Верификация комплекса программ GMSH + GetDP для конечноэлементного моделирования электромагнитных полей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.316

ВЕРИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ GMSH + GETDP ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

© 2013 г. А.С. Хорошев, А.В. Павленко, Д.В. Батищев, В.С. Пузин, Е.В. Шевченко, И.А. Большенко

Хорошев Артем Сергеевич - аспирант, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: vskych@gmail. com

Павленко Александр Валентинович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected] Батищев Денис Владимирович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected] Пузин Владимир Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected]

Шевченко Екатерина Викторовна - аспирант, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: katyatyan01@gmail. com

Большенко Ирина Александровна - аспирант, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (86352) 55-1-13. E-mail:

Khoroshev Artem Sergeevich - post-graduate student, department department «Electromechanics and electrical devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: vskych@ gmail.com

Pavlenko Alexander Valentinovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Electromechanics and electrical devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected]

Batishchev Denis Vladimirovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, «Electromechanics and electrical devices», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Politechnic Institute). Ph. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected]

Puzin Vladimir Sergeevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, «Electromechanics and electrical devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: vspuzin@ gmail.com

Shevchenko Ekaterina Viktorovna - post-graduate student, department department «Electromechanics and electrical devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. 8 (86352) 5-51-13. E-mail: [email protected]

Bolshenko Irina Aleksandrovna - post-graduate student, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. (86352) 5-16-84. E-mail: irenka84@ mail.ru

irenka84@mail. ru

Рассмотрены основные возможности программного комплекса GMSH + GetDP по решению численных задач при моделировании электромагнитных полей с помощью метода конечных элементов. Определены основные проблемы решения численных задач большого размера на персональных компьютерах. Проведена оценка возможности использования данного программного комплекса для решения задач магнитостатики.

Ключевые слова: метод конечных элементов; магнитостатика; программное обеспечение с отрытым исходным кодом; GMSH; GetDP.

The possibilities of the program complex GMSH & GetDP to solve numerical problems in the simulation of electromagnetic fields using the finite element method. The basic problem solving large numerical problems on PCs. An assessment of the possibility of the use of this software system solutions for magnetostatic problems.

Keywords: finite element method; magnetostatics; software is the open source; GMSH; GetDP.

В настоящей работе рассмотрены возможности применения свободно распространяемого программного комплекса GMSH&GETDP [1], его верификация для расчета трехмерных электромагнитных полей электротехнических устройств.

Структурная схема взаимодействия между отдельными пакетами программ рассматриваемого комплекса программного обеспечения представлена на рис. 1 и имеет модульный состав. Модуль GMSH выполняет функции генератора сеток конечных элементов, пре- и постпроцессора, модуль GetDP - выполняет численное решение задачи посредством выбранно-

го решателя. Препроцессор GMSH позволяет создавать геометрические модели расчетной области и производить их отождествление с физическими объектами. Помимо создания геометрических моделей встроенным средствами GMSH есть поддержка импорта STEP, IGES или BREP моделей. Для этого GMSH должен быть собран с использованием библиотек OpenCASCADE [2]. Генератор сетки конечных элементов GMSH позволяет использовать различные алгоритмы создания сетки конечных элементов: Delanau, Frontal, MeshAdapt, Frontal Delanau, Frontal Hex, R-Tree, MMG3D.

Рис. 1. Схема взаимодействия программных модулей GMSH и GetDP при решении численных задач

Разнообразная номенклатура используемых алгоритмов позволяет создавать сетки конечных элементов высокого качества (в качестве критерия оценки качества конечных элементов выступает соотношение наиболее короткой и наиболее длинной сторон конечных элементов) и малого размера вне зависимости от сложности геометрических моделей. Кроме того, генератор поддерживает двухэтапную оптимизацию сетки по Netgen-алгоритму [3].

