Вариационная задача определения оптимальной формы несимметричного сопла и угла потока на входе в сопло с учетом поляры летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗосИСКИ ЦЫИ

Том ХХ11

1991

4

УДК 629.7.015.3.036 : 533.695.7

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ

оптимальной формы несимметричного сопла

И УГЛА ПОТОКА НА ВХОДЕ В СОПЛО С УЧЕТОМ ПОЛЯРЫ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Рассмотрена совместная задача построения оптимального несимметричного сопла и выбора аэродинамических характеристик летательного аппарата (ЛА), связанных известной полярой ЛА. Показано, что искомое сопло реализует максимальное значение проекции полного импульса на некоторую ось, угол наклона которой определяется углом наклона касательной к поляре ЛА. Это означает, что данное сопло реализует максимальную тягу для некоторой заданной подъемной силы [1]. При фиксированном значении угла потока на входе в сопло для моских сопл решение этой задачи известно. Дополнительное условие оптимальности, связанное с варьированием угла потока на входе в сопло, получено во второй части данной работы.

1. Рассмотрим прямоугольную систему координат х, у и для определения примем,что направление оси х совпадает с направлением вектора скорости набегающего потока. Пусть сопротивление ех, Сх < 0 и подъемная сила су, отвечающие некоторому режиму полета, связаны полярой Сх = "(су). Далее, пусть силовая установка (СУ) характеризуется тягой Х и подъемной силой У. Здесь принято, что ЛА и СУ имеют вертикальную плоскость симметрии и, следовательно, силы, перпендикулярные плоскости х, у отсутствуют. И, наконец, предполагаем, что Сх, су, Х, У приведены к безразмерному виду одинаковым способом.

При совместной оптимизации СУ и ЛА, с использованием известной поляры ЛА, естественным образом возникают следующие вариационные задачи:

Задача (1.1) может трактоваться как задача создания максимального ускорения при заданной суммарной подъемной силе. Соответствующая трактовка может быть дана и для задачи (1.2). Данные задачи математически эквивалентны между собой, поэтому можно ограничиться рассмотрением первой из них.

Используя формализм вариационного исчисления, составим следующий вспомогательный функционал:

А. И. Рылов

ос + Сх ^ тах, У + Су = const, Сх = f(Су), У + Су ^ тах, X + Сх = const, Сх = f(cy).

( 1.1) (1.2)

I — X + Сх + Я,( У + Cу}, где Л — некоторый постоянный множитель Лагранжа.

Необходимым условием экстремума является равенство нулю первой вариации данного функционала. В результате имеем:

Ы = БХ + ЛБУ + [{' (Су) + Л] бсу = О. (1.3)

Полагая, что силы, относящиеся к ЛА и СУ, независимы между собой,

из (1.3) получаем

6Х + Л6У = О, "(Су) + Л = О. (1.4)

Следовательно,

Л = — "(Су) = — tg ф,

где — угол наклона касательной к поляре с* = f(cy) с осью су. Из

сказанного и из первого равенства (1.4) следует, что решению задачи (1.1) отвечает СУ, реализующая максимальное значение проекции вектора силы на ось s, повернутую на угол относительно оси х. Здесь и далее

положительный отсчет углов ПРОИЗВОДИТСЯ против часовой стрелки. Значение этого угла ф, определяющего точку на поляре с* = f(cy), должно быть выбрано так, чтобы выполнилось второе условие из (1.1).

В частном случае, когда СУ является осесимметричной, сказанное выше означает, что ось СУ должна составлять угол с осью х.

Наряду с полярой ЛА может рассмат риваться и поляра СУ. На рис. 1 это соответственно нижняя и верхняя кривые. В частности, поляра СУ может отвечать оптимизационной задаче

Х = тах, У = const.

На рис. 1, в отличие от общепринятого, по горизонтали отложены значения подъемной силы СУ и ЛА, а по вертикали — тяга СУ и сопротивление ЛА. Преимущество данного выбора осей координат будет продемонстрировано ниже, на рис. 2.

