CC BY
18
Том 154, кн. 2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2012
УДК 512
ВЕРБАЛЬНЫЕ КАТЕГОРИИ И ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
С.Н. Троили I
Аннотация
Охарактеризованы многообразия универсальных алгебр, рационально эквивалентные многообразиям алгебр над операдами над произвольными вербальными категориями.
Ключевые слова: вербальная категория, операда, многообразие алгебр, рациональная эквивалентность, свободная алгебра, свободная операда.
Введение
Основной целыо настоящей работы является полное доказательство одного из двух результатов, анонсированных в [1]. Доказательство другого результата было опубликовано в [2]. Задержка с публикацией была вызвана рядом обстоятельств. в том числе тем. что некоторые пункты доказательства, казавшиеся сначала почти очевидными, потребовали более тщательной проработки, и в конце концов превратились в утверждения, представляющие самостоятельный интерес. Частным случаем основного результата, содержащегося в § 5. можно считать результаты работы [3] и [2. § 1].
Для понимания содержания работы необходимы некоторые сведения из теории операд над вербальными категориями. Их можно найти в работах автора [2 4] (см. также [5]). Основы традиционной теории операд (симметрических операд, или Е-операд) содержатся в книгах и обзорах [6 12].
Кратко опишем содержание работы. В § 1 приводятся известные сведения о вербальных категориях и доказываются некоторые технические результаты, отсутствующие в упоминавшихся выше работах автора. В § 2 описываются свободные алгебры в многообразиях алгебр над обобщенными операдами операдами над вербальными категориями. В § 3 показывается, как по произвольной вербальной категории Ш можно построить Ш-операду. Использованный способ является далеко идущим обобщением конструкции из работы [13]. В § 4 результат § 3 применяется для построения свободных Ш-операд. Наконец, в § 5 дается характеризация многообразий алгебр над Ш-операдами, рассматриваемых с точностью до рациональной эквивалентности, в терминах выделенных операций и тождеств.
Отмстим, что все используемые в настоящей работе понятия и полученные результаты обладают многосортными (мультикатегорными) аналогами. Ввиду недостатка места соответствующие формулировки и доказательства не приводятся. Некоторые сведения о многосортных вербальных категориях и многосортных опс-радах над ними (мультикатегориях) можно найти в [4] и [о].
1. Вербальные категории
Приведем некоторые определения, обозначения и результаты из работы [3]. Пусть п > 0 - натуральное число. Всюду в дальнейшем [п] обозначает множество
{0,1,..., п}. Обозначим через ^йе подкатегорию категории множеств с объектами [п], п > 0, морфизмами которой являются такие отображения / : [п] ^ [т], что /(0) = 0, и /-1(0) = {0}. Категория обладает конечными копроизве-
дениями. которые описываются следующим образом. Естественный изоморфизм [п] и [т] ^ [п + т] отображает г € [п] в г € [п + т], ] € [т], ] > 0 - в п + ] € [п + + т]. Поэтому если даны / : [п] ^ [т], д : [р] ^ [д], то / и д : [п + р] ^ [т + д] действует следующим образом: (/ид)(г) = / (г^и 0 < г < п, (/ид)(.?') = т + д(^') при 1 < ^ < р.
пт
зываться неубывающее отображение вида а : [п] ^ [т], являющееся морфизмом . Через Р обозначим категорию с объектами [п], и множествами морфизмов Р(п, т) = Р([п], [т]), состоящими го всевозможных разбиений п на т частей. Для а € Р(п, т) и для всех 1 < г < т положим п = |а-1(г)|. Тогда а можно отождествить с упорядоченной последовательностью (п1?...,пт) целых неотрицательных чисел длины т такой, что п1 + ... + пт = п. Этим объясняется выбор термина. Если в € Р(п, т), а € Р(т, к), а = (т1?..., т^^о в можно записать в виде (п1,1, ..., п1,т1,..., пдд,..., пд,тк). Теперь композицию ав можно описать
Ш1 тк
как последовательность (^ п^,..., ^ . Если а € Р(п, т), в € Р(к,/),то
¿=1 ¿=1
а и в € Р(п + к, т + /) (хотя [п + т] не есть копроизведение [п] и [т] в Р).
В категории .Рйе существуют также расслоенные произведения. Нам понадобится их явный вид в одном частном случае.
Условимся о следующих терминах и обозначениях. Пусть а и Ь - натуральные числа. При а < Ь положим [а, Ь] = {а, а + 1,..., Ь}, при а > Ь полагаем [а, Ь] = 0. [а, Ь]
Пусть а € Р(п, т), / : [к] ^ [т] - морфизм из Рассмотрим расслоенное
произведение (декартов квадрат) вида:
[п] х [т][к] 712 > [к]
/} (1) [п] —-—> [т]
Лемма 1 [3]. В категории РБеЛ расслоенное произведение (1) устроено следующим образом. Пусть а = (п1,..., пт). Полагаем, [п]х[т] [к] = [п/ (1) + ••• + + п/]. При этом п2 становится неубывающим отображением, которое можно записать как (п/(1),..., п/(Д)). Проекция п1 описывается так: ее ограничение на каждый отрезок [п/(1) + • • • + п/+ 1, п/(1) + • • • + п/у)] есть неубывающая биекция на отрезок [п1 + • • • + п/+ 1,п1 + • • • + п/у)], и п1 (0) = 0.
В случае, когда п/у) = 0, из сформулированного выше соглашения следует, что оба отрезка пусты. В общем случае речь идет о конечных линейно упорядоченных множествах, каждое из которых состоит из п/у) элементов. При этом выражение
п/(1) +----+ п/у) надо понимать как п/(¿), а п1 + • • • + п/у) как Х//=!)
Отметим, что при ] = 1 имеются в виду отрезки [1,п/(1)] и [п1 + • • • + п/(1)_1 + + 1,п1 +-----+ п/(1)].
Проекцию п2 = (п/(1),..., п/(Д)) будем обозначать через а/, а проекцию п1 -через /*а. Заметим, что /*а есть те что иное, как подъем а вдоль / (мы следуем здесь терминологии и обозначениям из [14]). Множество [п/(1) + ••• + п/(д)] можно рассматривать как результат применения функтора замены базы, то есть как /* [п].
Определение 1. Рассмотрим подкатегорию Ш С .Рйе со всеми теми же объ-[п]
1) Если f, g G Mor(W), то f U g G Mor(W) ;
2) Если f : [k] ^ [m] есть морфизм из W, то для любого a G P(n,m) имеет место включение f *a G W (f *[n], [n]).
W
Укажем несколько очевидных примеров вербальных подкатегорий.
1. Тривиальная категория WId, морфизмы которой - тождественные отображения вида [n] ^ [n] для всex n = 0,1, 2,...
2. Категория Е, в которой E(n, m) пусто при n = m, a E(n, n) = En - группа подстановок n-й степени. Можно показать, что в Е не содержится ни одна вер-
WId
3. Категория Mon, морфизмами которой являются все мономорфизмы (инъекции) из F S et. Можно показать, что Mon не содержится ни в одной вербальной категории, отличной от F S et.
