Верификация метода оценки деформации на мезоуровне, основанного на построении полей векторов перемещений участков поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Верификация метода оценки деформации на мезоуровне, основанного на построении полей векторов перемещений участков поверхности

С.В. Панин, П.С. Любутин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе проводится исследование и тестирование алгоритма оценки деформации твердых тел на мезомасштабном уровне, основанного на построении полей векторов перемещений и расчете компонент деформации. Проверка метода проводилась путем сравнения аналитически вычисленных компонент деформации с экспериментальными расчетными данными, полученными по модельным изображениям, а также на изображениях, записанных с помощью оптико-телевизионной измерительной системы TOMSC, при растяжении металлических и полимерных образцов. Показано, что оценки компонент деформации, получаемые в результате корреляционного анализа изображений, хорошо согласуются с результатами их аналитического расчета при известных параметрах нагружения и размерах анализируемых изображений. Результаты проведенных исследований являются наглядным доказательством правомочности использования комплекса TOMSC для оценки локальных деформаций, реализуемых путем обработки изображений поверхности образцов нагруженных материалов.

Verification of a method of deformation estimation at the mesolevel on the basis of constructing displacement vector fields on the surface

S.V Panin and P.S. Lyubutin

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia In the paper an algorithm for estimating the deformation of solids at the mesolevel is studied and verified. It is based on the construction of displacement vector fields and calculation of strain components. The method has been verified by comparing strain components calculated analytically and using experimental data retrieved from model images and from images obtained by the television-optical measuring complex TOMSC in tension of metal and polymer specimens. It is shown that the estimates of strain components provided by the correlation analysis of the images agree well with the analytical calculation results with the known loading parameters and image sizes. The investigation results clearly demonstrate that the complex TOMSC can be used to estimate local strains through processing the images of loaded specimen surfaces.

1. Введение

В настоящее время для исследований параметров деформации, а также для неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций разработан и используется целый ряд методов, приборов и устройств. Каждый из них имеет как свои недостатки, так и преимущества, связанные с возможностями применения конкретного метода, его точностными характеристиками,

вероятностью правильной идентификации дефектов конечных размеров, чувствительностью, затратами на изготовление и эксплуатацию, сложностью проведения измерений, способностью к перенастройке и т.д.

Метод спекл-интерферометрии основан на спекл-эффекте, проявляющемся в формировании случайной интерференционной картины, наблюдаемой при рассеянии когерентного света на оптически грубой поверх-

© Панин С.В., Любутин П.С., 2005

ности. Создание лазеров, способных генерировать излучение видимого диапазона с высокой когерентностью и большой интенсивностью, позволило применить эти методы к решению практических задач. Основным недостатком метода спекл-интерферометрии является низкая разрешающая способность, которая определяется диаметром лазерного луча, т.е. один вектор перемещения характеризует смещение площадки размером примерно 1 мм2 [1, 2].

Методы рассеянного света. Явление фотоупругости лежит в основе экспериментального метода, позволяющего исследовать поля напряжений и деформаций. Этот метод связан с влиянием напряжений и деформаций на оптические свойства исследуемого материала. При прохождении света через оптически активные прозрачные материалы возникают картины интерференционных полос, с помощью которых определяют напряжения. Метод имеет недостатки, связанные с ограничением классов исследуемых материалов, а также ограничением разрешающей способности.

Метод фотоупругих покрытий расширяет область применения фотоупругости в проходящем свете и позволяет измерять деформации поверхности непрозрачных тел [3-5]. На исследуемую поверхность детали наклеивают тонкий слой фотоупругого материала. При нагружении детали покрытие деформируется вместе с поверхностью. Если покрытие достаточно тонкое, деформации поверхности детали передаются покрытию с минимальными искажениями. Метод фотоупругих покрытий [6, 7] несмотря на значительные успехи в развитии методов измерения и аппаратурной реализации имеет ограничение по разрешающей способности.

Геометрический муар есть оптическая картина чередующихся темных и светлых полос, возникающих при наложении периодических систем линий с постоянным шагом. Картины муаровых полос используются для измерения величин, характеризующих изменение геометрии тела, таких как перемещения, углы поворота, кривизны и деформации линий сеток, и позволяют численно измерять деформации [8-12]. Наиболее распространено применение муара для определения перемещений и деформаций в плоскости исследуемого образца [13, 14]. Сетки наносят на образцы царапаньем, травлением, гравировкой, печатанием с помощью клише, фотоспособом или проклейкой. Картину муара можно получить путем непосредственного наложения двух сеток или двукратного экспонирования двух изображений сетки на один негатив. Для данного метода также актуальна ограниченная разрешающая способность [2].

Теневой оптический метод каустик — сравнительно новый метод исследования напряжений и деформаций [15, 16]. Этот метод чувствителен к градиентам напряжений и поэтому пригоден для анализа задач концентрации напряжений. Поскольку метод основан на анализе освещения при его прохождении через дефект,

возникает ограничение метода на класс анализируемых объектов.