Значение F проекции вектора силы СУ на ось s, составляющую угол с осью х, при условии, что Х и У связаны полярой Х = g( У), равно

F = g( У) cos — У sin ф.

Максимум F для фиксированного достигается при

6F = 6У(#' cos — sin ф) = О,

т. е при g' = tgq>.

Из этого вытекает следующий вывод. Если силовые характеристики ЛА и СУ связаны полярами Сх = f(cy) и Х = g( У), то в точках, отвечающих решению вариационной задачи (1.1), касательные к полярам должны быть параллельны между собой (см. рис. 1). Угол наклона этих касательных должен быть таким, чтобы выполнялось второе условие (1.1'

Значение тяги Х и подъемной силы У могут быть записаны с помощью составляющих вектора полного приведенного импульса выходной /ж, 1/1 и входной 1;, 1; струй. Предполагая, что давление на внешних повеохностях

Рис. 2

СУ равно давлению рОО набегающего потока, которое учтено и в /*, /у, /£, J°y, имеем

х = /х - /:, у = jy- /;. ( 1.5)

В тех случаях, когда входной струи нет, например, в случае ЖРД

Х = /х, У = /у (1.6)

В действительности давление на внешних поверхностях СУ отлично от роо. Правильный учет этого давления позволит внести коррективы в формулы (1.5) и (1.6).

Перейдем теперь к вопросу о том, каким требованиям должно удовлетворять оптимальное сверхзвуковое сопло СУ. Рассмотрим такие вариации сверхзвукового сопла, которые не влияют на течение во входном устройстве, и, в частности, не меняют /° и /;. К таким вариациям относятся изменение формы и угла потока на входе в сопло, например, в критическом сечении. Под последним понимается поворот входного сечения, при котором распределения газодинамических параметров вдоль сечения (в системе координат, связанной с этим сечением) не меняются, а значит, не меняются расходные характеристики и параметры торможения. Следовательно, для

таких сопл остаются в силе сделанные выше выводы, касающиеся опти-

мальных СУ с учетом поляры ЛА.

Оптимальное сверхзвуковое сопло СУ ЛА с полярой с* = f(cy) — это такое сопло, которое реализует максимальное знчение / проекции вектора полного приведенного импульса выходной струи на ось s, составляющую с осью х угол IJ' = arctgf'. Конкретное значение угла ер определяется выполнением второго условия из (1.1). Из того, что Js = cos Л (/*— tg ер/у) следует, что указанное сопло одновременно реализует максимум J* для данного значения /у. Практически задача => тах, Jу = const решается нахождением максимума функционала 1 = /х + Л/у [1]. Следовательно, значение постоянного множителя Лагранжа Л определяется углом ер, а именно Л = — tg ер = — f'.

Семейству сопл /х => тах, Jy = const может быть сопоставлена поляра оптимальных силовых характеристик /* = R(/y) [1, 2]. Можно показать, что указанный выше множитель Лагранжа определяется наклоном касательной к этой поляре: Л = — R'. Следовательно, необходимым условием того, что сопло удовлетворяет решению вариационной задачи (1.1) является параллельность соответствующих касательных к полярам сопла ЛА (левый рисунок на рис. 2). Угол наклона касательных ер (tg ер = f' = R' = — Л) определяется выполнением второго условия из (1.1).

Перечисленные результаты проиллюстрированы на рис. 2. Справа на плоскости х, у приведено несимметричное сопло. Поляры оптимальных силовых характеристик сопла и ЛА приведены слева. Здесь по горизонтали отложены

Су и Jу, а по вертикали Сх, Сх < О и їх. В соответствии с этим в качестве оси 5 взята касательная к. поляре ЛА, составляющая с осью Су (а значит, и с осью х) угол <р = аг^ {'. Значение проекции вектора полного приведенного импульса на ось 5 является максимальным и, как следствие, касательная к поляре сопла параллельна касательной к ЛА. Добавим также, что значение на рис. 2, отрицательно.