4. Категория Epi, морфизмами которой являются все эпиморфизмы (то есть сюръекцпн) из F S et. Можно показать, что и Epi не содержится ни в одной вер-
FSet FSet
Лемма 2. Если (W^i G I} - любое семейство вербальных категории,
то вербальной является и категория р| Wi? класс морфизмов которой есть
iei
р| Mor(Wi). Как следствие этого, множество всех вербальных категорий яв-iei
WId
FSet
Доказательство. Очевидно. □
FSet
не менее чем счетна.
FSet
всегда имеет место равенство [n] х [m][k] = [nf (^ + • • • + nf (k)]. С учетом этого дополним лемму 1 следующим образом.
Лемма 3. Если в диаграмме (1) потребовать, чтобы проекция п2 была неубывающим отображением, а ограничение проекции ni на каждый отрезок [nf(^ + + • • • + nf(i_1), nf(1) + • • • + nf(i-1) + nf(i)] есть неубывающая инъекция, то п2 = = af : [nf(1) + • • • + nf(k)] ^ [k], a м,орфизм, п1 однозначно определяется из этих условий как введенное выше отображение f *a.
Доказательство. Сразу полагаем [n] х [m] [k] = [nf (1) + • • ^+nf (k)]. Из определения расслоенного произведения следует, что существует единственное отображение
у : [nf (1) +-----+ nf (fc)] ^ [nf (1) +-----+ nf (fc)] со свойствами: п1у = f * a, п у = fa.
Достаточно будет показать, что при сделанных предположениях у - тождественное отображение. Положим ki = nf (1) + ••• + nf (i_1^ • Тогда из п2у = fa и условия неубывния п2 следует n_1(i) = [ki + 1, ki+1] для каждого i, 1 < i < k, причем y([k + 1, ki+1]) = [ki + 1, ki+1]. Теперь из П1у = f * a, условия неубывания ограничения П1 на [ki + 1, ki+1]> инъективности этого ограничения и из аналогичных свойств f *a следует, что ограничение у на [ki + 1, ki+1] есть тождественное отображение для каждого i. Следовательно, то же самое верно для всего у. □
Следствие 1. Справедливы следующие тождества:
(/д)*а = (/*а)(д* (а/)) / *(ав) = (/*а)*в (ав)/ = (а/)(в(/*а)) а(/д) = (а/)д
Доказательство. Внешний контур диаграммы
а/ Г7 1
(/*а)* [г] -—-1 /*[п]
(/*а)*в
^ * „ / а
в
/
[т]
должен совпадать с диаграммой
/ *И
/ *(«в)
(ав)/
ав
Это следует, во-первых, из того, что внешний контур диаграммы, каждый квадрат которой есть диаграмма расслоенного произведения, сам является диаграммой расслоенного произведения, а во-вторых, из леммы 3. Аналогично доказываются и другие равенства. □
2. Свободные алгебры над операдами
Приведем некоторые определения, обозначения и результаты из [2].
Определение 2. Пусть Ж - вербальная категория. Рассмотрим ковариант-ный функтор О го категории Жор в категорию множеств. Будем писать О(п) вместо О([п]), [п] е ОЬ(Ж), и /х вместо О(/)(х), где / е Жор([т], [п]) = Ж([п], [т]), х е О(п). Градуирован ной Ж-полугруппой будем называть функтор, обладающий следующими дополнительными свойствами:
1) для любых [п], [т] е ОЬ(Ж) определены операции О(п) х О(т) ^ О(п + т), (х, у) ^ х • у, такие, что х • (у • г) = (х • у) • г для всех возможных х е О(п), у е е О(т), г е О(к);
2) если даны / е Жор([п'], [п]), д е Жор([т'], [т]), то (/х) • (ду) = (/ х д)(х • у) (заметим, что здесь использовано произведение в Жор, соответствующее копроиз-ведению в Ж);
3) если даны д^- е О(п), =1, 2,..., т, и а = (пх,..., пт) - разбиение, то для любого / е Жор([т], [к]) имеет место равенство (/*а)(дх •... • дт) = д/(Х) •... • д/(к).
Определим также гомоморфизм К : Ох ^ О2 градуированных Ж-полу-групп как естественное преобразование функторов (семейство отображений Кп : Ох(п) ^ О2(п)) такое, что для всех х е О(п), у е О(т) имеет место равенство Кп+т(х • у) = К„(х) • Кт(у) .
Пример 1. Зафиксируем множество X. Тогда соответствие [п] ^ Xп есть градуированная ^йе;-полугруппа в смысле только что данного определения. Функтор [п] ^ Xп как контравариантный фупктор па ^йе; действует следующим образом. Если дано отображение / : [п] ^ [т], то отображение X/ : Xт ^ Xп сопоставляет строке х = (ж1,..., хт) £ Хт строку xf = (ж/(1), • • • , ждп)). Превращая этот функтор в коварнантный функтор из Жор, будем записывать результат рассмотренного только что отображения как /ж. Умножение X" х А""1 —> Хп+т
это приписывание строк друг к другу. Все свойства из определения градуированной FSet-полугруппы проверяются непосредственно. Компоненты градуированной FSet-полугруппы, построенной в этом примере, будем обозначать через Tn(X), имея в виду аналогию с тензорными степенями модуля. Таким образом, Tn(X) = Xn. Вся градуированная полугруппа обозначается через T(X).
Теорема 1. [2] Пусть R - некоторая W -операда, G - градуированная W-полугруппа.
ж
1) Рассмотрим множест,во RG = У R(n) х G(n). На нем ест,ест,венным,
n=0
R
операдои (в нашей терминологии - WId-операдой).
2) Рассмотрим конгруэнцию © в алгебре RG, порожденную всеми эквива-лентностями вида (fx, g) = (x, fg), г<?е / G W([n], [m]), x G R(n), g G G(m). Тогда факторалгебра RWG = RG/© обладает естественной структурой алгебры
WR
3) При этом соответствие G ^ RWG становится функтором из категории градуированных W-полугрупп в категорию Alg(RW) алгебр над W -операдой R.
Замечание 1. Описанная в этой теореме конструкция алгебры RW G есть не
RG
VII, § 2]. Мы используем упрощенную запись: RG (или rwG) вместо R <g> G (или R <8>W G) ввиду того, что рассматривается достаточно специфический частный случай.
Теорема 2 [2, Теорема 1.4]. Пусть R - некоторая W-операда, X - множество. Тогда RWT (X) есть свободная алгебра с базисом X в многообразии Alg(RW) алгебр над R.
В дальнейшем свободную алгебру с базисом X в многообразии Alg(RW) мы будем обозначать через FrR,W (X).
Приведем еще некоторые общие факты о тождествах и свободных алгебрах в произвольных П -алгебрах. Они потребуются нам в § 4.
