Вейвлет-фильтрация сигналов адаптивными порогами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

АВТОМАТИКА, УПРАВЛЕНИЕ И ТЕХНИЧЕСКАЯ _КИБЕРНЕТИКА_

УДК 681.324

ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ АДАПТИВНЫМИ ПОРОГАМИ

© 2007 г.

Классическими методами очистки сигналов от шумов и выделения истинной формы сигнала являются методы Фурье-анализа [1]. Однако недостаточная их способность локализовать сингулярности сигналов и необходимость введения окон данных во временной области с последующим размыванием спектра ограничивает применение алгоритмов Фурье-анализа и обусловливает естественное движение практики и теории обработки сигналов к методам, обеспечивающим лучшее частотно-временной разрешение.

Вейвлет-функции отличаются свойством частотно-временной локализации сигналов, обладают быстрыми вычислительными алгоритмами, и, в условиях нестационарности анализируемых сигналов и наличия вынужденного фона с неизвестными параметрами, являются наиболее предпочтительным базисом для решения задач шумоподавления и восстановления чистой формы сигналов.

Очистка сигналов от шумов методами вейв-лет-анализа также является сложной и комплексной задачей. Основой данного класса методов служит пороговая обработка (трешолдинг), детализирующих коэффициентов вейвлет-разложения.

Пороговое отсечение коэффициентов выполняет роль фильтра, а выбор модели квантования, величины порога и типа функции пороговой обработки аналогичны выбору характеристик фильтра.

Обработка именно детализирующих коэффициентов базируется на том факте, что коэффициенты детализации представляют собой спектральные коэффициенты исходной функции и имеют высокочастотную природу: они локализуют мелкомасштабные изменения сигнала не только во временной, но и в частотной областях.

Для классической схемы шумоподавления при помощи пороговой обработки характерны несколько недостатков, существенно снижающих эффективность их применения к нестационарным сигналам в условиях неопределенности. Задание, например, малых значений глобального порога

Д.А. Беспалов

сохраняет фоновые компоненты сигнала и приводит лишь к незначительному увеличению отношения сигнал/шум. В то же время задание больших значений порога влечет потерю коэффициентов, которые могут быть значимыми для последующих этапов алгоритмов, включающих в себя фильтрацию.

Данное обстоятельство является еще одним доводом в пользу применения адаптивных алгоритмов шумоподавления.

Собственно говоря, пороговая вейвлет-обра-ботка сигналов аналогична оцениванию сигнала путем его усреднения с помощью ядра, которое локально адаптировано к гладкости сигнала [2]. Набор сопряженных зеркальных фильтров в таком случае раскладывает сигнал в дискретной области по ортогональному вейвлет-базису { на несколько частотных диапазонов.

Существует большое количество методов пороговой обработки вейвлет-коэффициентов [3], используемых в разных вычислительных схемах для уменьшения влияния добавленного шума на форму сигнала (рис. 1)

Применение порога к вейвлет-коэффициен-там производится по «жесткой» или «мягкой» схемам, а оптимальной величиной порога Т является значение, чуть большее максимальной амплитуды шума.

Шумоподавление жестким порогом выполняется как полное отсечение коэффициентов вей-влет-преобразования исходя из предположения, что их значения малой амплитуды и есть шум.

Мягкая пороговая обработка призвана, наоборот, уменьшить влияние аддитивной шумовой компоненты, оставляя очищенную форму коэффициентов.

Таким образом, в вейвлет-базисе, где коэффициенты с большой амплитудой соответствуют резким изменениям сигнала, такая обработка сохраняет только прерывистые составляющие, происходящие от исходного сигнала, без добавления других компонент, обусловленных шумом.

Рис. 1. Методы порогового шумоподавления (трешолдинга)

В общем случае, приравнивая малые коэффициенты нулю, мы выполняем адаптивное сглаживание, зависящее от гладкости исходного сигнала /(?). Сохраняя коэффициенты большой амплитуды, мы избегаем сглаживания резких перепадов и сохраняем локальные особенности. Проведение такой процедуры на нескольких масштабах ведет к постепенному уменьшению влияния шума как на кусочно-гладких, так и на разрывных участках.

