CC BY
43
УДК 621.383
ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ШУМ-ФАКТОР СИГНАЛОВ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ФОТОЭЛЕКТРОННЫХ УМНОЖИТЕЛЕЙ С УЧЕТОМ ПРОЦЕССОВ
КРОСС-ТОЛКА
С. JI. Виноградов, Т. Р. Виноградова, В. Э. Шубин, Д. А. Шушаков
Твердотельные фотоэлектронные умножители (ТФЭУ) - новый тип фотодетекторов, использующих лавинный пробой полупроводника в гейгеровском режиме, ограниченном отрицательной обратной связью. В таких условиях лавинный пробой характеризуется высоким коэффициентом умножения 104 — 106 и низким шумом, что позволяет детектировать отдельные фотоны. Однако на практике в ТФЭУ каждый первичный пробой может сопровождаться вторичными пробоями за счет процессов кросс-толка, изменяющих вероятностное распределение сигнала и вносящих избыточные шумы. В работе проведен учет влияния кросс-толка на сигнальные и шумовые характеристики ТФЭУ на основе обобщенного распределения Пуассона.
Ключевые слова: твердотельный ФЭУ, распределение импульсов.
Введение. Большинство известных конструкций ТФЭУ (Solid State Photomultiplier, SSPM) представляют собой матрицы лавинных гейгеровских фотодетекторов с общим катодом и анодом, в которых лавинный пробой ограничивается отрицательной обратной связью (00С). 00С обеспечивает не только гашение гейгеровского пробоя, но и подавление флуктуаций числа носителей заряда в выходном сигнальном пакете. Таким образом ТФЭУ вырабатывают калиброванные выходные сигналы - одноэлектронные импульсы, вызванные умножением одного фотоэлектрона или темнового электрона в
каждом из элементов или пикселей матрицы. Основные представления о роли и механизмах ООС в обеспечении уникальных свойств надкритического лавинного режима работы лавинных фотоприемных структур, а также принципиальные подходы к созданию ТФЭУ рассмотрены в работах [1-4].
Одна из типичных конструкций ТФЭУ представлена на рис. 1 [5].
В последние годы ТФЭУ получают все более широкое применение в научных исследованиях, ядерной физике, физике высоких энергий, в медицине, биологии и других областях, заменяя вакуумные ФЭУ и традиционные лавинные фотодиоды (ЛФД).
Актуальной проблемой регистрации однофотоных и малофотонных сигналов являются случайные процессы вторичного (ложного) срабатывания пикселей ТФЭУ, инициированные первичным (истинным) сигналом, а именно, так называемые эффекты кросс-толка (cross-talk) и афтерпалсинга (afterpulsing). В большинстве конструкций и физических ситуаций кросс-толк - это мгновенное срабатывание соседних пикселей, а афтерпалсинг - того же самого пикселя, но с некоторой задержкой. Далее для обозначения вторичных событий любого происхождения будет использоваться название "дупликации".
(а) (б)
Рис. 1. Конструкция ТФЭУ: (а) общий вид матрицы, (б) один пиксель.
Кросс-толк по сложившимся представлениям вызван излучением видимых и ИК фотонов при термализации горячих электронов в лавине. Вероятность излучения очень мала ~ 3 ■ Ю-5 на электрон, но из-за большого коэффициента умножения в лавинном
ЗРАБ А БРАБ В
Рис. 2. Схема процессов оптического кросс-толка соседних пикселей - элементов ЛФД матрицы.
процессе может родиться несколько фотонов, которые затем детектируются соседними пикселями. Схема процессов оптического кросс-толка представлена на рис. 2 на примере двух соседних пикселей [6]. В результате выходной импульс, инициированный одним электроном (истинное событие), оказывается дополнен практически одновременным возникновением вторичных импульсов (ложных событий), а вероятностное распределение амплитуд выходного импульса искажено за счет появления событий с двойной амплитудой и более.
В ряде случаев возможна также более сложная ситуация, когда вторичные импульсы, вызванные оптическим кросс-толком, имеют задержку относительно первичных импульсов, т.е. проявляют себя как афтерпалсинг [7].
