Вариационный метод решения смешанной краевой задачи теории бесциркуляционных течений идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 6

УДК 629.7.015.3

/

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ БЕСЦИРКУЛЯЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. Брутян, И. С. Никитин

Предлагается вариационный разностный метод решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа. Метод основан на эквивалентности рассматриваемой краевой и некоторой вариационной задачи и применяется для расчета некоторых плоских симметричных течений, в частности обтекания профиля, часть контура которого определяется по заданному на нем распределению давления.

Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа встречаются во многих разделах гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Наиболее известной и хорошо' разработанной является теория течений со свободными границами. Различные приложения этой теории широко используются в прикладных задачах глиссирования, фильтрации, струйных и отрывных течений [1]. Смешанные задачи гидродинамики отличаются от прямых тем, что в них искомыми функциями являются не только решения дифференциальных уравнений, но и форма границы (или части границы) области определения этих решений. Вопрос о существовании и единственности решения смешанной краевой задачи, описывающей потенциальное течение около тела произвольной формы со свободными границами заданного типа, привлекал внимание многих исследований. Достаточно полное изложение этого вопроса можно найти в монографии [2]. Известный метод решения смешанных краевых задач, основанный на теории аналитических функций, позволил получить многие интересные и важные результаты в гидродинамике течений со свободными линиями тока [1, 3 — 5]. Этот метод является эффективным для сравнительно простых, например плоских, полигональных областей, когда решение соответствующей краевой задачи удается записать в аналитическом виде. Решение задачи в произвольной криволинейной области представляет до настоящего времени определенные трудности, поскольку в общем случае оно связано с решением сложного интегродифференциального уравнения.

В работе излагается вариационный метод решения задач бесциркуляционного обтекания как полигональных, так и криволинейных тел со свободными границами заданного типа в плоском и трехмерном потоках несжимаемой жидкости. Метод основан на принципе Дирихле [6] — сведения краевых задач эллиптического типа в областях с фиксированными границами к вариационной задаче, — примененном в работе [7] к смешанной краевой задаче

о симметричном кавитационном течении идеальной несжимаемой жидкости, когда на неизвестной части границы задано дополнительное краевое условие специального вида, а именно, условие постоянства скорости течения.

Ниже дается дальнейшее распространение принципа Дирихле на случай смешанной краевой задачи эллиптического типа, когда неизвестная часть границы подлежит определению на основании дополнительного, в достаточной степени произвольного граничного условия, При этом предполагается, что решение соответствующей смешанной краевой задачи существует. Требования, которые следует накладывать на задаваемое дополнительное граничное условие для исключения возможной некорректности постановки краевой задачи, в настоящей работе не рассматриваются.

1. Пусть конечное тело 2 с границей помещено в без-

граничный бесциркуляционный потенциальный поток несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью 1/ос; = 1, параллельной оси л: прямоугольной системы координат Охуг. Если ввести потенциал течения Ф(л:, у, г), то задача обтекания математически формулируется следующим образом:

в области течения <3: ДФ = 0;

на границе 5 (_)£'• дФ/дп=0-,

при г2 = х2-}-у2 +^2->оо: Ф = л;-|-0

Все параметры задачи обезразмерены, характерными размерными величинами являются длина тела и скорость на бесконечности. Допустим далее, что часть 2 границы тела О фикси-

рована, а оставшаяся часть 5 может свободно варьироваться так, что граница 5(_|£ остается кусочно-аналитической поверхностью. Рассмотрим задачу нахождения такой формы поверхности 5 тела 2, при обтекании которого реализуется экстремум функционала

/= |||(уФ — ух)2 йА + йА — йхйуйг

<з 2

при заданном ограничении изопериметрического типа

Я=///Н(х' У' =Яо-

где Р = Р{х,у,г) и к = к (х, у, г) — некоторые интегрируемые функции своих аргументов. Например, при А = 1 или к~у2 получаем соответственно ограничения на объем или момент инерции относительно продольной оси тела О.

Первое слагаемое функционала I представляет собой удвоенную кинетическую энергию возмущенного движения жидкости или, что то же самое, присоединенную массу тела 2 в направлении оси х. Второе слагаемое представляет собой потенциальную

энергию некоторых объемных сил /\ Например, при F = 2gy, где ^■—ускорение свободного падения, получаем, что величина / равна удвоенной разности кинетической и потенциальной энергии возмущенного движения тяжелой жидкости. Заметим, что в этом случае бесциркуляционное кавитационное течение не является

симметричным и ^ § РйА не равен нулю. Как будет видно из ус-

£2

ловия оптимальности, функция Р непосредственно связана с распределением давления на участке 5 поверхности 5и^.

Для решения поставленной задачи воспользуемся классическим методом множителей Лагранжа, т. е. рассмотрим расширенный функционал

/-/+Ш®*4Ф‘М+Х(Ш

<Э ^ 2

здесь функция Ф* = ф* (х, у, г) — множитель Лагранжа, соответствующий уравнению движения жидкости, а постоянная X — множитель Лагранжа, соответствующий заданному ограничению.

