CC BY
29
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 517.977
ВЕКТОРНЫЕ ПАРНЫЕ СУММАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
© Ю. А. ПАРФЁНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]
Парфёнова Ю. А. - Векторные парные сумматорные уравнения // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 21-25. - В статье представлена теория векторных парных сумматорных уравнений. Установлены результаты, являющиеся обобщением аналогичного скалярного случая. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, теория решения которых достаточно разработана. В качестве приложения найдено решение смешанной краевой задачи с внутренней окружностью сопряжения и условиями идеального контакта. Предложен альтернативный вариант решения указанной задачи методом малого матричного параметра.
Ключевые слова: парные сумматорные уравнения, векторная краевая задача.
Parfenova J. A. - Vector pair summatory equations // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 21-25. - In article the theory vector pair summatory equations is presented. The results which are generalisation of a similar scalar case are established. The problem is reduced to system singular integral equations which theory of the decision is developed enough. As the appendix the decision of the mixed boundary value problem with an internal circle of interface and conditions of ideal contact is found. The alternative variant of the decision of the specified problem is offered by a method of small matrix parametre.
Keywords: pair summatory equations, vector boundary value problem.
1. Рассмотрим векторную смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа в круге
(1) Ап = 0, r < R ,
(2) п\ = 0, ре CE,
4 ' lr =R у '
(3) <L=f (р), ре E -
где f (р), ре E, - заданная гладкая функция. Решение п = п (г, р) ищется в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых внутри круга и непрерывных вдоль его границы.
Гармоническая в круге функция представляется в виде
п(г,р) = — + ^rn (ancosпр + bn sinпр).
2 n=1
Для определения неизвестных коэффициентов a0, an, bn, n е N из краевых условий (2)-(3) получаем парные сумматорные уравнения для r = 1 [1]
a “
— + ^ an cos пр + bn sin пр = 0, ре CE,
2 n=1
да
^(nan cos пр + nbn sin пр) = f (р), ре E,
n=1
m
где E = U(Oc,Pk), CE = [-n,n]-E , -n<a1 < Д < ... <am <Pm <n k=1
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
2. Задача сопряжения
(1) Дм = 0, г < R ,
(2) М \Г=Е = ° Фе СЕ,
(3) мЦ=л = f (ф), Фе Е -
с внутренними условиями сопряжения
(4) п,\ = м2|
1\г=Е 2 1г=Л
(5) Км1 I = м2 I
Ь 1г =д 2г 1г=л
где / (ф) - фе Е, - заданная вектор-функция, К = (К ) - матрица порядка т х т . Решение м1 = м1 (г,ф),
м2 = м2 (г, ф) ищется в классе функций- дважды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных
(ull ^ (u > Z1
до его границы, где u' = ulZ , u2 = uZZ - вектор-функции. Для матрицы K выполняются следующие условия
Vulm J VuZm J
1) К - симметрическая- положительно определенная матрица;
2) I - К - симметрическая- положительно определенная матрица-
тогда спектральные нормы матриц К и I - К равны наибольшему собственному значению матриц [2]. Гармоническая в круге функция представляется в виде
а„
( r,p) = -° + ^ rn ( a. cos np + bn sin np)
тогда
(
U (г,ф) = — + ^ (і + K)(2K)' rn +(K-l)(2K)' 1 — 1 x(ancosnp + bnsinnp)
2 n=1 ^ I r ) J
Для определения неизвестных коэффициентов a0, an, bn, n є N из краевых условий (2)-(3) получаем парные сумматорные уравнения для r = і
a2 + Ё((' + K)(2K)-1 -(/ -K)(2K)-1R2n)(an cos n<p + bn sin np) = 0
2 n=1
¿((I + K)(2K) 1 + (/ -K)(2K) 1R2n)(nancosnp + nbnsinnp) = f (p).
Л
Произведем замену:
тогда
((I + K)(ZK)-1 -(I -K)(ZK)-1 R2n)(a.,b.) = (A.,B.)
— + ^ An cos np + Bn sin np = О
Z n=1
(6)
¿(i + (I-K)(I + K)‘R2n)(i-(I-K)(I + K)‘R2n) x(nAncosn<p + nBnsinnp) = f(p) (7)
n=1
m
где I - единичная матрица порядка m х m , E = U К, А), СЕ =[-п,п]-Е , -^<^<Д<... <«m < Pm <п, f (р) -
k=1
__ m
гладкая вектор-функция при (р&Е = U[ak,Pk]. Коэффициенты Д,, An,Bn, n = 1,2,..., подлежат определению.
k=1
Преобразуем:
(I + (I - K)(I + K)-1 Rln) (I - (I - K) (I + K)-1 R2n )-1 = I + (2(I - K) (I + K)-1) (I - (I - K) (I + K)-1 )-1 R2n = en
n=1
чем O| —
Матричнозначная последовательность єп, n = 1,2,... задана, причем ||єп|| ^ 0 при n не медленнее,
1
K = max А,
^ 1<i<m
21- K
1 + K
1 - 1 K R2n
1+ K
-R2п,
0 <Я,. < 1.
Значит, кII ^ 0 при n ^ œ не медленнее, чем O | -11, так как R2n << -1, 0 < R < 1.
