CC BY
30
УДК 625.7:519.6
БЕКМУРАТОВ АЛТЫНБЕК ТОПЧУЕВИЧ, ст. преподаватель, altyn_n@rambler. ru
ОНОПЕНКО ГАЛИНА АЛЕКСАНДРОВНА, докт. физ.-мат. наук, профессор, galexon@rambler. ru
КУДУЕВ АЛТЫНБЕКЖАЛИЛБЕКОВИЧ, ст. преподаватель,
altun_12@rambler. ru
Ошский государственный университет,
714000, Киргизия, г. Ош, ул. Ленина, 331,
ШУМИЛОВ БОРИС МИХАЙЛОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, профессор, sbm@tsuab. ru
ЭШАРОВ ЭЛЗАРБЕКАСАНОВИЧ, канд. физ.-мат. наук, доцент, elzare 78@rambler. ru,
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И СЖАТИЕ ДАННЫХ ЛАЗЕРНОГО СКАНИРОВАНИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ*
Для аппроксимации функций двух переменных, определенных в прямоугольной области билинейными сплайнами, предложено использовать разложение по базису неортогональных вейвлетов. В случае прямоугольной таблицы значений функции алгоритм аппроксимации сводится к серии одномерных вейвлет-преобразований по строкам и столбцам таблицы. Для случая непрямоугольной таблицы предлагается использовать метод наименьших квадратов. Обсуждаются способы удаления малозначащих коэффициентов разложения с целью сжатия таблиц и улучшения результирующих поверхностей. Представлены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: билинейные сплайн-вейвлеты, аппроксимация и улучшение поверхностей, сжатие и восполнение таблиц.
BEKMURATOV, ALTYNBEK TOPCHUEVICH, Senior teacher, altyn_n@rambler. ru
ONOPENKO, GATINA ALEKSANDROVNA, Dr. of phys.-math. sc., prof., galexon@rambler. ru
KUDUEV, ALTYNBEK JALILBEKOVICH, Senior teacher, altun_12@rambler. ru Osh State University,
331 Lenin st., Osh, 714000, Kirgizia,
SHUMILOV, BORIS MIKHAILOVICH, Dr. of phys.-math. sc., prof., sbm@tsuab. ru
ESHAROV, ELZARBEKASANOVICH, Cand. of phys.-math. sc, assoc. prof., elzare 78@rambler. ru,
Tomsk state university of architecture and building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 11-08-90902 моб_снг_ст, №11-08-90903 моб_снг_ст).
© А.Т. Бекмуратов, Г. А. Онопенко, А.Ж. Кудуев, Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров, 2011
WAVELET TRANSFORM AND COMPRESSION OF DATA OF LASER SCANNING OF ROADS
For the approximation of functions of two variables defined in the rectangular area by bilinear splines it is offered to use decomposition in non-orthogonal basis of wavelets. For the case of a rectangular table of values of the function the algorithm of approximation is reduced to a series of one-dimensional wavelet transforms on the lines and columns of the table. The method of the least squares is offered to use for the case of nonrectangular table. Ways of removing the nonsignificant coefficients of the decomposition to compress tables and to improve the resulting surfaces are discussed. The results of numerical experiments are presented.
Keywords: bilinear spline-wavelets, approximation and improvement of surfaces, compression and filling of the tables.
Введение
Характерной особенностью современного этапа развития дорожной отрасли России является существенное сокращение нового строительства и реконструкции автомобильных дорог, когда основной проектной линией является трасса [1] - гладкая пространственная кривая, относительно которой формируются каркас дороги, подстилающие поверхности, дорожные одежды, элементы транспортной инфраструктуры, и переход к решению задач массовой паспортизации, диагностики и ремонтов автомобильных дорог, где вместо этого требуется построение линейно-протяженной пространственной поверхности, служащей как для сжатого хранения данных, так и для автоматизированного расчета материальных и временных затрат при выполнении ремонтных работ. Источником актуальной информации о состоянии верха дорожного полотна является прямоугольный массив координат высотных отметок поверхности дороги, полученных, например, методами лазерного сканирования [2]. Это приводит к двумерной сплайн-интерполяции, применение которой позволяет сохранить структурные линии дороги (ось, кромки, бровки), в отличие от известных методов восстановления геометрического тела автомобильной дороги по триангуляции хаотических точек на плоскости. Весьма важно и то, что при таком подходе гарантируется достижение высокой точности описания неровностей и повреждений дорожного покрытия на участках, требующих ремонта, и облегчается сжатие информации на участках, не требующих ремонта.