Метод корреляционной обработки изображений. Использование оптико-телевизионных измерительны« систем для определения параметров деформации рассматривается в настоящее время как одно из наиболее перспективных. Для анализа оптических изображений могут использоваться различные алгоритмы, позволяющие получать информацию о состоянии объекта, цвете, размерах и форме структурных элементов на его поверхности. Одним из основных методов оценки деформации объекта является метод построения полей векторов смещений и расчета компонент деформации [17-20].

2. Метод оценки деформации, основанный на корреляционном анализе изображений

Алгоритм построения поля векторов перемещений. Алгоритм оценки перемещений основан на вычислении функции корреляции и поиске максимума этой функции. В настоящей работе нами быи реализован и использовался следующий способ расчета коэффициента корреляции:

¡и, ¡і 2,у

і=1 ¡=1

(1)

где /1,12 — яркости элементов (пикселов) сравниваемых участков изображений; п — размер стороны элементарной площадки, для которой вычисляется кг. Нахождение максимума коэффициента кг в пределах зоны сканирования производится построчно с шагом 1 пиксел [19-21]. Размер зоны сканирования задается параметром г (рис. 1); построение векторов производится с заданным шагом. Значения параметров кг, г и шага построения векторов задаются независимо друг от друга. Таким образом, в рамках описываемого подхода объеди-

Рис. 1. К пояснению принципа определения перемещения элементарной площадки с координатами (1э,Jэ) в пределах зоны сканирования

к

г

Рис. 2. Точность определения смещений с использованием предложенного ранее в [21] алгоритма (1) и алгоритма, предложенного в настоящей работе (2)

нены два алгоритма, предложенные нами ранее в статье [21].

После определения перемещения участка с пиксельной точностью необходимо дальнейшее уточнение величины перемещения до долей пиксела. Субпиксельная точность достигается бикубическим (двумерным) интерполированием узлов с наибольшими значениями кг, т.е. интерполируется не все распределение корреляционной функции в расчетной области, а только один участок. После интерполяции находится максимум функции бикубического сплайна, координаты которого определяют величину и направление смещения. Использование подобного алгоритма сокращает время проведения расчета и позволяет более точно определить смещение, по сравнению с алгоритмом, описанным в [21]. Более высокая точность определения смещения обеспечивается за счет двумерного интерполирования участка, а не поочередного интерполирования одномерными сплайнами. Сокращение вычислений достигается за счет интерполирования одного необходимого участка и замены последовательного перебора значений при поиске максимума на поиск экстремума через вычисление градиентов.

Для сравнения алгоритмов был проведен тест, для которого была создана серия модельных изображений, а объект на изображении представлял собой фон в виде равномерного распределения («поверхность») (см. подробное описание в п. 3). От изображения к изображению «поверхность» смещалась на 0.05 пиксела. По полученным модельным изображениям строили поля векторов перемещений и находили среднеарифметическое смещение по всему полю. На рис. 2 приведены результаты теста алгоритмов (1 — алгоритм, описанный в [21], 2 — алгоритм, использованный в настоящей работе); по оси х отложено рассчитанное приращение смещения «поверхности», по оси у — отклонение смещения, найденного с помощью использованного алгоритма, от заданного. Таким образом, предложенный в данной ра-

боте алгоритм позволяет в значительной степени повысить быстродействие метода, а также точность определения смещений.

Количественные характеристики деформации определяются путем численного дифференцирования компонент поля векторов перемещений [20, 21].

3. Моделирование деформации поверхности

Проверка предложенного метода проводилась путем тестовый расчетов с использованием модельных и экспериментально полученных изображений поверхностей при известный параметрах деформирования. Проведение тестовый расчетов с использованием серии модельных изображений предназначено для поверки метода в условиях отсутствия внешних возмущающих воздействий, таких как шум, геометрические искажения и др. Для создания модельных изображений, отражающих различные схемы нагружения материала, использовался следующий подход.

Изображение реальной поверхности представляет собой оптический образ, каждый участок которого характеризуется определенной яркостью (интенсивностью отраженного света). При дальнейшем описании моделирования изображений под термином «поверхность» будем понимать непрерывное распределение яркости (оптический образ). Построение модельных изображений можно разбить на несколько этапов:

- получение набора дискретныгх отсчетов яркости (узловых точек) «поверхности» с заданным распределением;

- построение непрерывного распределения яркости («поверхности») путем интерполирования полученных узловых точек;

- задание параметров (типа и приращения) деформации и перерасчет «поверхности» с учетом заданных значений;

- дискретизация «поверхности» с целью получения модельного изображения.