Для произвольной A G Alg(Q) положим ©A(X) = {(ti,)|ti, G Fr^(X), h(ti) = h(t2) для любого гомоморфизма h : FTq(x) ^ A}. Это конгруэнция на Ftq(x), то есть П-подадгебра алгебры FTq(x) х Fr^(X), являющаяся отношением эквивалентности. Конгруэнция ©a(x) вполне инвариантна, то есть если h : Fr^(X) ^ Fr^(X) - какой угодно эндоморфизм и (t1,t2) G ©A(X), то (h(t1), h(t2)) G ©A(X). Более того, если h - гомоморфизм из Fr^(X) в Ftq(x) и (t 1, t2) G ©a(x), to (h(t1), h(t2)) G ©a(y). Элементы ©a(X) естественно на-AX
S пар элементов (z1ii,z2ij) G FTq(Xj) х Frn(Xj), i G I. Определим Var(S) как полную подкатегорию категории Alg(Q), объекты которой - все те алгебры, для которых элементы множества S являются тождествами. Нам будет удобно принять такое определение многообразия П -алгебр: это непустая полная подкатегория категории Alg(Q), замкнутая относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов, и произвольных прямых произведений. Непустая полная подкатегория M категории Alg(Q) является многообразием П-адгебр тогда и только тогда, когда M = = Var(S) для некоторого S (теорема Биркгофа). Положим ©м(X) = р| ©A(X).
AeM
Это вполне инвариантная конгруэнция на свободной алгебре FTq(x ). Соответствие X ^ ©M(X) является функтором, и более того, для каждого гомоморфизма h из Frfi(X) в Ftq(x) если (t1,t2) G ©м(X), то (h(t1), h(t2)) G ©м(Y)•
Свободная алгебра Е>м (X) многообразия М с базисом X - это факторал-гебра FrQ(X)/©м(X). Каждое многообразие можно представить в виде Уаг(2) для некоторого 2 С FrQ(X) х Frz.fi (X), причем множество X можно выбрать счетным. Для такого X задание Frм (X) (или, соответственно, ©м (X)) полностью
М
3. Операды, строящиеся по вербальным категориям
В этом параграфе будет показано, что по каждой вербальной категории естественным образом можно построить Ж-операду. Метод построения будет также использован в следующем параграфе для построения свободных Ж-операд.
Пусть Ж - произвольная вербальная категория. Для каждого т > 0 положим
ОЖ (т) = Ц Ж ([к], [т]). к>0
Теорема 3. Семейство ОЖ = {ОЖ(п)|п > 0} обладает естественной структурой Ж -операды.
Доказательство. Опишем, как устроена операдная композиция в ОЖ. Пусть / е ОЖ(т), дг е ОЖ(пг), 1 < г < т. Это означает, что заданы морфизмы категории Ж вида: / : [к] ^ [т], дг : [/г] ^ [пг]. Положим а = (пх,...,пт) е е Р(пх + • • • + пт, т). Тогда по определению
/д1.. .дт = (/*а)(д/(1) и • • • ид/(Й)). (2)
Согласно определению вербальной категории в правой части равенства (2) получается морфизм категории Ж, имеющий вид [//д) + • • • + //(к)] ^ [пх + • • • + пт], то есть элемент ОЖ(пх + • • • + пт). Единица операды ОЖ - это тождественный морфизм из Ж([1], [1]) С ОЖ(1).
Структура Ж-операды задается следующим образом. Пусть т е О Ж(т), то есть фактически т : [к] ^ [т] - морфизм категории Ж. Рассмотрим морфизм категории Ж гада / : [т] ^ [п]. Тогда суперпозиция / • т будет морфизмом [к] ^ [п], то есть элементом ОЖ (п). Однако в соответствии с принятыми в предыдущих работах автора обозначениями (см. [2]) мы должны превратить соответствие [п] ^ ОЖ(п) в контравариантпый функтор на категории Жор, двойственной к категории Ж. А это значит, что «умножение» / на т должно производиться справа. Таким образом,
т/ = / • т, (3)
причем в левой части этого равенства / понимается как морфизм категории Жор.
Доказательство того, что таким образом получается Ж-операда, использует тождества, сформулированные в следствии 1, и еще ряд подобным им тождеств, которые будут установлены в процессе доказательства теоремы.
Начнем с ассоциативности композиции (2). Пусть даны морфизмы Ж гада / : [к] ^ [т], д» : [/¿] ^ [п], К^ : [^] ^ [м^-], 1 < г < т, 1 < 3 < п. Это означает, что / е ОЖ(т), дг е ОЖ(пг), Кг,^ е ОЖ(щ^). Положим а = (пх,...,пт) е € Р(пН-----И?™, т), /3.1 = («¿д, . . .,Щ,1ц) е Р('И.;дН-----??.;,), /3 = /31 и • • •□/?„,,
/? г, = /г.;д ... /ц>п<. Требуется доказать равенство
(/91 • • • 9т)Ьл ■ ■ ■ Кг = ЦдгЬл) ■ ■ ■ (дтКг). (4)
Вычислим левую и правую части (4). Пусть г = /дх.. .дт. Согласно (2) правая часть равна (г*в)К, где явный вид К будет уточнен ниже. Явный вид г таков:
г = рд, где р = / *а, д = (1) и ••• и д/ (к). Тогда то следствию 1 (рд)* в = = (р*в)(д*(вр))- Далее, согласно следствию 1 р*в = (/*а)*в = /*(«в)- Пусть
П1 пт
7 = ав это - разбиение, которое можно записать в виде ( ^ и1 ^,..., ^ ит ).
¿=1 ¿=1
Далее, вр = в/ (1) и • • •и в/ (к) • Таким образом, д*(вр) = (5/(1) и • • •и д/(Й))*(в/ (1) и • • • и в/(к)) • Теперь нам необходимо тождество
(д/(1) и • •• и д/(Й))*(в/ (1) ЬЪ •• и в/ (Й)) = ((д/(1))* в/ (1)) и •• • и ((д/(Й) )*в/ (Й)),
являющееся следствием того, что в категории множеств копроизведение (то есть несвязное покомпонентное объединение) декартовых квадратов снова является декартовым квадратом, а выражения (д/(¿))*в/(») определяются с помощью декартовых квадратов вида (1), и согласно лемме 3 имеет место единственность проекций при определенных условиях, которые в данном случае выполняются очевидным образом.
Далее, прямым вычислением можно убедиться, что определенное согласно (2) отображение Н таково:
Н = Н/(1),з/(1}(1) и • • • и Н/(1),з/(1)(г/(1)) и • • • и Н/(й),3/(к)(1) и • • • и Н/(й),3/(к)(г/(к)). Собирая все результаты вычислений вместе, получаем, что левая часть (4) равна
(/*7)№ и • • • и 4). (5)
Здесь = ((д/(»))* в/ (»))(Н/(¿),3/м (1) и •••и Н/(¿),3№, (г№))) при всех г, 1 < г < к. Займемся правой частью (4). По определению (2)
С» = Й^НгД . . . Н^п = ((д»)* вг)(Нг,34(1) и • • • и Н^. (;,)) )) .
