12); [у2 (х,/) = А1 (хго/ + А| (хго/ + ф!2),
где А11 (х), А12 (х), А1 (х), А^ (х) - формы вынужденных колебаний валов.
(2)
Переходя к безразмерной координате § = —, для функций А1: (1 = 1,2, ] = 1,2) получим следующие системы дифференциальных уравнений:
d4 A1 (|) 14
^di A1 (I) - bi A2 (I) = f (I)
d I4 d 4 A2 (|)
Ei Ji
(3)
d|4
- d2A2 (I) -b2A1 (I) = 0,
где Ь = Сп I Е й = (р,ш - С„) I / , §1 = х /1, /1 (§) =
1 = 1,2.
Граничные условия:
0,I <I, ,I>Ii +a, /1 q,,I,- < I < I, +a, /1,
d2 A. (0) d2A. (1)
d I2 l3
d I2
= 0,
d3A. (0)
d I3
= -ß,A. (0),
d3 A. (1) d I3
= M. (1),
(4)
где Р1 = (С -М1 го2), 1 = 1, 2, ] = 1, 2.
Е Л1
Из системы уравнений (3) относительно функций А2 (§) получается дифференциальное уравнение
й8 А2 (§) й4 А2 (§) Ь2I4 -^ - (й + й2)-^ + (- Ь1Ь2) А^ (§) = Ь— (§), 1 = 1, 2. (5)
й §8 й §4 Е1
Граничные условия (4) с учетом второго уравнения системы (3) можно записать в виде:
d2A2 (0) d2A2 (1) d6A2 (0) d6A2 (1)
d I2
d I2
d I6
d I6
= 0,
d A (0) =-ß2A2 (0), d A7(0) =-ß2d2A2 (0) -ß1b2A1 (0),
d I3
d I7
(6)
d =P2A (1), d =P2d2A2 (1) + PAAi (1), i = 1, 2. dI3 dI7
Общее решение уравнения (5) A2 (I) = A3 (I) + A4 (I), где A3 (I), A4 (I) соответственно общее решение однородного и частное решение данного уравнения [3]:
A3 (I) = C1 shX1| + C2chXj| + C3 sin^| + C4 cos Xj| + +C5shX51 + C6chX51 + C7 sinX51+ C8 cosX51,
где X1 =aj, X5 =a5 + ip5 - корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (5), С1 - С8 - постоянные, определяемые граничными условиями (6), ai, a5, р5 - неотрицательные постоянные, определяемые величинами di,
d2, Ь1, Ь2:
a1 = z1 = d1 + d2 +y¡(d2 - d1)2 + 4Ь1Ь2 > 0, a5 = p5 = 0 при z2 = d1 + d2 (d2 - d1)2 + 4Ь1Ь2 > 0,
a5 = p5 = z2 /2 при z2 < 0.
В зависимости от знака величины z2 решение A3 (I) может быть как действительным, так и комплексным.
Частное решение Д4 (I) определим методом операционного исчисления [4]:
Е
(I) = Z —L- f f (т)eXk(I-z)dz,
4 t=i Xk и E Ji
ного p, B1 (Xk) = —^ J p = xk , Xk - корни характеристического уравнения
о
где 5 (р) = р8 - (d\ + d2) р4 + ( й?1 й?2 - й\й2) - функция комплексного перемен-
аВ(р) dp
для дифференциального уравнения (5), Х2 =-а\, Х3 = /а\,X4 =-/а\; X6 = —Х5 , X7 = /X5, Х8 = — /X5.
Так как при 0 у/- () = 0, то в этом интервале А4 () = 0. При
< | < 1 получаем
А4 (I) =У-1- Г д,ви () d т.
Использование теоремы о среднем и условия д, а, ^ Дю2 при стг- ^ 0 позволяет записать решение А4 () в виде:
A4 (I) = Аю213b
shXi (I-Ii) - sin Xi (I - Ii) shX5 (I-Ii) - sin X5 (I-Ii)
2 E1Ji0
где 0 = y¡ (d 2 - di)2 +4 bib2.
X3 X3
(8)
Таким образом, если величины z2 >0 и ^ <§<1 решения A3 (§) и A имеют вид (7) и (8), при z2 <0 и ^ <§< 1 решения A3 (§) и A4 могут быть представлены в форме:
A3 (|) = Cj sin+ C2chXj| + +C3 sinC4 cosea5§ (C5 sina5§ + C6 cosa5§) +
+e-a5§ (C7 sina5§ + C8Cosa5§), (9)
A (5) = А ^ ^ b
shXt( Z-Zi) - sin M Z-Zi) +
X3
2 Д JjG
+ cos as (| - %¿ )shas (% - %¿) - sin as (% -%¿ )cha5 (% - %¿)
2 d53
Функции A¡ (%) определяются из второго уравнения системы (3)
'd4 A2 (%)
(10)
A (Z)= b-
b2
d z4
--d2 A (Z)
i = 1,2. (11)
й2Л1 (0) й6А2 (0)
Граничные условия -=-= 0 дают следующие соотношения
й|2 й|6
между постоянными Св (^ = 1,..., 8): С2 = С4, С6 = С8 при > 0 ; С2 = С4, С5 = С7 при 12 < 0.
Использование оставшихся граничных условий (6) позволяет определить остальные постоянные Сц.