1. Построение сплайн-вейвлетов первой степени
Пусть пространство VL является пространством сплайнов первой степени на отрезке [a, b] с равномерной сеткой узлов AL : ui = a + (b - a)i /2L,
i = 0, 1, ..., 2L, базисными функциями N(v) = ф;(v-i) Vi, где v = 2L x x(u - a) / (b - a) +1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами функции ф1(^ ) (рис. 1):
' t, 0 < t < 1, ф1(/) = - 2 -1, 1 < t < 2,
0, t g [0,2].
Рис. 1. График функции ф^Г)
На любой сетке ДЬ, Ь > 0 интерполяционный сплайн 1-й степени может быть представлен как
БЬ (и ) = £ СЬЫЬ (и ), а < и < Ъ,
(1)
где коэффициенты СгЬ являются значениями аппроксимируемой функции в узлах.
Если сетка ЛЬ-1 получена из ЛЬ посредством удаления каждого второго узла, то соответствующее пространство УЬ-1 с базисными функциями Ы^1, в два раза большими по ширине, с центрами в четных целых числах, вложено в У Ь. Преимущество перехода к вейвлет-коэффициентам состоит в том, что часто большое количество коэффициентов оказывается очень малым по величине. Удаление этих малых коэффициентов приводит лишь к незначительным погрешностям при воспроизведении таблицы заданных значений, являя форму сжатия «с потерями». В частности, пространство полуортогональных вейвлетов определяется как ортогональное дополнение Уц до У по отношению к определенному скалярному произведению [3], обеспечивая в этом случае наилучшее приближение в смысле метода наименьших квадратов. Сплайн-вейвлеты [4], определяемые из условия ортогональности УЬ всем многочленам первой степени, не намного уступают по качеству аппроксимации полуорто-гональным вейвлетам, но имеют менее заполненные матрицы вейвлет-преобразования.
Обозначим базисные функции пространства вейвлетов как
М (V) = ^21 (V - 1), Мг (V) = ^2 (V - 0, г = 2, 3, ..., 2Ь-1 - 1, (V) = У21 х
х (2Ь - V +1), где (рис. 2, а, б)
9
^21 (Г) = ^(6л^ф1 (2Г +1) - 5ф1 (2Г) + 2ф1 (2Г -1)) ,
У2 (Г) = 2Ф1 (2Г +1) - Ф1 (2Г) +1 ф1 (2Г -1) .
(2)
(3)
Будем обозначать коэффициенты сплайна 1-й степени как
СЬ =[СЬ, С1Ь,..., С^ ] , а соответствующие вейвлет-коэффициенты как ОЬ =
= ,..., ^ . В результате, с использованием обозначения для блочных
матриц процесс получения С из С-1 и Б-1 может быть записан как [3]:
г=0
с Ь = [ рЬ | О ]
с Ь
(4)
Рис. 2. График функции ^(Г) (а); график функции Т2(Г) (б)
Ниже представлен пример матрицы [Р\О~], соответствующий Ь = 3:
2 8л/6/3
1 1 -10>/3 /9
2 4л/3 /9 1
1 1 -2
2 1 1
1 1 -2
2 1 4^3/9
1 1 -10л/3/9
2 8л/6 / 3
Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы. Блоки матрицы рЬ составлены из коэффициентов двухмасштабного соотношения для базисных сплайнов 1-й степени
Ф1(Г) = -2 Ф1 (2Г +1) + Ф1 (2Г) + 2 Ф1 (2Г -1),
так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а на краю интервала из двух узких базисных функций, а матрица О получается при использовании явных представлений (2), (3). Обратный процесс разбиения коэффициентов СЬ на более грубую версию СЬ-1 и уточняющие коэффициенты Б-1 состоит в решении системы линейных уравнений (4). При этом для облегчения решения матрицу [Р | О] можно сделать ленточной, просто изменив порядок неизвестных так, чтобы столбцы матриц Р и О перемежались [3].