Поскольку целью исследования не является выделение характерных объектов на изображении, то модель оптического образа поверхности будет представлять собой фон. Фон можно рассматривать как распределение значений случайной величины, которое может быть описано набором признаков, не свойственных объекту, и выщеление информационны« признаков в котором затруднено. Также следует учитывать, что реальные изображения содержат шум и искажения, возникающие в процессе преобразования двумерного яркостного сигнала на входе датчика в электрический ток на выходе, например, шум, связанный с неоднородностью чувствительности датчика по полю, геометрическими искажениями, шумами дискретизации сигнала и т.д. [22].

В качестве набора модельныгх изображений использовали ряд однотипных изображений, отличающихся друг от друга статистическими параметрами (средним

Ах

Ау

Ах

1 пике.

1 пике.

Рис. 3. К пояснению способа задания деформации модельной поверхности сдвиг (а); двуосное растяжение (б)

уровнем яркости, дисперсией). Наиболее простым и эффективным способом моделирования изображений фона как двумерных стохастических полей с заданными статистическими свойствами является соотношение вида [22]:

Рх,у = а^х,у-1 + в^х-1,у -1,у-1 +

+ пх,у ал/(1 -а)(1 -в) + т(1 -а)(1 - РХ

(2)

где Г ху — текущее значение фона в точке х, у; а, в — коэффициенты корреляции между соседними элементами по горизонтали и вертикали; пху — случайная последовательность чисел с нулевыш средним и единичной дисперсией; о — требуемая величина среднеквадратичного отклонения амплитуд яркости изображения; т — требуемая величина математического ожидания амплитуд яркости изображения.

Варьируя параметры т, о, а и в в выражении (2), можно получать широкий диапазон фоновыгх изображений с контролируемыми статистическими параметрами. При фиксированных статистических параметрах можно сгенерировать банк однотипных изображений, что, в свою очередь, дает возможность проведения более точных, в статистическом смысле, компьютерных (вычислительны«) экспериментов. При а = 0 и в = 0 модель фона сводится к случайной последовательности пх , приведенной с помощью параметров т и о к нужному масштабу (по яркости пикселов изображения). В качестве распределения случайной последовательности нами было использовано равномерное распределение.

После расчета двумерного набора узлов с заданными статистическими параметрами проводили интерполяцию узлов для получения непрерывного распределения яркости. Расстояние между узлами принимается равным одному пикселу. Таким образом, вся модель разбивается на квадратные участки; интерполирование производится бикубическими двумерными сплайнами вида:

/ (х, у) = а0 х3 + а1 х 2 + а2 х + а3 у3 + а4 у 2 +

3 3 3 2 3

+ а5у + а6х у + а7 х у + а8 х у +

2 3 3 2 2

+ а9 х у + а10 ху + а11х у +

+ а12 х 2 у + а13 ху 2 + а14. (3)

В результате деформации изменяется положение каждой точки поверхности. На рис. 3 приведены два типа деформации: сдвиг (рис. 3, а) и двуосное растяжение (рис. 3, б). Сплошными линиями показана форма объекта до деформации, а пунктирными — после деформации.

Дискретизация «поверхности» подразумевает нахождение яркости каждого пиксела изображения после деформации. Яркость каждого пиксела определяется как среднее значение яркости участка «поверхности», который соответствует положению и размеру пиксела. Среднее значение яркости участка «поверхности» можно найти как /аУё = У/8, где V — объем тела, основанием которого служит область 8 плоскости х,у и которое сверху ограничено поверхностью £ = /(х, у); область 8 соответствует одному пикселу; /(х, у) — непрерывное распределение яркости.

Объем тела можно найти путем интегрирования поверхности по области 8:

при 8 = {(х, у) I х1 < х < х2, у1 < у < у2>

^2 /у2(х)

6х,

при £ = {(х, у) I х1(у) ^ х ^ х2(y), у1 ^ у ^ у2}

у2 / х2 (у) ^

V = 11f (х, у)Му =1 If(х, у)6х ^.

(£) у1 . х1( у) У

Поскольку искомая область соответствует одному пикселу, то favg = V/1 = V. После приращения деформа-

Рис. 4. Пример модельных изображений поверхности, полученных с помощью статистической модели (а) и модели типа равномерного распределения (б)

ции узловые точки смещаются, в результате в область пиксела может попадать несколько сплайнов «поверхности» (рис. 3), поэтому среднее значение будет равно сумме объемов. Например, для пиксела, показанного на рис. 3, а, favg = V1 + V2, V1 и V2 соответствуют областям £ и £ 2.

На рис. 4 показаны примеры изображений поверхности, полученных с помощью статистической модели и модели типа равномерного распределения.

Для проведения последующих тестовых расчетов использовалась модель типа равномерного распределения с параметрами т = 150, о = 40.

3.1. Модель двуосного растяжения поверхности

Рассмотрим участок поверхности прямоугольной формы и размером w X I (рис. 5). При равномерном растяжении поверхности по осям х и у значения параметров I и w увеличиваются на Ах и Ау соответственно. Примем, что начало координат находится в левом нижнем углу прямоугольника. Запишем координаты радиус-векторов Г1 и г2:

Г = {I, w},

г2 = {I + Ах, w + Ау}.

