Варьированное уравнение Бианки-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

¡Р с

Из системы находим, что (ОС — //?) —- = —, ах - произвольная константа. Если £ Ф 0, то

ае ¡л

решение уравнения (8) зависит от р = 3 действительных констант Д,. Ке. \таЛ . Если £• = 0. то решение зависит от р = 4 параметров (^.ес/,. ¡тс/,. Ыес^, 1т с, и имеет вид

=---+ а1г + -^—г2.

¡л{а-1р) а-гр

Таким образом, при Т1 = —1 в семействе векторных полей собственных векторных по

лей нет, если и существует только одно собственное поле 1 = /т , если Ъ — О.

2

4. Рассмотрим случай и < — 1. Из краевого условия „ [(а-гВЛтмг - (а -10)(\ - Н)м> + а£1~пм>] Л

ЯЫ --——2—1------г = 0 получаем, что решение имеет вид

(а - - (а - гД)(1 - И)м> + аег "м> =

■о с\

гр0 + с,//г н—-¿иг

(9)

Если Н Ф 0, то общее решение уравнения (9) зависит от р = 3 действительных констант Р0 , Ые , 1шб| , т.е. Нф О неда собственных векторных полей.

Если // = 0, то получаем что решение уравнения (9) зависит от р = 4 действительных констант Ыес^, ¡тс,, Яе^, ¡тс/, для любого £, е е (-оо;+оо).

Следовательно, е случае п<— 1, /7 = 0 всякое векторное поле 1а является собственнъш.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний // СМЖ. 1974. Т. 15. № 1. С. 152-161.

2. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // ДАН. 1973. Т. 212. № 6. С. 1305-1308.

3. Казак В.В. Распределение собственных векторных полей условия обобщённого скольжения // Математический анализ и его приложения. Ростов н/Д.: Изд-во Ростов. ун-та. 1974. С. 183-188.

4. Виноградов В.С. Об одном методе решения задачи Пуанкаре для аналитических функций // Доклады Академии наук СССР. 1960. С. 17-19.

2

г

С.Б. Климентов ВАРЬИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БИАНКИ-ДАРБУ

1. Формулировка задачи. Основные определения и вспомогательные сведения. В этой статье анализируется возможность использования варьированного уравнения Бианки-Дарбу при изучении бесконечно малых изгибаний регулярно проектирующейся односвязной поверхности. Попытки такого использования без соответствующего обоснования были уже давно (см., например, [1]; в этой статье допущена ещё более грубая ошибка, чем отсутствие соответствующего обоснования при использовании варьированного уравнения Бианки-Дарбу, - уравнение Бианки-Дарбу используется при изучении не проектирующихся поверхностей).

Рассмотрим в трёхмерном евклидовом пространстве регулярно проектирующуюся на какую-либо плоскость с единичной нормалью в односвязную поверхность Л' е С", /7 > 3. Будем считать, что поверхность ^ параметризована в области /), расположенной в плоскости с коор-

^,и2 е С" С* - её радиус-вектор.

/1 2 - 41 2 динатами Щ ,и ; г = гщ

Рассмотрим деформацию поверхности $

я' : Г 4\и2У г 4\и2 У 2+ о(к^С"С]

(1)

ы\

где векторные поля 8 г е С" О называются полями деформации (1) (вариациями радиуса-вектора). Аналогично определяются вариации всех величин (векторных, тензорных, скалярных), связанных с поверхностью $ .

Эта деформация называется к -изгибанием (бесконечно малым изгибанием к -го порядка) поверхности $, если

¿V =0, 1 = \,2,...,к:

(2)

где - метрический тензор поверхности $ . Два к -изгибания будем считать несущественно отличными, если у них одинаковы поля 8'г , то есть под к -изгибанием будем понимать соответствующий класс эквивалентности деформаций поверхности $ .

Деформация (1) называется к -движением поверхности $, если её поля имеют вид

I

81г = ^СУ х 81^г + со1, / = 1,2,...,А;, где О.1, со1 - постоянные векторы.

,5=1

Мы будем опираться на следующее утверждение [2-4].

Теорема 1. При к -изгибании вариации , второго основного тензора по-

верхности $ удовлетворяют варьированным уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци (Г.-П.-К.)

^(81-°Ъп8°Ъ22+8°Ъп81-%2 -281~!1Ьп8!1Ьп) = 0,

я=1

д(8'Ьи) д(8%2)

ди2 ди1

д(81Ь21) д(8'Ь22)

и1

= Г?28%а-Т^8'Ь2а,

(3)

ди2

Обратно, если функции 81Ъ^, I =1,2,...,/:, удовлетворяют системе (3), то по ним однозначно с точностью до наложения к -движения определяется к -изгибание односвязной поверхности $.