Первая вариация функционала /, согласно правилам варьирования интегралов по области, равна I

8^ = 2 Щ у8Фу(Ф — х)йА — Л (уФ- ух)2 Шз +

<2 5

-I- /// Ф* ДЬФйА + Щ Ьш18х (2)

<3 5

где — элемент площади поверхности 5, а 8Ф в Ьп — соответственно вариации потенциала течения и формЪ1 тела в направлении внешней нормали к телу в данной точке.

Для того чтобы можно было воспользоваться обычными приемами . вариационного исчисления, выражение (2) необходимо привести к виду

причем <1> зависит лишь от решения краевой задачи (1) и не зависит от 8л. В работе [8] дан метод варьирования функционала кинетической энергии возмущенного движения жидкости при дифференциальном ограничении в виде краевой задачи (1).

С учетом полученных в работе [8] формул выражение (2) можно привести к искомому виду:

8У= + 1+(7Ф)2]8л^.

Вследствие произвольности вариации оп условие оптимальности 8У=0 запишем в форме на поверхности 5:

1 - (уф)* = 1 _ = + Р (3)

или

Чу

ср=р (х, у, г) + и (х, у, 2) - -рр- , (4)

где ср — коэффициент давления, Рг —число Фруда.

Таким образом, доказано, что если экстремум функционала при заданном ограничении изопериметрического типа существует,

о/= Л 'ЬЪпйя,

Нс1А-НЛ-

то он реализуется при таком обтекании, когда на неизвестной (варьируемой) части границы тела выполняется дополнительное краевое условие (3) или (4), которое в зависимости от вида функций F и h может иметь достаточно общую форму. Заметим, что все выводы настоящей работы, в частности вид условий оптимальности (3) или (4), в полной мере остаются справедливыми и для плоского бесциркуляционного течения идеальной несжимаемой жидкости.

Рассмотрим случай Fr>l, F — const, h = const. В этом случае

интеграл J ) J FdA фактически объединяется с интегралом^] ЫА 2 2 и условия оптимальности (3) или (4) принимают соответственно вид V2 = const или ср = const. Другими словами получаем известный результат об эквивалентности классической задачи о течении невесомой жидкости со свободными линиями тока и вариационной задачи о минимуме функционала присоединенной массы тела.

2у

Рассмотрим случай Fr — 1, F — ~f—, ft = const. Тогда соотно-

2 V

шения (3) и (4) приобретают вид V2 = const — г~ и ср = const,

т. е. получаем результат об эквивалентности задачи о течении тяжелой жидкости со свободными линиями тока и вариационной задачи о минимуме функционала разности кинетической и потенциальной энергии возмущенного движения тяжелой жидкости.

2. Полученный вариационный принцип открывает в гидродинамике возможность эффективного использования различных численных методов оптимизации для расчета симметричных течений, описываемых уравнением Лапласа со смешанными граничными условиями. Как показано в работе [8], организовать итерационную процедуру, в которой участок Б границы 51JS является строго фиксированным, не удается из-за возможного несуществования решения, смешанной краевой задачи. Поэтому для получения численного решения необходимо однопараметрически изменять участок 2. Естественно, что при этом „направление оптимизации11 несколько отличается от направления наискорейшего спуска. Вопрос состоит в том, насколько существенно это искажение повлияет на сходимость итерационного процесса. Большое количество различных расчетов показало, что в подавляющем большинстве случаев сходимость достигается.

Алгоритм предлагаемого итерационного метода применительно к рассматриваемой задаче состоит из следующих операций:

1) выбирается начальное приближение для варьируемой части 5 контура тела 2;

2) решается краевая задача (1). Запоминаются контур тела и значения коэффициента давления ср на нем;

3) задается некоторое значение постоянной I, соответствующее заданию изопериметрического ограничения Н = Н0, и п. 2 расчета повторяется для нового тела с границей 6'1J2. Граница S получается в результате смещения точек границы S в направлении внешней нормали на величину 8/г = т(V^o—V2), где т = т(С, *yj) — произвольная неотрицательная функция, a VQ=\—(F+ Щ. Граница £ получается в результате аффинного сжатия (растяжения)

границы 2. Коэффициент деформации определяется из условия непрерывного сопряжения границы 2 с границей S. Гладкость сопряжения твердой и свободной границ обеспечивается при использовании прямого метода расчета обтекания тела с границей SU 2, когда через заданное конечное число точек проводится кубический сплайн. Последовательность операций пп. 2 и 3 повторяется

Л[ |'т

до тех пор, пока величина е= у —----------^------- не будет меньше

некоторой наперед заданной величины или величина функционала У не перестанет убывать. Здесь Vt п — соответственно значения V и т в г-й расчетной точке на варьируемой части контура, а N— общее число расчетных точек на этой части контура.