Точка М1 переходит в М2, вектор г равен разности векторов г1 и г2:

Г = г2 - Г1 =

= {I + Ах -1, w + Ау - w} = {Ах, Ау}.

Поскольку растяжение равномерное, то для каждой точки поверхности можно записать вектор смещения:

гху = {кх, к2у}, (4)

к1 = Ах/1, к2 = Ау/^, где х и у — координаты точки. При рассмотрении всех точек поверхности можно записать векторное поле в декартовых координатах:

V(х, у) = Ух (х, у) + Уу (х, у)Л (5)

Ух (^ у) = к1^ Уу (^ у) = к2 у.

Использование тензора дисторсии удобно для описания деформаций объекта. Напомним выражения для продольной 8 хх, поперечной 8 уу, сдвиговой 8 компонент тензора дисторсии и главного пластического сдвига у [19, 20]:

Рис. 5. К пояснению принципа аналитического расчета деформации в случае двуосного растяжения участка поверхности

0.012 0.010 0.008 _ 0.006 Г 0.004 0.002 0.000 -0.002

гм, и, Ї

Ау, пиксел

Рис. 6. Компоненты деформации при двухосном растяжении, рассчитанные аналитически (пунктирная и сплошная линии) и как среднеарифметическое дискретного распределения: в хх, в ху (а) и в уу, у (б)

у

V дV

дх , у ду

ґдVх дVyЛ

• + *

ду дх

(6)

У:

-\/(вхх - вуу У

+ 4в

ху

Также запишем выражение для интенсивности деформации сдвига у{ [23, 24]:

У і

~л|( вхх -вуу )2 + *4 + в2уу + “в2у .

(7)

Зная векторное поле перемещений, можно записать указанные компоненты тензора дисторсии, главный пластический сдвиг и интенсивность деформации сдвига:

д(к1 х)

дх д(к 2 у) ду

= къ = к 2

вху 2

д(к1х) + д(к 2 у )

дх

ду

)/(вхх - Вуу )2 + 4в

= 0,

: |к1 - к2 |,

(8)

Уi =л13^(к1 - к2 ) + к1 + к2 ■

Размер модельных изображений, использовавшихся в работе, был равен 512 X 512 пикселов. Эксперимент проводился по четырем сериям, каждая серия состояла из 11 изображений, приращение длины I и ширины w модельной поверхности на каждом шаге составляло 1/2 пиксела. Поля векторов перемещений строили с использованием описанного в разделе 2 алгоритма со следующими параметрами: размер площадки расчета коэффициента корреляции равнялся 32 пиксела, шаг построения векторов — 12 пикселов, а радиус области для

поиска вектора — 8 пикселов. Путем численного дифференцирования векторныгх полей были получены распределения продольной 8хх, поперечной 8 , сдвиговой ху компонент тензора дисторсии и главного пластического сдвига у. На рис. 6 приведены полученные результаты. Пунктирной и сплошной (совпадает с осью х) линиями обозначены значения компонент деформации, рассчитанные аналитически согласно (8), а точками обозначены значения компонент деформации хх , 8уу, 8ху, у, рассчитанные как среднеарифметическое их дискретного распределения (вычисленные с использованием разработанной программы). При расчете распределений компонент деформации по полученным модельным изображениям отклонения от значений, выиис-ленных аналитически, составили:

Ає хх =±9.921 -10-Ає уу =±9.575 -10' Ає ху =±5.949 -10_

Ау+

Ау"

1.3829-10-7.6 -10 -6

3.2. Модель одноосного сдвига поверхности

Как и в случае с схемой растяжения, рассмотрим участок поверхности прямоугольной формы размером wX I (рис. 7). При равномерном сдвиге поверхности вдоль оси х поверхность приобретает вид параллелограмма. Начало координат находится в левом нижнем углу прямоугольника. Точка М1 переходит в М2, расстояние между точками равно Ах. Запишем координаты радиус-векторов Г1 и Г2: г1 = {0, w}, г2 = {Ах, w}.

Вектор г равен разности векторов г1 и г2 :

г = г2 - г1 = {Ах, w - w} = {Ах, 0}.

є

хх

4

вуу =

3

1

У

Поскольку сдвиг равномерный, то для каждой точки поверхности можно записать вектор смещения:

Гху = {kУ, 0} (9)

к = Дх/^1,

где х и у — координаты точки. При рассмотрении всех точек поверхности можно записать векторное поле в декартовых координатах:

Vу) = V(х, у)і + ^(х, у)¡, (10)

V(х у) = ку, Vy(х, у) = 0.