Это - отображение из [«.¿^д) + • • • + г^^у] в + • • • + ]. Поэтому то
разбиение, которое возникает вследствие применения (2) к правой части (4), есть (и1,1) + • • • + М1,п1,..., ит1) + • • • + ит,Пт). Это не что иное, как уже появившееся ранее разбиение 7 = «в- Отсюда
/с1 . . . ст = (/*7)(с/(1) и • • • и с/(Й))
Вспоминая выписанный выше явный вид с», убеждаемся, что получилось то же самое выражение, что и (5). Ассоциативность оиерадной композиции тем самым доказана. Свойства операдной единицы - тождественного отображения [1] ^ [1] -проверяются очень легко.
Перейдем к свойствам, определяющим ОШ так Ш-операду. Для удобства различения элементов ОШ и морфизмов Ш несколько изменим обозначения. Пусть £ : [к] ^ [т] (морфизм из Ш) рассматривается как элемент ОШ(ш), и аналогично ^ : [в»] ^ [/»] (также морфизмы Ш) рассматриваются как элементы ОШ(1»), 1 < г < т. Рассмотрим также /» : [/»] ^ [п»] - морфизмы Ш, которые понимаются только как морфизмы Ш. Обозначим через а разбиение (п1;... пт) и торез в разбиение (/1;..., /т). Необходимо доказать равенство:
£(^1/1) . . . (о>т/ш) = (£^1 . . . Шт)(/1 и • • • и /т). (6)
Здесь выражения вида о/ понимаются в смысле (3), то есть о/ = /» • ^ -суперпозиция отображений [в»] ^ [/»] ^ [п»]. Аналогично надо понимать и правую часть (6). Сделав все замены согласно (3), получим в левой части (6)
£(^1/1) . . . (^т/т) = (£*а)((/£(1) • ^£(1) ) и • • • и (/£(т) • ^£(т) )) = (_)
= (£*«)(/?(1) и •••и /£(т))(ш£(1) ) и^и Ш£(т)). ( )
Второй и третий члены этой цепочки равенств - обычные морфизмы Ж с обычными суперпозициями (то есть но надо ничего переворачивать). Теперь воспользуемся непосредственно проверяемым тождеством:
(е*а)(/5(1) и • • • и /?(т)) = (/1 и • • • и /т)(Г в).
С учетом этого тождества (а также (3)) будем иметь следующее продолжение равенства (7):
£(«/ . . . («т/т) = (/1 и • • • и /т)(£*в)(«£(1)) и • • • и «?(т)) =
= (/1 и • • • и /т) • (£«1 . . . «т) = (£«1 . . .«т )(/1 и • • • и /т).
Таким образом, равенство (6) доказано. Последнее равенство, которое необходимо установить, выглядит так:
(£/)«1 . . . «т = (£«/(1) . . . «/(к))(/*а).
Здесь £ : [/] ^ [к] - элемент ОЖ(к), / : [к] ^ [т] - морфизм Ж, : ] ^ [пг] -элементы ОЖ (пг), 1 < г < т, а = (п1,..., пт), выражения вида £/ понимаются как £/ = / • £. С учетом сказанного проведем следующие преобразования:
(£/)«1 .. .«т = ((/ • £)*а)(«/(5(1)) и • •• и «/(5(!))) =
= (/*а) • (£*(а/)) • («/(«(1)) и^и «/(5(!))) = = /*а) • (£«/(1) . . .«/(к)) = (£«/(1) . . .«/(к))(/*а).
Теорема доказана. □
Замечание 2. Заметим, что если Ж = Я, то получается хорошо известная операда симметрических групп, если Ж = Ж/й, то получается также известная операда, все компоненты которой одноэлементные множества. В остальных случаях, по-видимому, получаются новые опорады.
4. Свободные операды
Пусть О = {О„|п = 0,1,...} - некоторая сигнатура. Будем предполагать известной стандартную конструкцию алгебры О-слов с базисом X, то есть свободной алгебры FrQ(X) в многообразии А^(О) всех О-алгебр. Будем предполагать также известным следующее свойство О-слов. Допустим, что для данного слова г е FrQ(X) взяты все слова из О, входящие в запись г, и из них составлено слово т, порядок следования символов в котором тот же самый, что и их вхождений в слово г. Если это слово окажется пустым, то обозначим его через е. Допустим также, что аналогичным образом (то есть с сохранением порядка следования) из входящих в запись и> символов из множества А" составлено слово х. Тогда по паре слов (го, х) слово г восстанавливается однозначно. Это легко слоду-О
«
назовом П-компонентой слова г, а слово х X-компонентой г. Таким образом, можно использовать для слова г альтернативный способ записи в виде гох. Мы будем (явно или неявно) часто пользоваться этой возможностью.
Пусть множество ^Оп(п) состоит го всех элементов г е FrQ(ж1, ...,!„), в которых после описанной выше процедуры х = х1... хп. В этом случае слово г однозначно восстанавливается по слову т в алфавите О. Будем использовать запись
вида £ = ..., хп) = г(х), чтобы иметь возможность делать подстановки вме-
сто «переменных» х1?..., хп других П-слов. Пусть а = а(х1?..., хт) € Т0п(т), 6» = 6»(ж1,. .., хп) € Т0п(п»), 1 < г < п. Положим
а61 . . . 6т а61 . . . 6т (х1 ? . . . ? хщ ? . . . ? ХП1+-----+пт—1 + 1 ? . . . ? ХП1+-----+пт—1 +пт )
= а(б1(х1, . . . , ХП1 )? . . . , 6т(хП1 +-----+Пт— 1 + 1? . . . 7 ХП1+-----+Пт-1+Пт )). (8)
Легко заметить, что результат этой операции принадлежит множеству ^Оп(п1 + +-----+ пт)
Теорема 4. Определенное выше семейство = {Т0п(т)|т = 0,1,...}
с операцией композиции (8) является свободной Ш/й-операдой с базисом П.
Доказательство. То, что является Ш/й-операдой, легко проверяется
с помощью (8). Роль единицы играет элемент х1 € Т0п(1) С Ег^(ж1). Этот элемент при описанном выше разделении П-слов на П-компоненты и па X -компоненты можно отождествить с е. Рассмотрим для каждого п отображение £п : Пп ^ ^ Т0п(п), сопоставляющее элементу сигнатуры ш слово ...хп. Покажем, что для каждой Ш/й-операды Д и любого семейства отображений хп : Пп ^ ^ Д(п), п = 0,1, 2,..., существует однозначно определенный гомоморфизм операд ф : ^ Д такой, что ф£ = х (то есть фпхп = £п для каждого п).
Рассмотрим свободные в А^(Д) алгебры
^
Егй(хь..., ж„) = Ц Д(к) х {хь..., 1„}к.