GetDP является гибко конфигурируемой кросс-платформенной средой для решения дискретных задач с открытым исходным кодом; базируется на инстру-ментариях для решения матриц PETSc и SPARSKIT, что дает возможность использования решателей MUMPS, Hypre, UMFPACK и других. В случае использования решателя MUMPS значительно увеличивается предельный размер решаемых численных задач благодаря возможности выполнения Out-Of-Core факторизации (выполнение этапа факторизации сохранением данных вне оперативной памяти ЭВМ).

Стоит отметить, что расчет трехмерных электромагнитных полей электромагнитных устройств может характеризоваться размерностью задачи в несколько миллионов конечных элементов. Методом, обеспечивающим наилучшее качество решения подобных матриц, является ZU-факторизация. Однако ее использование требует значительное количество вычислительных ресурсов ЭВМ.

Так, например для решения численной задачи на основе сетки конечных элементов (111 тысяча узлов, 443 тысячи тетраэдров), созданной по трехмерной модели электромагнита (рис. 2, размеры даны в миллиметрах) с рабочим зазором 2 мм требуется 1220 МБ оперативной памяти при использовании программно-

го пакета GetDP с многопоточным решателем MUMPS из инструментария PETSc (размер используемой памяти получен через диагностические сообщения MUMPS и не учитывает память, потребляемую процессами GetDP и PETSc).

Рис. 2. Электромагнит

Уменьшение величины воздушного зазора в два раза, до 1 мм, приводит к увеличению потребляемой памяти в три раза - до 3660 МБ (рис. 3) при условии сохранения качественных характеристик конечных элементов в зазоре путем соответствующего изменения характеристической длины опорных точек.

<D Cl t— О 1=

1 А

Л А Л

\\ \\

\>

С---

г- ■ ----- ■

О

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Рабочий зазор, мм

Рис. 3. Зависимость потребления оперативной памяти от величины зазора при In-Core факторизации:------ — 1 поток;

----------2 поток;..........— 3 поток;--4 поток

При выполнении Out-Of-Core факторизации потребление оперативной памяти многократно снижается и, например, при величине рабочего зазора электромагнита в 1 мм потребление памяти составит лишь 501 МБ (рис. 4), что в 7 раз меньше, чем при выполнении In-Core факторизации.

2500 т

2000-

с

ID 0) о. н о С

1500-

1000-

500-

0,5

-I-1—

1,0 1,5

—I-1—

2,0 2,5

—I—

3,0

—I-1-1

3,5 4,0 4,5

В то же время уменьшение характеристической длины опорных точек поверхностей, образующих рабочий зазор электромагнита позволяет получить более качественную сетку в области рабочего зазора электромагнита и обеспечить более точный расчет интегральных характеристик электромагнита. Следует отметить, что уменьшение размеров конечных элементов в области рабочего зазора электромагнита приводит к существенному снижению количества конечных элементов с качеством 0,4 - 0,5.

6.0Е+5 -|

5.0Е+5

о 4.0Е+5 -

З.ОЕ+5 -

2.0Е+51

£ 1.0Е+5-

0.0Е+0

—I-1-1-1-1-1-1-1

(0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Рабочий зазор, мм

Рис. 5. Зависимость количества элементов сетки от величины рабочего зазора:--тетраэдры;..........— узлы

Рабочий зазор, мм Рис. 4. Зависимость потребления оперативной памяти от величины зазора при Ош-0/-Соге факторизации: ------— 1 поток;----------2 поток;

..........— 3 поток;--4 поток

Помимо увеличения потребления оперативной памяти при увеличении количества конечных элементов ухудшается сходимость решения задачи, особенно при расчете магнитного поля электромагнита с насыщенной магнитной системой. Так, при уменьшении величины характеристической длины с 8 до 2 мм для опорных точек поверхностей, образующих рабочий зазор электромагнита при величине этого зазора, равной 2 мм, приводит к увеличению количества конечных элементов на 22 % (рис. 5) и увеличению количества итераций на 20 % (рис. 6). Уменьшение характеристической длины с 2 до 1 мм приводит к увеличению количества конечных элементов еще на 51 % и количества итераций на 13 %.

