CC BY
10
УДК 517.91
Ю. I. Шалапко
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛ1З ЕВОЛЮЦ1ЙНИХ ЗАДАЧ ДИНАМ1КИ СИСТЕМ З СУХИМ ТЕРТЯМ ТА ФРЕТИНГ-КОРОЗ16Ю
Анотащя: В робот1 досл1джують можливост1 математично! обробки часових рядв за допомогою вейвлет-анал1зу. На в1дм1нн1сть вд традицйного Фур'е-анал1зу, запропонова-ний метод дае можлив1сть розглядати масштабночнвар1антну динам ку нестацонарних процес1в, наприклад, д1агностувати ном1нально-нерухом1 з'еднання, ущ1льнення, демпфе-ри та ¡золятори в ав1ац1йн1й технц.
Вступ
Забезпечення надмност та довговiчностi авiа-цйнот технки пов'язано з необхщнютю керування якстю окремих вузлiв та елементв Тх Ытерфейсу, наприклад трубопроводи, муфти, ущтьнення, нiпелi, електричн контакти i т.д. В багатьох випад-ках в умовах вiбрацiйного навантаження на повер-хнях, що контактують iз-за мiкроперемiщень вини-кають явища фретинг-корозп, яка з часом переходить до бтьш негативних ефектiв фретинг-зношу-вання та фретинг-втоми. Особливютю малих мiкро-перемiщень або малоамплггудного фретингу (2...20 мкм), е Тх латентний, тобто прихований характер, що, зрозумто, важко спрогнозувати i визначити подальший стан вузла та його елементв. 1снуюча система параметричного контролю та дiагностуван-ня (СПКД) авiацiйноТ технiки призначена для оц-нювання технiчного стану в процес експлуатацiй, знаходження та попередження вщмов двигуна та його основних функцюнальних систем в польотi. Вона дозволяе виконувати оперативну оцнку функцюнальних систем, вiброактивнiсть двигуна на всх режимах його роботи, та здмснювати аналiз часових трендiв рiзних параметрiв [1]. Однак, не завж-ди кiлькiсть коштiв, якi видтяються на комп'юте-ризацiю виробництва та експлуатацю авiацiйноТ технiки приносить запланований результат. Тому слщ пiдвищувати загальний вигляд рiвень мате-матичноТ подготовки iнженерiв-систематехнiкiв, шукати новi пiдходи до аналiзу вихiдних даних з використанням можливостей iнформацiйних техно-логiй [2]. Найбтьша кiлькiсть невирiшених дiагно-стичних та еволюцйних задач визначаеться склад-нiстю аналiзу властивостей сил по середньочас-тотнiй вiбрацiт. Особливо це стосуеться сил швид-костi проковзування [4]. При таких частотах порiвня-но такий же вклад дають перюдичн, випадковi та ударнi сили, а коливальна система мае бтьшу ктькють резонансiв достатньо високот добротнютю. Складностi аналiзу середньочастотнот вiбрацiт об-межують можпивостi дiагностики компактних машин великот питомот потужностi таких, як авiацiйнi двигуни, в яких iз-за недоступностi к багатьом вуз-
лам для прямого вимiрювання високочастотн вiбрацiт, неможливо отримати дiагностичну Ыфор-мацiю про початок розвитку дефектв. Останнiм часом все бiльше використання знаходять метод синергетики в нелУйних системах рiзноТ природи за допомогою унверсальних уяв та моделей [3].
Велик перспективи у виршенн ктькюного ана-лiзу складних вiбросигналiв, як мiстять iмпульснi компоненти, може дати використання методiв вей-влет-аналiзу сигналiв. Дослiдження останнiх рокiв доводять, що в складних нелiнiйних системах мае мюце масштабна iнварiантнiсть (фрактальнiсть) просторових та часових властивостей [5]. Таке по-няття про фрактальний характер подiбних ефектiв також пояснюе пдвищену увагу до вейвлет-анал^ зу часових рядiв вимiрiв характеристик об'екту [6].