Зная параметры перемещений, задаваемые векторным полем, можно записать продольную хх , поперечную уу , сдвиговую ху компоненты тензора дистор-сии, главный пластический сдвиг у и интенсивность деформации сдвига у і:

д(ку)

дх

0,

еуу = 0>

= —

д(ку)

ду

+ 0

(11)

>)2 + 4в1у = к,

У1 = вху =

На рис. 8 приведены результаты расчета компонент деформации по модельным изображениям. Параметры алгоритма построения векторного поля и изображений соответствуют таковым, описанным в предыдущем разделе. Пунктирной и сплошной (совпадает с осью х) линиями обозначены аналитически полученные значения компонент деформации, точками обозначены значения компонент деформации, рассчитанные как среднеарифметическое их дискретного распределения. При расчете последних по полученным модельным изображениям отклонения от значений, вычисленных аналитически, составили:

Рис. 7. К пояснению принципа аналитического расчета деформации в случае одноосного сдвига участка поверхности

А8 хх =±2.729 -10 -4,

А8 ^ =±7.212 -10-4,

А8 ^ =±3.66 -10-4,

Ау = ±7.257 -10 -4.

3.3. Модель (трехточечного) изгиба поверхности

Рассмотрим участок поверхности прямоугольной формы и размером w X I (рис. 9). При приложении силы перпендикулярно оси х к точке М1 поверхность испытывает изгиб. Будем считать, что изгиб равномерный и стороны прямоугольника, параллельные оси х, изменяют форму по параболическому закону. Начало координат находится в левом нижнем углу прямоугольника. При этом точка М 1(1/2, 0) переходит в М2(1/2, Ау), расстояние между точками равно Ау. Запишем координаты радиус-векторов г1 и г2:

Г = {!/ 2,0}, г2 = {Ч2 Ау}.

Вектор г равен разности векторов г1 и г2:

0.006

0.004

>,

5

х

5 0.002

0.000

-0.001

■Л"

і

А

Л

Ах, пиксел

хх

У

є

XX

Рис. 8. Компоненты деформации при одноосном сдвиге, рассчитанные аналитически (пунктирная и сплошная линии) и как среднеарифметическое их дискретного распределения: ехх, вху (а) и Вуу, у (б)

Рис. 9. К пояснению принципа аналитического расчета деформации в случае (трехточечного) изгиба участка поверхности

-Г = {//2-1/2, Ау] = {0, Ау].

Поскольку изгиб равномерный и происходит по параболическому закону, то для каждой точки поверхности можно записать вектор смещения:

Гху = {0, АУ - к(х - V2)2}5

(12)

к =

Ау

(//2)2 ’

где х и у — координаты точки. При рассмотрении всех точек поверхности можно записать векторное поле в декартовых координатах:

V(х У) = Ух (х, у)/ + Ку(х, у)у, (13)

К (х, у) = 0,

Ку (х, у) = Ау - к(х - ¡/2)2.

Зная векторное поле, можно записать продольную е хх, поперечную в уу, сдвиговую 8 ^ компоненты тензора дисторсии, главный пластический сдвиг у и интенсивность деформации сдвига у {:

д(Ау - к(x -//2)2)

-уу

S ху = —

ху 2

0 +

ду ’

д(Ау - к ( x - // 2)2)

дх

к/

— —кх +--------,

2

у = J 4(-кх + к/ Ÿ =|- 2кх + к/|,

Y і = S

ху

к/

— кх +---------

2

На рис. 10, а приведены результаты расчета сдвиговой є ху компоненты тензора дисторсии, полученные путем анализа модельных изображений (отражающих деформацию по схеме трехточечного изгиба). Расчетные параметры, использовавшиеся при построении векторного поля и изображений, те же, что в предыдущих разделах. Сплошной и пунктирными линиями показаны значения аналитически вычисленной сдвиговой є ху компоненты тензора дисторсии, рассчитанные в центре анализируемого участка поверхности (сечение по горизонтали), при смещениях Ау от 0.5 до 2.5 пикселов с шагом 0.5. Точками обозначены среднеарифметические постолбцовые значения отсчетов дискретного распределения данной компоненты.

Отклонения экспериментально полученных распределений от аналитически рассчитанных уменьшаются к центру участка поверхности по горизонтали, что соответствует пересечению компоненты с осью х. Ошибка, в среднем, уменьшается от 2.5 -10- по краям до 8.54367 -10-5 в центре и значительно не изменяется при увеличении (уменьшении) приращения деформации Ау (рис. 9). На рис. 10, б приведен аналогичный график, построенный для главного пластического сдвига. Про-

0

S

хх

1

0.009

0.005

„ 0.001 -0.001

-0.005

-0.009

\ ч — Ау = 0.5 —- Ау = 1.0 Ау = 1.5 —- Ау - 2.0 -- Ау = 2.5

\ \ », V. V ».

v.x *.чч

-142-

-238-

1^334=^—430—

\V'4, ч-*1

х, пиксел

0.016

0.012

0.008

0.004

0.000

— Ау = 0.5 —- Ау = 1.0 Ау = 1.5 —- Ау - 2.0 Ау = 2.5

\ / /

Ч V \ t / , / ;