Заметим, что в ряде случаев целесообразно аналогичный совместный анализ сопла и поляры ЛА вести с использованием нескольких возможных поляр сопла, отвечающих разным геометрическим или иным ограничениям, но в предположении, что во всех случаях рассматривается одно и то же входное устройство СУ и одни и те же значения IX и їу [2].

И, наконец, в частном случае, когда сопло имеет фиксированную осесимметричную форму и может поворачиваться на некотором шарнире, ось сопла должна быть направлена параллельно касательной к поляре ЛА. Применительно к данному случаю в несколько иной постановке влияние угла наклона сопла на характеристики ЛА исследовалась в [3].

2. Рассмотрим полученные результаты применительно к плоским несимметричным соплам, рис. 3, 4. Для удобства будем использовать три прямоугольные системы координат с общим началом в точке О. Система хо, уо жестко связана с начальной частью сопла, система х, у связана с ЛА, а система 5, / выбрана так, что ось 5 параллельна касательной к поляре ЛА, о которой говорится выше, см. рис. '1. Оси хо и 5 составляют углы р и с осью х (положительными считаются углы, отсчитываемые против часовой стрелки). Тем самым можно считать, что угол р является углом наклона начальной части сопла.

На рис. 3 в системе координат хо, уо заданы короткая нижняя стенка од, начальная часть (например, дуга окружности или угловая точка) верхнего контура и входной поток на некоторой характеристике тп. На рис. 4 в системе Хо, уо задана начальная часть сопла с невзаимодействующими контурами. Здесь под начальной частью понимается входной поток и начальные части (например, дуги окружностей или угловые точки) обоих контуров. Подлежат определению контуры аЬ на рис. 3 и аЬ и од на рис. 4, а также угол р наклона начальной части сопла.

Выше было показано, что для ЛА с подъемной силой на,.илучшим будет сопло, реализующее наибольшее значение проекции вектора полного импульса J на ось 5, параллельную касательной к поляре летательного аппарата (см. рис. 2). Запишем компоненты и вектора I в виде интегралов по произвольной кривой СЬ, соединяющей точки д и Ь

ь

\ [ — г^іп(0 — Ф)дф + (р — р",)дв].

ъ

ь

= ( [да^(0 — Ф)дф + (р — Р",)ді]; й

Здесь и далее w, 0 — модуль и угол наклона вектора скорости к оси х, связанной с ЛА, М — число Маха, р — давление, роо — внешнее давление, р — плотность. Приращение функции тока 'Ф в системе координат s, t, имеет вид

= pw [cos (0 — q» dt — sin (0 — q» ds].

При фиксированном значении угла р условия максимума /s для безударных вихревых течений известны [l, 4, 5]. Эти условия, остающиеся в силе для рассматриваемой задачи, имеют следующий вид:

. pw2sin2(0 — ф)/УМ2 — 1 = const; (2.1)

= [р - роо - pw2cos (0 — q» sin(O — 2 — 1] М +

+ [pw2sin2(0 — q» / -\/M2 — 1 ] L\s О (2.2)

В полярных координатах R, 00 с центром в точке О выражение Мь из (2.2) может быть записано в следующем виде:

б/ь =[ (р - poo)sin(oo — q» — pw2 -:--ср)5|п<ю -e>j +

+ [ (р - Poo)cos(oo — q» — pw2 i™!6,-8)j (2.3)

В выражении (2.2) М и L\s и в (2.3) и Д00 описывают допустимые перемещения точки Ь.