Рушмною силою коливань в номЫально-неру-хомих з'еднаннях е сили контактнот та дифракцй нот взаемоди в Ытерфейск Як правило, при малих вщносних перемiщеннях в контактi реалiзуеться режим „"зчеплення-проковзування", динамiчна характеристика якого вщповщае за деформацiйнi та фрикцйн явища. Так, час выносного зчеплення характеризуеться мопеднiм змщненням, тангенц-альною жорсткiстю та деформацею. Час проковзування характеризуе iмпульснi змiни швидкостi, розсiювання енерги, зношування.
Режими "зчеплення-проковзування" фрикцйно-го осцилятора дослщжувалися теоретично та екс-периментально з 30-х рокiв минулого столггтя [7], i продовжуються до сьогодншнього часу [8, 9]. Однак, на даний момент юнуе ттьки лише декль-ка робiт по використанню вейвлет-перетворення сигналiв вiд об'ектв з тертям. В роботах [10, 11] вейвлет-аналiз використовувався для виявлення динамiчних характеристик пiдсистеми, яка вщпов-iдае за процеси переходу вщ зчеплення до проковзування при великих амплггудах (1...6 мм) i малих частотах (0,3..2,5 Гц). А в робот [12] автори використовували вейвлет-перетворення для пошу-ку присутност режиму "зчеплення-проковзування" в гранульованих середовищах. Дослщжень вiбра-цiйних систем, як наближаються до умов фретин-
© Ю. I. Шалапко 2006 р. - 22 -
гу, з використанням веивлет-анал1зу не проводилось.
часовий процес y(t) можна розкласти в ряд Фур'е, а саме представити сумою гармончних коливань
2п
з частотами, як1 кратн1 ю = —:
N
twwvv Ft, -f(y y) i
У///////////У//Г///////Л
X —Х„ (sin wt)
2п
t)2dt ,
(1)
то Ытеграл (1) сходиться i мае кнцеву енерг1ю. Тод1
y(t )= Z cn expttnmt).
п=—да
Коефiцiент cn визначаеться:
1 2п
cn =— fytt)exp(-inmt)dt . 2n i
(2)
(3)
Рiвняння (2) i (3) уявляють собою пряме i зво-ротне ПФ сигналу у(^).
На практицi ряд Фур'е обмежуеться кiлькiстю членiв розкладання. Обмеження чисел членв ряду означае апроксимацю нескiнченно мiрного сигналу М^рнот системи базисних функцiй спектру сигналу. Ряд Фур'е рiвномiрно сходиться до часового переб^ у(0 по нормi (1):
2п
Hm f
N
N
y(t)- Z cn exp{fn^> t)
n=-N
dt = 0 .
(4)
Рис. 1. Принципова схема взаемодп двох тiл при малих вщносних перемiщеннях (а) та динамiчна система з сухим тертям
Перетворення Фур'е (ПФ)
На сьогодн основним Ыструментом аналiзу ре-альних фiзичних процесв е гармонiчний аналiз, математичною основою якого е перетворення Фур'е. Перетворення Фур'е розкладае довтьний процес на елементарн гармонiчнi коливання з рiзними частотами. Всi властивостi i формули Грун-туються на основi однеТ базовоТ комплексно! функци ехр(/'ю/) або двох дмсних трибометричних 8т(ю?), ео8(ю?). Оператор оберненого ПФ спвпа-дае з виразом для комплексно-спряженого оператора. Областю визначення ПФ е прослр Ь2 (0,2п) квадратично Ытегруючих функци, а бтьшють фiзичних явищ е функцiями часу, як належать цьому простору. Якщо цi функци мають норму як кнцеве значення (1):
Таким чином, ряд Фур'е це розкладання сигналу у(0 по базису простору ь2(0,2п) ортонормова-них гармончних функцiй ехр(Ы) зi змiною часто-ти, яка кратна частотi першот гармонiки. Якщо:
,(t) = exp(irot), n = ..,-2,-1...1,2 .