\ \ \ \ ê / г—Т~\ / /

\ \

Ч \ N / / у

\ s \ \ \ \ / / // / s

/У/

/// Iі//у

б

46

142

238 334

х, пиксел

430

Рис. 10. Компоненты деформации при (трехточечном) изгибе, рассчитанные аналитически (пунктирная и сплошная линии ) и как постолбцовое среднеарифметическое их дискретного распределения: єху (а), у (б)

Рис. 11. Распределение продольной компоненты тензора дисторсии s xx для моды I, рассчитанное аналитически (а) и по данным обработки модельных изображений (б)

слеживается тенденция (аналогичная вху) к уменьшению ошибки при приближении к центру участка поверх-

ности по горизонтали (от 4.99 - 1O 4 по краям до

1 .бб-1O 4 в центре). Отклонение s.

среднем составило

-4

±3.б32 - 1O-4 и

As yy =

±1.79 -1O соответственно.

(15)

3.4. Модель усталостной трещины

Характер перемещений перед вершиной трещины нормального отрыва (мода I) подробно изучен и подробно описан в механике разрушения [25, 26]. Выражения для перемещений в полярных координатах могут быть записаны следующим образом:

I _ К Г (2а-1) 008(0/2) - 008(3 0/2)

Ыг _ АIV г / ,

4Ол/2тс

I _ А г ^(3 0/2) - (2а + 1)вт(0/2)

Ы 0 А I д/ г --- ,

4^л/2л

где К1 — коэффициент интенсивности напряжений для трещины моды I; г, 0 — полярные координаты, причем начало координат связано с вершиной трещины, а угол 0 отсчитывается от оси, совпадающей с линией трещины; О — модуль сдвига; ы г — радиальное смещение; Ы0 — тангенциальное смещение. Для плоского напряженного состояния а _ (3 - у)/(1 + у), где V — коэффициент Пуассона. Для стали V = 0.28, поэтому а = 2.125.

Введем обозначение

А1 _ К1/ (4Ол/2п).

Для трещины поперечного сдвига (мода II) уравнения линейной механики разрушения имеют вид [25, 26]:

Ы и К Г 3§1п(3 0/2) - (2а- ^Ч0/2))

Ыг - КII»г /= ,

(1б)

II ТуГ /—3оо8(3 0 2) - (2а +1) 008(02)

Ы0 _К*'Гг----------------4О/5П-----------’

(17)

где K ц — коэффициент интенсивности напряжений для трещины моды II.

При совместном действии растягивающей внешней силы и поперечного сдвига смещение каждой точки будет представлять собой сумму двух смещений, соответствующих нормальному отрыву и аккомодационному повороту. В этом случае суммарное векторное поле упругих смещений может быть описано уравнениями [26]:

uf = A1 Vr(((2a -1) cos(0/ 2) - cos(3 0/ 2)) +

+ k (3 sin(3 0/ 2 - (2a -1) sin(0/ 2))), uf = A14r ((sin(3 0/ 2) - (2 a +1) sin(0/ 2)) +

+ k (3 cos(3 0/ 2) - (2a +1) cos(0/ 2))), где k = K п/ KI.

Для дальнейших расчетов необходимо перейти от полярной системы координат к декартовой:

Vx = ur cos 0 + u0 sin 0, Vy = ur sin 0- u0 cos 0. (18)

Дифференцируя векторное поле можно вычислить компоненты деформации. На рис. 11 приведены распределения компоненты s xx для моды I: рассчитанное аналитически и в результате обработки модельных изображений.

Приведенные распределения свидетельствуют о хорошем качественном и количественном согласии результатов аналитического и экспериментального расчетов. Кроме того, распределение, приведенное на рис. 11, б, иллюстрирует уровень ошибки (отклонения), возникающей при пересчете смещений в компоненты деформации.

4. Расчет деформации путем анализа изображений поверхностей реальных объектов

В данном разделе приведены результаты тестирования разрабатываемого метода на изображениях по-

Рис. 12. Изображение участка образца сплава Д16АТ (а) и соответствующее этой степени деформации поле векторов перемещений (б)

верхностей реальных образцов. В экспериментах использовались металлические образцы из авиационного алюминиевого сплава Д16АТ и полимерные образцы из полипропилена, нагружавшиеся на механической испытательной машине ИМАШ-2078 в условиях одноосного статического растяжения.

Образцы сплава Д16АТ имели размер рабочей части 42 X 2 X 2 мм3. Изображения снимали в центральной части образца, размер участка, наблюдаемого на изображении, составлял 1 600 X 1 200 мкм (рис. 12, а). Размер изображений (разрешение) равнялся 768X 576 пикселов. Скорость растяжения образца составляла 15 мм/ч; запись изображений образца производилась через промежутки времени, равные нескольким секундам [27]. Поле векторов перемещений, построенное по паре изображений образца, приведено на рис. 12, б.