к=0
г € Д(п)
ГХ1 ...Хп = (г, Х1 ... ж„) € Д(п) х {Х1, . . . , !п}" С Е^д (Х1, . . . , Хп),
так что Д(п) С Егд(ж1,..., хп). Семейство отображений хп : Пп ^ Д(п) вместе с отображениями вида
Егй(ж1,..., Хп) х Ап ^ А, (и(х1,..., Хп), аь ..., ап) ^ м(аь..., ап),
где А теть Д-адгебра, позволяет определить на каждой Д-алгебре структуру П-адгебры. Используя включения {х1?..., хп} С Егп(х1,... .хп) и {х1?..., хп} С С Етд(х1,... .хп), получим однозначно определенные гомоморфизмы П-алгебр Егп(х1;... .хп) ^ Етд(х1;... .хп). Ограничения этих гомоморфизмов на Т0п(п) и будут искомыми компонентами фп гомоморфизма оиерад ^ Д, удовлетво-
ряющего требуемым условиям. □
В следующей теореме (ив § 5) будет использоваться понятие рациональной эквивалентности многообразий, введенное в [17]. Современное изложение можно найти в [18, гл. 1].
Изветсно, что для любого множества А можно определить операду £А, полагая компоненту ЕА(п) равной множеству всех отображений из Ап в А. Это Дйе^операда (а значит, ее можно считать операдой над любой вербальной категорией Ш). Пусть Д - некоторая Ш-операда. Хорошо известно (и лег-
АД
гомоморфизма Ш-операд Д ^
Лемма 4. Многообразия А^(Т0п) и Alg(П) рационально эквивалентны. В частности, можно отождествлять свободные ТОп-алгебры и свободные П-алгебры.
Доказательство. Ясно, что задание на алгебре A структуры И-алгебры равносильно заданию для всех n ^ 0 отображений ^ ea (n). Но по определению свободной WId-операды с базисом Q это равносильно тому, что задан гомоморфизм W-операд FOq ^ EA. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между алгебрами из Alg(Q) и из Alg(FOn)- Проверка того, что это изоморфизм категорий с необходимыми свойствами, не представляет затруднений. Утверждение об отождествлении свободных алгебр следует из [18, теорема 1.2.1, с. 27]. □
Последнее утверждение этой леммы будет играть в дальнейшем важную техническую роль. Оно означает, что вместо свободной алгебры FTq(x) мы всегда можем брать алгебру FTfo^ (X), которая, как уже выяснилось в § 2, имеет вид
Ц FOn(n) х Xп.
n=0
Таким образом, каждый элемент Fr^(X) допускает однозначное представление в виде (w, (xi,..., жд)), где w G FO^(k),
x1 , ... , xk G X. Обозначая (xb...,xfc) через x, будем записывать этот элемент в виде гих, опуская скобки и запятые.
Построим теперь свободные опорады над произвольными вербальными категориями. Начнем с описания одной общей конструкции. Пусть W — некоторая вербальная категория, R - некоторая WId-операда. Определим семейство RW = = {RW(n)|n = 0,1, 2,...} следующим образом:
RW(n) = Ц R(m) х W([m], [n]).
Оиерадная композиция определяется так:
(w, /)(w1,gi) ... (wm,9m) = (wwf(1) ...wf (fc), (/*a)(g/(1) □ •••□ gf (fc) )).
Здесь w G FOn(fc), w< G F0n(k), / G W([k], [m]), g G W([k], [n]), 1 < i < m, a = (n1;..., nm). Структуpa W-операды задается равенством
(w,/ )g = (w,gf).
Здесь w G FOfi(fc), / G W([k], [n]), g G W([n], [m]), g/ - суперпозиция в W С С TSet.
Для каждого n определено отображение nn : R(n) ^ RW(n), сопоставляющее элементу a G R(n) элемент (а, id) G R(n) х W([n], [n]). Через n : R ^ RW обозначим все семейство отображений nn •
RW W
мейство n _ гомоморфизмом WId-onepad. При этом выполняется следующее универсальное свойство. Для любой W-операды O и произвольного гомоморфизма WId-onepad £ : R ^ O существует, притом только один, гомоморфизм W-опе-рад р : RW ^ O такой, что £ = pn •
Доказательство. Проверка свойств опорады в значительной степени опирается на доказательство теоремы 3. То, что не следует из этого доказательства,
n WId
физм р строится следующим образом: если (w, /) G R(k) х W([k], [n]) С RW(n), то
pn(w, /) = £k (w)/. Проверка того, что p - гомоморфизм W-операд, опирается на
р
Универсальное свойство также проверяется без затруднений. □
Теорема 6.
1) Опера да FOqw является свободной W -операдой с баз исом П.
2) Для каждого n > 0 отобразим FOqw(n) в алгебру Fr^(x1;..., xn), сопоставляя элементу (w, f) слово wxf (1) ... Xf (fc), где w e FO^(k), и f : [k] ^ [n] -m,орфизм, из W. Еми считать множества F(n) = Frn(x1;..., xn) компонентами FSet -операды F, построенной в [4] no семейству всех свободных алгебр многообразия Alg(n) с конечными базисами {x1;..., x„j, и рассмотреть эту операду как W -операду (что возможно благодаря W С FSetJ, то описанное выше семейство отображений является иньективным гомомрофизмом W -операд FOqw ^ F.
Доказательство. Свободность FOqw есть формальное следствие универсального свойства FOq в классе W/d-оиерад и предыдущей теоремы.
Отобразим FOqw(n) в F(n) = Fr^(x1,... ,xn) описанным в пункте 2) способом:
(w,f) ^ h(w,f) = wxf(1) ...x/(fc) = w(xf(1),...,x/(fc}).
Инъектнвность этого отображения очевидна. Остается проверить, что все семей-
W
ся непосредственной проверкой, использующей явный вид оиерадной композиции, описанной в [3]. □
в дальнейшем будем обозначать свободную W-операду FOqw через foqjw.
Теорема 7. Многообразия Alg(FOojW) и Alg(n) рационально эквивалентны. В частности, можно отождествлять свободные foqjw -алгебры и свободные П -алгебры.
Доказательство. Доказательство почти не отличается от доказательства леммы 4. Операду можно рассматривать как W-операду для произвольной вербальной категории W, и задание структуры R-адгебры над W-операдой R равносильно заданию гомоморфизма W-операд R ^ Если R = foqjw, то по определению свободной W-операды с баз псом П это равносильно тому, что задано отображение Пп ^ £A(n) для всex n. Так устанавливается взаимно-однозначное соответствие между алгебрами из Alg(n) и из Alg(FOojW). Легко проверяется, что на самом деле это изоморфизм категорий с необходимыми свойствами. Утверждение об отождествлении свободных алгебр с любыми базисами является следствием факта рациональной эквивалентности [18, теорема 1.2.1, с. 27]. □
Таким образом, свободную П-адгебру Fr^(X) можно отождествить со свободной FOo^-адгеброй с базисом X, которая устроена следующим образом: это фак-торалгебра алгебры
Ц (m) х Xm
по конгруэнции, порожденной всеми парами ((rf, x1 ...xm), (r, xf (1) ...xf (&))). Здесь предполагается, что r e foqjw(k), f e W([k], [m]). Как уже отмечалось в § 2, из этого построения следует, что FrFo^jW (X) является тензорным произведением функторов [n] ^ foqjw(n) (контравариантный функтор Wop ^ Set) и [n] ^ Xn (ковариантный функтор Wop ^ Set).