(5)
Подiбно до того, як в основi ПФ лежить едина функцiя ст n tt) = exp(irot), так i ВП будуеться на ос-новi единот базиснот функци y(t ), що мае солгго-ноподiбниИ характер i належить простору l2 (r) -всй числовiИ вiсi. Функцiональнi простори L2 (0,2п) для ПФ i L2 (r) суттево розрiзняються. Так, локал-
iзоване середне значення кожнот функци з L2 (R) повинно прямувати до нуля на . Синусотдальн хвилi не належить l2 (r) i, вiдповiдно, вони не мо-жуть бути базисом функцюнального простору L2 (r) . Вейвлетний базис простору L2 (r) базуеть-ся з фУтних функцiИ, якi належать цьому простору i прямують до нуля на нескнченносл. Чим швид-ше цi функци прямують до нуля, тим зручнше ви-користовувати Тх якостi базису перетворення при аналiзi реальних сигналiв. Таким чином, функця
y(t) за границями деякого скнченого iнтервалу дорiвнюе нулю. Неперервне на вiсi R iнтегральне ВП (continuous wavelet transform) функцй y(t) мае вигляд:
2
ст
w(a, b)= J y(t}\1*аъ ((
(6)
де уab (() - вейвлет-функця. Вона отримуеться вщ
материнського вейвлету y(t) розтягом по горизон-
талi в а раз, стисканням по вертикалi в „[^ раз та зсувом по Bid часу на в^зок b (* - операцiя комплексного спряження):
i\ 1 (t-ъ
У ab (( ) = ~a 0 I"
Ey =J y 2 (t )dt = JJy 2 (a, b)
dadb
(8)
i глобальний спектр енерги, який дасть розподтен-ня повно'Г енерги по масштабах (скейлограму ВП):
Ey (a) = J У 2 (a, b)db .
Головним елементом у ВП е функця-вейвлет. Найбшьш розповсюджений та iнформативний для аналiзу вiброграм з особливостями вiд систем з сухим тертям е вейвлет Морле (Morlet) [14].
У о
(() = е'к° ■ e 2°
(9)
(7)
Рiвняння (6) нiбито вимiрюе „"схожють" сигналу, що дослщжуеться i базовою функцею (7). Двох
параметрична функцiя Ь) дае iнформацiю про змЫи вiдносного вкладу компонент рiзного масштабу в чаа й називаеться спектром коефцентв ВП. Отримавши вейвлет-спектр, можна розрахувати по-вну енерпю сигналу:
де у0 (ь) - материнський або базисний вейвлет; к0 - хвильовий параметр, в даному випадку
ко = 6;
ст - параметр масштабу, який впливае на ширину вка.
Фактично вЫ отриманий добутком комплексного синуса на функцю Гауса g({) = е(рис. 2).
Рис. 2. Вейвлет-функцiя Морле (штрихова л^я)
Хвильовий параметр к0 при його зростанн пщви-щуе кутову вибiрковiсть базису, але погiршуе про-сторову. Таким чином, за допомогою вейвлет-ана-лiзу реально часового сигналу отримаемо деяку
функцю у a,b (t), яка залежить вщ двох параметрiв: вiд конкретного моменту часу b та вщ частоти а (обернено пропорцiйно). Для кожноТ пари параметрiв масштабу а i зсуву b алгоритм ВП наступний:
1. Вираховуемо згортку сигналу з материнсь-ким вейвлетом на всй часовiй вiсi.
2. Функцю вейвлет розтягують в а раз по гори-
1
зонталi i в a по вертикалi.
3. Вейвлет зсуваеться в конкретну точку b.