Запишем принцип прямого расчета значений в ^, исходя из скорости нагружения образца и времени между записью изображений. Длина (размер по горизонтали) участка изображения, соответствующего полю векторов перемещений, равна:

L = (ncols -1) • step = 59 -12 = 708 пикселов,

где ncols — количество столбцов поля; step — шаг построения векторов, измеренный в пикселах.

Найдем скорость растяжения участка образца, соответствующую размеру векторного поля:

V = LV^/Lо = (708 • 4.2)/42000 = 0.0708 пиксел/с,

где V^ — скорость нагружения образца, мкм/с; Vw = (15 -103)/3600 = 4.2 мкм/с; L0 — длина образца, мкм. Зная время между записью изображений, согласно выражению (8) можно определить приращение деформации и значение продольной вxx компоненты тензора дисторсии для каждой пары изображений:

В» = Vt/L,

где t — время между записью изображений. На рис. 13 приведены зависимости параметра вот времени при-

ращения нагрузки, полученные с использованием прямого расчета (принцип которого был описан выше) и косвенного расчета, проводившегося с использованием метода, предложенного в настоящей работе и реализованного программно. Приведенные результаты являются наглядным подтверждением количественного и качественного соответствия результатов расчетов и свидетельствуют в пользу того, что разрабатываемая методика оценки деформаций, основанная на анализе перемещений участков поверхности, может быть успешно использована для изучения деформационного поведения металлических материалов и сплавов.

Следующий эксперимент выполняли на образцах полипропилена, имевших форму двусторонней плоской лопатки. Размер рабочей части образцов составлял 39 X 2 X1 мм3. Изображения снимали в центральной части образца, размер участка на изображении равен 800 X 600 мкм (рис. 14, а). Размер изображений (разрешение) составлял 768 X 576 пикселов. Скорость растяжения образца равнялась 15 мм/ч. Поле векторов перемещений, построенное по паре изображений исследуемого образца, приведено на рис. 14, б. Интерес к дан-

Рис. 13. Результаты расчета продольной компоненты тензора дисторсии в хх при растяжении образца сплава Д16АТ с использованием «прямого» и «косвенного» методов расчета

ному материалу вызван его способностью испытывать существенные упругие деформации, что является весьма актуальным при разработке метода оценки дефор-мании.

На рис. 15 приведены зависимости параметра в хх от времени приращения нагрузки, полученные с использованием прямого и косвенного методов расчета, принцип которого аналогичен описанному выше для образцов сплава Д16АТ. Подобие зависимостей, приведенных на обоих графиках, как для металлических, так и для полимерных образцов, свидетельствует о том, что используемый подход к вычислению параметров деформации, основанный на построении полей векторов перемещений участков поверхности, является корректным и может применяться для проведения экспериментальных исследований совместно с оптико-телевизионным измерительным комплексом ТОМ8С.

5. Заключение

В настоящей работе впервые в рамках методологии физической мезомеханики проведено тестирование теоретического метода оценки деформаций на мезоуровне, основанного на обработке изображений поверхности

Рис. 15. Результаты расчета продольной компоненты тензора дис-торсии в хх при растяжении образца полипропилена с использованием «прямого» и «косвенного» методов расчета в зависимости от времени от начала регистрации серии изображений

(построении векторов смещений). На основании полученных результатов были сделаны следующие выводы.

1. Предложен алгоритм определения смещений участков поверхности с пиксельной точностью, что достигается бикубическим (двумерным) интерполированием наибольших коэффициентов распределения корреляционной функции. Более высокая точность определения смещения достигается за счет двумерного интерполирования участка, а не поочередного интерполирования одномерными сплайнами. Сокращение вычислений достигается за счет интерполирования одного необходимого участка и замены последовательного перебора значений при поиске максимума на поиск экстремума через вычисление градиентов.

2. Проведена проверка предложенного метода путем выполнения тестовых расчетов с использованием серий модельных изображений, для чего были сгенерированы модельные изображения, отражающие формоизменение «поверхности» при двуосном растяжении, одноосном сдвиге, а также трехточечном изгибе. Показано как качественное, так и количественное соответствие результатов аналитического и экспериментального методов расчета деформации. Подобный результат был получен и для известного в литературе распределения деформации (перемещений) в вершине усталостной трещины.

3. Сопоставление результатов оценки деформации путем аналитического расчета по известным параметрам нагружения и результатам обработки экспериментальных изображений металлических и полипропиленовых образцов также показало их количественное и качественное согласие.

Таким образом, используемый подход для вычисления параметров деформации, основанный на построении полей векторов перемещений участков поверхности является корректным и может применяться для проведения экспериментальных исследований с помощью оптико-телевизионного измерительного комплекса ТОМ8С.