Процедуру разбиения СЬ на часть С"-1, соответствующую низшему разрешению, и уточняющие коэффициенты Б-1 можно применить рекурсивно и к самой этой части СЬ-1. Следовательно, исходные коэффициенты можно
представить в виде иерархии грубых версий С0, С1, ..., СЬ-1 и уточняющих деталей Б0, Ё1, ..., ё"-1. Обратно коэффициенты С1 можно восстановить из последовательности С0, Б0, Ё1, ., ё"-1 .
Рассмотрим для примера функцию Хартена [5]:
f ( x) =
-2sin(3nx), x < 3,
|sin(4nx)|, -3 < x < 3,
1 2 - 2sin(3nx), x > 3.
Это кусочно-гладкая функция, имеющая разрывы первого рода в точках x = 73 и 2/3 и угол (разрыв первой производной) в точке x = 72.
Начиная с верхнего уровня разрешения L = 5, то есть при числе разбиений n = 2l = 32, на интервале 0 < x < 1 с длиной шага Ax = 1/n, находим последовательно при:
L = 5: D4 = [-0,002286; -0,009162; -0,009841; -0,0175; 0,03887; -0,2563; -0,001486; -0,01608; -0,01853; 0,01072; -0,3271; 0,06123; 0,0003227; 0,01279; 0,008662; 0,002358] Т;
L = 4: D3 = [-0,01117; -0,184; 0,5642; -0,2051; -0,1412; 0,3549; 0,0006573;
0,03692] Т;
L = 3: D2 = [-0,3826; -0,7846; -1,621; 0,4782] Т;
L = 2: D1 = [-0,06151; 0,6811] Т;
L = 1: на последнем шаге остается два значения сплайна в начале и конце отрезка аппроксимации, С0° = [2,392; -0,987] Т, и один вейвлет-коэффициент D10 = -1,925.
На рис. 3 представлены результаты реконструкции узловых значений С = СД i = 0, 1, ..., 32, сплайна 1-й степени ^5(x) при условии обнуления 19 незначимых вейвлет-коэффициентов, что обеспечивает коэффициент сжатия 33/(33 - 19) « 2,357. Здесь сплошной линией обозначается исходная функция.
,л
32
Рис. 3. График вейвлет-реконструкций узловых значений сплайна 1-й степени
Соответствующие вычисления для полуортогональных вейвлетов дают неотличимые результаты при том же коэффициенте сжатия.
2. Билинейные сплайн-вейвлеты
В данном разделе рассматривается тензорное пространство Уь , Ь = [Ь1, Ь2], двумерных сплайнов первой степени на прямоугольнике [аь Ь^х[а2, Ь2] с равномерной сеткой узлов ДЬ : и, = а, + (Ь,- - а,) / / 2Ь;, 7 = 0, 1, ..2Ц, Ц > 0, у = 1, 2 по каждому направлению и всевозможными произведениями функций Л1 7 (у) = ф1 (V - /) V/, где V = 2Ц (и - а) / (Ь, - а) + 1, порожденных сжатиями и сдвигами функции ф1 (0 (рис. 1) в качестве базисных функций. Двумерная сплайн-интерполяция может быть представлена как
^ (и, V) = ££ СЦ-МЦ (иЛЦ (у), (5)
/=0у=о
где ЛЦ1 (и) и 2 (у) являются базисными сплайнами для направлений и и V
соответственно.