Случай детектирования нескольких фотонов одновременно (короткий лазерный импульс длительностью около 70 пикосекунд) представлен на рис. 3 [8]. Гистограмма числа импульсов с разной амплитудой (рис. 3 (б)) или, в других аналогичных экспериментах, с разной площадью, отражает функцию плотности вероятности распределения числа зарегистрированных событий, а именно вероятности зарегистрировать на выходе сумму 0, 1, 2 и более одноэлектронных сигналов при освещении фотоприемника коротким малофотонным импульсом с заданным средним числом фотонов (на рис. 3 аппаратный "0" сдвинут на « 95 каналов). Однако из-за кросс-толка часть пиков гистограммы содержат некоторое количество ложных событий. Таким образом, с низким шумом процесса умножения одного электрона (что отражается в малой ширине пиков)
номер 9, 2009 г
Рис. 3. Регистрация короткого малофотонного импульса: слева - временная диаграмма многократно наложенных импульсов фотоотклика разной амплитуды; справа - гистограмма распределения амплитуды импульсов фотоотклика (аппаратный "О" распределения сдвинут).
сочетается шум случайного процесса рождения ложных импульсов кросс-толка (что отражается в увеличении числа пиков и числа событий большой амплитуды в функции распределения).
Анализ таких гистограмм находится в центре внимания многих исследований ТФЭУ, направленных как на измерение основных фотоприемных характеристик, так и на решение прикладных задач детектирования малофотонных импульсов. В отсутствие кросс-толка число событий в пиках гистограммы определяется распределением Пуассона, и это подтверждается в ряде случаев экспериментальными результатами, однако есть много экспериментов с сильными отклонениями от распределения Пуассона. В ряде работ предприняты попытки найти взаимосвязь функции распределения или формы гистограммы с характеристиками процессов кросс-толка, однако, на наш взгляд, они пока не привели к универсальному аналитическому выражению такой зависимости.
Например, в работе [9] предложена аналитическая формула для Фурье-образа гистограммы, позволяющая построить модельную гистограмму, используя ряд экспери-
I
номер 9, 2009 г.
Краткие сообщения по физике ФИАН
0.3
0.2
0
1
I 1)
га
0.1
А
шр=0 ¿=2.5 □/7=0.2 1=2!. ор=0.4 ¿=2.:
3 4 5 6 Амплитуда импульса
Рис. 4. Функция обобщенного Пуассоновского распределения для среднего числа первичных событий Ь = 2.5 и для различных значений вероятности вторичных событий: р — 0 (соответствует обычному Пуассоновскому распределению), 0.2 и 0.4.
ментальных и подгоночных данных. В работе [10] предложен подход приближенного итерационного построения функции распределения, но он применим только для небольшого числа событий или для низких значений вероятности дупликаций (<10% по нашим оценкам). Также рассматривался ряд частных случаев режима счета фотонов с помощью вакуумных ФЭУ, в которых некоторым аналогом кросс-толка является так называемый афтерпалсинг (возникновение вторичных событий с задержкой относительно первичного), вероятность которого имеет очень низкие значения [11-14]. Для оценки характеристик ТФЭУ часто используют моделирование Монте-Карло [15, 16], однако это не позволяет получить аналитическое описание вероятностных процессов.
Математическая модель вероятностного распределения. Регистрируется количество единичных импульсов во временных воротах. Предполагается, что количество
зарегистрированных импульсов представляет собой сумму первичных и вторичных импульсов. Единичным импульсом считается сигнал определенной амплитуды, соответствующий однократному срабатыванию одного пикселя. Возможна регистрация нескольких единичных импульсов одновременно. То есть импульс двойной, тройной и т.д. амплитуды фиксируется как два, три и т.д. единичных импульса.
Предполагается, что выполнены следующие условия:
1. Количество "первичных" импульсов имеет пуассоновское распределение.
2. Каждый "первичный" импульс может породить один или несколько дуплициро-ванных импульсов независимо от предыдущих событий.
При этом количество дуплицированных импульсов для каждого первичного импульса имеет геометрическое распределение:
a. первый дополнительный импульс порождается с вероятностью р;
b. при наличии первого дополнительного импульса, второй дополнительный импульс порождается с той же вероятностью р, и так далее;
c. цепочка дуплицированных импульсов не ограничена.
3. Регистрируются первичные импульсы и все цепочки порожденных ими вторичных импульсов.
Таким образом, получаем, что количество зарегистрированных импульсов:
X = ¿(1 + £,•), ¿=1
где (7,- - независимые случайные величины (с.в.) с геометрическим распределением
= к) = р*(1 - р) для к = 0,1,2,... N - с.в., не зависящая от С, и имеющая пуассоновское распределение с параметром Ь.
Вычисления. Случайная величина (с.в.) X имеет обобщенное распределение Пуассона. Нас интересует само распределение
/*(р, Ь) = Р{Х = к) для к = 0,1,2,...