к -изгибание является к -движением тогда и только тогда, когда 81ЪН =0, / =1,2,...,/:.

2. Вариации уравнения Бианки-Дарбу. Обозначим <р = Се ^ функцию изгибания поверхности $ [5, 185]. Очевидно, что при малых t поверхность $' регулярно проектируема в направлении вектора е и корректно определена функция изгибания поверхности $':

<рг = (р + 2^151<р + о^ ;

1=1

С точностью до о ^ имеет место равенство [5, 186]:

к=

(р.,

д/Гду

(4)

где Ь' - второй основной тензор поверхности , (, 1) - ковариантная производная по и1 относительно метрического тензора gij поверхности $, Д1 - первый дифференциальный инвариант Бельтрами относительно тензора . Приравнивая в (4) коэффициенты при , получим:

1

■8 (ри • о

1

1,1 л/1_А1 ф

5 = 1,2 ,...,к.

Подставляя (4) в уравнение Гаусса для поверхности Б*, получим (с точностью до о^ ):

(5)

<Р\,\<Рг,г-<Р\,г<Рг,\ =^12,12

(6)

где Щ к1 - тензор кривизны Римана метрики ^^. Приравнивая в (6) коэффициенты при

' 2,...,'к , получим варьированное уравнение Бианки-Дарбу:

^2,2^>1Д +^1Д^>2,2 -^2Д^>1,2 ~ ^1,2^>2,1 =

«-1

а=1

-¿>и^->21 -^>2.1^.2}-2Л;2.12Е А,

л- = 1,2.....Аг,

(7)

где д, - первый дифференциальный инвариант Бельтрами пары скалярных по-

лей / и g.

Очевидно, при подстановке (5) в варьированное уравнение Гаусса из (3), также получим (7), но это потребует весьма громоздких вычислений.

Ли

Пусть теперь нам известно решение о^ ^ системы (7). Покажем, что по этому решению определяется к -изгибание поверхности 8 с точностью до наложения к -движений. В силу теоремы! для этого достаточно показать, что функция !//' = (р + 2V С ТОЧНОСТЬЮ ДО О С удовлетворяет уравнению (6)) и что тензоры

^ 1

« - ) ^

5 = 1,2,. к'

(8)

удовлетворяют варьированным уравнениям Г.-П.-К., что эквивалентно тому, что однозначно определяемые по с\ (// ^ тензоры

5% = X Sa¥iJ ■ ös~a ^J— + ös~a¥lJ ■ S

1,3 V1 -

(9)

5 = 1,2,..к, удовлетворяют варьированным уравнениям Г.-П.-К. (3).

То, что функция ц/* с точностью до о удовлетворяет уравнению (6), непосредственно

следует из (7). Отсюда получаем, что тензоры (9) с точностью до о удовлетворяют уравнению Гаусса [5, 188].

Выполнение для тензоров (9) уравнений Петерсона-Кодацци (с точностью до о(1 ) проверяется дословным повторением соответствующих рассуждений из [5, 188], только все равенства (кроме формул Риччи) следует понимать с точностью до о . С учётом теоремы 1, итогом наших рассуждений является

Теорема 2. Решение S^y/ j, системы (7) однозначно с точностью до наложения к -движений определяет к -изгибание поверхности S.

3. Решения варьированных уравнений Бианки-Дарбу, соответствующие к -движениям. Две функции изгибания (р и у/ определяют изометричные S конгруэнтные поверхности тогда и только тогда, когда

<Р _ ¥

л/1-А xq> л/1-А,

¥

при условии положительности подкоренных выражений [5, 186-188].

А

Условия того, что решения о^ц/ ^ системы (7) (вариации функции изгибания) определяют к -движение, не проще. В силу теорем 1 и 2 имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Решения ^ системы (7) определяют к -движение тогда и только то-

гда, когда

±\3"¥г] ■ 1 + S~y,UJ ■ 3' 1 1 = 0,

«=1 [ Л/1 - AiV V1 - AiV J

s = l,2,...,k.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rembs E. Über Gleitverbiegungen // Math. Annalen. 1935. Bd. 111. № 4. S. 587-595.

2. Климентов С.Б. О продолжении бесконечно малых изгибаний высших порядков односвязной поверхности положительной кривизны // Математические заметки. 1984. Т. 36. Вып. 3. С. 393-403.

3. Марков П.Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны // Математический сборник. 1987. Т. 133. № 1. С. 64-85.

4. Климентов С.Б. Введение в теорию деформаций. Двумерные поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Изд-во ВНЦ РАН. 2008.

5. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. Ч. 2.

s

1

а—1