По функциям Л/ (|); Л1 (^); Л12 (^); Л| (|) можно установить распределение динамических прогибов валов в интервалах: 0 < |<|, | <|<|2, |2 < | < 1. При этом функции распределения амплитуд вынужденных колебаний обрабатывающего Л] (|) и прижимного Л2 (|) валов имеют вид:
Л/ (|) = ^[Л1(|)]2 + 2Л/ (|)Л2(|)сс8Ф12 +[Л2(|)]2;
Л2(I) Л2 (I)]2 + 2Л/ (I)Л22 (I)со8Ф12 +[Л22 (|)]2 . (12)
Для установления распределения амплитуд вынужденных колебаний валов по их длине была составлена соответствующая программа численного решения исследуемой задачи (1) - (12), позволяющая выявить в зависимости от вида неуравновешенности обрабатывающего вала наиболее вибронагруженные участки валов, проанализировать влияние параметров системы на ее динамическое функционирование.
На рис. 2 представлены графики распределения амплитуд вынужденных колебаний валов для следующих параметров исследуемой системы: Е\3\ = = 1,5 107 Н-м2; Е2^2 = 0,44 107 Н-м2; р^ 234 кг/м; р2 = 57 кг/м; I = 2,1 м; ю = = 144 с-1; с = 0,9-107 н/м; с2 = 0,5-108 н/м; сп = 107 н/м2; М1 = М2 =0.
Шю8 ш
Do)z [ Du)2
7 н
№
5,50
г,75
О 0£5 0}50 о;£
Рис. 2 Распределение амплитуд вынужденных колебаний валов по их длине:
1, 2 - обрабатывающий и прижимной валы с учетом изгиба соответственно; 3, 4 - обрабатывающий и прижимной валы как жесткие соответственно;
---статическая неуравновешенность;
---- моментная неуравновешенность
Безразмерные координаты точек приложения возмущающих сил, действующих на обрабатывающий вал, принимались равными = 0,25; = 0,75; дисбалансы D1 = D2 = D; сдвиг фаз дисбалансов ф12 = 180° и ф12 = 0, то есть рассматривались моментная и статическая неуравновешенности обрабатывающего вала. На этом же рисунке приведены графики распределения амплитуд колебаний валов, определенных в предположении их абсолютной жесткости.
Следует отметить существенное различие в уровнях вибронагруженности валов при различных видах неуравновешенности обрабатывающего вала. Амплитуды колебаний валов, рассчитанные с учетом их изгибной жесткости и в предположении абсолютной жесткости валов значительно отличаются в случае статической неуравновешенности; это различие несущественно при моментной неуравновешенности обрабатывающего вала.
Проектированию промышленной роторной машины должны предшествовать теоретические исследования колебаний ее рабочих органов и решение задачи обеспечения стабильности вибрационных характеристик, изменение которых мо-
жет происходить вследствие действия технологической нагрузки или вызываться переменностью параметров самой машины, определяемых износом или приработкой ее деталей. В зависимости от рассматриваемой задачи роторную машину идеализируют динамическими схемами, которые представляют отдельные части динамической схемы машины в целом, при этом решение даже частных вопросов динамики рабочих органов несомненно способствует совершенствованию конструкций роторных машин.
Список литературы
1. Бурмистров А.Г. Оборудование предприятий по производству кожи и меха / А.Г. Бурмистров, Б.В. Зайцев, А.И. Морозов, В.В. Жуков. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. - 415 с.
2. Галаев В.И. Качественный анализ динамического функционирования обрабатывающей системы строгальных машин / В.И. Галаев. - Изв. вузов. Технология легкой промышленности, 1989, № 3. - С. 100 - 104.
3. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. -М.: Наука, 1981. - 304 с.
4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М.В. Фе-дорюк. - М.: Наука, 1980. - 350 с.
Vibro-Activity of Interaction System of Unbalanced Shafts Rolling in Elastic-Mass Bearing
V.I Galaev
Department "TheoreticalMechanics", TSTU
Key words and phrases: forced vibrations; vibro-loading; processing shaft; pressure roller; rotor machine; static and moment unbalance.
Abstract: Analytical research of forced vibrations caused by unbalance of one of the two shafts and elastic layer between them is carried out. The distribution of the levels of shafts vibro-loading on their length in cases of static and moment unbalances is obtained.
Vibroaktivität der Zusammenwirkung des Systems der in den elastischen Massenauflagerungen unausgeglichenen Wellen
Zusammenfassung: Es sind die analytischen Untersuchungen der von der Unausgeglichenheit der einen Welle hervorgerufenen Notschwankungen des Systems von zwei Wellen mit der elastischen Schicht zwischen ihnen durchgeführt. Es sind die Verteilungen der Vibrobelastungsniveaus der Wellen nach ihrer Länge in Fällen der statischen und momenten Unausgeglichenheit erhalten.
Activité de vibration de l'interaction du système des arbres non équilibrées tournant dans les appuis élastiques massiques
Résumé: Sont mentionnées les études des oscillations forcées du système de deux arbres avec une couche élastique entre celles-ci provoquées par le non-équilibre d'une de ces arbres. Sont obtenues les répartitions des niveaux du chargement de vibration des arbres par leur longueur dans les cas des non-équilibres statique et momentannée.