Каждый кусочно-гладкий сигнал, разложенный в дискретной области, имеет некоторый процент значимых вейвлет-коэффициентов (/, у; ^, который увеличивается с возрастанием масштаба а. Этот факт объясняется тем, что особенности создают одинаковое число коэффициентов большой амплитуды, в то время как общее количество коэффициентов на уровнях уменьшается. При большом значении а порог Т необходимо увеличивать, чтобы не допустить потерь коэффициентов большой амплитуды.

Таким образом, для решения задачи адаптивного шумоподавления необходимо провести адаптивную генерацию микролокальных порогов, позволяющих уменьшить влияние аддитивного шума на чистую форму сигнала, и сохранить значимые коэффициенты большой амплитуды, характеризующие локальные особенности анализируемых данных.

Представим модель сигнала /(?) (рис. 2 а), искаженного аддитивным шумом, как

х (*) = / (0 + л(0. (1)

Тогда при разложении такого сигнала набором сопряженных зеркальных фильтров по некоторому дискретному ортогональному базису {ут} дает [4, 5]:

Ш [т] = (X, ;

W/ [т] = (/, у т);

W п[т] = (г|, у т).

Скалярное произведение (1) с ут дает

IX[т] = W/[т] + Wг|[т].

Это означает, что модель шума не зависит от базиса разложения и остается в нем такой же, как в исходном сигнале.

Введем линейный оператор Б, оценивающий |[т] по ЖУ[т] при помощи функции dm (х). Результирующая оценка есть

Ё = БУ = £ dm (ЖУ[т])Ут .

т=0

Когда dm (х) — пороговая функция, риск

данной оценки может быть сведен к минимуму.

Оценка жестким порогом Т выполняется с помощью

(Х) = Рг (Х) =

I х, если |х| > Т; 10, если |х| < Т,

и удаляет все коэффициенты, амплитуда которых ниже установленного порогового значения.

Оценка мягким порогом Т выполняется с помощью

dm (Х) = Рг (Х) =

х - Т, если х > Т; х + Т, если х < -Т; 0, если |х| < Т

и ослабляет на величину порога амплитуды всех коэффициентов шума.

В вейвлет-базисах коэффициенты большой амплитуды соответствуют разрывам сигнала и его резким изменениям. Это означает, что оценка сохраняет в разложении только нерегулярные компоненты, происходящие от исходного сигнала, без добавления паразитных всплесков, порожденных шумом.

Порог должен выбираться адаптивно и быть по величине несколько больше, чем максимальный уровень шума. То есть значения |1г|[т]| должны быть с большой вероятностью меньше Т. Так достигается минимальный уровень риска в пороговой обработке.

Пусть г (х,Т) риск пороговой оценки, вычисленной с порогом Т. Тогда оценка Г (х,Т) риска г (х,Т) должна вычисляться по данным X, искаженным шумом. Значение порога Т в таком случае оптимизируется минимизацией Г (х,Т).

О 50 100 150 200 250 300 350 г

_L

_L

_L

100 150

200 д

250 300

440 420 400

340 320 300

; ...

; и

;

! /

Л 1 '

i

200 300

500 600 700

Рис. 2. Вейвлет-фильтрация сигналов адаптивными порогами: а — исходный сигнал; б — детализирующие коэффициенты вейвлет-преобразования {\Х [т]}; в — ранжированные детали сигнала {Хг [к ]} ^; г — риски Г (х, Т) для всех значений Т; д — очищенные детали; е — фильтрованный сигнал /[т]

Чтобы найти значение Т, которое минимизирует оценку Г (х, Т), N коэффициентов данных \Х[т] сортируют по убыванию амплитуды [6](см. рис. 2 в). Тогда ранжированные таким образом коэффициенты вейвлет-разложения образуют упорядоченное множество {\ХГ [к]} ^, где любой WXr [к] = \Х[тк ] — соответствующий коэффициент ранга к : \ХГ [к]| > \ХГ [к + 1] .

Пусть I — некоторый индекс, такой что \ХГ[I]| < Т < \ХГ[I -1] , можем принять (см. рис. 2 г)

Г (/,Т) = I \\ХГ[к]|2 - (N -1)о2 + I(о2 + Т2), (2)

где о2 — дисперсия шумовой компоненты.