2 2 П ) п
Покажем, что решение векторных парных сумматорных уравнений (6)-(7) можно свести к решению сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков. Обозначим
U (р) = Ag +¿( An cos np + Bn sin nq>), ре[-п,п],
n=1
F(р) =----(p) = ÍT(-nA cosnp + nB sinnp), ре[-п,п],
dp tí
В рассматриваемых задачах математической физики U (р), р е [-п,п], - непрерывная функция, а
F (р)1реЕ=° (q4/2), где q - расстояние от точки р до границы дЕ множества Е.
В силу уравнения (6)
F (р) = 0, р е CE,
а также
(8)
(9)
в
Добавим сюда еще соотношение
IF (p)dp = 0, k = 1,2,..., m.
Ao +X(-1) An = 0,
(10)
(11)
(12)
которое получается из (6) при ф = п и тогда (10)-(12) заменят уравнение (6). Из (9) с учетом (10) имеем при п = N
Ап =—— IF (p)sin npdcp,
ПП E
B =—— IF (p) cos npdcp,
nn '
(13)
(14)
а из (12)- учитывая (13) и используя известное разложение в ряд Фурье функции g (х) = - х е [-п,п] - находим
4 =- у-} Р (р)рл<р.
1п Е
Таким образом, все неизвестные коэффициенты выражаются через функцию Р (р) ,рє Е, которую и надлежит определить. Отметим, что и функция и (х) выражается непосредственно через Р(р) :
и (х)=| Р(р^р = 0, рє[-п,п],
n=1
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
причем в силу (10), (11) U(x) - непрерывна.
Применим теперь к функции F(р), ре E, преобразование Гильберта для периодических функций
1 п
(rF)(x ) =2П í F (Pp°tg d(p'
-п
переводящее cos п<р в sin nx, sinnp в cos nx. Из (9) с учетом (10) находим
¿ (nAn cos nx + nBn sin nx) = —— jF (р) ctg P—— d$>. (15)
n=i 2п E 2
да
Подставим в уравнение (7) вместо суммы ¿( nAn cos nx + nBn sin nx) полученное представление (15), а в
n=1
остальных слагаемых левой части (7) заменим искомые коэффициенты их выражениями через F(р), ре E. После очевидных преобразований убеждаемся, что функция F(р),ре E, удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению
—j FP) d<P +— j{K (P - x) + bP-\F (р) dP = - f (x), x е E, (16)
пЕ р-x пEl v '2J
w 4 1 x r 1 , v- •
где K (x )=— ctg — • I----1 -> e sin nx.
w 2 2 x n=1 n
3. Метод малого параметра
Преобразуем систему векторных парных сумматорных уравнений к виду:
— • 2K + ¿(i -(1 - K )(I + K) 1R2n)(an cos пр + bn sin пр) = 0,
2 I + K
n=1
да / \ 9 Jf
¿ (I + (I - K) (I + K)-1 R 2n ) (nan cos пр + nbn sin n<p) = —— • f (р) .
I + K
Введем (I -K)(I + K) 1 = c, где c - малый параметр. Тогда:
a W
— *(I -с) + Х(I -cR2")(ancosnp + bn sin np) = 0
2 x ) + .
Z n=1
да
^ (I + cR2n) (nan cos np + nbn sin np) = (I - c) - f (p).
n=1
Очевидно, что an = an (c), bn = bn (c), a0 = a0 (c) . Разложим эти функции в ряд Тейлора по
an (c) = ano + anic + an2 *c" +... > bn (c)= bn0 + bn1 c + bn2 'c2 + ... >
ao (c) = aoo + aoi * c + ao2 * c +....
Собирая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем: a w
c° : +Z(anoc0snP + bnosinnp) = o >
2 n=1
a:
¿(nan0 cos Пр + nbn0 sin Пр) = f (р) .
a . a002+ a01 + ¿((an1 - an0 • R2n ) cos Пр + (bn1 - bn0 ■ R2n ) sin Пр) = 0 ,
n=1
¿((an1 + an0 • R 2" ) nan cos Пр + (bn1 + bn0 • R 2n ) nbn sin Пр) = - f (р) .
n=1
n=1
а : aoi ao2 +£((Яи2 _ая1 •Rn)cosnp + (bn2 -Ьи1 • r2k)sinnp) = O,
Z(( an2 + an1 • R2n ) nan C0s nP + (bn2 + bn1 • R2n ) nbn sin np) = 0 .
n=1
Тогда задача сводится к итерационному алгоритму следующего вида:
1 шаг. Нулевое приближение:
a
Чт + Z (an0R 2n C0s nP + bn0R 2n sin np) = §0 (p) ,
2 n=1
n=1
2 шаг. a
да
Z(nan0R2n C0SnP + nbn0R2n SinnP) = /0 (P) .
+ Z (an1R 2n C0S nP + bn1R2n Sin nP) = §0 (P) ,
2 n=1
да
Z( nan1R2n C0S nP + nbn1R2n sin np) = - / (p) - /0 (p) .
да
+ Z (annR 2" C0S nP + bnnR 2n sin np) = §0 (p) ,
2 n=1
да
Z(nannR2n C0s np + nbnnR2n sin np) = -/■ (p) - /0 (p)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.
2. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973. 280 с.
n=1
n=1