Условие (2.1) справедливо на отрезках характеристик hb (см. рис. 3, 4) и fd (см. рис. 4), лежащих в областях влияния контуров аЬ и cd. В случае безвихревых течений параметры на hb и fd постоянны, а сами эти отрезки прямые. Условие (2.2) относится к точке Ь, рис. 3, 4. С незначительными изменениями оно переносится и на точку d, см. рис. 4. -

Знак неравенства в условии (2.2) используется тогда, когда для данной точки Ь допустимы лишь односторонние вариации вдоль ограничительной кривой, например, х = const, у у°. Знак равенства справедлив при допустимых двухсторонних вариациях, например, х = const, уо произвольно. Если жестко задана концевая точка сопла Ь0, то возможно решение, содержащее торец ЬЬ° [4]. Это имеет место в тех случаях, когда в точке Ь, лежащей на ограничительной кривой, выполнено условие (2.2) со знаком равенства, и при этом точка Ь и контур аЬ не выходят за пределы габаритных ограничений. Но ■ в этом случае давление роо, входящее в (2.2), равно давлению на торце ЬЬО^ И наконец, в частном случае, когда на точку Ь нет никаких ограничений, из (2.2) видно, что максимум /s достигается при 0 = фи р = роо в точке Ь.

При выводе условия оптимальности, связанного с изменением угла р, можно ограничиться семейством сопл, оптимальных для фиксированных значений р, для которых выполняются условия (2.1) и (2.2). Вычисление вариации б/s, связанной с изменением р, проведем следующим образом. Пусть сопло (рис. 3) оптимально для данного значения р. На первом этапе варьируем контур аЬ, задавая точке Ь смещение по ограничительной кривой Ri = Ri((0), характеризуемое значениями L\Ri и Дшь, а затем по дуге окружности с центром в точке О на угол — Др. Если по условию задачи точка Ь фиксирована, то L\Ri = Дшь = 0. В итоге /s изменится на некоторую величину, определяемую соотношением (2.3), в котором L\R = L\Ri, — др. На втором этапе поворачиваем все сопло и течение в нем как единое целое на угол Др. После этого точка Ь, в зависимости от условия задачи, вернется на ограничительную кривую или в исходное место. Вычисляя суммарное приращение б/s, получим следующее условие оптимальности:

б/s = ЛДР +|Чр — Роо ) sin (00 — ф) — pw2 sin(e^P)sin(<°——j А/?Ь +

+ |4p — Poo)cos((o — ф) — р w

2 Sin (0 —ф) COS ((0 — 0)

— Др) <0. (2.4)

Принимая во внимание (2.2) и. (2.3), а также то, что условие (2.4) справедливо и при Д#* = Д00* = 0, можно условие оптимальйости (2.4) записать в более компактной форме

б/* = (1, - ф„)Др < о, (2.5).

^ Г/ ) і \ 2 5ІП(0 —ф)С08(ю —0)Т п

фь == КР - Роо ) cos(00 - ф) -рш2 —^ ------ #ь •

где

Знак равенства используется в (2.5) при допустимости двухсторонних вариаций р, а знак неравенства при допустимости лишь односторонних вариаций.

Выше предполагалось, что форма ограничительной кривой для точки Ь не зависит от угла р. Но условие (2.4) справедливо и ' в более общем случае, когда #* = #*(00, р). Но в этом случае Д#* из (2.4) зависит уже не только от Д00ь, но и от Др. Соответственно несколько изменится и условие (2.5).

И наконец, все сказанное можно перенести и на сопла с невзаимодействующими контурами, рис. 4. В условиях (2.4) и (2.5) должны быть добавлены слагаемые, относящиеся к точке ^. Эти слагаемые аналогичны слагаемым, относящимся к точке ^.

Если для точки Ь (см. рис. 3) допустимы двухсторонние вариации, то в условиях (2.2) и (2.5) имеет место знак равенства. Используя (2.2) и уравнение для формы ограничительной кривой #* = #*(00), можно записать условие (2.5) также в следующем виде:

pW

Vm*-!

sin2(0 — ф)

RR'

R' sin (to — ф) + Rcos(w— ф)

= 0,

(2.6)

где #' = d#/d00.

Выделим два частных случая.

1. Пусть точка Ь (см. рис. 3, 4) и точка d (см. рис. 4) могут перемещаться по дугам окружностей с центром в точке О. В этом случае #' = 0, в результате чего условия (2.5) и (2.6) приобретают наиболее простой вид

= О.