и его следующие параметры: среднее ЕХ, дисперсия Уаг(Х). Для их вычисления воспользуемся методом производящих функций согласно гл. XI, XII [17]. Производящей
функцией дискретной с.в. <р называется функция
оо
ф(') = £п<р = О х 1=0
Значения вероятностей P(ip = к) и моменты с.в. ip выражаются формулами:
=к) = hх ¿ф(0)' (1) Е<р = Ф'(1), Var(y>) = Ф"(1) + Ф'(1) - (Ф'(1))2.
Пусть далее F(s,p, L) - производящая функция с.в. X, g(s,p) - производящая функция случайной величины (1 + G,). По формуле для производящей функции обобщенного пуас-соновского распределения получаем, что производящая функция случайной величины X задается выражением:
F(s,p,L)=exp(-L + Lxg(s,p)). (2)
Из определения производящей функции получаем:
00 00 00 (I — п) х s
9(*,Р) = + = *}xs' = Ep{G = ¿-1}X5¿ = 2>-lx(l-p)xe' - \
г=0 »=i ¿=i 1 Р х 5
Таким образом,
F(s,p,L) = exp(L 3~1 У (3)
\ 1 — р х s J
Из формул (1) и (3) получаем значения вероятностей регистрации 0, 1, 2 импульсов ( для более высоких значений выражения также получены, но не приведены):
/о(р, L) = exp(-Z),
/i(p, L) = exp(-Z) x L x (1 - p),
/2(p, L) = exp(-i) x (¿ x (1 - p) x p + ^ x ¿2 x (1 -p)2). (4)
Применяя формулы (1), позволяющие вычислить моменты с помощью производящих функций, получаем выражение для среднего и дисперсии числа зарегистрированных импульсов:
«та го
Обозначив среднее число вторичных импульсов, приходящихся на один первичный (среднее геометрического распределения), коэффициентом дупликаций Кдир,
К - Р л аир —
1 -V
можно представить (5) в виде:
ЕХ = Ь х (1 + КАир), Уаг(Х) = Ь х (1 + А'аир) х (1 + 2#аир).
Графики обобщенного распределения Пуассона. Расчетные функции вероятности обобщенного Пуассоновского распределения по формулам (4), включая более высокие значения амплитуды импульсов (числа зарегистрированных выходных событий), представлены на рис. 4. С ростом вероятности вторичных событий р функция распределения заметным образом уширяется (увеличивается дисперсия) и сдвигается среднее положение пика (увеличивается среднее). Таким образом, дупликации вызывают рост средней амплитуды выходного сигнала и увеличение разброса значений амплитуд от среднего, т.е. рост шума.
Определение параметров обобщенного распределения. Полученные аналитические выражения для зависимости функции распределения от вероятности рождения вторичного импульса р и от среднего числа первичных событий Ь позволяют легко определить оба параметра обобщенного распределения из экспериментальной гистограммы:
Ь = -1п(/0),
Л
р= 1 +
/о х 1п(/о)'
При таком подходе важнейшая характеристика фотодетектора - квантовая эффективность (в данном случае правильнее говорить о вероятности детектирования единичного фотона) - без искажений определяется из известной величины Ь при известном среднем числе фотонов в импульсе. Интересно отметить, что для определения вероятности кросс-толка р достаточно знать экспериментальные значения числа событий в нулевом и первом пиках гистограммы (не требуется знание среднего числа фотонов в импульсе). Точность оценки Ь и р может быть в дальнейшем повышена на основе аналитических выражений для вероятностей с большими амплитудами - двойными и выше в развитие формул (4).
Шум-фактор процессов кросс-толка. Известно, что ЛФД классического типа обладают высокими шумами умножения, т.е. большой дисперсией числа умноженных электронов в выходных импульсах. В ТФЭУ, благодаря сильной отрицательной обратной связи, шумы процесса умножения на порядки меньше и ими практически можно пренебречь. Однако было бы правильным сделать сопоставимое сравнение шумов кросс-толка в ТФЭУ и шумов умножения ЛФД и вакуумных ФЭУ.