В результат спектр ВП одномiрного сигналу уявляе собою поверхню в трьохмiрному просторi. Для наочност на площинi (а, b) використовуеться рiзнобарвна картина. Так по ос абсцис вщкладаеть-ся час, по ос ординат - частота чи в логарифмiч-
них координатах log—, а абсолютне значення ВП
a
для конкретно! пари (а, b) визначаеться Ытен-сивнiсть забарвлення. В подальших представлен-нях область максимуму мае свгглий колiр, мiнiмум - темний.
Вейвлет-перетворення часових рядiв
Для визначення якюно'Г картини коливань при малих вiбрацiях був проведений чисельний експе-римент за допомогою розробленоТ динамiчноí мо-делi тертя (рис.1) [4]. Дослщжувалися двi амплп^-ди вимушуючих коливань основи 5, 10 мiкрометрiв з частотою 50 Гц i законом тертя Амонтона-Кулона. На рис. 3, 4 показан осцилограми перемЦень тт та Г'х вщносно'Г швидкостi. Перетворення Фур'е показало основну частоту коливань 50 Гц i наступн гармонiки через кожн 100 Гц .Вiдмiтимо , що картина для двох часто мало в^зняються одна вщ одно''.
да
2
a
2
У
ткт
У
-ш
ткт
ю
а Ь 1 Амтпуда 5 мкм 1
А / / \\ / / Л / \ \ ЛЛ/\ V / \\ // \\ /
1-е
-ю
■
а / Ь Лмплпуда 10 мкм * |
/ \/ 1 Л 1 / / \ \ /
г \ 1
1.С
0.02
0.04
0 Ой
0.03
Рис. 3. Осцилограми перем1щень основи (а) з ампл1тудою 5 мкм,10 мкм та в1дпов1дних коливань тта (Ь), коливання
якого дослщжуються
Рис. 4. Часовий переб1г р1зниц1 швидкостей двох т1л при ампл1туд1 коливань основи 5 мкм та 10 мкм
На рис. 6 представлене ВП в трьохвимiрному виглядк Показано розподт амплiтуд не ттьки в масштабi частот, а й в час.
* 1
ч *** —г
твиСПЕу, Нкг-1х
Рис. 6. Просторовий результат ВП при вимушуючих коливаннях основи 5 мкм
Рис.
5. Перетворення Фур'е для коливань з амплтудами 5 I 10 мкм
Для гармончних коливань ВП показано на рис. 7. Однаковий рiвень ряду темних та свгглих плям вказуе на перюдичний характер сигналу, а в об-ласт 50 Гц представляе регулярну систему плям, що повторюють значення максимуму та мУмуму поля а (а,Ь) i що вiдповiдае максимуму та мУму-му сигналу. Границя переходу вщ однет плями до Ышот спiвпадае з положенням нуля у(().
Вейвлет-аналiз вiброперемiщень та вiбро-швид-костей при рiзних вимушуючих амплггудних коливань показуе iснування цтого ряду гармонiк на рiвнях меншого масштабу, тобто бтьшот частоти. Основною вщмЫнютю цих картин, е те що меншi амплiтуди коливань, характеризуються бшьш складною будовою в нижнй областi дiаграми. Пiсля проходження першот гармонiки нижче виникають амплiтуди бтьшот частоти, чим минулк
Рис. 7. Вейвлет-аналз синусоТдального сигналу коливань основи
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□а
г
Рис. В. Вейвлет-аналiз мiкро перемiщень при коливанн основи з амплiтудою б мкм (а) i 10 мкм (б). ВеИвлет - аналiз швидкостеИ при проковзуванн тiл при коливаннi основи з ампл^удою б мкм (в) i 10 мкм (г)
Ц коливання мають значний вертикальний po3Mip, який вщповщае перiоду коливань, а також вони е другими по амплiтудi пюля першоТ гармон-ки. Для А = 10 мкм спаду амплггуда не спостер^ гаеться i вс iнтенсивностi амплiтуди коливань па-дають рiвномiрно (рис. 8 а, б). Швидкост при А = 5 мкм менш структурованi i в^зняються вiдносно довгими автоколиваннями. Всi наведен картини дають вiдповiдний механiзм розподтення та розс-iювання енерги в час. При менших амплiтудах коливань розсювання е бiльш виразним (рис. 8, в ), що пояснюеться юнуванням режиму "зчеплення-проковзування", "спалахами" вщносноТ швидкостi. Зрозумiло, що детальний аналiз часових рядiв за допомогою ВП потребуе бiльш детального розгля-ду i е матерiалом окремоТ статтi.