(2.7)

Иными словами, в оптимальном случае направление вектора полного импульса должно быть параллельно оси s.

2. Задана абсцисса точки Ь (рис. 3). Тогда х* = #* cos 00* = const и , следовательно, в точке' Ь #' = # tg00. В этом случае условия (2.5) и (2.6) запишем так:

/« +

р w2 у sin2(0 — (

cos<p

0.

(2.8)

При уь О условие (2.8) переходит в условие (2.7), что и следовало ожидать. Далее, из (2.8) видно, что если уь > 0, cos > 0, как и на рис. 3, то в оптимальном случае < О.

Можно дать приближенную оценку второго слагаемого в (2.8) для сопл большой протяженности, предполагая, что cos > О. С увеличением длины сопла в точке Ь растет число Маха, sin2(0 — q:» ^ убывает до нуля (при

р— рос)" Комбинация рш2у = pw2 R sin ш возрастает не быстрее, чем w, а значит, стремится к конечному пределу. Следовательно, второе слагаемое стремится к нулю.

Полученные результаты можно распространить на случай, когда угол ф является варьируемым параметром, а не фиксированным, как предполагалось выше. Задача, отвечающая данному случаю (Js- тах, ф произвольно), эквИвалентна задаче построения сопла, реализующего максимальное по модулю значение вектора полного импульса.

Предполагая выполнение условий оптимальности (2.1) и (2.2), а также, в

случае варьируемости р, и (2.5), можем получить ,следующее условИе 0птИ-мальности, связанное с варьированием угла ер

6JS == — Мф < 0. (2.9)

Знак равенства используется при допустимости двухсторонних вариаций ер. Для данного случая условие (2.9) сводится к равенству У, — О и, след0вательн0, справедлив следующий вывод.

Сопло, реализующее 1 —тах, ф произвольно, или, что то же самое, реализующее максимальное по модулю значение вектора импульса, является рассмотренным соплом /5—— тах, ф — cosnt, при этом ф должно быть выбрано так, чтобы вектор полного импульса был направлен параллельно оси s, т. е. необходимо, чтобы Уи/Ух — tg ф.

При допустимости двухсторонних вариаций значений углов р И ф из условий (2.5) и (2.9) видно, что Фь в (2.5) должно равняться нулю. В когда точка Ь лежит на дуге окружности с центром в точке

О, это выполняется автоматически.

В заключение приведем некоторые численные примеры. Рассмотрим два семейства сопл, аналогичных показанному на рис. 3. В этих соплах поток на входе равномерный и горизонтальный с числом Мо — 1,0 1 и показателем адиабаты х — 1,33. Давление торможения в сопле ро — 1, внешнее давление рос — 0,°°5. Нижняя стенка прямая и горизонтальная, высота входного сечения h — 1, радиус закругления в начале верхней стенки R— 0,5. В качестве начала координат, как и на рис. 3, выбран центр этого закругления, системы координат х, у и Хо, уо совпадают (р — О), оси Х и Хо параллельны нижней стенке. Заметим, что прИ таком выборе начала координат высота поперчного сечения сопла, отсчитываемая от нижней стенки, равна Н — ц + 1,5.

Задана длина верхней стенки, т. е. абсцисса, концевой точки верхнего контура хь — 16. Для одного семейства сопл длина нижней стенкИ Xd— 1,5, для другого Xd — 3.