Кроме того, из отождествления Fr^(X) и FrFO^ W (X) следует, что элементы Fi-q(A") можно представлять в виде wx (отождествляя пару (ги,х) со строкой гих), где w £ FOatw(m), х = х\... хт , элементы х\,..., хт £ X не обязательно раз-
W
ственна, нельзя, но если w = (w, f), где w e FOn(k), f e W(k, m) (такое представление по теореме 5 однозначно), то гих = ui(xf) = ^x'/(i) • • -x/(fc) 1 н последняя форма записи определена однозначно.
5. W-тождества
Теорема 8. Пусть W-операда R изоморфна факторопераде /V, где
V - конгруэнция операды. Если X - произвольное множество, то
FTr(X ) = Frfi(X )/V (X),
V(X)
ж-.ество пар вида (и&щх), где (111,112) € V(fe) <А/гл некоторого k, х = x\...xk, ж1,..., жк G X (всевозможные комбинации).
Доказательство. Условия теоремы означают, что имеет место диаграмма. R
V ^ ^ R. (9)
Все объекты этой диаграммы являются контравариантными функторами из категории Wop в категорию множеств, а стрелки - естественными преобразованиями. Напомним, что в § 2 был определен ковариантный функтор T (X) из Wop в категорию множеств, действующий по правилу [n] ^ Xп. Таким образом, мы находимся в ситуации, когда определено тензорное произведение функторов [15], а поскольку тензорное произведение есть функтор, обладающий сопряженным справа функтором (см. [15, теорема 1], [16, Chapter VII, § 2, Theorem 1]), то после тензорного умно-T(X)
уже известно, можно считать, что R < T(X) = FrR(X), < T(X) = Fr^(X).
Что касается стрелок V ^ FOqjw , то это суперпозиции вложения V С FOqjw х х FOqjw и проекций FOqjw х FOqjw ^ FOqjw . После тензорного умножения на T(X) получаются стрелки V < T(X) ^ < T(X) = Fr^(X), что дает отобра-
жение V < T(X) ^ Fr^(X) х Ftq(X). Образ этого отображения обозначим через V(X) заметить, что коуравнитель пары стрелок V<T(X) ^ ® T (X)
изоморфен коуравнитолю пары стрелок, каждая из которых есть суперпозиция вложения V(X) С Fr^(X^Fr^(X) и одной го проекций на сомножители: Fr^(X)х х Ftq(X) ^ Frfi(X). Это означает, что Fr^(X) = Frfi(X)/V(X).
T(X)
стрелки V ^ , а также способ построения изоморфизма < T(X) =
= FrFo^jW (X) = Ftq(X), нетрудно убедиться, что V(X) состоит из всех пар вида (и{х, иох), где («1, ио) £ I(k) для некоторого к, и ж = х\ .. . хи , причем х\, .. ., хи
X
V(X)
вольный гомоморфизм П-адгебр h : Fr^(X) ^ Fr^(X), и пусть h(xj) = aj, 1 < j < к. Элементы a,j можно представить в виде a,j = VjXj, где Vj £ £ FOn,w{nj), xj = xjti .. -x^n-, xjti £ X. Тогда Цщх^ .. ,xk) = щЦх^)... h(xk) = = {uiV-i .. .vk)x-i.. ,xk. Ясно, что (uri'i .. ,vk,U2V 1 • • - vk) £ V(ni + • • • + пк), и поэтому (h(u{x), h(u2x)) £ V(X). Более того, точно так же можно показать, что если Y - другое множество, которое рассматривается как базис свободной алгебры, и h : Ftq(X) ^ Ftq(Y) - некоторый гомоморфизм П-адгебр, то (h х h)(V(X)) С С V(Y). □
Рассмотрим подробнее пары вида (и{х, гих), где U\,U2 £ FOatw(n) ■ ж = = Ж1 . ..ж^. Если Mj = (w/), где wi G FOn(mj), / G W ([mj], [n]). Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, каждый элемент щх преобразуется к виду Wi{xfi) = WiXfc^) ... жЛ(т.), ¿=1,2.
Определение 3. Элемент из Fr^(X)2 будет называться W-парой, если он имеет вид (го^жД), и>2(ж/2)), где £ ТОа(пц), fi £ Щ[т.г], [??.]), г = 1,2,
ж = Ж1 . ..ж„, и все € X различны. В случае, если Ж-пара - тож-
дество какой-либо алгебры, или какого-то многообразия, будем называть ее Ж-тождеством.
Теорема 9. Существует изоморфизм между решет,кой конгруэнций свободной Ж -операды РОп,^ и подрешеткой решетки вполне инвариантных конгруэнций свободной П-алгебры Ег^(Х) со счетным базисом X, состоящей из конгруэнций, порожденных Ж-парами.
Доказательство. Искомый изоморфизм - это соответствие V ^ V(X) = У, построенное при доказательстве теоремы 8. Отметим, что V(X) порождается Ж-парами, поскольку любой элемент (и{х,и2х) £ У(Х), где (111,112) €= У(к), и ж = = ж^ ... ж^ - произвольная строка из элементов X, можно считать результатом подстановки в Ж-пару (м^ . ..ж&,и2Ж1 . ..ж&) элементов ж^ вместо соответствующих жг . По определению это и означает, что V(X) порождается Ж-парами как вполне инвариантная конгруэнция.
Обратное соответствие будем строить, предполагая, как и в теореме 6, что компоненты РОп,^(к) свободной Ж-операды можно считать подмножествами Етп(ж1, ..., ), которые, в свою очередь, можно считать подалгебрами Етп^), где X = и {ж1, ... ,жй}.