Благодарности

Авторы выражают благодарность с.н.с., к.ф.-м.н. Ю.П. Стефанову за ряд полезных советов и замечаний по аналитическим методам расчетов деформации, к.ф.-м.н. А.В. Панину за предоставленные образцы полипропилена, к.т.н. И.В. Шакирову за помощь в создании модельных изображений с заданными статистическими характеристиками. Работа выполнена при поддержке Гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ «Школа академика В.Е. Панина» НШ-

2324.2003.1, а также гранта РФФИ 04-01-08030-офи_а. Авторы также выражают благодарность «Фонду содействия отечественной науке» за поддержку данной работы.

Литература

1. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл-интерферометрия. -

М.: Мир, 1986. - 328 с.

2. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Мних НМ. Спекл-интерферометрический

метод регистрации полей векторов смещений при деформации // Заводская лаборатория. - 1990. - № 2. - С. 90-93.

3. Dally J.W., Riley W.F. Experimental Stress Analysis. - New York: McGraw-Hill, 1978.

4. Zandeman F., Rednuer S., Dally J.W. Photoelastic Coatings, SESA Monograph № 3. - Ames, Iowa: Iowa State University Press, 1977.

5. Measurements Group Inc., Education Division, Student Manual on the Photoelastic Coating Technique, Bullietin 315, 1984.

6. Албаут Г.Н., Барышников В.Н., Пангаев В.В., Табанюхова М.В., Харинова Н.В. Определение коэффициентов концентрации напряжений в нестандартных задачах поляризационно-оптическими методами // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 91-95.

7. Александров А.Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические

методы механики деформируемого тела. - М.: Наука, 1973. - 573 с.

8. Сухарев И.П., Ушаков Б.Н. Исследование деформаций и напряжений методом муаровых полос. - М.: Машиностроение, 1972.

9. Шнейдерович Р.М., Левин ОА. Измерение полей пластических де-

формаций методом муара. - М.: Машиностроение, 1969. - 152 c.

10. Полухин П.И., Воронцов В.К., Кудрин А.В., Чиченов Н.А. Деформации и напряжения при обработке металлов давлением. - М.: Металлургия, 1974. - 336 c.

11. Сегал В.М., Макушок Е.М., Резников В.И. Исследование пластического формоизменения методом муара. - М.: Металлургия, 1974.

12. Денисов П.И. Поточный контроль прокатываемых полос методом муара. - М.: Металлургия, 1982.

13. Boone PM., Vinckier A.G., Sys RM., Deleu E.N. Application of spe-cimen-grid Moira techniques in large scale steel testing // Opt. Eng. -1982. - V. 21. - No. 4. - P. 602-614.

14. Burch J.M., Forno C. High resolution Moira photography // Opt. Eng. - 1982. - V. 21. - No. 4. - P. 615-625.

15. TheocarisP.S. Elastic stress intensity factors evaluated by caustics / Experimental evaluation of stress concentration and intensity factors. -Hague-Boston-London: Sijthoff and Noordhoff, 1981. - P. 189-252.

16. Парис П., Си Д. Анализ напряженного состояния около трещин / Прикладные вопросы вязкости разрушения. - М.: Мир, 1968.

17. Sutton A., Wolters WJ., Peters W.H., Ransom W.F, McNeill S.R. Determination of displacements using an improved digital correlation method // Image and Vision Computing. - 1983. - V. 1. - No. 3. -P. 133-139.

18. LuoP.F., Chao YJ., SuttonM.A., Peters W.H. III. Accurate measurement of three-dimensional deformations in deformable and rigid bodies using computer vision // Experimental Mechanics. - 1993. - P. 123132.

19. Пат. 2126523 РФ. Способ неразрушающего контроля механического состояния объектов и устройство для его осуществления / Е.Е. Дерюгин, В.Е. Панин, С.В. Панин, В.И. Сырямкин // Опубл. БИ № 5, 1999.

20. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

21. Панин С.В., Сырямкин В.И., Любутин П.С. Разработка и исследование алгоритмов обработки изображений поверхности для оценки деформации твердых тел // Автометрия. - 2005. - Т. 41. - № 2 (в печати).

22. Шакиров И.В. Некоторые вопросы прикладного вейвлет-анализа для обработки статических изображений / Автореф. дисс. ... канд. техн. наук. - Томск: НИИ АЭМ при ТУСУР, 2003. - 20 с.

23. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела. - М.: Наука, 1975. - Т. 1. - 832 с.

24. Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие: В 4 т. / Под ред. Панасюка В.В. - Киев: Наукова думка, 1988. -Т. 1. - 488 c.

25. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1998 -364 с.

26. Кибиткин В.В., Лебедева Н.А., Плешанов В.С. Выделение базовых мод разрушения при развитии усталостной трещины по смешанному типу // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 35-39.

27. Панин С.В., Башков О.В., Семашко НА., Панин В.Е., Золотарева С.В. Комбинированное исследование особенностей деформации плоских образцов и образцов с надрезом на микро- и мезо-уровнях методами акустической эмиссии и построения карт деформации поверхности // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 2. - С. 303-306.