Численно методом характеристик [6] с использованием условий оптимальности (2.1) и (2.2) построена серия сопл, реализующих 1 — тах для -0,4 ^ tg ф ^ О; рассмотрение положительных значений ф для ЛА с нижним расположением короткой стенки практического смысла не Имеет.

tg ф Xd у» Js J, Фь

О /1.5 5,5462 1,5691 0,1373 0,0117

ІЗ 5,6142 1,5928 0,0317 0,0181

0,1 В,5 4,1644 1,5807 0,0967 0,0104

ІЗ 4,2562 1,5952 0,0130 0,0156

-0,185 3 3,1474 1,59569 О 0,0125

-0,2 /1,5 2,7988 1,5885 Л,0649 0,<Ш9

ІЗ 2,9564 1,59568 —0,0016 0,0119

-0,292 3 1,8163 1,59524 -0,00777 0,00777

-0,3 В ,5 1,5163 1,5935 0,0418 0,0048

ІЗ 1,7198 1,5952 -0,0080 0,0074

-0,4 Н'5 0,2988 0,5476 1,5965 1,5944 0,0262 -0,0082 0,0010 0,0024

В прилагаемой таблице представлены значения tg ф, х^ уь, У5, У< , а также Фь из (2.5). Применительно к рассматриваемому случаю, когда хь = = сого^ выражение для ФЬ дается вторым слагаемым в (2.8). Напомним, что // и ФЬ присутствуют в выражениях для приращений 6/„ связанных с поворотом начальной части сопла вокруг точки О на угол Др при фиксированном ф, а также с изменением угла ф при фиксированном р, и эти выражения имеют, соответственно, следующий вид

б/5 = (У, + Ф(,)Др, 6У5 = - У,Дф.

Приведенные соотношения справедливы при выполнении (2.1) и (2.2), что и имеет место в рассматриваемых примерах.

Рассмотрим представленные в таблице результаты. Во всем диапазоне изменения tg ф значения У/, отвечающие х^ = 1,5, превосходят значения У/, отвечающие х^ = 3. Более того, во всем указанном диапазоне изменения tg ф при х^ = 1,5, У/ > О, ФЬ > О. Из этого следует, что для данных фиксированных значений ф значения У5 могут быть увеличены в результате поворота начальной части сопла вокруг точки О на угол Др > О, т. е. против часовой стрелки. Из этого также вытекает, что при х^ = 1,5 для данного фиксированного значения р = О значения У* монотонно возрастают с уменьшением ф, что видно из таблицы. Значение У5, достигаемое при ^ Ф = — 0,4, превосходит значения У5, отвечающие х^ = 3.

Несколько иная картина реализуется для х^ = 3. Так, при tg ф = — 0,185 У/ = О, а при tg ф = — 0,292 У/ + ФЬ = О. В первом случае это означает, что для данного фиксированного значения р = О максимальное значение У5 = = 1,59569, и оно реализуется при tg ф = — 0,185. Во втором же случае это означает то, что для указанного фиксированного значения tg ф = — 0,292 максимальное значение У5 = 1,59524 и оно достигается как раз. при рассмотренном значении р = О. Из сказанного ясно, что максимальные значения У5, соответствующие tg ф = — 0,185 и tg ф = — 0,292, отвечают разным задачам и естественно они разнятся между собой.

Из рассмотренных примеров также следует, что при tg ф >• — 0,292, х^ = 3, а тем более при х^ < 3 значения У5 могут быть увеличены с помощью поворота начальной части сопла против часовой стрелки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыл о в А. И. О построении компактных несимметричных сопл максимальной тяги при заданной подъемной силе.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1981. N2 6.

2. Рыл о в А. И. Оптимальные сверхзвуковые несимметричные плоские сопла с короткой нижней стенкой. Тезисы VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.— Ташкент, 1986.

3. Б о р о в ой В. Я. Влияние отношения реактивной струи воздушнореактивного двигателя на аэродинамические характеристики самолета при больших скоростях полета.— Труды ЦАГИ. 1957.

4. К р а й к о А. Н. Вариационные задачи газовой динамики.— М.: Наука,

1979.

5. Ш м ы г л е ^с к и й Ю. Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамикн.— Труды ВЦ АН СССР, 1963.

6. Рыл о в А. И. Метод характеристик для плоских и осесимметричнщ сверхзвуковых течений с произвольными углами наклона вектора скорости. В кн.: Численные методы механики сплошиой среды.— Новосибирск, 1983, т. 14. N2 3.

Рукопись поступила 19//// 1990 г.