Тогда для минимизации г% (х,Т) необходимо выбрать Т = \\ХГ [I ]|.

Дисперсию о2 шума г|[и] можно определить по данным (1), для чего необходимо подавить влияние /[и] . Когда сигнал кусочно-гладкий, такую грубую оценку можно провести по средним значениям вейвлет-коэффициентов наименьшего масштаба.

Это утверждение обусловлено тем, что на каждом уровне вейвлет-разложения исходного сигнала X длины N множество значений

{{х,ут)}0<т<м/2 конечное и имеет всего несколько коэффициентов большой амплитуды (см. рис. 2 б, д). Поэтому для большинства участков

(х, Ут) "(П, Ут У

Тогда, если ,МХ — медиана множества {{х,У»)|}0<т<ж /2, то грубая оценка дисперсии о2 шума п оценивается по Мх пренебрежением влияния / [и] [7]:

Таким образом, адаптивную процедуру шумоподавления по коэффициентам вейвлет-разложе-ния можно провести по следующей схеме:

1. Вычисление оценки о2 дисперсии шума о2 по формуле медианы (3) при наименьшем масштабе разложения;

2. Вычисление порога Т для каждого уровня декомпозиции ] минимизацией риска (2);

3. Пороговая обработка коэффициентов разложения полученным порогом каждого уровня масштаба а.

Пороговую обработку можно дополнительно адаптировать к данным, если применять предложенную выше схему не ко всем вейвлет-коэф-фициентам анализируемого уровня, а к отдельным его участкам, т. е. выделенным сегментам. Таким же образом блочную схему пороговой обработки можно далее свести к микролокальной схеме, при которой порог генерируется для каждого вейвлет-коэффициента в отдельности.

В качестве дополнительного этапа оптимизации предложенного метода шумоподавления в условиях неопределенности можно использовать оценку потерь, допущенных на данном этапе. Использование оценки допущенных потерь позволит контролировать пределы изменения пороговых вели-

Таганрогский радиотехнический университет

чин как для всего сигнала, так и внутри отдельных сегментов. В качестве такой оценки предлагается использовать нормированные или пиковые среднеквадратичные оценки, корень среднеквадратичной ошибки или отношение сигнал/шум [3].

Таким образом, в результате проведенной работы была доказана целесообразность разработки представленной выше методики вейвлет-филь-трации сигналов различной физической природы адаптивными порогами, минимизирующей потери качества сигналов и позволяющей проводить операцию шумоподавления в зависимости от свойств и физической природы обрабатываемых данных. Также был предложен алгоритм, осуществляющий адаптивное подавление шума, основанный на представленной выше методике, а предложены способы контроля работы метода, пути его модификации и дополнительного повышения эффективности.

Литература

1. Зодманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М., 1989.

2. Antonadis А., Oppenheim G. Wavelets and Statistics. Springer, 1995.

3. Donoho D. L. Denoising by Soft Thresholding // Department of Statistics, Stanford University, 1992.

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М., 2001.

5. Воробьев 5., Трибунин 5. Теория и практика вейв-лет-преобразования.— НИН В. Г. ВУС, 1999.

6. Stein С. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution //Annal of Statistics. 1981. № 9. P.1135-1151.

7. Donoho D. L., Johnstone I.M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage //Biometrika. 1994. Vol 81. P. 425-455.

8. Лрэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2 кн. М., 1987.

20 октября 2006 г.

УДК 621. 391. 825

НОВЫЕ ТИПЫ АНСАМБЛЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С УЛУЧШЕННЫМИ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫМИ

СВОЙСТВАМИ

© 2007 г. Ю.В. Кузьминов

В современных широкополосных системах радиосвязи с подвижными абонентами (ШСРПА) широкое применение получили системы дискретных последовательностей, формируемые на основе последовательностей Уолша. Так, в ШСРПА 75—95 последовательности Уолша используются как для разделения физических абонентских каналов (линия

«базовая станция— мобильная станция»), так и для осуществления ортогональной модуляции цифрового потока (линия «мобильная станция— базовая станция»).

Известно [1], что данные последовательности обладают рядом преимуществ, обусловливающих их достаточно широкое и многостороннее