Рис. 6. Зависимость сходимости решения численной задачи от значения характеристической длины:--8 мм;

--4 мм;----------2 мм;..........— 1 мм

Другим способом уменьшения размеров численной задачи является снижение количества конечных элементов в сетке. Например, путем увеличения их линейных размеров или использованием иного алгоритма их получения. Так, использование алгоритма Frontal вместо Delanau дает уменьшение количества тетраэдров в 1,5 - 2,2 раза при снижении качества сетки на 5 - 10 %, однако может потребовать больше времени для подготовки этапа генерации сетки ввиду особенностей этого алгоритма или последний вовсе не может быть применен в случае чрезвычайно сложной геометрии трехмерной модели.

Добиться снижения размера численной задачи можно с помощью оптимизации конечноэлементной сетки. На рис. 7 приведены графики распределения числа конечных элементов по их качеству в сетке конечных элементов, созданной с помощью алгоритма Frontal генератора сетки конечных элементов GMSH. Количество тетраэдров и узлов сетки до оптимизации составляло 443494 и 111325 соответственно, а после применения NetGen-алгоритма оптимизации - 377370 и 101174, что соответствует снижению их количества на 15 и 9 % соответственно. Оценка количества конечных элементов и узлов, а также оценка их качества производилась с помощью модуля статистики GMSH. 80000-1

700006000050000-

ш

£ 400003000020000100000

I

_1

Î !

: : 1

у f\ _ j

• i i ; Ь ? w lis i кч

О 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0.7 0.8 0,9 1 Качество

Рис. 7. Оценка изменения качества конечных элементов в результате оптимизации сетки конечных элементов: --NetGen;--------Optimize;..........- Non-Optimize

Для оценки адекватности результатов моделирования электромагнитного поля с помощью программного комплекса GMSH + GetDP выполнено решение двух модельных задач и произведено сравнение результатов расчета со значениями, полученными другими методами.

Целью решения первой модельной задачи является определение величины индукции магнитного поля в геометрическом центре цилиндрической катушки (на рис. 8 - эскиз катушки, МДС обмотки 2400 А) аналитическим способом, путем моделирования осесимметричной задачи в FEMM 4.2 и Maxwell 2D, и моделированием трехмерной задачи средствами GMSH + GetDP.

X У о гп

. 20 ,

Из аналитического выражения для магнитной индукции в любой точке, лежащей на оси симметрии для катушки прямоугольного сечения высотой Ь , внутренним радиусом , наружным радиусом Rн с плотностью тока в обмотке Jф , можно определить индукцию в геометрическом центре катушки [4]:

=

J b +4R2 + 0,25b2

-ф

RB r2 + 0,25b2

Результаты расчета величины индукции различными методами сведены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты расчета величины индукции для задачи 1

Способ решения Величина магнитной индукции*, мТл Абсолютная погрешность, мТл Относительная погрешность, %

Аналитический 62,2 - -

FEMM 61,0 -1,2 1,9

Maxwell 65,2 3 4,8

GMSH & GetDP 61,6 -0,6 0,9

Рис. 8. Эскиз цилиндрической катушки

Примечание: *расчет величины индукции магнитного поля методом конечных элементов производился при установленном граничном условии Дирихле.

Индукция магнитного поля, рассчитанная средствами GMSH + GetDP, оказалась наиболее близкой к рассчитанной аналитически, погрешность не превышает 1 %. Полученная в Maxwell 2D имеет погрешность 4,8 %.

При решении второй модельной задачи требовалось выполнить расчет электромагнитной силы, действующей на якорь П-образного электромагнита с одной обмоткой (рис. 3). Оценка адекватности расчета электромагнитной силы производилась путем сравнения результатов, полученных в комплексе GMSH + GetDP, с результатами расчета в программном комплексе ANSYS Maxwell. Численное исследование производилось как для линейной, так и для нелинейной магнитных систем. Материал магнитопровода электромагнита - сталь с магнитной проницаемостью ц = 2000ц0 , для нелинейной задачи, с кривой намагничивания для стали 1010. Магнитная проницаемость материала обмотки равна ц0 . Площадь сечения обмотки составляет 2000 мм2. Величина рабочего зазора 4 мм. Расчетная область включает трехмерную модель электромагнита, ограниченную кубом со стороной 1000 мм.