Удобно записать базисные сплайн-функции на данном уровне Ь в виде двух матриц-строк, фЦ =[N0%Л1,...,] и фЦ =[Л0\Л^2,...,], для направлений и и у соответственно и впредь собирать коэффициенты сплайна СЦ, в матрицы вида
С1 =
С1
'—п
/'"'Ь Ґ''! Со,1 ••• С(
С1 С1
'—-1 п '—'І
0,212
С1
1,2 Ь2
/'’’І /^1
24 0 24 1 2І 2І2
Тогда уравнение (5) переписывается как
& = ф С1 [ф ]Т. (6)
Запишем базисные вейвлет-функции на данном уровне 1 в виде двух матриц-строк, уЦі
= [ мі\...,м1и ] и У2
= [м\...,м211 ], для направлений и и V соответственно, где М11 (V) = ¥21 (V - 1), М1 і (V) = ¥2 (V - і), і = 2, 3, ...,
21;-1 - 1, М2^ (V) = Т21 (21 - V + і), V = 2Ь (и - а;) / (6;- - а}) + 1, j = 1, 2, по каждому направлению, и будем собирать соответствующие коэффициенты вейвлет-разложения в матрицы вида
ВЬ =
В1 В1
М,1 1,2
31, В1-
В1 В1
2^-1 1 2£1-1 2
В,
1,212-1
В1
2,212-:
... В
2^1-1 2і2-1
Вейвлет-преобразование отдельно по каждой переменной может быть записано как
с 1 [ф! ]т = с 121 [ р1 ]Т [ф! ]т + в1 1 [б1 ]Т [ф! ]т = = С^[ф^Х + В^-'Х.
(8)
Таким образом, в двумерном случае имеет место разложение вида
(9)
Я'[ь1-1,ь2 -1] Т^ь1-1.ь1 -1] Т^[ь1-1,ь2 -1] р;[ь1-1,ь2 -1] где нижние и верхние индексы у матриц С"0] , £["] , ^[1*0] 2 , ^[и] 2
указывают начальные и конечные значения нумерации строк и столбцов. Отсюда получаем
Это означает, что мы можем применить одномерное вейвлет-преобразование по первой переменной для каждого столбца исходной таблицы данных, чтобы затем применить одномерные вейвлет-преобразования по второй переменной к каждой строке полученных таблиц. Этот подход имеет очевидное преимущество в реализации, так как не требует никакой доработки уже имеющегося одномерного преобразования [6].
Зачастую расположение предписанных пользователем точек поверхности отличается от узлов прямоугольной сетки и их число значительно больше, чем число коэффициентов сплайна. Например, рис. 4 показывает множество точек (х, у, г), представляющих материалы лазерного сканирования поверхности автомобильной дороги. Здесь х = {х7, 7 = 0, 1, ...} - локальные координаты точек в поперечном сечении дороги, у = {у7, 7 = 0, 1, ...} - продольные координаты, г = {г7, 7 = 0, 1, ...} - координаты рельефа дорожной поверхности (высоты над уровнем моря). Ситуацию осложняет наличие пропусков данных на проезжей части, вызываемых экранированием проезжающими мимо автомобилями и разным числом точек на отдельных сканах, вызываемым потерей данных на придорожном ландшафте и повторными отражениями от находящихся на объекте людей, техники, растительности и т. д. [2].
Поскольку данные имеют два преимущественных направления: вдоль и поперек дороги, предлагается использовать для их аппроксимации парамет-
(10)
3. Сглаживание непрямоугольных таблиц
рические сплайны двух переменных. Поэтому ставится задача трансформировать изгибы автомобильной дороги в прямоугольную область (рис. 5), на которой задано множество точек сканирования х, у, z. Предлагаемый алгоритм состоит из семи шагов.
X
а б
Рис. 4. «Облако» точек сканирования (а) и их горизонтальные проекции (б)
Рис. 5. Изгибы автомобильной дороги
1. На поверхности рассмотрим семейство линий, обладающих следующими свойствами: 1) никакие две линии не имеют между собой общих точек; 2) начало и конец каждой линии находятся в точках, расположенных на противоположных участках границы; два других участка границы включаются в число рассматриваемых линий. Практически построение семейства линий сводится к выделению из множества заданных точек поверхности упорядоченных подмножеств Ьк.
2. Для каждого подмножества Ьк найдем интерполирующий его параметрический сплайн 5к (х, ?), 5к (у, ?), 5к (т., 5) с использованием нормированной параметризации по суммарной длине хорд. На отрезке изменения параметра 5 [0,1] введем равномерную сетку узлов А1*2 : V. = у /2^,
у = 0, 1, ..., 2\ Ь2 > 0 и вычислим координаты точек
^{к({{), 5к(у,), 5к(т)} } = 0 ...,2^; к = 0 ..., N0.
3. Для каждого у = 0, ..., 2^ построим параметрические сплайны
( х, 5), (у, 5), (т, 5) , интерполирующие точки р1, Р2(] ^,..., .