Список лiтератури
1. Дубровин В.И., Субботин С.А., Богуслаев А.В., Яценко В.К. Интеллектуальные средства диагностики и прогнозирования надежности авиадвигателей: Монография. - Запорожье: ОАО "Мотор Сич", 2003. - 279 с.
2. Богуслаев А.В, Дубровин В.И., Набока И.А. Современные информационные технологии в авиадвигателестроении// Вестник двигателестроения. - Запорожье. -2004. - №4. - С. 1822.
3. Шакевский А.А. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций. Синэрге-тика в инженерных приложениях. - Монография. - 2004. - 803 с.
4. Шалапко Ю.1. Вплив Штрибек ефекту на не-лУйний осцилятор з сухим тертям при кнема-тичному збудженн//Вюник Технолопчного ун-верситету-2005. - №1, С. 35-43.
5. Хасанов М.М. Фрактальные характеристики объектов управления// Автоматика и механика. - 1993. - №2. - С. 59-67.
6. Дремин И.Л. и др. Вейвлеты и их использование// Успехи фикзики наук: 2001 - №5. - т. 171.
- С. 456-501.
7. Den Hartog J.P. Forced vibration with combined Coulomb and viscous damping//Transaction of the American Society of Mechanical Engineering. - 1930. - V/53. - p. 107-115.
8. Shaw S.W. On the dynamic response of a system with dry friction// Journal of Sound and Vibration.
- 1986 - V. 102. - №2. - р. 305-325.
9. M.G. Rozman, M. Urbakh, J. Klafter // Stick-slip dynamics of interfacial friction - Physica A 249 (1998) 184-189.
10. Liang, J.-W. and Feeny, B. F., 1995, "Wavelet Analysis of Stick-Slip in an Oscillator with Dry Friction", Proceedings of the ASME Conference, Friction Damping and Friction-Induced Vibration Symposium, De-Vol. 84-1, Vol.3, Part A, Boston, MA.
11. Liang, J.-W. and Feeny, B. F.,Wavelet analysis of stick-slip signals in oscillators with dry-friction contact/Journal of Vibration and Acoustics 127 (2) 139-143 (2005).
12. Jalali P, Polashenski W, Tynjala T, Zamankhan P, 2002, "Particle Interactions in a Dense Monosized Granular Flow" Physica D 162 (34): 188-207.
13. Grossman A, Morlet J "Decomposition of functions into waveletsof constant shape, and related tranforms", in Mathematics+Physics, Lectures on Recent Results Vol. 1 (Ed. L Streit) (Singapore: World Scientific, 1985).
14. Morlet, J., G. Arens, E. Fourgeau, and D. Giard, Wave propogationand sampling theory, 1, Complex signal and scatteringin multilayered media, Geophysics, 47(2), 203-221, 1982a.
Надйшла до редакци 17.04.2006 р.
Аннотация: В работе исследуют возможности математической обработки временных рядов с помощью вейвлет-преобразования. В отличие от традиционного Фурье-анализа, предложенный метод дает возможность рассматривать масштабно-инвариантную динамику нестационарных процессов, например, диагностировать номинально-неподвижные соединения, уплотнения, демпферы и изоляторы в авиационной технике.
Abstract: In this work the possibilities of mathematical data-processing of time series are explored by means the wavelet-analysis. On a difference from traditional Fourier-analysis, the offered method enables to consider the scale-invariant dynamics of non-stationary processes, for example, to diagnose nominal-fixed joints, seal, dampers and insulators in an aviation technique.