В качестве основной характеристики избыточного шума детектирования, порождаемого самим приемником, используют шум-фактор (excess noise factor, ENF). Шум-фактор определяется как величина, показывающая насколько изменилось отношение в квадратурах сигнала к шуму (Signal to Noise Ratio, SNR) на выходе прибора по отношению к входу за счет внутренних процессов в детекторе
SNRl„
В нашем случае сигналом на входе можно считать среднее число первичных умноженных электронов, а шумом - его среднеквадратичное отклонение, а на выходе - то же для числа одноэлектронных импульсов. Считая, что число фотонов во входном сигнале подчиняется распределению Пуассона, и используя полученный результат (5) для выходных сигналов, получаем:
SNRin = = SNRout = ^
у/ТТ~Р
Таким образом, шум-фактор процессов кросс-толка имеет весьма простой вид:
ЯМР = 1 + р.
Очевидно, что в сравнении с ЛФД, типичные значения шум-факторов для которых лежат в диапазоне от 2 до 10, ТФЭУ практически всегда будут предпочтительнее, поскольку для них шум-фактор умножения пренебрежимо мал (1.01-1.05), а шум-фактор кросс-толка ограничен по максимуму значением 2. Значения шум-фактора вакуумных ФЭУ с усилителем-дискриминатором лежат в диапазоне от 1.2 до 1.3, поэтому преимущества ТФЭУ за счет низких шумов умножения будут проявляться при значениях вероятности рождения вторичных импульсов <20%—30%.
Обсуждение. С точки зрения применимости полученных результатов к реальным условиям работы фотоприемника необходимо, чтобы в выходном сигнале содержались только первичные события и все порожденные ими цепочки дупликаций, не более и не менее. Это достаточно просто реализуется при регистрации коротких (по критерию ширины одноэлектронного импульса ТФЭУ) лазерных импульсов в синхронных временных воротах при условии низкого темнового счета (по критерию среднего числа событий в воротах). То есть нужно исключить ситуацию, когда во временные ворота попадают "чужие" вторичные импульсы и не попадают "свои". Если такие условия выполняются в узких воротах (немного больше ширины одноэлектронного импульса, но много меньше характерного времени задержки импульсов афтерпалсинга), то полученный результат относится только к эффекту кросс-толка. Однако если ширина ворот будет много больше времен задержки афтерпалсинга, то вместо вероятности кросс-толка будет фигурировать суммарная вероятность дупликаций: кросс-толка и афтерпалсинга. В подобных условиях широких временных ворот могут быть получены корректные результаты и при регистрации полного числа одноэлектронных событий для стационарных темновых или световых Пуассоновских потоков.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. Б. Кравченко, А. Ф. Плотников, В. Э. Шубин, Квантовая электроника 5(9), 1918 (1978).
[2] S. V. Bogdanov, А. В. Kravchenko, A. F. Plotnikov, and V. Е. Shubin, Physica Status Solidi (a) 93, 361 (1986).
[3] Dmitry A. Shushakov and Vitaly E. Shubin, in Proc. SPIE 2397, 544 (1995).
[4] В. Э. Шубин, Д. А. Шушаков, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 2, (2000).
[5] В. Dolgoshein, P. Buzhan, A. Ilyin, et al., "An advanced Study of Silicon Photomultiplier," 2001 ICFA: http://www.slac.stanford.edu/pubs/icfa/
[6] A. Lacaita, F. Zappa, S. Bigliardi and M. Manfredi, IEEE Trans, on Electron Dev., 40(3), 577 (1993).
[7] K. Linga, E. Godik, J. Krutov, D. Shushakov, et al. in SPIE 6119, 61190K-1 (2006).
[8] F. Risigo et al., Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. A, 67(1), 75 (2009).
[9] V. Balagura, M. Danilov, B. Dolgoshein, et al., arXiv:physics/0504194 v2 8 Sep 2005. [10] P. Eraerds, M. Legre, A. Rochas, H. Zbinden, and N. Gisin, Optics Express 15(22),
14539 (2007).
[11] Н. С. Burstyn, Rev. Sei. Instrum. 51(10), 1431 (1980).
[12] M. A. Finn, G. W. Greenlees, T. W. Hodapp, and D. A. Lewis, Rev. Sei. Instrum. 59(11), 2457 (1988).
[13] L. Campbell, Rev. Sei. Instrum. 63(12), 5794 (1992).
[14] M. Htjbel and J. Ricka, Rev. Sei. Instrum. 66(7), 2326 (1994).
[15] S. Sanchez Majos, P. Achenbach, and J. Pochodzalla, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. A 594(3), 351 (2008).
[16] M. Mazzillo et al., Sensors and Actuators A 138(2), 306 (2007).
[17] В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1 (М., Мир, 1984).
Поступила в редакцию 29 апреля 2009 г.