Итак, пусть дана вполне инвариантная конгруэнция и С Етп^) х Етп^). Рассмотрим множество Рад всех ТЕ-пар (с^(ж/), р(жд)) £ II, где в ж = ж.^ ... ж^ все ж^,..., ж^ различны, ш € РО^(к), р € РО^(/), / € Ж ([к], [п]), д € Ж ([/], [п]) для некоторого п = 0,1, 2,.... Определим семейство множеств V = и, V = {V(п) | п = = 0,1,...}, полагая У(п) = {((ш, /), (р, д)) € РОпдИ™)2 | (и;(ж/),р(жд)) € £ Рги для некоторого ж}. Покажем, что V есть конгруэнция в оиераде РОпду. Во-первых, заметим, что выбор ж для пары (ш, р) произволен, в том смысле, что вместо ж = ж.^ ... Хгп можно взять любое другое слово ж' = ... с условием, что все ж^ ,..., — различные элементы X. Это следует из инвариантности конгруэнции и: соответствие ж^ ^ ж^ , 1 < к < п, продолжается до эндоморфизма Етп^), а затем до эндоморфизма Етп^) х Етп^), отображающего и в и, а пару (а>(ж/), р(жд)) в пару (с^(ж'/), р(ж'д)). Очевидно, что все У(п) будут отношениями эквивалентности. Пусть ((ш, /), (р,д)) € V(ш), ((ш^,^), (р^,^)) € V(пг), 1 < г < ш. Покажем, что ((шш1 ... шт, ... (рр1 ... рт, д^ 1... ¿т)) € V(п1 + + • • • + пт). Выберем х\,..., хт слова в алфавите А" так, что (щ(ж,,/?.;), р.;,(ж^)) (Е (Е Рад, 1 < г < т, и в ж.;,, ж^- нет общих символов для всех г ф } ■ Это можно сделать ввиду счетности X. Поскольку и - подалгебра РО^^-адгебры Етп^) х Етп^), то для любого (ш, /) £ РОп^у('т) и любых (¡м.{Хг, щх^) £ Рги, 1 < г < т, получим
и
(ш/)((шь л-1 )ж1, (р1 д^жх) . . . ((а>„г,
(р
= (((<*>? /К/1)..- (^т, /т))^1 • • • %) /)(МЬ ¿1) т? • • • ЭСт)
= ((^/(1) • (/*«Н^/(1) и • • • и Н^к)))хЛ . ..хт,
(^Р/(1) • • -Р/(й), (/*/?) (^/(1) и • • • • • -5т) =
1 • • • ^т )жх . . . Жт ) .
Ввиду выбора жг этот элемент должен принадлежать Рад. Таким образом,
((шш/(1) . . .ш//^1 . . . (шр/(1) . . .р/(&), /¿1 . . .¿ш)) € V(п1 +-----+ пт).
Пусть ж = х31 ... х3к слово в алфавите А" такое, что все хв. различны и ж не имеет общих символов ни с одним из ж¿, 1 < г < т. Тогда ((ш,/)ж, (р, д)х) (Е € Рад С и. Рассмотрим эндоморфизм Его (А"), отображающий х8} в (р^,^)^,
1 < 3 < т■ Тогда ((ш, /)ж, (а«, д)ж) отображается в элемент II, имеющий вид
(ш, /)((А«ь ^1)^1)... ((А« ), (АЬ5,)((А«1^1).г'1) • • • ((А«т^т>т)) =
= ((^А4/(1) • • • А4/(й)> • • -^т . . . Жт, (А4А4з(1) • • • А4з(0' • • • • • ■)•
Так как полученный элемент принадлежит Рад, то имеет место включение
((^м/(1) • • .м/(к), /¿1 • • .¿ш), • • .. .¿т)) е V(п1 +-----+ пт).
Но поскольку V(п1 + • • • + пт) есть отношение эквивалентности, получаем требуемое включение:
((^У/(1) • • .У/(й),/Л-1 • • • Лт), (ммд(1) • • • Мд(0 ,9^1 • • .¿ш)) е V (П1 +-----+ Пт)
Из инвариантности конгруэнции С следует также, что соответствие [п] ^ V(п) есть контравариантный функтор из Шор в категорию множеств. Проверим это. Если € У(т), где ш € РОф), / € ТУ(И,[т]), М € ТОп(1), д €
£ ТУ([/], [г/г]), то для строки х = х1... хт элемент
/)ж, (а«, д)ж) = . .. А«.г'3(1) • • • )
принадлежит Рад С и. Если Л е Ш([т], [п]), то полагаем ((у,/), (м, д))Л = = ((у, Л/), (м, Лд)). Элементы (у, Л/)х1 ... жп и (м, Лд)х1 ... жп суть образы элементов (у, /)х1 ... жт и (м, д)х1 ... жт соответственно при эндоморфизме Егп(Х), отображающем ж^- в ж^-), 1 < < т (остальные иксы отображаются про-
и
((у, Л/)ж1 ... жп, (м, Лд)ж1... жп) прннадлежит С. Так как это Ш-пара, то по определению V получим включение ((у, Л/), (м, Лд)) е V(п). Поэтому V = С есть Ш-подоперада Ш-операды х
Из построения видно, что соответствие и ^ С/ = V сохраняет включения и произвольные пересечения.
Покажем взаимную обратпость соответствий и ^ С и V ^ V. В одну сторону это очевидно: Ш-пары из V приводят вновь к операде V. Проверим, что если V = и, то С = V. Очевидно, что V С С. Чтобы показать обратное включение, используем условие, согласно которому С порождается множеством Рад как вполне инвариантная конгруэнция. Это, в частности, означает, что С С Егп(Х) х Егп(Х) есть -подалгебра, порожденная всеми элементами, являющимися резуль-
татами подстановок в элементы из Рад ироизвольных П-слов вместо элементов множества X, причем вместо каждого вхождения в данный элемент Рад одного и того же ж е X подставляется одно и то же слово. Ввиду этого произвольный элемент (21, 22) е С представляется в виде (у, /Хр'ьр'/) • • • (рШ,Рт) > гДе у е ^"Он(к), / е Ш([к], [т]), а каждая пара (р,р') получается из некоторого элемента Рад описанной выше подстановкой. Выполнив эту подстановку, и произведя необходимые преобразования, получаем, что каждый (р'^р") есть элемент ((</,-, /?/)ж.;,, (</", /?")ж;,), где ((д',^), (д", Н'()) е V = и. Следовательно, произвольный элемент С можно записать в виде:
(«Л /)((<7ъ (<//, ^1)^1) • • • ((д'т, Кг)хт, хт) = {1г,и). (10)
Здесь
¿1 = . .. .. . /4)5-1 . . .жт,
= (^/'(1) • • • 9/(т), А" • • • С • • • 4 •
Элемент (¿1,42) принадлежит V. Чтобы убедиться в этом, выберем для каждой пары ((</•, /?,•),(</•', /?,") слово в алфавите А" таким образом, что Ич'и {ч'11 Ц')Уг.) € Рго, причем в у,1 и у^ нет общих символов при всех г ф ] .
Поскольку и является РО^^-алгеброй, композиция
гп1 {Ят 1 ^т)Ут)
= ((^9/(1) • • • <7/(т), А! ■ ■ ■ Ыт)у1 . . .ут, . . . //?" . . . . ,.ут)
принадлежит и п, очевидно, принадлежит также и Рад. Возвращаясь к элементу (10), заключаем, что он принадлежит у. Таким образом, получено включение и С
С у, откуда следует и = "У = и.
Итак, получено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок, между двумя решетками, причем отображение и ^ и сохраняет произвольные пересечения. Но так как точная верхняя грань элементов и^ и и2 в рассматриваемых решетках есть пересечение всех и таких, что и1, и С и, то имеет место изоморфизм решеток. □
Пусть Д - некоторая Ж-операда. Выберем в ней произвольное семейство образующих П (предполагая, что П П Д(п) = П„). Тогда опер аду Д можно считать фактороперадой свободной операды Р = с базисом П по некоторой кон-
груэнции V.