2

Расчет электромагнитной силы выполнялся с помощью тензора Максвелла, для чего были использованы интегрированные средства Maxwell 12. Среда решения дискретных задач GetDP не имеет встроенных средств для определения электромагнитной силы, действующей на тело, однако дает возможность производить расчет любого численного значения в соответствии с выражениями, заданными пользователем, что позволило произвести вычисление значений силы в соответствии с [5] :

2 ( '

dF = -(Hl -H2y )Ц0 + HxHy

2

Полученные значения электромагнитной силы для элементов были проинтегрированы по всем поверхностям, охватывающим якорь электромагнита на расстоянии 0,5 мм от его поверхности с помощью плагина Integrate, входящего в состав постпроцессора GMSH. Результаты расчета электромагнитной силы приведены в табл. 2.

тивные научные исследования разработки по приоритетным направлениям российской экономики, проекта № 7.1604.2011 «Теория создания и исследование ресурсо- и энергосберегающих электромеханических устройств, систем и комплексов», выполняемого в рамках гос. задания на 2013 г. и на плановый период 2014 и 2015 годы, при поддержке стипендии Президента Российской Федерации для молодых ученых и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики № СП-6838.2013.1 на тему «Разработка электромагнитного привода для систем газораспределения двигателей внутреннего сгорания с повышенными энергетическими и экономическими показателями» и по результатам, полученным в ходе выполнения гранта № 14.В37.21.1500 от 05.10.2012 г. «Гибридные энергосберегающие системы распределения энергии» в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Таблица 2

Результаты расчета величины электромагнитной силы для задачи 2

Тип задачи Величина тока, А Величина электромагнитной силы, Н Разница

GetDP Maxwell абсолютная, Н относительная, %

Нелинейная 2 453 481 -28 5,8

4 1090 1110 -20 2

Линейная 2 1940 2115 -175 8

Выводы

Отличие результатов, полученных в модельных задачах, не превышает 8 %, что по данным исследований в [6] является допустимым и объясняется разным качеством сетки и количеством конечных элементов, а также отличиями в реализации алгоритма расчета электромагнитной силы с помощью тензора Максвелла. Несущественное отличие полученных результатов позволяет говорить об адекватности моделей, реализованных с помощью программного комплекса GMSH + GetDP. Пакет программ GMSH + GetDP обладает гибким конфигуратором поставленной задачи исследования и обеспечивает возможность выбора ее эффективного решателя.

Статья подготовлена по результатам работы, полученным в рамках выполнения проекта СП-201.2012.2 на тему «Разработка научно-технических решений по созданию системы контроля состояния стальных канатов полярных кранов АЭС» по стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспек-

Поступила в редакцию

Литература

1. Официальный сайт института «Montefiore Institute». Prof. Christophe Geuzaine [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.montefiore.ulg.ac.be/~geuzaine/, свободный.

2. Официальный сайт компании «OPEN CASCADE S.A.S.». Open CASCADE Technology, 3D modeling & numerical simulation [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.opencascade.org/, свободный.

3. Schoeberl J. Netgen, an advancing front 2d/3d-mesh generator based on abstract rules / Comput. Visual. Sci. 1997. № 1. C. 41 -5 2.

4. Алиевский Б.Л., Орлов В.Л. Расчет параметров магнитных полей осесимметричных катушек: Справочник. М., 1983. 112 с.

5. Bastos J.P.A., Sadowski N. Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods. New York : Marcel Dekker Inc. 2009. 497 р.

6. Wang X., Pepper D.W. Benchmarking COMSOL Multiphys-ics 3.4. Las Vegas: University of Nevada, 2007. 44 р.

6 сентября 2013 г.