Вновь используется нормированная параметризация по суммарной длине хорд. Далее, введем равномерную сетку А1*1 :ui = I /2\ I = 0, 1, ..., 2\ Ц> 0 и определим координаты точек р . (х., у., т. ):
вых координат поверхности в её узлах (и, V) принимаем значения Х) у) Интерполируя их на сетке А, получаем для координат искомой поверхности следующие формулы:
5. Поскольку некоторые точки сканирования при этом неизбежно теряются, то коэффициенты двумерного сплайна приходится уточнять согласно какому-либо универсальному методу аппроксимации. Мы рассматриваем вариант, когда коэффициенты построенного сплайна отыскиваются согласно методу наименьших квадратов, а именно:
Как хорошо известно [7], невыполнение условия перемежаемости узлов сплайна и точек интерполяции, например отсутствие условий интерполяции в ближайшей окрестности какого-либо узла, приводит к вырожденности соответствующей матрицы. Переход здесь к разложению по вейвлетам принципиально улучшает обусловленность решения, особенно для данных с пропусками, поскольку вейвлеты преобразуют систему базисных сплайн-функций с распределенными параметрами в систему с сосредоточенными вейвлет-параметрами. Для отыскания явной зависимости нужно последовательно осуществить подстановку (9), чтобы получить выражение двумерного билинейного сплайна в виде
билинейной поверхности.
6. Точки скана, для которых превышен заданный уровень ошибки аппроксимации, отфильтровываются так, чтобы остались только точки, принадлежащие проезжей части.
7. Для того чтобы решить, какие вейвлет-коэффициенты должны быть удалены с целью сжатия информации, определяется статистическая мера значимости каждого внутреннего коэффициента согласно критерию г-Стьюдента [8].
На рис. 6 представлены график билинейного сплайн-восполнения полученного МНК-вейвлет-разложения на густую прямоугольную сетку, а также результат наложения исходных точек на полученную поверхность. На рис. 7 представлен соответствующий график стандартизированных ошибок аппроксимации.
(11)
Здесь выражение |^ф0 ^ представляет собой запись усредняющей
(а,с,гса1с) (х „у.х) Да.с.хсак)
Рис. 6. График сплайн-восполнения (а) и результат его наложения на исходные точки (б)
Рис. 7. График ошибок аппроксимации Заключение
В работе были рассмотрены сплайн-вейвлеты первой степени и исследовано разложение билинейных сплайнов по базису неортогональных вейвлетов. Для случая прямоугольной таблицы данных построены серии одномерных вейвлет-преобразований по строкам и столбцам таблицы. В случае непрямоугольной таблицы использован метод наименьших квадратов. Обсуждены способы удаления малозначащих коэффициентов разложения с целью сжатия таблиц и улучшения результирующих поверхностей. Для проведения численных экспериментов использованы данные лазерного сканирования автомобильных дорог.
Библиографический список
1. Бойков, В.Н. Сплайны в трассировании автомобильных дорог / В.Н. Бойков, Б.М. Шумилов. - Томск : Изд-во ГУ Томский ЦНТИ, 2001. - 164 с.
2. Предварительная обработка материалов лазерного сканирования автомобильных дорог / Д.А. Турсунов, Б.М. Шумилов, А.Н. Байгулов [и др.] // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2011. - № 3. - С. 153-163.
3. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике : [пер. с англ.] / Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 с.
4. Koro, K. Non-orthogonal spline wavelets for boundary element analysis / K. Koro, K. Ade // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2001. - V. 25. - P. 149-164.
5. Arandiga, F. Discrete multiresolution based on hermite interpolation: computing derivatives / F. Arandiga, A. Baeza, R. Donat // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2004. - V. 9. - P. 263-273.
6. Двумерное вейвлет-преобразование изображений на основе В-сплайнов / А.Т. Бекмуратов, Г.А. Онопенко, У.Э. Эркебаев [и др.] // Моделирование неравновесных систем: материалы XIV Всероссийского семинара / под. ред. В.В. Слабко ; отв. за вып. Г.М. Садовская. - Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2011. - С. 29-33.
7. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 352 с.
8. Орлов, А.И. Эконометрика / А.И. Орлов. - Изд. 2-е. - М. : Экзамен, 2003. - 576 с.