Д
) рационально эквивалентно многообразию П -алгебр, определяемому семейством тождеств вида = где ((^1, /1), (^2, /2)) € У(п) пробегают некоторое семейство образующих конгруэнции V, а в строке х = х\ .. ,хп все переменные различны.
Фактически речь идет о вполне инвариантной конгруэнции у = V (X) из теорем 8 и 9.
Доказательство. Рассмотрим естественную проекцию на факторопераду п : Р ^ Д, и пусть V - ее ядро. Иными словами, V = {V(п)|п > 0}, V(п) = {(¿1, ¿2) € € Р(п) х Р(п)|п„(г1) = п„(г2)} для всех п. Эта проекция индуцирует вполне уни-валентный функтор ) ^ ), причем многообразие ) можно
отождествить с А^(П). Действие функтора можно описать следующим образом. Структура Д^-адгебры па А определяется гомоморфизмом Ж-операд Д ^ ЕА,
Р
физма с гомоморфизмом п. Ввиду того, что П - это базис Р, такой гомоморфизм операд Р ^ Еа однозначно определяется отображением П ^ Еа (а точнее, семейством отображений Пп ^ ЕА(п) для всех п). Образом этого функтора и является то многообразие, для которого нужно доказать, что оно определяется тождествами из V.
Пусть А -некоторая П-адгебрап ©А^) С Етп^^Ето^) - соответствующая ей вполне инвариантная конгруэнция. Предположим, что X счетно. Тогда ядром соответствующего структуре А гомоморфизма Р ^ Еа будет (в обозначениях доказательства теоремы 9) конгруэнция ©а^ ). Алгебр а А будет принадлежать многообразию А^(Д) (вложенному в А^(П) описанным выше образом) тогда и
только тогда, если V С ©а^).
Завершим доказательство следующим образом. Пусть М - многообразие П-алгебр, определяемое вполне инвариантной конгруэнцией V. В обозначениях § 2 будем иметь
©м(X) = у = р| ©а^), Аем
откуда согласно теореме 9
V = ©М(Х )= р ©Кх).
Аем
Поэтому
А е А^(Д) ^ V с ©!(х) ^ А е м.
Теорема 11. Если Д есть Ш-операда, то многообразие ) определя-
ется Ш-тождествами.
Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из предыдущей теоремы. Если представить Д в гаде РОп,^/V, то ЕГд(Х) = Егп(Х(X). Если X -счетное множество, то многообразие А^(Д) определяется тождествами из V(X), а эта конгруэнция порождается IV-парами. □
Теорема 12. Если многообразие П -алгебр М определяется Ш-тождествами, то оно рационально эквивалентно многообразию вида ), где Д есть Ш-
операда.
М
пой алгеброй Егм (X) со счетным базисом X. Поскольку это алгебра из А^(П), ее можно представить в виде Егп^где J — вполне инвариантная конгруэнция. По условию эта конгруэнция порождается Ш-тождествами, а значит, по теореме 9 она имеет вид V(X), где V есть конгруэнция в свободной Ш-операде РОп,ж- Рассмотрим Ш-операду Д = РОп,^/V. Вычисляя свободную алгебру ЕТд^) многообразия ) точно так же, как это сделано при доказательстве
теоремы 8, получаем ЕТд^) = ЕТо^(X). Таким образом, ЕТд^) = Егм(X) как П-алгебры. Но согласно теореме 1.2.1 из [18] отсюда следует рациональная эквивалентность М и А^(Д). □
Замечание 3. Полагая Ш = Р£е£, видим, что Р£е£-тождества - это все возможные тождества в универсальных алгебрах. Таким образом, любое многообразие универсальных алгебр рационально эквивалентно многообразию вида А^(Д_р,5е4), где Д - некоторая Р£е£ -оперздз.. Рс1нбб этот результат был установлен в многосортном случае в [4]. Как уже отмечалось во введении, многосортные аналоги результатов § 5 также справедливы. В случае Ш = Я результаты данного параграфа эквивалентны результатам работы [2] для случая ^-адгебр, где 2 - тривиальная коммутативная опорада.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 10-01-00431а) и гранта для поддержки ведущих научных школ НШ-5383.2012.1.
Summary
S.N. Trunin. Verbal Categories and Identities of Universal Algebras.
We give a characterization of varieties of universal algebras which are rationally equivalent to varieties of algebras over operads over arbitrary verbal categories.
Key words: verbal category, operad, variety of algebras, rational equivalence, free algebra, free operad.
Литература
1. Тронин С.Н. О характеризации многообразий алгебр над W-оиерадами // Меж-дупар. алгебр, копф., посвящ. 250-летию Моск. гос. ун-та и 75-летию каф. высш. алгебры: Тез. докл. М.: Изд-во мехмата МГУ. 2004. С. 127 128.
2. Тронин С.Н. Оиерады и многообразия алгебр, определяемые полилинейными тождествами // Сиб. матем. журп. 2006. Т. 47, Л' 3. С. 670 694.
3. Тронин С.Н. Абстрактные клоны и оиерады // Сиб. мат. журп. 2002. Т. 43, Л' 4. С. 924 936.
4. Тронин С.Н. Мультикатегории и многообразия многосортных алгебр // Сиб. матем. журп. 2008. Т. 49, № 5. С. 1185 1202.
5. Тронин С.Н. Естественные мультипреобразовапия мультифупкторов // Изв. вузов. Матем. 2011. Л» 11. С. 58 71.
6. Бордман Док:., Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры па топологических пространствах М.: Мир, 1977. 408 с.
7. Мэй Док:.П. Геометрия итерированных пространств петель // Вордмап Дж., Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры па топологических пространствах. М.: Мир, 1977. С. 267 403.
8. Смирнов В.А. Операдпые и симплициальпые методы в алгебраической топологии. М.: Факториал Пресс, 2002. 272 с.
9. Leinster Т. Higher Operads, Higher Categories. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. 448 p.
10. MarkI M., Shnider S., Stasheff J. Operads in Algebra, Topology and Physics. Amor. Math. Soc., 2002. 350 p.
11. Markl M. Operads and PROPs // Handbook of Algebra. V. 5. Amsterdam, North-Holland: Elsevier, 2008. P. 87 140.
12. Luday J.-L., Valette В. Algebraic Operads. 2010. XVIII-512 p. URL: http:// math.unice.fr/~brunov/Operads.pdf.
13. Трот»i C.H., Га/рееаа Л.Д. О некоторых операдах, связанных с операдой симметрических групп. I // Изв. вузов. Матем. 2004. Л' 9. С. 61 72.
14. Док:онстон П. Теория топосов. М.: Наука, 1986. 440 с.
15. Кацоо Е.Б. Тензорное произведение функторов // Сиб. матем. журп. 1978. Т. 19, № 2. С. 318 327.
16. MaeLane S., Muerdijk I. Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. N. Y.: Springer, 1992. 620 p.
17. Мальцев А.И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 1. С. 29 32.
18. Пину с А. Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. 239 с.
Поступила в редакцию 27.01.12
Тронин Сергей Николаевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: Serge. TroninQksu.ru
