Вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания в системе с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА И ВЕРОЯТНОСТЬ ОЖИДАНИЯ НАЧАЛА ОБСЛУЖИВАНИЯ В СИСТЕМЕ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ И ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ

ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислены вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания заявкой, находящейся в очереди на обслуживание.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with a queue offinite length and bounded mean residence time in the queue is presented. The probability of failure and the probability of waiting for the application currently queued for service is calculated.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работе [1] и посвя-щённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этой работе рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода

«поток уходов» с интенсивностью v=11. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как / , а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X

В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположено, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания / заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем m + N . Ясно, что при N ^да такая система массового обслуживания сводится к изученной в цикле работ [2-4]. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р=Х / . Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы p0

Р0 = 1 ет-1Р) +

Р

(т -1)!'

Г(т/ р) Е" (а; ш/ Р)-1 +

Г(ш/ Р)

{шР + N) г(шР + N)

= (1)

(напомним, что ^о(р)=1). В этих формулах

Г(#+ к )

- неполная функция Г. Миттаг-Леффлера первого порядка [1]. В предельном случае, когда N^да , второе слагаемое в квадратных скобках этого соотношения стремится к нулю и тогда формула (1) переходит в известное соотношение

Ро =

ш-1

ет-1 (р)+7^ [ Г(ш/ Р) Е (а; т/ р) -1 ]

(ш -1)!

модели [2,3], как и следовало ожидать. При этом формулы для вероятностей стационарных состояний системы имеют вид

Р

Рк =Т7Ро пРи к-т; к!

Рк =

Р

а

т! (т/Р+1)к

"Ро =

т

Р ак-т т!

Г(т Р+1) =

Г(т/ Р+1+к - т) 0

Р

Г(т Р)

(т-1)! (т/ р+к - т)г(т/ р+к - т) т - к - т + N,

Ро при

где (а )к = а (а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а )о = 1 - символ Похгаммера [4]. Величина а= р/Р = Х/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. где ет (р) -неполная экспонента [2, 3]. При этом р = у!/и -приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необ-служенными за среднее время обслуживания системой одной заявки.

Найдем вероятности отказа и ожидания обслуживания для заявок, поступающих в систему. Ясно, что поступившая заявка получает отказ, если заняты все т обслуживающих каналов и все Е мест в очереди, то есть

Ротк Рт + N

Р

Г(т Р)

(т-1)! (т/Р + ") Г(т/Р+")

Относительная пропускная способность

Ч =1-Ротк =1 -

Р

а

Г(т Р)

(т-1)! (т/р+") Г(т/р+")

Ро. (2)

А):

как обычно, дополняет вероятность отказа до единицы. Абсолютная пропускная способность СМО в этом случае, очевидно, будет равна

А=/д=/

1-

Р

Г(т/ Р)

Ро

.(3)

(т-1)! (т/Р+") Г(т/Р+Ы)

Найдём теперь вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет занятыми все каналы и хотя бы одно свободное место в очереди (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Имеем

т+N-1 пт п т + N-1

Рожид = I Рк = Р~Р° I

к=т т! к=т

Р Р 1

а

(т/ Р+1)к

т! к=о (т/ Р + 1)к

=РРо Г(т/ Р+1) Е^ ~'(а;т/ Р+1). т!

(4)

Заметим далее, что согласно определению неполной функции Г. Миттаг-Леффлера можно записать цепочку формул

N

ег

__= I 7 I 7 -

к=о Г(#+ к) к=о Г(#+к) Г(# + N)

м

=Е^Ы+

Г(# + N);

откуда

Е?Ы=Е^

Г(# + N) '

и тогда из соотношения (4), в свою очередь, следует

т Г N

-Р Ро-г(шр+1)

Рожид =

т!

Е^ (а; т/ Р+1)—

а

Г(т/ Р+1+N)

В этом соотношении выражение в квадратных скобках легко преобразовать с учётом рекуррентной формулы для гамма-функции и полученного в работе [1] рекуррентного соотношения для неполной функции Г. Миттаг-Леффлера

ЕГ (г;#+1)=1 { Е? (г;#)-Г|)

в результате чего окончательно имеем

Г(#)

(# + N )Г(Г + N)

Ржд =РШ—^ [г(Ш Р) Е^ (а; т/Р)-1 ] (5) (т -1)!

В предельном случае, когда N ^да, соотношение (5), как и следовало ожидать, переходит в известную мультипликативную зависимость [2, 3]

т-1

Р0ж,д =РШ-р![Г(т/Р)Е:(а;т/Р)-1 ]. (т -1)!

а

а

X

к

7

к=о

т

к

а

т

N

к-т + 1

г

а

а

Заметим, что из соотношений (2), (5), в частности, следует, что формулу (1) для р0 можно представить ещё и как

Ро = [ ет-1 р) + (Рожид + Ротк ) / Ро ]"' ,

и тогда

em-l(p) Ро + Рожид + Ротк = 1

Литература

1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник Казанского технологического университета. 2016. Т. 19. № 11. С. 136-139.

2. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

3. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

4. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

то есть, как и следовало ожидать,

Рсбсл + Рожид + Ротк 1 ,

где робсл = em_l{p)p0 - вероятность немедленного обслуживания вновь поступившей в систему заявки, то есть вероятность того, что при поступлении в систему новой заявки найдётся, по крайней мере, один свободный канал обслуживания.

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].

© A. P Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].