Вейвлет-преобразование Хаара над полем Галуа нечетной характеристики Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Вейвлет-преобразование Хаара над полем Галуа нечетной характеристики

ЖаркихА.А., МГТУ, г. Мурманск

В современной теории и практике сигналов активно используются сигналы специального вида — вейвлеты. Они показали свою эффективность в спектральном анализе и сжатии сигналов.

В работах [1, 2] можно ознакомиться с теорией и практическим применением различных вейвлетов с вещественными значениями. Работы [3-6] достаточно подробно освещают современное состояние теории вейвлетов над конечными полями (полями Галуа). В данном докладе рассматривается простое в реализации преобразование Хаара и обсуждаются особенности его использования над конечными полями.

Практически важные вейвлеты традиционно определяются, как функции одной вещественной переменной с вещественными значениями. В зависимости от математической модели (структуры области определения, структуры области возможных значений и вида преобразований), различают дискретные и непрерывные вейвлеты. Особенностью таких определенных вейвлетов являются ошибки, являющиеся следствием вычислений в вещественной арифметике.

Критерии оценки качества работы любой информационной системы субъективны. Тем не менее, можно выделить два основных аспекта в оценке ее качества:

• качество передачи, приема, хранения и обработки информации;

• качество восприятия информации человеком.

Эти аспекты оценки качества не тождественны. Если конечным потребителем информации является человек, то в систему необходимо включать интерфейс адаптации информации к человеческому восприятию.

Передача, прием, хранение и обработка информации могут осуществляться с потерями и без потерь. Человеку безразлично, существуют потери или нет, если он не обнаруживает их с помощью своих органов чувств. При автоматическом функционировании системы без участия человека важно свести любые потери к минимуму или вообще устранить некоторые из них.

Можно выделить два основных вида потерь:

• потери, обусловленные каналами передачи и элементами памяти;

• потери, обусловленные природой и несовершенством алгоритмов обработки.

Вейвлеты Хаара представляют собой кусочно-постоянные функции, принимающие два значения {-1; +1} и заданные на конечных интервалах различных масштабов. Они хорошо зарекомендовали себя в практических задачах обработки дискретных сигналов — таких, как массивы отсчетов аудиосигналов и цифровые фотографии. В традиционной постановке преобразование Хаара заключается в линейном преобразовании вектора четной размерности 2М {ак }“-1 в другой вектор {Ьк }М-1 такой же размерности согласно следующим соотношениям:

Так как применение преобразования (1) требует увеличения разрядов в дробной части компонент, то оно приводит к необходимости увеличения объема памяти для хранения каждой компоненты вектора {Ък }“-1 по сравнению с компонентой вектора {а к } М0 1 Альтернативный вариант сводится к округлению результатов вычислений (1) так, чтобы вектор {Ък }М1 занимал в памяти такой же объем, как и вектор а }2=0-1 . Такое требование приводит к ошибке вычислений и потерям при обратном восстановлении вектора

Г 12М-1

{ак }к=0 согласно соотношениям:

а2к = Ък + Ък + М, а2 к+1 = Ък Ък+ М, к = 0, М 1

(2)

Еще один недостаток преобразований (1) заключается в невозможности физической интерпретации отрицательных компонент вектора {Ък } М_ . Как правило, компоненты векторов {а^ Т?^1 и {Ък }? м_ соответствуют интенсивности каких-либо колебаний, которая по определению не отрицательна.

Один из возможных вариантов разрешения указанных проблем заключается в переходе к арифметике, допускающей точные вычисления без округлений и не требующей увеличения объема памяти в случае преобразования (1). Это арифметика поля Галуа GF(p), или расширения поля Галуа GF(ps) (где р — простое число, характеристика поля; s — степень расширения поля). В силу того, что (1) имеет простую структуру, свойства мультипликативной группы поля GF(ps) не используются, и поэтому достаточно рассмотреть поле GF(p). Так как в большинстве компьютеров и систем связи используется двоичная арифметика, то предпочтительно было бы выбрать p = 2. Однако в поле GF(2) преобразования (1) бессмысленны. Для любого же простого нечетного p существует представление, когда все элементы GF(p) не отрицательны. Кроме того, по определению поля каждый его ненулевой элемент имеет обратный. При переходе к полю GF(p) p / 2 соотношения (1) можно переписать следующим образом:

Ък = Хр (а2к + а2 к+1 )т°й Р Ък+ М = (хра? к + У а? к+1 Р

(3)

к = 0, М _ 1

В выражении (3) хр = 2mod р = Р?+1шо4 р,

1

Р _1

ур = — mod р = — mod р.

р 2 2

Соотношения (2) можно в данном случае можно переписать следующим образом:

а2к = (Ък + Ък+ М)Ш^ Р, а2 к+1 = (Ък + (Р _ 1 )Ък+ м)^ Р

(4)

к = 0, М _1.

Таким образом, представлен вариант вейвлет преобразования Хаара, удовлетворяющий следующим свойствам:

• преобразование (3) осуществляется абсолютно точно;

94

Спецвыпуск Т-Сотт, август 2009

• объемы памяти, требуемые для хранения входного и выходного векторов, — одинаковы;

• все компоненты входного и выходного векторов неотрицательны!;

• обратное преобразование (4) осуществляется абсолютно точно;

• преобразование (3) не согласовано с восприятием человека, и поэтому некоторые компоненты выходного вектора могут восприниматься как артефакты.

Рассмотренное преобразование может быть использовано в различных задачах цифровой обработки сигналов. По-видимому, оно будет эффективно в системах многоскоростной обработки данных и в мультимедийных системах, использующих ТР^Е-технологии.

Литература

1. Чуи Ч. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. — М.: Мир, 2001. — 412 с.

2. Яковлев АН. Введение в вейвлет-преобразования: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ 2003. — 104 с.

3. Phoong See-May, Vaidyanathan P.P. Paraunitary Filter Banks Over Finite Fields // IEEE Transactions on Signal Processing, v. 45, June. 1997, рр. 14431457.

4. de Oliveira H. M., FalkT. H, Tavora R. Wavelet Decomposition over Finite Fields //, Journal of the Brazilian Telecom. Society, v. 17, N. 1, June 2002, рр. 38-47 [Portuguese].

5. Fekri F., Mersereau R. M., Schafer R. W. Theory of wavelet transform over finite fields // Proceedings of the Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), 1999, v. 3, рр. 1213-1216.

6. Fekri F., Mersereau R. M., Schafer R. W. Theory of paraunitary filter banks over fields of characteristic two // IEEE Transactions on Information Theory, v. 48, Nov. 2002, рр. 2964-2979.

Спецвыпуск T-Comm, август 2009

95