Подобный выбор улучшающей вариации 8п на каждом шаге приводит к уменьшению функционала J, поскольку формула для первой вариации после подстановки выражения для 8п принимает вид

8У= — j j т ( Vl - I/2)2 ds як - 2e3 Г< О,

5

где 21— относительная длина варьируемой части контура тела.

Отметим, что знак равенства достигается только в том случае, когда решение краевой задачи существует и итерационный процесс уже сошелся (г=0) к искомому течению с заданным условием V2—Vl на поверхности S. В противном случае величина в не может быть сделана меньше любой наперед заданной, величины, и в результате итерационного процесса находится квазирешение [9] смешанной краевой задачи. Таким образом, в данном методе содержится процедура регуляризации, и минимальную достижимую величину emin можно рассматривать как некоторую „численную меру“ некорректности постановки смешанной краевой задачи. К примеру, малая величина smin означает, что сравнительно небольшими изменениями краевых условий можно добиться корректности постановки задачи.

Для иллюстрации эффективности предлагаемого метода проведены расчеты некоторых плоских симметричных течений. На рис. 1 показаны результаты расчета кавитационного обтекания невесомой жидкостью (Fr>l, F== const, h = const) полигонального препятствия, а именно симметричного обтекания клина по схеме Рябушинского при относительной длине фиксированной (в некотором однопараметрическом классе) части Ь=0,2 и числе кавитации о = 0,6; при этом полуугол раствора клина р=22°50', а площадь А, ограниченная контуром полученного тела, равна 0,159. Под числом кавитации понимается значение коэффициента давления ср на свободной границе S, взятое с противоположным знаком. Функция

7[s(x)] выбирается равной —[х—(Z + 6)]2-4-1. Величина smin=5-10-3,

/2

а „невязка" функционала J на последней итерации (у = 40) \Jj-Jj-j| = l0-4. Описанный алгоритм дает наибольшие изменения функционала на нескольких первых шагах, но обладает слабыми свойствами сходимости при приближении к оптимальному решению, что является обычным для градиентных методов первого

Рис. 2

порядка. На рис. 2 представлен расчет кавитационного обтекания клина при числе кавитации о = 0,6, угле р = 22°5(У и длине фиксированной части Ь = 0,1. Величина ет1п в этом случае оказалась равной 1,6-Ю-2, а невязка функционала равнялась Ю-4.

Результаты данных расчетов показывают, что при числе кавитации о = 0,6 и полуугле раствора клина р = 22°50' соответствующая краевая задача при Ь — 0,2 в отличие от краевой задачи при 6 = 0,1 практически не требует регуляризации и в рассматриваемом приближении может считаться поставленной корректно.

Предлагаемый в настоящей работе метод позволяет также1 решать важную с точки зрения практической аэродинамики задачу, возникающую при проектировании профилей, когда часть контура профиля является заданной из каких-либо соображений аэродинамического или конструктивного характера, а оставшуюся часть требуется определить по заданному на ней распределению скорости или коэффициента давления. При этом задаваемое распределение может иметь достаточно произвольный вид. Результаты численного решения одной из таких „полуобратных14 задач теории профиля при Рг» 1, /г = со1Ы, Р Ф сопъХ показаны на рис. 3. Фиксированные в однопараметрическом классе участки границы контура профиля, а также заданное распределение коэффициента давления выделены широкой сплошной линией. Окончательный контур на варьируемой части границы показан узкой сплошной линией, а пунктиром показано начальное приближение, которому соответствует постоянное распределение давления. Величина етт = 5-104, невязка функционала оказалась равной 10-5.

Описанный в данной работе вариационный разностный метод решения смешанных краевых задач является эффективным и может быть использован для решения широкого класса задач теории

бесциркуляционных течений идеальной жидкости. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения, не вызванные физической природой изучаемого явления и обеспечить устойчивый процесс отыскания численного решения.

В заключение авторы выражают благодарность В. С. Николаеву и С. В. Ляпунову за полезные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М., „Мир\ 1964.

2. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск,„Наука“, 1977.

3. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М., „Наука", 1978.

4. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., „Маши-ностроение", 1977.

5. Тумашев Г. Г., Н у ж и н М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Изд. Казан, ун-та, 1965.

6. Курант Р., Гильберт Д, Методы математической физики, т. 2. гл. VII. Л., Гостехиздат, 1951.

7. Garabedian P. R., Spencer D. С. Extremal methods in cavilational flow. J. „Rat. Mech. Anal.“, vol. 1, N 3, 1952.

8. Б p у т я н М. А., Ляпунов С. В. Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока, „Ученые записки ЦАГИ“, т. 12, № 1, 1981.

9. Тихонова. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных задач. М., „Наука“, 1979.

Рукопись поступила 22jIV 1980 г.